专题2 万能k法(解析版)-高考数学二轮复习

第2讲 万能k 法
知识与方法
在题目给定关于,x y 的一个二次式,要求另一个代数式的值,可以直接令此式子等于k ,然后用y 表示x ,代人原式,得到一个关于x 的一元二次方程,利用判别式大于等于零,得到一个不等式,解出k 的范围即可,此方法称之为万能k 法.
典型例题
【例1】若实数,x y 满足22
1x y xy ++=,则x y +的最大值是 .
【解析】
【解法1】(万能k 法):令x y k +=,则x k y =-,代入题于()22()1k y y k y y -++-=,整理2222
21k ky y y ky y -+++-=,
即2210,y ky k -+-=
()22Δ410k k =--,得243
k ,故233k 【解法2】2221,()1.x y xy x y xy ++=∴+=+
222,()122x y x y xy x y ++⎛⎫⎛⎫∴+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故可知x y +的最大值是3
.
【答案】3
. 【例2】若正实数,m n 满足23m n mn +=,则m n +的最小值为
【解析】
【解法1】正实数,m n 满足1223,3,m n mn n m
+=∴+=
()11212112321333m n m n m n n m n m ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝
当且仅当2m n n m
=,即m =时取等号,
则m n +的最小值为13+
. 【解法2】令0m n k +=>,则m k n =-带入原式()23k n n k n n -+=-, 整理得233k n kn n +=-,
从而()2
3130,n k n k +-+= 2Δ(13)430k k =--⋅,
解得2123k +或2123
k -(舍).
【答案】1【例3】设,x y 为实数,若2245x y xy ++=,则2x y +的最大值是 .
【解析】令2x y t +=,则2,y t x =-
()224(2)25x t x x t x ∴+-+-=,化为226350,x tx t -+-=
x 为实数,()22Δ9245
0t t ∴=--, 解得28t ,解得222,t -
2x y ∴+的最大值为.
【答案】.
【例4】已知实数,,a b c 满足0a b c ++=,则2221a b c ++=,则a 的最大值是
【解析】
【解法1】令a k =时,222
0,()1,k b c k c k c ++=+--+= 2222221,22210,k c ck k c c kc k ++++=++-= 66Δ0,33
k -. 【解法2】2222:,1b c a b c a +=-+=-
因为222
22b c b c ++⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以2
2122a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭,
解得63a ,所以a .
. 【例5】若存在正实数y ,使得154xy y x x y
=-+,则实数x 的最大值为 . 【解析】()
221,4510,54xy xy x y x y x x y =∴+-+=-+ 212121510,044x y y y y x
-∴⋅=>∴+=->, 25100x x ⎧-<∴⎨>⎩或25100x x ⎧->⎨<⎩
0x ∴<<
x <.① ()2222Δ51160,514x x x x =--∴-或2514x x --,解得115
x - ② 综上x 的最大值是1
5
. 【答案】1
5
. 强化训练
1. 设正实数,x y 满足4x y xy x y
-=+,则实数y 的取值范围是 【解析】正实数,x y 满足4x y xy x y -=+,化为()
22140,yx y x y +-+= 关于x 的方程有正实数根,Δ0∴.
又121440,y x x x y ==>∴与2x 同号,2
1210y x x y -∴+=>,解得01y <<.由Δ0, ()()()2222221160,41410.01,410y y y y y y y y y ∴--∴+---<<∴--<, 2410y y ∴+-,解得052y
<-. ∴实数
y 的取值范围是(2⎤⎦,
【答案】
(2⎤⎦.
2. 已知正数,x y 满足4443x y xy x y
-=+,那么y 的最大值为
【解析】正实数,x y 满足4443x y xy x y -=+,化为()22161240yx y x y +-+=,
关于x 的一元二次方程有正实数根,()22221240
16Δ124640y y y y ⎧-->⎪⎪∴⎨⎪=--⎪⎩,
又0y >,解得13y .那么y 的最大值为13.
【答案】1
3.
3.已知正实数,x y 满足24310x y x y
+++=,则xy 的取值范围是 . 【解析】设xy m =,则2424.310,310m m y x x y y y x y y m y =
+++=∴+++=, 整理得()222310m y my m +-++40,m =
,x y 是正实数,Δ0∴,即()()2210042340m m m m -++, 整理得()()3810m m m --,
解得813m
,或0m (舍去).
【答案】
8
13xy . 4． 实数,x y 满足224545x xy y -+=,设22S x y =+,则max min
11S S +=
【解析】
【解法1
】令t x =,
则t x -=222222222,2(22),t tx x x y t tx x x x ∴-+=+∴-+=+- ()2242840x t x t ∴+-+-=.
22,22x y y x +=∴=-.又0,0,01x y x >>∴<<. 关于x 的方程在()0,1上有解,
()222840,42840,01,2t t t t -∴->+-+-><-
<
8Δ0,,5t x ∴∴+的最小值为85.
22224545,5445x xy y xy x y -+==+-.
又()22222252,5445
2xy x y xy x y x y +∴=+-+. 设22510,45
,23S x y S S S =+-∴,即max 103S =.
2222552,544585,,1313x y xy xy x y xy xy xy +-∴=+---∴-
∴-, 22min max min 10101131382,,131310105S x y xy S S S ∴=+-∴=∴+=+=.
【解法2】令()()222222,5454,x y k x y k x xy y +=+=-+ ()()()22545540k x ky x k y -++-=
2222Δ254(54)0k y k y =--,即22254(54)0k k --,
解得
sin max
max min 1010101011313
.,,
1331331010 k S S
S S
==∴+=+8
5
=
【答案】8 5.。