【精品】2016-2017学年黑龙江省牡丹江一中高一(下)3月月考数学试卷

2016-2017学年黑龙江省牡丹江一中高一（下）3月月考数学试
卷
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）数列1，﹣4，9，﹣16，25…的一个通项公式为（）
A．a n=n2B．a n=（﹣1）n n2C．a n=（﹣1）n+1n2D．a n=（﹣1）n（n+1）2 2．（5分）在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知a2+b2=c2+ab，则C=（）
A．B．C．或D．或
3．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，a3=，S3=，则公比q=（）A．B．C．1或﹣ D．1或
4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列判断中正确的是（）
A．a=30，b=25，A=150°有一解B．a=9，c=10，B=60°无解
C．a=6，b=9，A=45°有两解 D．a=7，b=14，A=30°有两解
5．（5分）已知数列{a n}的前项和为a n+2=a n+1﹣a n，且a1=2，a2=3，S n为数列{a n}的前n项和，则S2017的值为（）
A．0 B．2 C．5 D．6
6．（5分）在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，若，则△ABC的形状是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
7．（5分）已知数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，﹣1，b1，b2，b3﹣4成等比数列，则的值是（）
A．B．C．或D．
8．（5分）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．
9．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）
A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣2
10．（5分）某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A处北偏东30°方向上，则缉私艇B与船C的距离是（）
A．5（）km B．5（）km C．10（）km D．10（）km
11．（5分）若等差数列{a n}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，n的值等于（）
A．4 B．5 C．6 D．7
12．（5分）已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）都在二次函数y=f（x）的图象上（如图）．已知函数y=f（x）的图象的对称轴方程是x=．若点（n，a n）在函数y=g（x）的图象上，则函数y=g（x）的图象可能是（）
A． B．C．
D．
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知数列{a n}满足a=a+4，且a1=1，a n＞0，则a n=．14．（5分）在△ABC中，∠A=，AB=4，△ABC的面积为，则△ABC的外接圆的半径为．
15．（5分）已知数列{a n}的前n项之和为S n=n2+n+1，则数列{a n}的通项公式为．
16．（5分）△ABC中，∠A=π，AB=2，BC=，D在BC边上，AD=BD，则AD=．
三、解答题（共2小题，满分20分）
17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S11=66．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足b n=2an，求数列{b n}的前n项和T n．
18．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinB= bcosC，a2﹣c2=2b2
（Ⅰ）求C的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为21，求b的值．
2016-2017学年黑龙江省牡丹江一中高一（下）3月月考
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）数列1，﹣4，9，﹣16，25…的一个通项公式为（）
A．a n=n2B．a n=（﹣1）n n2C．a n=（﹣1）n+1n2D．a n=（﹣1）n（n+1）2【分析】观察分析可得通项公式．
【解答】解：经观察分析数列的一个通项公式为：a n=（﹣1）n+1n2
故选：C．
【点评】本题考查数列的通项公式的写法，属于基础题．
2．（5分）在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知a2+b2=c2+ab，则C=（）
A．B．C．或D．或
【分析】利用余弦定理表示出cosC，把已知的等式代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．
【解答】解：∵a2+b2=c2+ab，
∴根据余弦定理得：cosC==，
又∵C为三角形的内角，
则∠C=．
故选：A．
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入的思想，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．
3．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，a3=，S3=，则公比q=（）A．B．C．1或﹣ D．1或
【分析】根据题意和等比数列的通项公式列出方程组，化简方程组并求出q的值．【解答】解：因为a3=，S3=，所以，
两式相比得2q2﹣q﹣1=0，解得q=1或，
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，以及方程思想的应用，属于基础题．
4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列判断中正确的是（）
A．a=30，b=25，A=150°有一解B．a=9，c=10，B=60°无解
C．a=6，b=9，A=45°有两解 D．a=7，b=14，A=30°有两解
【分析】根据题意，依次分析选项：A、根据正弦定理即可求得B的度数，根据A为钝角，判断此选项正确与否；B、根据余弦定理即可求出B的值，利用三角形的两边之和大于第三边，判断此选项正确与否；C、根据正弦定理，以及正弦函数值小于等于1，即可判断此选项正确与否；D、根据正弦定理及特殊角的三角函数值，即可判断此选项正确与否．
【解答】解：A、根据正弦定理得：=，解得sinB=，因为A=150°，所以B只能为锐角，所以此选项正确；
B、根据余弦定理得：b2=81+100﹣180cos60°=91，解得b=，能构成三角形，所以此选项错误；
C、根据正弦定理得：=，解得sinB=＞1，此三角形无解，此选项错误；
D、根据正弦定理得：=，解得sinB=1，B为直角，所以此三角形只有一解，此选项错误．
故选：A．
【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，掌握构成三角形的条件是三角形的两边之和大于第三边以及两边之差小于第三边，以及掌握正弦函数的值域范围是[﹣1，1]，是一道中档题．
5．（5分）已知数列{a n}的前项和为a n+2=a n+1﹣a n，且a1=2，a2=3，S n为数列{a n}的前n项和，则S2017的值为（）
A．0 B．2 C．5 D．6
【分析】a n+2=a n+1﹣a n，且a1=2，a2=3，可得a n+6=a n．即可得出．
【解答】解：∵a n+2=a n+1﹣a n，且a1=2，a2=3，
∴a3=3﹣2=1，a4=﹣2，a5=﹣3，a6=﹣1，a7=2，a8=3，…．
∴a n+6=a n．
则S2017=（a1+a2+…+a6）×336+a1=0+2=2．
故选：B．
【点评】本题考查了数列的周期性、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（5分）在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，若，则△ABC的形状是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【分析】利用正弦定理以及条件可得sinB=cosB，sinC=cosC，B=C=，A=，从而得到△ABC的形状是等腰直角三角形．
【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可得，再由
可得sinB=cosB，sinC=cosC，
∴B=C=，A=，故△ABC的形状是等腰直角三角形，
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，判断三角形的形状的方法，属于中档题．
7．（5分）已知数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，﹣1，b1，b2，b3﹣4成等比
数列，则的值是（）
A．B．C．或D．
【分析】由等差数列的通项公式可得﹣4=﹣1+3d，求得公差d=a2﹣a1的值，由等比数列的通项公式可得﹣4=﹣1q4，求得q2的值，即得b2的值，从而求得
的值．
【解答】解：∵数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，由﹣4=﹣1+3d，求得公差d=a2﹣a1==﹣1．
∵﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，由﹣4=﹣1q4，求得q2=2，∴b2=﹣1q2=﹣2．
则==，
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，等比数列的定义和性质，
等比数列的通项公式，求出公差d=a2﹣a1及b2的值，是解题的关键．
8．（5分）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．
【分析】利用等差数列的前n项和公式求解．
【解答】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m
则由题意知，
解得d=．
故选：D．
【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意
等差数列的通项公式的求解．
9．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）
A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣2
【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．
【解答】解：依题意可得2×（）=a1+2a2，
即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，
求得q=1±，
∵各项都是正数
∴q＞0，q=1+
∴==3+2
故选：C．
【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解．
10．（5分）某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A处北偏东30°方向上，则缉私艇B与船C的距离是（）
A．5（）km B．5（）km C．10（）km D．10（）km
【分析】由题意可得AB=20，∠BAC=30°，∠ABC=75°，由三角形内角和定理可得∠ACB=75°，由正弦定理，求出BC的值．
【解答】解：如图，由题意可得AB=20，∠BAC=30°，∠ABC=75°
所以，∠ACB=75°，由正弦定理：，
即BC==10（﹣）km，
故缉私艇B与船C的距离为10（﹣）km．
故选：D．
【点评】本题考查三角形内角和定理，正弦定理的应用，求出AB=20，∠BAC=30°，∠ABC=75°，是解题的关键．
11．（5分）若等差数列{a n}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，n的值等于（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】由题意可得，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得a1，结合已知公差，代入等差数列的通项可求，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时n的值．
【解答】解：由a5是a2与a6的等比中项，
可得a52=a2a6，
由等差数列{a n}的公差d为2，
即（a1+8）2=（a1+2）（a1+10），
解得a1=﹣11，
a n=a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，
由a1＜0，a2＜0，…，a6＜0，a7＞0，…
可得该数列的前n项和S n取最小值时，n=6．
故选：C．
【点评】等差数列与等比数列是高考考查的基本类型，本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，以及等差数列的单调性和前n 项和的最小值，属于中档题．
12．（5分）已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）都在二次函数y=f（x）的图象上（如图）．已知函数y=f（x）的图象的对称轴方程是x=．若点（n，a n）在函数y=g（x）的图象上，则函数y=g（x）的图象可能是（）
A． B．C．
D．
【分析】设公差不为零的等差数列{a n}的通项a n=an+b（a≠0）可得g（x）=ax+b，
S n ═n2+（b+）n，即f（x）=x2+（b+）x，结合图象可得a＜0，﹣=．化简可得a＜0，b=﹣2a＞0，且经过定点（2，0），由此可得直线g（x）=ax+b 在坐标系中的位置．
【解答】解：设公差不为零的等差数列{a n}的通项a n=an+b（a≠0），
则y=g（x）=ax+b，S n ==n2+（b+）n．
再由点（n，S n）都在二次函数y=f（x）的图象上可得f（x）=x2+（b+）x．
结合图象可得a＜0，﹣=．
化简可得a＜0，b=﹣2a＞0，
即直线g（x）=ax+b=ax﹣2a，它的斜率小于0，在y轴上的截距大于0，且经过定点（2，0），
故选：B．
【点评】本题主要考查等差数列与一次函数的关系，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于基中档题．
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知数列{a n}满足a=a+4，且a1=1，a n＞0，则a n=．【分析】根据条件构造等差数列，即可得到结论．
【解答】解：∵a=a+4，
∴a﹣a=4，
故数列{}是以a12=1为首项，公差d=4的等差数列，
则=1+4（n﹣1）=4n﹣3，
则a n=，
故答案为：
【点评】本题主要考查数列通项公式的应用，根据条件构造等差数列是解决本题
的关键．
14．（5分）在△ABC中，∠A=，AB=4，△ABC的面积为，则△ABC的外接圆的半径为．
【分析】由已知可得：=2，解得b．再利用余弦定理可得a，再利用正弦定理即可得出．
【解答】解：由已知可得：=2，解得b=2．
∴a2=22+42﹣2×2×4×=28．
∴a=2．
设△ABC的外接圆的半径为R，
则2R===，解得R=．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理、余弦定理，考查了推理能
力与计算能力，属于中档题．
15．（5分）已知数列{a n}的前n项之和为S n=n2+n+1，则数列{a n}的通项公式为．
【分析】利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”即可得出．
【解答】解：当n=1时，a1=S1=1+1+1=3，
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n+1﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]=2n，
则当n=1时，不满足上式，
∴数列{a n}的通项公式，
故答案为：．
【点评】本题考查数列的前n项和公式与通项公式的关系，熟练掌握“当n=1时，
a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”是解题的关键．
16．（5分）△ABC中，∠A=π，AB=2，BC=，D在BC边上，AD=BD，则AD=．
【分析】在△ABC中，根据条件的正弦定理求出角B、C，由边角关系和内角和定理求出∠BAD、∠ADB，在△ABD中，由正弦定理和特殊角的三角函数值求出AD．
【解答】解：如图所示：∵在△ABC中，∠A=π，AB=2，BC=，
∴由正弦定理得，
则sin∠C==，
∵∠A是钝角，且0＜∠C＜π，∴∠C=，
则∠B=π﹣∠A﹣∠C==，
∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=，则∠ADB=π﹣∠B﹣∠BAD=，
在△ABD中，由正弦定理得，
∴AD====，
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，内角和定理，注意边角关系，
考查化简、计算能力．
三、解答题（共2小题，满分20分）
17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S11=66．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足b n=2an，求数列{b n}的前n项和T n．
【分析】（1）设公差为d，由等差数列的求和公式，可得d=1，再由等差数列的通项公式，即可得到所求通项；
（2）求得b n=2an=2n，由等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．
【解答】解：（1）由a1=1，S11=66，
设公差为d，
可得11a1+d=66，
解得d=1．
则a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n；
（2）由（1），得b n=2an=2n，
即有数列{b n}的前n项和T n=2+22+23+ (2)
==2n+1﹣2．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想，及运算化简能力，属于基础题．
18．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinB= bcosC，a2﹣c2=2b2
（Ⅰ）求C的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为21，求b的值．
【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，sinCsinB=sinBcosC，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanC=，即可得解C的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用余弦定理可求a2+b2﹣c2=ab，又a2﹣c2=2b2，可得a=3b，利用三角形面积公式即可解得b的值．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵由已知及正弦定理可得，sinCsinB=sinBcosC，
∵sinB≠0，
∴tanC=，
∴C=．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，cosC==，
∴a2+b2﹣c2=ab，
又∵a2﹣c2=2b2，
∴a=3b，
∴由题意可知，S△ABC=absinC=b2=21，
∴b2=28，可得：b=2．…（12分）
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．。