2020-2021学年山东省聊城市高一上学期期末数学试题及答案

2020-2021学年山东省聊城市高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．若集合{12}A x x =∈-<<Z
∣，则A 的真子集个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
答案：C
先求出集合A ，再求A 的真子集.
解：因为集合{12}A x x =∈-<<Z
∣，所有集合{0,1}A =， 所以A 的真子集个数为：2223-=. 故选：C
点评：(1)离散型的数集用韦恩图； 连续型的数集用数轴；
(2)一个集合有n 个元素，则它的子集个数为2n ，真子集个数为21n -，非空真子集个数为2n -2.
2．已知1sin 3α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则tan α的值为（ ） A
．4
-
B
．
4
C
．- D
．答案：A
根据同角三角函数的基本关系求出cos α，tan α； 解：解：因为1sin 3α=
，22sin cos 1αα+=，
所以cos α=，因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
所以cos 3α=-
，所以1
sin tan cos 43
ααα===- 故选：A
3．关于命题:,p a b ∀∈R ，2
2a b ab +⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭，下列说法正确的是（ ）
A ．:,p a b ⌝∃∈R ，2
2a b ab +⎛⎫≥ ⎪
⎝⎭
B ．不能判断p 的真假
C ．p 是假命题
D ．p 是真命题
答案：D
根据基本不等式可判断命题p 的真假，从而可知其否定的真假. 解：由基本不等式可得p 为真命题，故BC 错，D 正确.
而p 的否定为：,a b ∃∈R ，2
2a b ab +⎛⎫> ⎪
⎝⎭
，故A 错误.
故选：D.
4．方程5sin 2log 0x x -=解的个数为（ ） A ．1 B ．3
C ．5
D ．7
答案：B
方程的解转化为函数sin 2y x =与5log y x =的交点，在同一平面直角坐标系中画出函数图象，数形结合即可得解；
解：解：方程5sin 2log 0x x -=解的个数，即5sin 2log x x =的解得个数，即函数
sin 2y x =与5log y x =的交点个数，再同一平面直角坐标系上画出sin 2y x =与
5log y x =的图象如下：
由函数图象可知，sin 2y x =与5log y x =有3个交点， 故选：B 5．已知112
2
log log a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．
11a b
< B ．33a b >
C ．ln()0b a ->
D ．31a b -<
答案：D
先求出题设不等式的等价条件，再逐项判断各项的正误，从而可得正确的选项. 解：
1122log log a b >等价于0a b <<，故11a b
>，33
a b <，故AB 错误. 因为0a b -<，故31a b -<成立，故D 正确.
取0.1,0.2a b ==，则0a b <<成立，但ln()0b a -<，故C 错误. 故选：D.
6．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，若()12f -=，则()2021f =（ ） A ．4- B ．2-
C ．0
D ．2
答案：B
由条件可得()f x 是周期函数，周期为4，然后可得答案.
解：因为定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，所以
()(2)()f x f x f x +=-=-
所以()()(4)2f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期函数，周期为4 所以()()()2021112f f f ==--=- 故选：B
7．《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为
8π
米，一只手臂长约为4
π米，“弓”所在圆的半径约为1516米，则掷铁饼
者双手之间的直线距离约为（ ）
A ．
15
16
米 B ．
152
16
米 C ．
3
16
米 D ．
153
32
米 答案：C
利用弧长公式可求圆心角的大小，再利用解直角三角形的方法可求弦长.
解：
掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”即如图中的AB 及弦AB ， 取AB 的中点，连接OC . 由题设可得AB 的弧长为
58
2
8π
π
π+
=
，而1516
OA =， 故52815316
AOB π
π∠==，故
AB 的长度为1515315322sin 1638216
BC π=⨯=⨯=， 故选：C.
8．已知函数3()log f x x =，当0n m <<时，()()f m f n =，若()f x 在2
,n m ⎡⎤⎣⎦上
的最大值为2，则m
n
= （ ） A ．9 B ．4
C ．3
D ．2
答案：A
根据()f x 的图像判断01n m <<<，结合对数运算求得,m n 的关系式，根据()f x 在
2
,n m ⎡⎤⎣⎦上的最大值求得,m n 的另一个关系式，由此求得,m n ，进而求得m n
的值. 解：画出()f x 图像如下，
由于0n m <<时,()()f m f n =，所以01n m <<<，
且由33log log m n =得33333log log ,log log log 0n m n m mn -=+==，所以1mn = 由于()2
10n n n n -=-<，所以201n n <<<，所以()()()2
f n
f n f m >=，
所以()f x 在2
,n m ⎡⎤⎣⎦
上的最大值为()
22333log 2log 2log 2f n n n n ===-=，3log 1n =-，13
n =，所以13m n ==，所以9m
n =.
故选：D 二、多选题
9．下列命题正确的是（ ） A ．(0,1)
(1,)a ∀∈+∞，函数1()log 2x a f x a x -=++恒过定点()1,3
B ．(0,)x ∃∈+∞，1lg 10
x x ≥ C ．若sin ?cos 0αα>，则α为第一象限角
D ．若0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则
2211
4sin cos αα
+≥
答案：ABD
对于A ：利用指数函数、对数函数过定点验证； 对于B:存在性问题，取特殊值验证，取x=10时；
对于C: 由sinα,cosα同号，α可能为第一或第三象限角； 对于D ：构造基本不等式，求最值.
解：对于A ：1x y a -=恒过（1,1）,log a y x =恒过（1,0）所以1()log 2
x a f x a x -=++恒过定点()1,3，故A 正确； 对于B:当x=10时，1lg101,
10110
=⨯=，所以(0,)
x ∃∈+∞，1
lg 10x x ≥，故B 正确；
对于C: 若sin ?cos 0αα>，则sin α,cosα同号，α可能为第一或第三象限角，故C 错误； 对于D ：若0,
2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则 222222222
2
2
2
2222
11sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin 11224sin cos sin cos αααα
αααααααα
αααα
+++=+=+
++≥+⨯=
故D 正确. 故选：ABD
10．为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点(),P x y ．若初始位置为点01
3,
2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，秒针从0P （规定此时0t =）开始沿顺时针方向转动，则点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式可能为（ ）
A ．2sin 30
3y t π
π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
B ．sin 60
3y t π
π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
C ．sin 303y t π
π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
D ．cos 30
6y t π
π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
答案：CD
根据题意，设y 与时间t 的函数关系式为()sin y A t ωϕ=+,求得初相，再根据周期，即可判断选择.
解：设y 与时间t 的函数关系式为()sin y A t ωϕ=+,由题意可得，初始位置为
012P ⎛ ⎝⎭
，即初相为ϕ，故可得sin 2ϕ=
，1cos 2ϕ=，则1A =,3πϕ=. 又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝2||π
ω
＝60，
所以|ω|＝30
π
，即ω＝－
30
π
.
故
满
足
题
意
的
函
数
解
析
式
为
：
πππππsin t cos t cos t+303230
3306y ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+=--+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.
故选：CD.
11．不等式20ax bx c ++≥的解集是{12}x
x -≤≤∣，对于系数a ，b ，c ，下列结论正确的是（ ） A ．0a b += B ．0a b c ++>
C ．0c >
D ．0b <
答案：ABC
根据一元二次不等式的解集以及韦达定理即可求解.
解：不等式20ax bx c ++≥的解集是{12}x
x -≤≤∣， 可得0a <，且20ax bx c ++=的两个根为1,2-， 韦达定理1210b
a
-
=-+=>，所以,0b a b =->，故A 正确,D 错误； 由
2c
a
=-，则0c >，故C 正确； 二次函数()2
f x ax bx c =++开口向下，函数的零点为1,2-， 当1x =时，()10f a b c =++>，故B 正确； 故选：ABC.
12．已知定义域为A 的函数()f x ，若对任意的12,x x A ∈，都有
()()()1212f x x f x f x +≤+，则称函数()f x 为“定义域上的优美函数”以下函数是
“定义域上的优美函数”的有（ ） A ．2
()1f x x =+，11,22x ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦ B ．()x
f x e =，x ∈R C ．()sin f x x =，[0,]x π∈ D ．3()lo
g f x x =，[2,)x ∈+∞
答案：ACD
根据“定义域上的优美函数”的定义，对A 、B 、C 、D 一一验证.
解：由题意：定义域为A 的函数()f x ，若对任意的12,x x A ∈，都有
()()()1212f x x f x f x +≤+，则称函数()f x 为“定义域上的优美函数”：
对于A ：2
()1f x x =+，11,22x ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
， ()222121212121()21,f x x x x x x x x +=++++=+()()2212212
f x f x x x +++=.
()()()1212121211,,,22212x x x x f x x f x f x ⎡⎤
∈-∴+≤+⎢≤⎣+∴⎥⎦
，故A 正确；
对于A ：()x
f x e =，x ∈R ， 当
()()()22
1212121,,=2x x f x x e f x f x e ==+=+，此时
()()()1212f x x f x f x +>+，
不符合()()()1212f x x f x f x +≤+，故B 错误； 对于C ：()sin f x x =，[0,]x π∈
12121221()sin()sin cos sin cos f x x x x x x x x +=+=+，而
1212()()sin sin f x f x x x +=+， 1221,[0,],cos 1,cos 1x x x x π∈∴≤≤，
122112sin cos sin cos sin sin x x x x x x ∴+≤+，即()()()1212f x x f x f x +≤+，故C
正确；
对于D ：3()log f x x =，[2,)x ∈+∞
当[)12,2,x x ∈+∞时，1212x x x x +≤恒成立.
()12()123log x x f x x ++= ，1
2
12
12333()()log log log x x x x
f x f x +=+=
()()()1212f x x f x f x ∴+≤+，故D 正确.
故选：ACD
点评：多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证． 三、填空题
13．函数2log (3)y x =--的定义域为A ，函数1
2
y x
=的值域为B ，则
A B =__________．
答案：()
[),30,-∞-+∞
求出,A B 后可得A
B .
解：{}()|30,3A x x =-->=-∞-，[)1
2|0,B y y x ⎧⎫===+∞⎨⎬⎩⎭
，
故()[
),30,A B -∞-⋃⋃=+∞， 故答案为：()[),30,-∞-+∞.
14．已知1tan 62πα⎛
⎫
-= ⎪
⎝
⎭，1
tan 63
πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan()αβ-的值为__________． 答案：1
tan()tan 66ππαβαβ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，然后利用两角和的正切公式可得答案.
解
：
11tan tan 6623tan()tan 1116611tan tan 2366ππαβππαβαβππαβ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=-+-==
= ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝
⎭⎝⎭⎣⎦-⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故答案为：1 15．设函数1,0
()2,0
x
x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，则满足()(1)1f x f x +->的x 的取值范围是__________． 答案：(0,)+∞
根据分段函数的表达式，分别讨论x 的取值范围，进行求解即可． 解：解：因为1,0
()2,0x
x x f x x +≤⎧=⎨>⎩
①当0x ≤时，
()(1)1(1)1211f x f x x x x ∴+-=++-+=+>，
0x ∴>，
故x ∈∅，
②当10x ->，即1x >时，
13()(1)2222
x x x
f x f x -+-=+=⋅， 1x >，故3
232
x ⋅>，
3
212
x ∴⋅>恒成立， 故1x >，
③当10x -≤且0x >，即01x <≤时，
()(1)(1)122x x f x f x x x +-=-++=+，
01x <≤， 21x ∴>，
21x x ∴+>恒成立，
故01x <≤，
综上所述0x >，即()0,x ∈+∞ 故答案为：()0,∞+．
点评：本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键． 四、双空题
16．已知函数cos y x a ω=-，[,]x ππ∈-（其中a ，ω为常数，且0>ω）有且仅有5个零点，则a 的值为__________，ω的取值范围是__________． 答案：1 [)4,6
由条件可得函数cos y x a ω=-必有一个零点为0x =，即可求出1a =，然后令
cos cos 10y x a x ωω=-=-=可得2,k x k Z π
ω
=
∈，然后可建立不等式求解.
解：因为函数cos y x a ω=-，[,]x ππ∈-为偶函数，有且仅有5个零点 所以必有一个零点为0x =，所以cos00a -=，即1a =
令cos cos 10y x a x ωω=-=-=，可得cos 1x ω=，即2x k ωπ=，即2,k x k Z π
ω
=∈
因为有且仅有5个零点，所以46,
π
π
ππω
ω
≤>，解得46ω≤<
故答案为：1；[)4,6 五、解答题
17．已知集合3|
03x M x x +⎧
⎫
=<⎨⎬-⎩⎭
，集合22{|20N x x mx m =--<，其中0}m >．
（1）当2m =时，求M N ⋂；
（2）若x M ∈是x ∈N 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 答案：（1）{23}M
N x x =-<<∣；（2）30,2⎛⎤
⎥⎝⎦
.
（1）首先求出集合M ，N ，再根据交集的定义计算可得； （2）首先求出集合M ，依题意可得N M
，即可得到不等式组，解得即可；
解：解：（1）由
3
03
x x +<-，得33x -<<，所以{|33}M x x =-<<； 当2m =时，由2280x x --<，得24x -<<， 所以{|24}N x x =-<<． 所以{|23}M
N x x =-<<．
（2）由2220x mx m --<及0m >，得2m x m -<<．即{}|2x m x m N -<<= 因为x M ∈是x ∈N 的必要不充分条件，所以N
M
所以323
m m -≥-⎧⎨≤⎩，且等号不同时成立，解得32m ≤．
又0m >，所以实数m 的取值范围是30,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
．
点评：本题考查必要不充分条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；
（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．
18．如图，以x 轴非负半轴为始边，角α的终边与单位圆相交于点43,55P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，将角α
的终边绕着原点O 顺时针旋转
4
π
得到角β．
（1）求3sin()5cos()
2sin sin()
2πααπαπα-+-⎛⎫
-++ ⎪⎝⎭
的值； （2）求sin 22cos ββ+的值．
答案：（1）1；（2）72
25
+-
. （1）先利用三角函数的定义分别求出cos α，sin α，tan α，用诱导公式先化简，再求值；
（2）由题意得4αβ-=
π，得4
π
βα=-，用二倍角公式即可求解. 解：解：（1）由题得4cos 5
α=-
，3
sin 5α=，3tan 4α=-．
3sin()5cos()3sin 5cos 3tan 5
12cos sin 2tan 2sin sin()
2παααααπααααπα-+-++===--⎛⎫
-++ ⎪⎝⎭
． （2）由题意得4αβ-=
π，得4
π
βα=-， 所以sin 22cos sin 22cos 44ππββαα⎛⎫⎛
⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
sin 22cos cos 22cos 244πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
2164312cos 2(cos sin )1222555ααα⎫=-++=-⨯
+-+⎪⎭
7225
+=-
． 点评：(1) 三角函数值的大小与点P （x,y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子
就可以求出对应三角函数值；当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论．
(2)根据题意把角进行合理转化，还要注意角的范围.
19．若()f x 为R 上的奇函数，且0x ≤时，2
()2f x x x =-．
（1）求()f x 在R 上的解析式；
（2）判断函数()f x 在(,0]-∞上的单调性，并用定义证明； （3）解关于x 的不等式()(2)0f ax a f x -+-->．
答案：（1）222,0
()2,0
x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩；（2）()f x 在(,0]-∞上单调递减，证明见解析；
（3）答案见解析.
（1）根据奇函数性质得当0x >时，0x -<，故2
()2-=+f x x x ，再结合奇函数的性质即可得答案；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）根据奇函数性质得()(2)f ax a f x ->+，再结合函数单调性解不等式即可； 解：解：（1）因为当0x ≤时，2
()2f x x x =-，
所以当0x >时，0x -<，2
2
()()2()2()f x x x x x f x -=---=+=-， 因为()f x 为R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-， 则2()2f x x x =--．
所以()f x 在R 上的解析式为222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩
．
（2）函数()f x 在(,0]-∞上单调递减． 证明：设12,(,0]x x ∀∈-∞，且12x x <，
()()()()()22
1211221212222f x f x x x x x x x x x -=---=-+-，
因为12,(,0]x x ∈-∞，且12x x <，
所以120x x -<，1220x x +-<，则()()120f x f x ->， 所以()f x 在(,0]-∞上单调递减．
（3）因为()f x 为R 上的奇函数，且在(,0]-∞上单调递减， 所以()f x 在R 上单调递减． 因为()(2)0f ax a f x -+-->，
所以()(2)f ax a f x ->+，2ax a x -<+，即(1)2a x a -<+， 当1a <时，不等式的解集为21a x x a +⎧⎫
>⎨⎬-⎩⎭
； 当1a =时，不等式的解集为R ； 当1a >时，不等式的解集为21a x x a +⎧⎫
<
⎨⎬-⎩⎭
． 点评：本题考查利用奇函数的性质求函数解析式，解不等式等，考查运算求解能力，其中第三问解题的关键在于由奇偶性与单调性得(1)2a x a -<+时，分当1a <，1a =，
1a >时三种情况讨论求解.
20．已知函数2
())2cos
1(0,0)2
x f x x ωϕ
ωϕωϕπ+=++-><<为偶函数，
且()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π． （1）当5,66x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时，求()f x 的单调递增区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移
6π
个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来12
（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．求函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上的最大值和最小值．
答案：（1）单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；（2）最大值为2，最小值1-.
（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式对()f x 化简，再利用偶函数求出ϕ的值，再利用T π=求出ω的值，即可得()f x 的解析式，再利用余弦函数的单调递增区间即可求解；
（2）利用三角函数图象变换的规律求出()g x 的解析式，再利用余弦函数的性质即可求值域.
解：（1）由题意函数2
())2cos
12
x f x x ωϕ
ωϕ+=++-
)cos()2sin 6x x x πωϕωϕωϕ⎛
⎫=+++=++ ⎪⎝
⎭，
因为函数()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π， 所以T π=，可得2ω=．
又由函数()f x 为偶函数可得(0)2sin 26f πϕ⎛
⎫=+=± ⎪⎝
⎭，
所以6
2
k π
π
ϕπ+
=+
，k ∈Z ，则3
k π
ϕπ=+
，k ∈Z ．
因为0ϕπ<<，所以3
π
ϕ=
，所以函数()2cos2f x x =，
令222k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，解得2
k x k π
ππ-≤≤，k ∈Z ，
当0k =时，
02
x ；当1k =时，
2x π
π≤≤，又5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
， 可得函数()f x 的单调递增区间为,06π⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
． （2）将函数()f x 的图象向右平移
6π
个单位长度可得2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的图象，再把各点的横坐标缩小为原来的
1
2，得到函数()2cos 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的图象， 当,126x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦．
当243
3x π
π-
=-
，即12
x π
=-时， 函数()g x 取得最小值，最小值为1-； 当403
x π
-
=，即12
x π
=
时，
函数()g x 取得最大值，最大值为2． 所以函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值是2，最小值是1-. 点评：方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间
先将解析式化为()()sin 0y A x A ωϕω=+>>0,或()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的形式，然后将x ωϕ+看成一个整体，根据sin y x =与cos y x =的单调区间列不等式求解.
21．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，聊城市环保部门近年来利用水生植物（例如浮萍、蒲草、芦苇等），对国家级湿地公园—东昌湖进行进一步净化和绿化．为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例，对水生植物的生长进行了科学管控，并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查，测得该水域二月底浮萍覆盖面积为245m ，四月底浮萍覆盖面积为280m ，八月底浮萍覆盖面积为2115m ．若浮萍覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （2020年1月底记1x =，2021年1月底记13x =）
的关系有两个函数模型(0,1)=>>x
y ka k a 与2log (0)y m x n m =+>可供选择．
（1）你认为选择哪个模型更符合实际？并解释理由；
（2）利用你选择的函数模型，试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到2148m ？ （可能用到的数据：2log 15 3.9≈
1.37≈
66.72≈） 答案：（1）选函数模型235log 10y x =+，理由见解析；（2）16个月.
（1）三组数据中选择两组数据，利用待定系数法可求两个函数模型的参数，再利用余下一组数据检验可得哪个模型更符合实际.
（2）根据（1）中所得的函数的模型可估算浮萍覆盖面积. 解：解：（1）若选择数据()2,45和()4,80，
由22log 245log 480
m n m n +=⎧⎨
+=⎩，解得35
10m n =⎧⎨=⎩．
则235log 10y x =+．
当8x =时，235log 810115y =+=，与实际情况相符． 下面仅考虑函数模型(0,1)=>>x
y ka k a . 若选择数据()2,45和()4,80，
由24
4580k a k a ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得4
,340516
a k ⎧=⎪⎪
⎨⎪=
⎪⎩
，则4054163x y ⎛⎫
=⨯ ⎪⎝⎭． 当8x =时，8
405420480
11516381
y ⎛⎫=⨯=> ⎪⎝⎭，与实际情况差别较大．
若选择数据()2,45和()8,115，
由28
45115k a k a ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，解得45a k ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
则45x
y =． 当4x =
时，4
454545 1.3761.65y ==≈⨯=， 与实际情况80差别较大． 若选择数据()4,80和()8,115，
由4880115k a k a ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，解得128023a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，则1280232x y ⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
．
当2x =
时，66.72y =
≈实际情况45差别较大． 故选函数模型235log 10y x =+．
（2）因为235log 15 1.035 3.910146.5+≈⨯+=，235log 1610150+=． 而146.5<148<150，
所以至少经过16个月该承域的浮萍覆盖面积能达到2148m ．
点评：方法点睛：对于函数模型的拟合问题，注意对所得模型是否符合要求进行验证，一般是根据预测值与实际值的误差的大小来判断，有时也可根据题设中的要求来判断. 22．已知函数()x
f x a =（0a >，且1a ≠
）的图象经过点12⎛
⎝． （1）若函数()3()10F x f x m =-+-在区间()0,2内存在零点，求实数m 的取值范围； （2）若函数()()()f x g x h x =+，其中()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，若(0,1]x ∈时，
2ln ()ln ()0h x g x t --≥恒成立，求实数t 的取值范围．
答案：（1）()17,7-；（2）(,ln 2]-∞.
（1
）由指数函数过点12⎛ ⎝，代入即可求出a 的值，从而求出()f x 的解析式，设
3x t =，依题意函数()310G t t m =-+-在区间()1,9内有零点．则(1)(9)0G G ⋅<，即
可求出参数m 的取值范围；
（2）依题意可得()()()3()()()3
x
x
f x
g x
h x f x g x h x -⎧=+=⎨-=-+-=⎩，即可求出()g x 、()h x 的解析式， 由2ln ()ln ()0h x g x t --≥，参变分离可得()()
2
2
334()ln
ln ()233x x x x
h x t g x ---+≤=-．设33x x a -=-，则14ln 2t a a ⎡⎤⎛⎫≤+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，利用基本不等式求出4
a a +最小值，即可得解；
解：解：（1）因为()(0,1)x
f x a a a =>≠
的图象经过点12⎛ ⎝，
则1
2a =，所以3a =，故()3x
f x = 因为(0,2)x ∈，所以139x <<， 设3x t =，则19t <<
函数()3()10F x f x m =-+-在区间()0,2内存在零点， 即函数()310G t t m =-+-在区间()1,9内有零点．
所以(1)(9)0G G ⋅<，即(7)(17)0m m ---<，解得177m -<<． 所以实数m 的取值范围是()17,7-．
（2）由题意，函数()()()f x g x h x =+，其中()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，
可得()()()3()()()3x x f x g x h x f x g x h x -⎧=+=⎨-=-+-=⎩，即()()3()()3x
x
g x h x g x h x -⎧+=⎨-+=⎩， 解得()()332332x x x x
g x h x --⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
． 因为2ln ()ln ()0h x g x t --≥，
所以()()
2
22333342()ln ln ln
()33233x x x x x x x x h x t g x ----⎛⎫
+ ⎪-+⎝⎭≤==--． 设33x x a -=-，因为01x <≤，33x x a -=-为增函数， 所以803
a <≤
． 所以2414ln ln 22a t a a a +⎡⎤
⎛⎫≤=+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦． 因为4
4a a +
≥当且仅当4a a
=，即2a =时等号成立． 所以ln 2t ≤，即t 的取值范围为(,ln 2]-∞．
点评：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[]
,,y g x x c d =∈
（1）若[]1,x a b ∀∈，[]
2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]
2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]
1,x a b ∃∈，[]
2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]
2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。