五类型函数的二阶导数计算方法举例

五种类型函数的二阶导数计算题及答案步骤
主要内容：本文举例介绍基础复合函数型、和差型、乘积型、商型、三角函数型等类型函数的二阶导数及二阶偏导数的计算步骤。

1. 基础复合函数二阶导数
2. 函数和差类型二阶导数
3. 函数乘积类型二阶导数
4. 函数商类型二阶偏导数
5. 三角函数二阶偏导数
五种类型函数的二阶导数计算题及答案步骤
☂1：求y=(5x+21)4
二阶导数。

☂2：求y=82-18x 2 的二阶导数。

☂3：求y=e 7x 二阶导数y"的计算过程。

☂4：计算y=sin(5x+43)的二阶导数。

☂5：求y=e 8x 2cos7x+6x 二阶导数。

☂6：求y=ln(8x-4x 2-32)的二阶导数。

☂7：求y=16x3+22x-50的二阶导数。

☂8：求y=21x9+17x5-50x+70的二阶导数。

☂9：求y=x7-8x3+45x+57的二阶导数。

☂10：计算y=8x6-sin2x的二阶导数。

☂11：求y=cos(3x+2)+x4+e5的二阶导数过程。

☂12：求函数y=x(2-36x)的二阶导数。

☂13：y=xe2x的二阶导数。

☂14：y=x 8*15x
的二阶导数。

☂15：求y=xe -x 4+2的二阶导数。

☂16：y=sin20x*cos6x ，求此函数的二阶导数。

☂17：z=xln(4x+20y)，求其所有二阶偏导数。

☂18：求y=x-98x+34
的二阶导数。

☂19：函数 y=37x 2-18x+8
的二阶导数。

☂20：求y=28x 44+x 2的二阶导数。

☂21：计算y=sin11x x+5
的二阶导数。

☂22：求y=18x+x x 2-5
的二阶导数。

☂23：y=sin 7
x 求二阶导数。

☂24：求函数y=cos3xtan9x 的二阶导数。

☂25：求函数y=cos(6x+14)x
的二阶导数。

☂26：求z=sin(x 3+12y)的二阶偏导数。

☂27：求z=sin 4
(9x+43y)的二阶偏导数。

☂28：求函数z=sin 10x -x 2y 2+e 6
的二阶偏导数。

参考答案
☂1：求y=(5x+21)4二阶导数。

解：y=(5x+21)4，
y'=4(5x+21)3*5,
=20(5x+21)3，
y"=20*3(5x+21)2*5,
=300(5x+21)2。

☂2：求y=82-18x2的二阶导数。

解：y=82-18x2，
y'=1
2
*
1
82-18x2
*(82-18x2)'，
=1
2*
1
82-18x2
*(-36x)
=-18*
x
82-18x2
，
y"=-18*82-18x2-x*
1
2
*
-36x
82-18x2
82-18x2
，
=-
18*82
(82-18x2)3。

☂3：求y=e7x二阶导数y"的计算过程。

解：y=e7x，
y'=e7x*7,
y"=e 7x *7*7=72*e 7x 。

☂4：计算y=sin(5x+43)的二阶导数。

解：y=sin(5x+43)，
y'=cos(5x+43)*5,
y"=-sin(5x+43)*5*5,
=-52*sin(5x+43)。

☂5：求y= e 8x 2cos7x+6x 二阶导数。

解：y=e 8x 2cos7x+6x ，
y'=e 8x 2cos7x+6x *[8(2xcos7x-x 2sin7x*7)+6], y'=y[8(2xcos7x-x 2sin7x*7)+6],
y"=y'[8(2xcos7x-x 2sin7x*7)+6]+
8(2cos7x-2xsin7x*7-2xsin7x*7-x 2cos7x*72)y 。

☂6：求y=ln(8x-4x 2-32)的二阶导数 解：y=ln(8x-4x 2-32), y'=8-4x 4x 2-3
2 8x-4x 2-3
2 , =84x 2-32-4x 4x 2-32(8x-4x 2-32)=A B
, y"=A'B-AB'B
2,其中： A'=8*44x 2-3
2-4,
B'=
4
4x2-32
(8x-4x2-32)+4x2-32*(8-
4
4x2-32
),
=8*4
4x2-32
x+84x2-32-2*4。

☂7：求y=16x3+22x-50的二阶导数。

解：y=16x3+22x-50，
y'=16*3x2+22,
y"=16*3*2x=96x。

☂8：求y=21x9+17x5-50x+70的二阶导数。

解：y=21x9+17x5-50x+70，
y'=189x8+85x4-50,
y"=1512x7+340x3。

☂9：求y=x7-8x3+45x+57的二阶导数。

解：y=x7-8x3+45x+57，
y'=7x6-24x2+45,
y"=42x5-48x。

☂10：计算y=8x6-sin2x的二阶导数。

解：y=8x6-sin2x，
y'=48x5-2cos2x,
y"=240x4+22sin2x。

☂11：求y=cos(3x+2)+x4+e5的二阶导数过程。

解：y=cos(3x+2)+x4+e5，
y'=-3sin(3x+2)+4x 3
,
y"=-32cos(3x+2)+12x 2。

☂12：求函数y=x(2-36x)的二阶导数。

解：法一：y'=2-36x+x*(-36)=2-132x,
y"=-132。

法二：y=x(2-36x)=2x-36x 2,
y'=2-132x,
y"=-132。

☂13：y=xe 2x 的二阶导数。

解：y=xe 2x
y'=e 2x +2xe 2x ,
y"=2e 2x +2e 2x +22xe 2x ,
=4e 2x (1+x)。

☂14：y=x 8*15x 的二阶导数。

解：y=x 8*15x ,
y'=8x 7*15x +x 8*15x *ln15,
y"=8(7x 6*15x +x 7*15x *ln15)+ln15(8x 7*15x +x 8*15x *ln15)。

☂15：求y=xe -x 4+2的二阶导数。

解：y=xe -x 4+2,
y'=e -x 4+2+xe -x 4+2*(-4x 3),
=e -x 4+2-4e -x 4+2*x 4,
y"=e -x4+2
*(-4x3)-4[e
-x4+2
*x4(-4x3)+e
-x4+2
*4x3],
=-4(5-4x4)e -x4+2
*x3。

☂16：y=sin20x*cos6x，求此函数的二阶导数。

解：法一：y=sin20x*cos6x，
y'=20cos20xcos6x-6sin20xsin6x,
y"=-202sin20xcos6x-112cos20xsin6x- 112cos20xsin6x-62sin20xcos6x,
=-(202+62)sin20xcos6x-2cos20xsin6x。

法二：y=sin20x*cos6x，由积化和差公式有：
y=1
2
sin5x+
1
2
sin18x，
y'=1
2
*5cos5x+
1
2
*18cos18x,
y"=-1
2
*(52sin5x+182sin18x)。

☂17：z=xln(4x+20y),求其所有二阶偏导数。

解：对方程全微分有：
dz=ln(4x+20y)dx+x 4dx+20dy 4x+20y
,
dz=[ln(4x+20y)+4x
4x+20y ]dx+x
20
4x+20y
dy,
则函数z分别对x的一阶偏导数为：
∂z ∂x =ln(4x+20y)+
4x
4x+20y
,
∂z ∂y =x 204x+20y
,继续求二阶偏导数有： ∂2
z ∂x 2=44x+20y +4[(4x+20y)-4x](4x+20y)2, =44x+20y +80y (4x+20y)2 ; ∂2z ∂y 2=-202x
(4x+20y)2 ; ∂2z ∂x ∂y =∂2z ∂y ∂x =20 4x+20y -80x (4x+20y)2 。

☂18：求y=x-98x+34
的二阶导数。

解：法一：y=x-98x+34
, y'=x+34-x+98(x+34)2=132(x+34)2
; y"=-264(x+34)3。

法二：方程变形为y(x+34)=x-98,两边求导有：
y'(x+34)+y=1, 再次求导：
y"(x+34)+y'+y'=0,
y"(x+34)=-2y'=-21-y x+34
, y"=-21-y (x+34)2=-264(x+34)3。

☂19：函数 y=37x 2-18x+8
的二阶导数。

解：y=37x 2-18x+8
，用商求导法则有： y'=-37*2x-18(x 2-18x+8)2
; y"=-37*2(x 2-18x+8)2-2(2x-18)2(x 2-18x+8)(x 2-18x+8)4, =-74*(x 2-18x+8)-(2x-18)2
(x 2-18x+8)3
, =74*3x 2+54x+56(x 2-18x+8)3。

☂20：求y=28x 44+x 2的二阶导数。

解：法一：y=28x 44+x 2 ，使用商求导法则： y'=28(44+x 2)-28x*2x 44+x 2
, =28(44-x 2)44+x 2
; y"=28[(-2x)(44+x 2)-(44-x 2)*2x](44+x 2)2
, =-56x(44+x 2)-(44-x 2)x (44+x 2)2
, =-112x 3
(44+x 2)2 。

法二：乘积法，此时y(44+x 2)=28x,两边求导有：
y'(44+x 2)+2xy=28,再次求导有：
y"(44+x 2)+2xy'+2y+2xy'=0,
y"=-2(2xy'+y)(44+x 2)
,再将y 和y'代入化简，
y"=-112x 3
(44+x 2)2 。

☂21：计算y=sin11x x+5
的二阶导数。

解：y=sin 11x x+5
， y'=11cos 11x(x+5)-sin 11x (x+5)2 =A B ; y"=A'B-AB'B 2
,其中： A'=-112sin 11x(x+5)+11cos 11x-11cos 11x=-112sin 11x(x+5), B'=2(x+5),
y"=-112sin 11x(x+5)(x+5)2-2[11cos 11x(x+5)-sin 11x](x+5)(x+5)4
, =-112sin 11x*(x+5)2-2[11cos 11x(x+5)-sin 11x](x+5)3 ☂22：求y=18x+x x 2-5
的二阶导数。

解：y=18x+x x 2-5
， y'=18+x 2-5-2x 2
x 2-5
, =18-5+x 2
x 2-5
; y"=-2x(x 2-5)-2x(x 2+5)(x 2-5)2
, =4x*5
(x 2-5)2 。

☂23：y=sin 7
x 求二阶导数。

解：y=sin 7x ，求复合函数求导法则有：
y'=7sin 6x*cosx;
y"=7(6sin 5xcos 2x-sin 6xsinx),
=7sin 5x(6cos 2x-sin 2x)。

☂24：求函数y=cos3xtan9x 的二阶导数。

解：y=cos3xtan9x ，求函数乘积求导法则有：
y'=-3sin 3xtan 9x+9cos 3xsec 29x;
y"=-3(3cos 3xtan 9x+9sin 3xsec 29x)+
9(-3sin 3xsec 29x+18cos 3xsec 29xtan 9x),
=-32cos 3xtan 9x-54sin 3xsec 29x+162cos 3xsec 29xtan 9x 。

☂25：求函数y=cos(6x+14)x
的二阶导数。

解：y=cos(6x+14)x
，求函数商求导法则有： y'=-6sin(6x+14)x-cos(6x+14)x 2
; =-6sin(6x+14)x+cos(6x+14)x 2=-A B
; y"=-A'B-AB'B 2
,其中： A'=62cos(6x+14)x+6sin(6x+14)-6sin(6x+14)
=62cos(6x+14)x,
B'=2x,代入上述二阶导数，有：
y"=-62cos(6x+14)x*x 2-2x[6sin(6x+14)x+cos(6x+14)]x 4, =-62cos(6x+14)x 2-2[6sin(6x+14)x+cos(6x+14)]x 3。

☂26：求z=sin(x 3
+12y)的二阶偏导数。

解：z=sin(x 3+12y)，由全微分求导有：
dz=cos(x 3+12y)(3x 2dx+12dy),
∂z ∂x =3x 2cos(x 3+12y),∂z ∂y
=12cos(x 3+12y); 继续求二阶偏导数有：
∂2z ∂x 2=3[2xcos(x 3+12y)-3x 2sin(x 3+12y)x 2
], =3x[2cos(x 3+12y)-3x 3sin(x 3+12y)];
∂2z ∂y 2
=-122sin(x 3+12y); ∂2z ∂x ∂y =∂2z ∂y ∂x =-3x 2sin(x 3+12y)*12=-36x 2sin(x 3+12y)。

☂27：求z=sin 4
(9x+43y)的二阶偏导数。

解：z=sin 4(9x+43y),由偏导数求导原则有：
∂z ∂x
=36sin 3(9x+43y)cos(9x+43y), ∂z ∂y
=172sin 3(9x+43y)cos(9x+43y); 再对x ，y 求二阶偏导数有：
∂2z ∂x 2=4*92sin 2(9x+43y)[3cos 2(9x+43y)-sin 2
(9x+43y)],
∂2z ∂y 2=172*43sin 2(9x+43y)[3cos 2(9x+43y)-sin 2
(9x+43y)]; ∂2z ∂x ∂y =∂2z ∂y ∂x
=36*43sin 2(9x+43y)[3cos 2(9x+43y)-sin 2(9x+43y)]。

☂28：求函数z=sin 10x
-x 2y 2+e 6的二阶偏导数。

解：z=sin 10x
-x 2y 7+e 6，由全微分求导公式有： dz=-10cos 10x *1x 2dx-2xy 7dx-7x 2y 6dy, 即：∂z ∂x =-10cos 10x *1x 2-2xy 7， ∂z ∂y
=-7x 2y 6，进一步求二阶偏导数为： ∂2z ∂x 2=-102sin 10x *1x 4+20cos 10x *1x 3-2y 7， ∂2z ∂y 2=-42x 2y 5
， ∂2z ∂x ∂y =∂2z ∂y ∂x
=-14xy 6。