【重点资料】2019高中数学 考点20 平面与平面之间的位置关系庖丁解题 新人教A版必修2

考点20 平面与平面之间的位置关系
平面与平面的位置关系
【例】给出的下列四个命题中，其中正确命题的个数是（）
①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行；④若两个平面有无数个公共点，则这两个平面的位置关系是相交或重合．
A．0 B．1
C．3 D．4
【答案】A
对于②，在正方体ABCD－A1B1C1D1的面AA1D1D中，与A1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故②是错误的．
对于③，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别取AA1，DD1，BB1，CC1的中点E，F，G，H，A1，B，C到平面EFHG的距离相等，而△A1BC与平面EFHG相交，故③是错误的．
【思路探索】根据平面平行、相交的定义，借助于模型长方体或正方体进行判断．两平面位置关系中不存在重合，若重合则为一个平面，故命题④错．
1．圆柱的两个底面的位置关系是（）
A．相交B．平行
C．平行或异面D．相交或异面
【答案】B
【解析】圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．
2．若两个平面内分别有一条直线，且这两条直线是异面直线，则这两个平面的公共点的个数是（）
A．有限个B．无限个
C．一个也没有D．一个也没有或无限个
【答案】D
【解析】借助正方体或长方体模型得知，这两个平面平行或相交．
【规律方法】判断两平面的位置关系或两平面内的线线，线面关系，我们常根据定义，借助实物模型“百宝箱”长方体（或正方体）进行判断．
（2）反证法也用于相关问题的证明．
3．若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是（）A．平行B．异面
C．相交 D．平行或异面
【答案】D
4．下列说法中，正确的是（）
①若一个平面内的任何直线都与另一个平面无公共点，则这两个平面平行；
②过平面外一点有且仅有一个平面和已知平面平行；
③过平面外两点不能作平面与已知平面平行；
④若一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的任何平面都与已知平面平行．
A．①③B．②④
C．①②D．②③④
【答案】C
【解析】①②正确；③中，两点所在直线与平面平行时可以；④中，经过这条直线的平面与已知平
面可能相交．
5．三个互不重合的平面把空间分成六个部分时，它们的交线有（）
A．1条B．2条
C．3条D．1或2条
【答案】D
6．如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l 不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．
【解析】平面ABC与β的交线与l相交．
证明：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交，设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l．
又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β．
∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，
∴直线PC就是平面ABC与β的交线．
即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，
∴平面ABC与β的交线与l相交．
【易错易混】用符号语言表示两个相交平面时，必须写出交线是什么，避免出现的错误写法．
1．两平面平行，，下列四个命题：①内的所有直线平行；②内无数条直线平行；
③直线内任何一条直线都不垂直；④无公共点，其中正确的个数是（）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】B
【解析】①中a不是与β内的所有直线平行，而是与无数条直线平行，有一些是异面；
②正确；③中直线内无数条直线垂直；④根据定义无公共点，正确．故选B．2．如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号)．
①不可能只有两条交线；②必相交于一点；
③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线．
【答案】①
【解析】空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点．
3．下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β．
其中错误命题的序号为________．
【答案】①②
4．试画图说明三个平面可把空间分成几个部分？
【解析】三个平面可把空间分成4（如图①）、6（如图②③）、7（如图④）或8（如图⑤）个部分．
书本中的面面关系
高尔基说过：“书是人类进步的阶梯．”这句话的确很有道理．书在人类的文明史上发挥了不可替代的重要作用．通过书面记载，语言、文字、图画能够较为完好地保存下来，并且可以大量印制，方便人类的阅读、学习，有利于人类知识的传承．。