9-1常数项级数的概念和性质

n→ ∞
3.按基本性质. 3.按基本性质. 按基本性质
练习题
填空题: 一、 填空题:
x x x x + + + L则a n = _______； _______； 1、 若级数为 2 2⋅4 2⋅4⋅6 a2 a3 a4 a5 ________ ______； + − + L则a n = ________； 2、 若级数为 − 3 5 7 9
第七章 无穷级数
第一节
常数项级数的概念
R
一、问题的提出
1. 计算圆的面积 正六边形的面积 a1 正十二边形的面积 a1 + a 2
n 正 3 × 2 形的面积 a1 + a 2 + L + a n
即 A≈ a1 +a2 +L an + 1 3 3 3 3 2. = + + +L + n +L 3 10 100 1000 10
二、级数的概念
级数的定义: 1. 级数的定义:
∑u
n=1
∞
一般项 (常数项 无穷级数 常数项)无穷级数 常数项
n
n
= u + u2 + u3 +L un +L + 1
级数的部分和 部分和数列
sn = u + u2 +L un = ∑ i u + 1
i=1
s1 = u , s2 = u + u2, s3 = u + u2 + u3,L , 1 1 1 sn = u + u2 +L un,L + 1
注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛
例如 (1 − 1) + (1 − 1) + L
1−1+1−1+L
收敛 发散
论 如 加 弧 所 的 数 散则 来 推 果 括 后 成 级 发 , 原 级 数 发 . 也 散
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件: 级数收敛的必要条件:
∞ ∞
∑u ,σ = ∑v
n=1 n n=1
n,
级 则 数 (un ± vn )收 ,其 为 ± σ. 敛 和 s
n=1
∑
∞
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性 3 若 数 u 收 ,则 质3 质 级 敛 n
n=1
∑
∞
n=k+1
收 ∑u 也 敛
n
∞
(k ≥ 1).且 逆 真 其 亦 .
1 1 1 + + L+ ∴ sn = 1⋅ 3 3 ⋅ 5 ( 2n − 1) ⋅ ( 2n + 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 ) = (1 − ) + ( − ) + L + ( − 2 3 2 3 5 2 2n − 1 2n + 1
1 1 ), = (1 − 2 2n + 1
1 1 1 )= , ∴ lim sn = lim (1 − n→ ∞ n→ ∞ 2 2n + 1 2
假设调和级数收敛 , 其和为 s .
于是 lim( s2 n − sn ) = s − s = 0,
n→ ∞
1 (n → ∞) 便有 0 ≥ 2
这是不可能的 .
∴ 级数发散 .
2项
2项
4项
8项
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 + ) + ( + ) + ( + + + ) + ( + + L + ) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 1 1 1 + L+ ( m + m + L + m +1 ) + L 2 +1 2 + 2 2
1 每 均 于 项 大 2
2m 项
1 即前 m + 1项大于( m + 1) ∴ 级数发散 . 2
由性质4推论,调和级数发散. 由性质4推论,调和级数发散.
五、小结
常数项级数的基本概念 基本审敛法
1.由定义,若 s n → s , 则级数收敛; 1.由定义, 则级数收敛; 由定义
2.当 则级数发散; 2.当 lim un ≠ 0,则级数发散;
3、 等比级数 ∑ aq n , 当 _____时收敛 ； 当 ____时发 _____ 时收敛； ____ 时发 时收敛
n=0
∞
散 .
二、由定义判别级数 1 1 1 1 + + +L+ +L 的 收 敛 1⋅ 3 3⋅ 5 5⋅ 7 ( 2n − 1)( 2n + 1) 性. 判别下列级数的收敛性: 三、判别下列级数的收敛性: 1 1 1 1 + L； 1、 + + + L + 3 6 9 3n 1 1 1 1 1 1 1 1 ( + ) + ( 2 + 2 ) + ( 3 + 3 ) + L + ( n + n ) + L； 2、 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 +L+ n + +L . 3、 + + + 2 10 4 20 10n 2
练习题答案
x a n+1 一、1 、 ； 2、 ( −1) n −1 2、 ； 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ L ⋅ ( 2n ) 2n + 1 3、 q < 1, q ≥ 1 . 收敛. 发散； 收敛； 二、收敛. 三、1、发散； 2、收敛； n 1 1 ) ]. 发散、 3、发散、[ s2 n = ∑ ( k + 10k k =1 2
证明
uk +1 + uk + 2 + L + uk + n + L σ n = uk +1 + uk + 2 + L + uk + n = s n + k − sk ,
则 lim σ n = lim sn+ k − lim sk = s − sk . n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞
类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性. 影响级数的敛散性
n 2
1 ∴ 级数收敛 , 和为 . 2
三、基本性质 ∞
性质 1 如果级数
n=1
收敛, 亦收敛. ∑u 收敛,则∑ku (k ≠ 0)亦收敛.
n
n=1 n
∞
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 敛散性不变.
质2 两 敛 数 性 2 设 收 级 s= 质
∴ lim s n不存在
n→ ∞
发散
当 时 敛 q <1 ,收 aq 综上 ∑ 当 时 散 n=0 q ≥1 , 发
∞ n
例2 判 无 级 别 穷 数
1 1 1 + +L + +L 的 敛 . 收 性 1⋅ 3 3⋅ 5 (2n−1)⋅ (2n+1)
1 1 1 1 ), = ( − 解 Q un = ( 2n − 1)( 2n + 1) 2 2n − 1 2n + 1
( lim rn = 0)
n→ ∞
例1 讨 等 级 (几 级 ) 论 比 数 何 数
aqn = a + aq + aq2 +L aqn +L (a ≠ 0) + ∑
n=0
∞
收 性 的 敛 .
解
如 |q|≠1 果 时
sn = a + aq + aq 2 + L + aq n−1
a − aq a aq n = , = − 1− q 1− q 1− q
当n无限增大时 , 它的一般项 un 趋于零, 即
级 收 ⇒limu = 0. 数 敛 n
证明
Q s = ∑ un
n =1 ∞
n→ ∞
则 un = sn − sn−1 ,
∴ lim un = lim sn − lim sn−1 = s − s = 0. n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 如果级数的一般项不趋于零
质4 性 4 收 级 加 弧 所 的 数 然 敛 质 敛 数 括 后 成 级 仍 收 于 来 和 原 的 .
证明
( u1 + u2 ) + ( u3 + u4 + u5 ) + L σ 1 = s2 , σ 2 = s5 , σ 3 = s9 , L , σ m = sn , L
则 lim σ m = lim sn = s . m→∞ n→ ∞
1 2 3 n n −1 例如 − + − L + ( −1) + L 发散 2 3 4 n+1
2.必要条件不充分. 2.必要条件不充分. 必要条件不充分
1 1 1 例如调和级数 1 + + + L + + L 2 3 n
lim n 有 u = 0, 但 数 否 敛 级 是 收 ?
n→ ∞
讨论
1 1 1 n 1 > = , Q s2 n − sn = + +L+ n+1 n+ 2 2n 2n 2
级数的收敛与发散: 2. 级数的收敛与发散: