被积函数做泰勒级数展开

被积函数做泰勒级数展开
如果一个函数在某个点 $x_0$ 附近具有一定的可导性质，那么
我们可以使用泰勒级数来近似描述这个函数。

具体地说，如果函数
$f(x)$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶可导性质，那么它的泰勒级数就是：$$
f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x) $$
其中 $f^{(k)}(x)$ 表示 $f(x)$ 的 $k$ 阶导数，$R_n(x)$ 是
余项，在 $x$ 趋向于 $x_0$ 时的大小关于 $(x-x_0)^n$ 的阶数至少
为 $n+1$。

泰勒级数展开的意义在于，可以将某个复杂的函数用若干
个简单的项来逼近，从而更好地研究它的性质。

对于被积函数，如果它在某个点附近具有充分的可导性质，那么
我们也可以尝试用泰勒级数来展开它，并通过这个级数来近似计算它
的积分。

具体地说，我们可以将被积函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处展开为：$$
f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x) $$
然后将该展开式代入积分式中，得到：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^n
\frac{f^{(k)}(x_0)}{(k+1)!}(b-x_0)^{k+1} -
\frac{f^{(k)}(x_0)}{(k+1)!}(a-x_0)^{k+1} + S_n
$$
其中 $S_n$ 是积分的余项，大小关于 $(b-x_0)^{n+1}$ 和
$(a-x_0)^{n+1}$ 的阶数都不超过 $n+1$。

这个式子的意义在于，如
果能够确定被积函数在某个点附近的可导性质，就可以将积分用泰勒
级数展开来近似计算，从而得到更为简洁的计算式子。