2017乌鲁木齐市高三二模数学理科试卷A4

考点：椭圆的标准方程．
15．
【解析】
试题分析：在四面体 中，取线段 的中点为 ，连结 ， ，则 ，在 中 ,∴ ，同理 ，取 的中点为 ,由 ，得 ，在 中， ， ,取 的中点为 ，则 ,在 中 ， ,∴该四面体的外接球的半径是 ，其外接球的表面积是 ；故填 ．
考点：1.球的表面积；2.多面体和球的组合．
考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积运算．
8．D
【解析】
试题分析：由 ，解得 或 .由框图可知，开始， ， .第一步， ， .第二步， ， .第三步， ， .第四步， ， .第五步，因为 ，满足判断框内的条件，故输出结果为 ；故选D．
考点：程序框图．
9．C
【解析】
试题分析：由题意知， ， ，则
试题解析：（Ⅰ）连结 ,由题意得 ,又∵ 平面 ，
∴ ,∴ 面 ,∴ ,
又∵ ，∴ 面 ,∴ ；
（Ⅱ）如图，以 为坐标原点，分别以 , 的方向为 轴， 轴正方向，建立空间直角坐
标系 .
由题意得 ， ， ， ，
则 , ，设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ， ，于是 ，
易知，平面 的法向量为 ,∴ ，即二面角
4．执行如图所示程序框图，若输出的S=26，则判断框内为
A．k＞3？B．k＞4？C．k＞5？D．k＞6？
5．已知直线a，b及平面，，下列命题中正确的是
A． B．
C． D．
6．已知向量a，b满足 则a与b的夹角为
A． B． C． D．
7．已知一个几何体的三视图如图所示（正视图是两个正方形，俯视图师两个正三角形），则其体积为
21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）当 和 时，函数 有两个零点，当 时，函数 有且仅有一个零点．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）作差构造函数，求导，利用导函数研究函数的单调性和最值进行求解；（Ⅱ）求导，讨论 的取值范围，比较导函数的零点的大小，确定函数的极值，再由极值的正负判定函数零点的个数．
试题解析：（Ⅰ）当 时，令 ，则 ，
考点：1.复数的除法运算；2.复数的几何意义．
3．A
【解析】
试题分析：∵ 是偶函数，∴ ，∴ ，
再根据 的单调性，得 ，解得 ；故选A．
考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性．
4．B
【解析】
试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示，平移直线 ，可知当经过点 时，
取最小值 ；故选B．
考点：简单的线性规划．
试题解析：（Ⅰ）由题意得 列联表
所以根据此统计有 的把握认为学生选答“几何类”与性别有关.
（Ⅱ）根据分层抽样得，在选答“选修4—1”“选修4—4”和“选修4—5”的同学中分别抽取 名， 名， 名，依题意知 的可能取值为
, , ,
所以 的分布列为
其期望值为 .
考点：1.独立性检验思想的应用；2.分层抽样；3.随机变量的分布列和期望．
乌鲁木齐地区2017年高三年级第二次诊断性测验
理科数学（问卷）
一、选择题（每道题5分）
1．已知集合 ，则
A． B． C．{1,2}D．{1}
2．复数 （i为虚数单位）在复平面上对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设 且f（2）=4，则f（-2）等于
A．1B．2C．3D．4
∴当 时， ，即 ，即
而 时， ，即 ，故A、B不正确，
令 ，同理可知函数 的增区间为 ，减区间为
∴当 时， ，即 ，即 ；故选D．
考点：利用导数研究函数的单调性．
12．B
【解析】
试题分析：设 ，交点 ，则 ，与 联立，得 ，若要点 始终在第一象限，需要 即要 恒成立，若点 在第一象限，此不等式显然成立；只需要若点 在第四象限或坐标轴上此不等式也成立.此时 ，∴ ，而 ，故 恒成立，只需 ，即 ，∴ ；故选B．
20．（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先利用抛物线的定义判定动点的轨迹，再利用待定系数法求抛物线方程；（Ⅱ）先利用分析法将所证结论进行和合理转化，再设出直线方程，与抛物线方程进行联立，利用根与系数的关系的关系进行求解．
试题解析：（Ⅰ）依题意，点 到点 的距离与它到直线 的距离相等，∴点 的轨迹 是以 为焦点，以直线 为准线的抛物线，∴ 的方程为 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
19．学校门口的某文具商店经营某种文具，商店每销售一件该文具可获利3元，若供大于求则削价处理，每处理一件该文具亏损1元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每件文具仅获利2元。为了了解市场需求的情况，经销商统计了去年一年（52周）的销售情况：
销售量（件）
10
11
12
13
14
三、解答题（题型注释）
17．已知数列 满足： 且
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设数列 的前n项和为Sn，当Sn＞2017时，求n的最小值.
18．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，M是BC的中点，EF∥平面ABCD且EF=2，AE=DE=BF=CF= .
(Ⅰ)求证:ME⊥平面ADE.
10．在△ABC中，BC=1，且cosA= ，B= ，则BC边上的高等于
A．1B． C． D．
11．双曲线上存在一点与其中心及一个焦点构成等边三角形，则此双曲线的离心率为
A．2B． C． D．
12．定义在R上的函数y=f（x）为减函数，且函数y=f（x-1）的图象关于点（1,0）对称，若 ，且0≤s≤2，则s-b的取值范围是
当 时， ， ，∴ ，此时函数 递增，
∴当 时， ，当 时， …①
（Ⅱ） …② 令 ，得 ， ，
⑴当 时， ，由②得 …③
∴当 时， ， ，∴ ，此时，函数 为增函数，
∴ 时， ， ， 时， ，
故函数 ，在 上有且只有一个零点 ；
⑵当 时， ，且 ，
由②知，当 ， ， ， ，
此时， ；同理可得，当 ， ；当 时， ；
15
16
周数
2
4
8
13
13
8
4
以去年每周销售量的频率做为今年每周市场需求量的概率.
（Ⅰ）要使进货量不超过市场需求量的概率大于0.5，问进货量的最大值是多少？
（Ⅱ）如果今年的周进货量为14，写出周利润Y的分布列；
（Ⅲ）如果以周利润的期望为考虑问题的依据，今年的周进货量定为多少合适？
20．椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，过左焦点任作直线l，交椭圆的上半部分于点M,当l的斜率为 时 .
试题分析：（Ⅰ）联立两圆的极坐标方程，根据 的几何意义进行求解；（Ⅱ）利用点 的极坐标和 的关系设出点 的极坐标，代入圆的方程和利用 的几何意义进行求解．
（Ⅰ）求 的极坐标方程；
（Ⅱ）求 的范围.
23．设函数
（Ⅰ）解不等式f（x）＜g（x）；
（Ⅱ）若2f（x）+g（x）＞ax对任意实数x都成立，求a的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
试题分析：∵ ，∴ ；故选B．
考点：1.不等式的解法；2.集合的运算．
2．A
【解析】
试题分析：因为 ，所以对应的点为 ；故选A．
（Ⅱ）根据对称性只考虑 的斜率为正的情形，设点 在准线上的投影分别为 ，要证 ，就是要证 ，
只需证 ，即证 …①
设直线 的方程为 ，代入 ，得 ，
设 ，则 …②， …③，
在 中，令 ，得 ，即
因此，要证①式成立，只需证：
只需证： …④，
由②③两式，可知 ，
∴④式成立，∴原命题获证．
考点：1.抛物线的定义和标准方程；2.直线与抛物线的位置关系．
试题解析：（Ⅰ）当 时，由 得 ， 时，由 ， ，
当 时， ， ，两式相减，得 ，
即 ， 所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，则 .
（Ⅱ） ，令 ，则
记数列 的前 项和为 ，即
则 ，
两式相减，得
∴
考点：1. 与 的关系；2.等比数列；3.错位相减法．
18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用等腰三角形的三线合一证得线线垂直，再利用线面垂直的性质和判定证得线面垂直，再利用线面垂直的性质得到线线垂直；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求二面角的余弦值．
16．
【解析】
试题分析：由题意得， ，而 ，∴ ，又 ， 不可能是钝角， ，而 ，即 ，∴ ，∴ ；故填 ．
考点：1.正弦定理；2.三角形的面积公式．
17．（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用 的关系得到数列的递推关系，利用等比数列的定义和通项公式进行求解；（Ⅱ）先利用对数运算求出 ，再利用错位相减法进行求解．
而 …⑦
由⑥⑦知 …⑧
又函数 在 上递增，
由⑤⑧和函数零点定理知， ，使得
综上，当 时，函数 有两个零点，
⑶当 时， ，由②知函数 的增区间是
和 ，减区间是 …⑨
由④知函数 ，当 为减函数，∴当 时
从而 ；当 时， ，
…⑩
又 时，函数 递增，∴ 使得 ，
根据⑨知，函数 时，有 ； 时， ， ，∴函数 有且只有一个零点
的平面角的余弦
考点：1.空间中垂直关系的转化；2.空间向量在立体几何中的应用．
19．（Ⅰ）有 的把握认为学生选答“几何类”与性别有关；（Ⅱ）分布列略， ．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先利用列联表和 公式求出 值，再利用临界值表进行判定；（Ⅱ）先利用分层抽样确定各类同学的人数，列出随机变量的所有可能取值，求出每个变量对应的概率，列表得到分布列，再求其期望值．
考点：1.双曲线的结合性质；2.直线与圆的位置关系．
13．20
【解析】
试题分析： 展开式的通项为 ，由题意可知， 的系数为 ；故填20．