最新初中数学向量的线性运算真题汇编含答案(1)

最新初中数学向量的线性运算真题汇编含答案(1)
一、选择题
1．若2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，a r 与r b 是（ ）
A ．a r 与r b 是相等向量
B ．a r 与r b 是平行向量
C ．a r 与r b 方向相同，长度不等
D ．a r 与r b 方向相反，长度相等
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2
c =-r r
，由此确定a r 与b r 位置和数量关系．
【详解】
解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2
c =-r r ，
所以a r 与b r 方向相反，且|a r
|＝5|b r |．
观察选项，只有选项B 符合题意． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握．
2．下列判断正确的是( ) A ．0a a -=r r
B ．如果a b =r r ，那么a b =r r
C ．若向量a r 与b 均为单位向量，那么a b =r r
D ．对于非零向量b r
，如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么//a b r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】
A. -r r
a a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误；
B. 如果a b =r r
，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误；
C. 若向量a r 与b 均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错
误；
D. 对于非零向量b r
，如果()0a k b k =⋅≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r
，故D 正确.
【点睛】
本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.
3．已知1,3a b ==r r ，而且b r 和a r
的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A ．3a b =r r
B ．3a b =-r r
C ．3b a =r r
D ．3b a =-r r . 【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质即可解决问题． 【详解】
∵1,3a b ==v v
，而且b v 和a v 的方向相反 ∴3b a v v =-.
故选D ． 【点睛】
本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
4．已知3a →
=，2b =r ，而且b r 和a r
的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A ．32a b →→
= B ．23a b →→
=
C ．32a b →→
=-
D ．23a b →→
=-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据
3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】
∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v
的方向相反
∴32
a b =-v v
故选D. 【点睛】
本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.
5．已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b r r 的是( )
A ．2a b =r r
B ．//a c r r ，//b c r r
C ．||||a b =r r
D ．12
a c =r r ，2
b
c =r r
【答案】C
【分析】
由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】
A 选项：由2a b =r r ，可以推出//a b r r
．本选项不符合题意；
B 选项：由//a c r r ，//b c r r ，可以推出//a b r r
．本选项不符合题意；
C 选项：由||||a b =r r ，不可以推出//a b r
r ．本选项符合题意；
D 选项：由12
a c =r r ，2
b
c =r r ，可以推出//a b r r ．本选项不符合题意； 故选：C ． 【点睛】
考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．
6．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若BC a =u u u r
r
，DC b =u u u r r
，则（ ）
A ．()
12BO a b =+u u u r r r ； B ．()
1
2BO a b =-u u u r r r ；
C ．()
12BO b a =-+u u u r r r ； D ．(
)
12
BO b a =
-u u u r r r ．
【答案】D 【解析】
1,.2
1(b-a)2
BCD BO BD BD DC CB CB BC
BO D
∆==+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r r r
在中，所以故选
7．点C 在线段AB 上，且35
AC AB =u u u r u u u r ，若AC mBC =u u u r u u u r
，则m 的值等于（ ）．
A ．
23
B ．
32
C ．23
-
D ．32
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据已知条件即可得：25AC AB CB AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得出：52
AB BC =-u u u r u u u
r ，再代入
35AC AB =u u u r u u u r
中，即可求出m 的值.
【详解】
解：∵点C 在线段AB 上，且35
AC AB =u u u r u u u r
∴
2
5
AC AB CB AB=
=-
u u u r u u u r u u u r u u u r
∴
55
22
CB
AB BC
==-
u u u r u u u r u u u r
∴
5
53
22
33
5
BC B
C A C
A B⎛⎫
=-
⎝
==-
⎪
⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r
故选D.
【点睛】
此题考查的是向量的运算，掌握共线向量的加法、减法和数乘法则是解决此题的关键. 8．下列结论正确的是（）．
A．2004cm长的有向线段不可以表示单位向量
B．若AB
u u u r
是单位向量，则BA
u u u r
不是单位向量
C．若O是直线l上一点，单位长度已选定，则l上只有两点A、B，使得OA
u u u r
、OB
uuu r
是单位向量
D．计算向量的模与单位长度无关
【答案】C
【解析】
【分析】
根据单位向量的定义及意义判断即可.
【详解】
A.1个单位长度取作2004cm时，2004cm长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A不正确；
B. AB
u u u r
是单位向量时，1
AB=
uu u r
，而此时1
AB BA
==
u u u r u u u r
，即BA
u u u r
也是单位向量，故选项B 不正确；
C.单位长度选定以后，在l上点O的两侧各取一点A、B，使得OA
u u u r
、OB
u u u r
都等于这个单位长度，这时OA
u u u r
、OB
uuu r
都是单位向量，故选项C正确；
D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D不正确.
故选C.
【点睛】
本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.
9．如图，已知向量a
r
，b
r
，c
r
,那么下列结论正确的是（）
A ．a b c +=r
r
r
B ．b c a +=r
r r
C ．a c b +=r
r r
D ．a c b +=-r r r
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r
， 即a c b +=-r r r 故选D ．
10．下列命题正确的是（ ）
A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b r
B ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b r
C ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b r
D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r
＝0
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】
解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r
表示长度相等，方向相同，所以A 选项不正确；
B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确；
C . a r ＝k b r （k ≠0）⇔a r ∥b r
，所以C 选项正确；
D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r
，不正确．
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.
11．已知a r
、b r
、c r
都是非零向量，下列条件中，不能判断//a b r
r
的是（ ）
A ．a b =r r
B ．3a b =r
r
C ．//a c r r
，//b c r r
D ．2,2a c b c ==-r
r
r r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案． 【详解】
解：A 、||||a b =r r
只能说明a r 与b r 的模相等，不能判定a r ∥b r ，故本选项符合题意;
B 、3a b =r r 说明a r 与b r 的方向相同，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意;
C 、a r ∥c r ，b r ∥c r ，能判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意;
D 、2a c =r r ，2b c =-r r 说明a r 与b r 的方向相反，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意．
故选：A ． 【点睛】
此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．
12．下列说法正确的是（ ） A ．()0a a +-=r r
B ．如果a r 和b r 都是单位向量，那么a b =r r
C ．如果||||a b =r r ，那么a b =r r
D ．12
a b =-r r （b r
为非零向量），那么
//a b r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案. 【详解】
解：A 、()a a +-r r
等于0向量，而不是0，故A 选项错误；
B 、如果a r 和b r
都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误；
C 、如果||||a b =r r
，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；
D 、如果12
a b =-r r （b r
为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D
选项正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注
意向量的加减结果都是一个向量.
13．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ）
A ．A
B BA =-u u u r u u u r B ．AB BA =uu u r uu r
C ．AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r
D ．AB BC AB BC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的性质，逐一判定即可得解. 【详解】
A 选项，A
B BA =-u u u r u u u r
，成立；
B 选项，AB BA =uu u r uu r
，成立；
C 选项，AB BC AC +=u u r u u r u u u r
，成立；
D 选项，AB BC AB BC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r
不一定成立；
故答案为D. 【点睛】
此题主要考查向量的运算,熟练掌握,即可解题.
14．已知c r 为非零向量， 3a c =r r ， 2b c =-r r
，那么下列结论中错误的是（ ）
A ．//a b r r
B ．3||||2
a b =r r
C ．a r 与b r
方向相同 D ．a r 与b r
方向相反
【答案】C 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】
∵ 3a c =r r ， 2b c =-r r
∴
3a b 2
=-r r ， ∴a r ∥b r ，32
a b =-r r
a r 与
b r
方向相反，
∴A ，B ，D 正确，C 错误； 故选：C ． 【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．如图，向量OA u u u r 与OB uuu r 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n r =OA u u u r +OB uuu r ，则||n v
=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
【答案】B 【解析】
根据向量的运算法则可得: n v =(
)
22
2OA OB +=u u u v u u u v ,故选B.
16．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r
，下列式子中正确的是（ ）
A ．DC a b =+u u u r r r
B ．D
C a b =-u u u r r r ；
C ．DC a b =-+u u u r r r
D ．DC a b =--u u u r r r ．
【答案】C 【解析】 【分析】
由平行四边形性质，得DC AB =u u u r u u u r ，由三角形法则，得到OA AB OB +=u u u r u u u r u u u r
，代入计算即可
得到答案. 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC AB =u u u r u u u r ， ∵OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，
在△OAB 中，有OA AB OB +=u u u r u u u r u u u r
， ∴AB OB OA b a a b =-=-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r ， ∴DC a b =-+u u u r r r ；
故选择：C. 【点睛】
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法
则的应用是解此题的关键．
17．已知非零向量a r 、b r ，且有2a b =-r r
，下列说法中，不正确的是（ ） A ．||2||a b =r r ；
B ．a r ∥b r ；
C ．a r 与b r
方向相反； D ．20a b +=r r ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平行向量以及模的知识求解即可.
【详解】
A.∵2a b =-r r
，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴
||2||a b =r r
，该选项不符合题意错误；
B. ∵2a b =-r r
，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -r 与b r 方向相反，但还是相互平行，∴a r ∥b r
，该选项不符合题意错误；
C. ∵2a b =-r r
，而2b -r 与b r 方向相反，∴a r 与b r 的方向相反，该选项不符合题意错误；
D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +r r
是两个矢量相加是带方向的，应该是
02b a →
→→
+=，该选项符合题意正确；
故选：D 【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本知识.
18．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，
＝，那么
等于
（ ）
A ．＝＋
B ．＝＋
C ．＝－
D ．＝＋
【答案】D 【解析】 【分析】
利用平面向量的加法即可解答. 【详解】 解：根据题意得
＝
,
＋ .
故选D. 【点睛】
本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.
19．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ） A ．m na mn a r r
（）＝（）
B ． m n a ma na ++r r r
（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r
（+）＝ D ．若0ma =r r
，那么0a =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
空间向量的线性运算的理解：
（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；
（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；
（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】
根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0
v
是有方向的，而0没有，所以错误．
解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的；
∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v
．∴错误．
故选D ． 【点睛】
本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.
20．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =u u u r u r ，AD n =u u u r r
，那么下列
选项中，与向量()
12
m n +u
r r 相等的向量是（ ）.
A ．OA u u u r
B ．OB uuu r
C ．OC u u u r
D ．OD uuu r
【答案】C 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==u u u r u u u r r
，然后由三角形
法则，求得AC u u u r 与BD u u u r
，继而求得答案． 【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC AD n ==u u u r u u u r r ， ∴AC u u u r ＝AB BC m n +=+u u u r u u u r u r r ，=BD AD AB n m -=-u u u r u u u r u u u r r u r ， ∴()11=-22OA AC m n =-+u u u r u u u r u r r ，()11=22
OC AC m n =+u u u r u u u r u r r ()11=-22OB BD n m =--u u u r u u u r r u r ，()
11=22
OD BD n m =-u u u r u u u r r u r 故选：C ．
【点睛】 此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．。