【数学】湖南省衡阳八中2014-2015学年高一下学期期中考试

衡阳市八中2015年上学期期中考试
高一数学
命题人：孙艳红、 仇武君 审题人：赵永益
考生注意：本试卷共21道小题，满分100分，时量120分钟，请将答案写在答题卷上。

一.选择题：本大题共10题，每小3分，共30分。

在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在．．．．．．．．．．．第．II ．．卷的选择题答案表中．．．．．．．．．。

1.0
cos 210=( D )
A.12
B.32 C ．－12 D ．－32 2．下列命题正确的是( C )
A ．单位向量都相等
B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线
C ．若a b a b +=-，则0a b ∙=
D ．若a 与b 都是单位向量，则1a b ∙=
3．在下列四个函数中，在区间），（2
0π
上为增函数，且以π为最小正周期的偶函数是（ B ） A ．y=tanx B ．y=|sinx| C ．y=sin2x D ．y=cos2x 4．在中，已知是中点，设，则（ A ） A.
B. C. D. 5．如图，在等腰ABC △中，AB=AC=1，120A ∠=，则向量BA 在向量上的投影等于( B )
A
．
B. C ． 12- D ． 12
6．已知31
)2sin(
=
+a π
，则a 2cos 的值为( D )
A ．31
B ．31-
C ．97
D ．9
7-
7.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左
平移
个单位，所得图象的一条对称轴方程为 （ C ）
A ．3
x π
=
B ．32x π=
C ．
D ．43
x π
=
ABC ∆M BC ,CB a CA b ==AM =12a b -12a b +12a b
-12
a b +)3
cos(π
-=x y 6
π
2π=x
8．已知2tan()5αβ+=
, 1tan()44πβ-=, 则tan()4
π
α+的值为 ( A ) A ．322 B ．2213 C ．13
18
D ．16
9．若函数()2sin(
)63
f x x ππ
=+ (210)x -<<的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l
与函数的图象交于B 、C 两点，则()OB OC OA +∙=（ D ）
A ．－32 B.－16 C. 16 D. 32 10.函数()sin()(0,0)11f x A x A x x ωϕω=+>>==-在和处分别取得最大值和最小值， 且对于任意12121212
()()
,[1,1],,0f x f x x x x x x x -∈-≠>-都有
，则( A )
A ．函数(1)y f x =+一定是周期为4的偶函数
B ．函数(1)y f x =+一定是周期为2的奇函数
C ．函数(1)y f x =+一定是周期为4的奇函数
D ．函数(1)y f x =+一定是周期为2的偶函数
二.填空题：（本大题共有5小题，每小题3分，满分15分）。

（请将答案填在第．．．．．II ．．卷指定的．．．．横线上。

）．．．．．
11.已知扇形的半径为R ，周长为3R ，则扇形的圆心角等于______1______．
12．设,a b 是两个不共线的向量，已知2,3AB a mb CB a b =+=+，若 A 、B 、C 三点共线，则m 的 值为： 6
13．已知函数()sin()(0,0)2
f x x π
ωϕωϕ=+><≤
的部分图象如图所示，则ϕ的值为
3
π
14．已知()2sin()3
h x x π
=+
（0x 2
π
≤≤
），则使得关于方程()0h x t -=在[0,
]2
π
内恒有
两个不相等实数解的实数t 的取值范围为： [） 15.若1sin sin 3x y +=
,则2
t sin cos x y =-的最大值为 49
；
三．解答题：本大题共6小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （本题满分8分） (1)已知4
cos 5
α=-
，且α为第三象限角，求sin α的值 (2)已知3tan =α，计算
α
αα
αs i n 3c o s 5c o s 2s i n 4+- 的值
16.（1
）3
sin 5
α===-…………4分 （2）显然cos 0α≠
∴ 4s i n 2c o s
4s i n 2c o s 4t a n 24325c o s 5c o s 3s i n 5c o s 3s i n 53t a n 5337
c o s αααααααααααα
---⨯-====++++⨯…………8分
17. （本题满分9分）已知：向量()()m b a ,2,3,1-=-=，且()
b a a -⊥。

（1）求实数m 的值； （2）求向量a b 与的夹角θ；
（3）当k +与-平行时，求实数k 的值。

17. 解：（1）()m --=-3,3，由()-⊥得()
=-⋅0
即()0333=---m ，故4-=m ；…………3分
[](2)cos ,2
,0,.?64
a b a b a b π
π=
=
∈⋯⋯⋯⋯而，，所以的夹角为分
（2）由b a k +()43,2---=k k ，()1,3=-
当k -+与平行时，()()04332=----k k ，
从而1
-=k 。

…………9分
18．（本题满分9分）已知函数2
1
()sin cos 2
f x x x x =+-. (1) 求()f x 的最小正周期. (2) 求()f x 的单调递增区间
18．解：（1
）2
11cos 21
()sin cos 22222
x f x x x x x -=-
=+-
. 12cos 2sin(2)26
x x x π
=
-=- 最小正周期. …………4分 所以最小正周期为.
（2）2222
6
2
6
3
k x k k x k π
π
π
π
π
ππππ-
+≤-
≤
++≤≤
+∈由得-
，k Z
()f x 的单调递增区间为：,
].6
3
k k π
π
ππ++∈[-
k Z …………9分
19．（本题满分9分）（1）求 000
000
sin 27cos 45sin18cos 27sin 45sin18
+- 的值 （2）已知,(0,)αβπ∈，且11
tan(),tan 27
βαα-=
=-，求2βα-的值 解：（1）0000000
000000
sin(4518)cos 45sin18sin 45cos18tan 451cos(4518)sin 45sin18cos 45cos18
-+===--原式=
…………4分
（2）tan()tan 1
tan tan[()]11tan()tan 3
βααββααβαα-+=-+=
=<--⋅
(0,),0,024
2
π
π
βπββ∈∴<<
<<
又1tan 0,(0,),72
π
ααπαπ=-
<∈∴<< ,202
π
παπβα∴-<-<-
∴-<-<
又11
tan()tan 23tan(2)tan[()]111
1tan()tan 123
βαββαβαββαβ+
-+-=-+==
=--⋅-⨯ ππ
==
2
2T ),6
2sin()(π
-
=x x f π
324
π
βα∴-=-
…………9分 20.（本题满分10分）在ABC ∆中，0=∙，12,15,AB BC ==l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交与点D ，E 为l 上异于D 的任意一点， （1）求∙的值。

（2）判断CB AE ∙的值是否为一个常数，并说明理由。

解法1：（1）因为0,AB AC,AB AC ∙=⊥故又12,15,AB BC ==可知9.AC =
由已知可得()
+=
2
1
，AC AB CB -=， ∴)()(2
1
AC AB AC AB CB AD -∙+=
∙ =
()
221163
(14481).222
AB AC -=-= …………5分 （2）∙的值为一个常数
L 为L 为线段BC 的垂直平分线，L 与BC 交与点D ，E 为L 上异于D 的任意一点，
∴0=∙CB DE
故 ∙+∙=∙+=∙)(=63
2
AD CB ∙=
……10分
解法2：（1）以D 点为原点，BC 所在直线为X 轴，L 所在直线为Y 轴建立直角坐标系，可求A （
2136,105），此时2136
(,)105
AD =--，(15,0),CB =-
()213663
15()0.1052AD CB ∙=-
⨯-+-⨯= ……5分
（2）设E 点坐标为（0，y ）(y ≠0),此时2136
(,),105
AE y =-
- 此时 ()213663
15()0.1052
AE CB y ∙=-
⨯-+-⨯= 为常数。

……10分 21. （本题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点11()A x y ，在单位圆O 上，
xOA α∠=，且 62ππα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，.
（1）若11
cos()3
13
π
α+
=-
，求1x 的值； （2）若22()B x y ，也是单位圆O 上的点，且3
AOB π
∠=
. 过点A B 、分别做x 轴的垂线，
垂足为C D 、，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S .设()12f
S S α=+，求函数
()f α的最大值.
21．解：（1）由三角函数的定义有1cos x α=，
∵ 11cos()()3
1362
π
ππ
αα+=-
∈，，，
∴ sin()3
π
α+
=
， ∴ 1cos cos ()33x ππαα⎡
⎤==+-⎢⎥
⎣
⎦ cos()cos sin()sin
3333ππππ
αα=+++
1111
13226
=-
⋅=
. ………4分 （2）由1sin y α=，得111111
cos sin sin 2224
S x y ααα=
==． 由定义得2cos()3x πα=+
，2sin()3
y π
α=+，
又5()()62326πππππ
αα∈+∈由，，得，，于是，
22211cos()sin()
2233S x y ππ
αα=-=-++
12sin(2)
43πα=-+
∴ 12112()sin 2sin(2)443
f S S π
ααα=+=-+
=1
122sin 2(sin 2cos
cos 2sin )4433
ππααα-+
=3sin 228αα
12cos 2)2αα-
)6πα-，
5()2()62666
πππππ
αα∈-∈由，，可得，，
262
ππ
α-=于是当
，即max ()3f παα==
时， ……10分。