2018届北师大版平面解析几何单元测试6

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2018届北师大版高考中的立体几何(解答题型) 单元测试

1．[2015·长春质监(三)]如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝1，点E ，F 分别为AB 和PD 的中点．(1)求证：直线AF ∥平面PEC ；(2)求三棱锥P －BEF 的表面积．解(1)证明：作FM ∥CD 交PC 于M ，连接ME .∵点F 为PD 的中点，∴FM 綊12CD ，又AE 綊12CD ， ∴AE 綊FM ，∴四边形AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ，∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ，∴直线AF ∥平面PEC .(2)连接ED ，BD ，可知ED ⊥AB ，⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫PD ⊥平面ABCD AB ⊂平面ABCD ⇒PD ⊥AB DE ⊥AB⇒AB ⊥平面PEF PE ，FE ⊂平面PEF ⇒ AB ⊥PE ，AB ⊥FE ，故S △PEF ＝12PF ·ED ＝12×12×32＝38；S △PBF ＝12PF ·BD ＝12×12×1＝14；S △PBE ＝12PE ·BE ＝12×72×12＝78；S △BEF ＝12EF ·EB ＝12×1×12＝14.因此三棱锥P －BEF 的表面积S P －BEF ＝S △PEF ＋S △PBF ＋S △PBE ＋S △BEF ＝4＋3＋78. 2．[2015·太原模拟]如图，在底面是正三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝2，D 是BC 的中点．(1)求证：A 1C ∥平面AB 1D ；(2)求点A 1到平面AB 1D 的距离．解(1)证明：连接A1B，交AB1于点O，连接OD.∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴四边形ABB1A1是平行四边形，∴O是A1B的中点．又D是BC的中点，∴OD∥A1C，∵OD⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)由(1)知，O是A1B的中点，∴点A1到平面AB1D的距离等于点B到平面AB1D的距离．∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴平面BCC1B1⊥平面ABC，∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥B1D，3．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝22，AP ＝AD ＝AB ＝2，∠P AB ＝∠P AD ＝α.(1)试在棱P A 上确定一个点E ，使得PC ∥平面BDE ，并求出此时AE EP 的值；(2)当α＝60°时，求证：CD ⊥平面PBD .解 (1)解法一：连接AC ，BD 交于点F ，在平面PCA 中作EF ∥PC 交P A 于E ，连接BE ，DE ，因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE ，所以PC ∥平面BDE ，因为AD ∥BC ，所以AF FC ＝AD BC ＝12，因为EF ∥PC ，所以AE EP ＝AF FC ，所以AE EP ＝AF FC ＝AD BC ＝12.解法二：在棱P A 上取一点E ，使得AE EP ＝12.连接AC ，BD 交于点F ，连接EF ，BE ，DE ，因为AD ∥BC ，所以AF FC ＝AD BC ＝12，所以AE EP ＝AF FC ，所以EF ∥PC ，因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE ，所以PC ∥平面BDE .(2)证法一：取BC 的中点G ，连接DG ，则ABGD 为正方形．连接AG ，BD 交于点O ，连接PO ，因为AP ＝AD ＝AB ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，所以△P AB 和△P AD 都是等边三角形，因此P A ＝PB ＝PD ，又因为OD ＝OB ，所以△POB ≌△POD ，所以∠POB ＝∠POD ＝90°，同理得△POA ≌△POB ，∠POA ＝90°，所以PO ⊥平面ABC .所以PO ⊥CD .由∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ＝2AB ＝22，可得BD ＝2，CD ＝2，所以BD2＋CD2＝BC2，所以BD⊥CD，所以CD⊥平面PBD.证法二：取BC的中点G，连接DG，则ABGD为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OG.因为AP＝AD＝AB，∠P AB＝∠P AD＝60°，所以△P AB和△P AD都是等边三角形，因此P A＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABGD对角线的交点，所以PO⊂平面PBD.又∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD＝2AB＝22，所以BD⊥CD，又因为PO⊥CD，所以CD⊥平面PBD.4．[2015·山西四校联考(三)]如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB＝4，BE ＝1.(1)证明：平面ADE⊥平面ACD；(2)当三棱锥C－ADE的体积最大时，求点C到平面ADE的距离．解(1)证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC，又四边形DCBE为矩形，∴CD⊥DE，BC∥DE，∴DE⊥AC，∵CD ∩AC ＝C ，∴DE ⊥平面ACD ，又DE ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面ACD .(2)由(1)知V C －ADE ＝V E －ACD ＝13×S △ACD ×DE ＝13×12×AC ×CD ×DE ＝16×AC ×BC ≤112×(AC 2＋BC 2)＝112×AB 2＝43，当且仅当AC ＝BC ＝22时等号成立．∴当AC ＝BC ＝22时，三棱锥C －ADE 的体积最大，为43.此时，AD ＝12＋(22)2＝3，S △ADE ＝12×AD ×DE ＝32，设点C 到平面ADE 的距离为h ，则V C －ADE ＝13×S △ADE ×h ＝43，h＝223.5．[2015·南昌一模]如图，AC 是圆O 的直径，B 、D 是圆O 上两点，AC ＝2BC ＝2CD ＝2，P A ⊥圆O 所在的平面，P A ＝3，点M 在线段BP 上，且BM ＝13BP .(1)求证：CM ∥平面P AD ；(2)求异面直线BP 与CD 所成角的余弦值．解 (1)证明：作ME ⊥AB 于E ，连接CE ，则ME ∥AP .∵AC 是圆O 的直径，AC ＝2BC ＝2CD ＝2，∴AD ⊥DC ，AB ⊥BC ，∴∠BAC ＝∠CAD ＝30°，∠BCA ＝∠DCA ＝60°，AB ＝AD ＝3，∵BM ＝13BP ，∴BE ＝13BA ＝33，tan ∠BCE ＝BE BC ＝33，∴∠BCE ＝∠ECA ＝30°＝∠CAD ，∴EC∥AD .又ME ∩CE ＝E ，P A ∩DA ＝A ，∴平面MEC ∥平面P AD ，又CM ⊂平面MEC ，CM ⊄平面P AD ， ∴CM ∥平面P AD .(2)过点A 作平行于BC 的直线交CD 的延长线于G ，作BF ∥CG ，交AG 于F ，连接PF ，则∠PBF 为异面直线BP 与CD 所成的角，设∠PBF ＝θ.易知AF ＝1，PB ＝6，BF ＝2，PF ＝2，故cos θ＝PB 2＋BF 2－PF 22PB ·BF ＝6＋4－426×2＝64. 6．[2015·河南洛阳统考]如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝2AB ＝4，E ，F 分别在BC ，AD 上，EF ∥AB .现将四边形ABCD 沿EF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC .(1)若BE ＝1，是否在折叠后的线段AD 上存在一点P ，且AP →＝λPD →，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥A －CDF 的体积的最大值，并求此时点F 到平面ACD 的距离．解 (1)AD 上存在一点P ，使得CP ∥平面ABEF ，此时λ＝32.理由如下：当λ＝32时，AP →＝32PD →，可知AP AD ＝35，过点P 作MP ∥FD 交AF于点M ，连接EM ，则有MP FD ＝AP AD ＝35，又BE ＝1，可得FD ＝5，故MP ＝3，又EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，故MP 綊EC ，故四边形MPCE 为平行四边形，所以CP ∥ME .又CP ⊄平面ABEF ，ME ⊂平面ABEF ，故CP ∥平面ABEF .(2)设BE ＝x ，所以AF ＝x (0＜x ≤4)，FD ＝6－x ，故V 三棱锥A －CDF ＝13×12×2×(6－x )x ＝13(－x 2＋6x )，当x ＝3时，V 三棱锥A －CDF 有最大值，且最大值为3，此时，EC ＝1，AF ＝3，FD ＝3，DC ＝2 2.在Rt △EFC 中，FC ＝5，在Rt △AFD 中，AD ＝32，在Rt △AFC 中，AC ＝14.在△ACD 中，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝18＋8－142×32×22＝12，故sin ∠ADC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32， S △ADC ＝12DA ·DC ·sin ∠ADC ＝12×32×22×32＝3 3. 设点F 到平面ACD 的距离为h ，由V 三棱锥A －CDF ＝V 三棱锥F －ADC ，即3＝13×h ×S △ADC ＝13×h ×33，得h ＝3，故此时点F 到平面ACD 的距离为 3.。

2018届北师大版(理科数学) 解析几何、极坐标参数方程单元测试

十四、圆锥曲线（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·海淀区期末·9）点到双曲线的渐近线的距离是．【答案】2.（2018·海淀区期末·11）设抛物线的顶点为，经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交于两点，则 .【答案】23.（2018·丰台区期末·13）能够说明“方程的曲线是椭圆”为假命题的一个的值是．【答案】中任取一值即为正确答案4.（2018·海淀期末·5）已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为A. B. C.或 D.或【答案】D5.（2018·海淀期末·8）已知点为抛物线的焦点，点为点关于原点的对称点，点在抛物线上，则下列说法错误．．的是A.使得为等腰三角形的点有且仅有4个B.使得为直角三角形的点有且仅有4个C. 使得的点有且仅有4个D. 使得的点有且仅有4个【答案】C6. （2018·丰台区期末·7）过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【答案】C7. （2018·通州区期末·2）已知点为抛物线上一点，那么点到抛物线准线的距离是A．B．C．D．【答案】C7. （2018·昌平区期末·11）已知直线，点是圆上的点，那么点到直线的距离的最小值是 .【答案】28. （2018·朝阳区期末·6）已知圆的圆心为.直线过点且与轴不重合，交圆于两点，点在点，之间.过作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分【答案】B9. （2018·朝阳区期末·9）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为.【答案】10. （2018·东城区期末·13）双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则；若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，则的方程可以是.【答案】；十五、极坐标与参数方程（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018•西城期末·4）已知为曲线：（为参数）上的动点．设为原点，则的最大值是（A）（B）（C）（D）【答案】D2.（2018·海淀期末·2）在极坐标系中，方程表示的圆为【答案】D3.（2018·丰台期末·3）在极坐标系中，方程表示的曲线是（）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线【答案】B4.（2018·通州区期末·11）在极坐标系中，已知点是以为圆心，为半径的圆上的点，那么点到极点的最大距离是_______.【答案】35.(2018·通州区期末·12) 已知点的坐标是，将绕坐标原点顺时针旋转至，那么点的横坐标是_______.【答案】6.（2018·昌平区期末·10）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线的直角坐标方程为.【答案】7.（2018·东城区期末·12）在极坐标系中，若点在圆外，则的取值范围为.【答案】>1十六、解析几何综合题（一）试题细目表（二）试题解析1. （2018·西城区期末·19）（本小题满分14分）已知椭圆过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点．若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值．【答案】解：（Ⅰ）由题意得，，所以．[ 2分]因为，[ 3分]所以， [ 4分]所以椭圆的方程为． [ 5分]（Ⅱ）若四边形是平行四边形，则，且.[ 6分]所以直线的方程为，所以，．[ 7分]设，．由得， [ 8分]由，得．且，． [ 9分]所以.． [10分]因为，所以．整理得， [12分]解得，或． [13分]经检验均符合，但时不满足是平行四边形，舍去．所以，或． [14分] 2. (2018·海淀区期末·18) 已知椭圆，点（Ⅰ）求椭圆的短轴长和离心率；（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，判断与的大小，并证明你的结论.【答案】解：（Ⅰ）：，故，，，有，. ……………..3分椭圆的短轴长为，离心率为.……………..5分（Ⅱ）结论是：. ……………..6分设直线：，，，整理得：……………..8分故，……………..10分……………..11分……………..12分故，即点在以为直径的圆内，故………..13分3.（2018·丰台区期末·19）在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为.（Ⅰ）求得方程；（Ⅱ）设点在曲线上，轴上一点（在点右侧）满足.平行于的直线与曲线相切于点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）因为动点到点的距离和它到直线的距离相等，所以动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线.设的方程为，则，即.所以的轨迹方程为.（Ⅱ）设，则，所以直线的斜率为.设与平行，且与抛物线相切的直线为，由得，由得，所以，所以点.当，即时，直线的方程为，整理得，所以直线过点.当，即时，直线的方程为，过点，综上所述，直线过定点.4.（2018·石景山期末·19）已知椭圆离心率等于，、是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是椭圆上位于直线两侧的动点.当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）因为，又，所以………2分设椭圆方程为,代入,得……4分椭圆方程为…………5分（Ⅱ）当时，斜率之和为…………6分设斜率为，则斜率为…………7分设方程为，与椭圆联立得代入化简得：，同理，，即直线的斜率为定值. …………14分5.（2018·通州区期末·18）已知椭圆过点，离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，过点作斜率为直线，与椭圆交于，两点，若轴平分，求的值．【答案】解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在轴上，过点，离心率，所以，……………………2分所以由，得……………………3分所以椭圆的标准方程是……………………4分（Ⅱ）因为过椭圆的右焦点作斜率为直线，所以直线的方程是.联立方程组消去，得显然设点，，所以，……………………7分因为轴平分，所以.所以……………………9分所以所以所以所以所以所以……………………12分所以因为，所以……………………13分6.（2018·房山区期末·18）已知直线过点，圆:,直线与圆交于两点.（）求直线的方程；（）求直线的斜率的取值范围；（Ⅲ）是否存在过点且垂直平分弦的直线?若存在，求直线斜率的值，若不存在，请说明理由．【答案】（）设圆,圆心为，故直线的方程为，即 …………………5分（）法1：直线的方程为，则由得由得故…………………10分法2：直线的方程为，即，圆心为，圆的半径为1则圆心到直线的距离因为直线与有交于两点，故，故（Ⅲ）假设存在直线垂直平分于弦,此时直线过，，则，故的斜率，由（）可知，不满足条件所以，不存在存在直线垂直于弦。

2018届北师大版解析几何单元测试

1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线C 的离心率为( )A.52 B. 5 C ．2 5 D ．3 5 答案 B解析易知双曲线C 的左焦点到渐近线的距离为b ，则b ＝2a ，因此双曲线C 的离心率为e ＝ca ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝5，选B. 2．若动圆的圆心在抛物线x 2＝12y 上，且与直线y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )A ．(0,2)B ．(0，－3)C ．(0,3)D ．(0,6) 答案 C解析直线y ＋3＝0是抛物线x 2＝12y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y ＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．3．以双曲线x 23－y 26＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆上任意一点P 与椭圆的两个焦点构成的三角形面积的最大值为( )A ．3 6B ．3 2C ．2 3D ．2 2 答案 B解析因为双曲线x 23－y 26＝1的顶点坐标为(±3，0)，焦点为(±3,0)，所以椭圆的长半轴长a ＝3，半焦距c ＝3，短半轴长b ＝a 2－c 2＝6，当P 为短轴端点时，P 与椭圆的两个焦点构成的三角形的面积最大，且最大值为12×23×6＝32，选择B.4．已知P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点，且x 1＋x 2＝2.若线段PQ 的垂直平分线经过定点A ，则点A 的坐标为( )A ．(1,0)B ．(1,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 C解析因为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在椭圆x 24＋y 22＝1上，且x 1＋x 2＝2.当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1x 224＋y 222＝1，得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－1y 1＋y 2.设线段PQ 的中点为N (1，n )，所以k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n ，所以线段PQ 的垂直平分线的方程为y －n ＝2n (x －1)，即y ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，该直线恒过定点A ⎝⎛⎭⎪⎫12，0；当x 1＝x 2时，线段PQ 的垂直平分线也过定点A ⎝⎛⎭⎪⎫12，0.故线段PQ 的垂直平分线恒过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 5．已知双曲线mx 2＋ny 2＝1的离心率为2，且一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点重合，则此双曲线的方程为( )A ．y 2－x 23＝1 B ．x 2－y 23＝1C.x 22－y 26＝1D.y 22－x 26＝1 答案 A解析因为抛物线x 2＝8y 的焦点坐标为(0,2)，所以m <0，n >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ＝421n＝2，即n ＝1，m ＝－13，所以双曲线方程为y 2－x23＝1.6．设F 为抛物线C ：x 2＝12y 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上不同的三点，若F A →＋FB→＋FC →＝0，则|F A |＋|FB |＋|FC |＝( ) A ．3 B ．9 C ．12 D ．18 答案 D解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，因为A 、B 、C 为抛物线上不同的三点，则A 、B 、C 可以构成三角形．抛物线C ：x 2＝12y 的焦点为F (0,3)，准线方程为y ＝－3. 因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以利用平面向量的相关知识可得点F 为△ABC 的重心，从而有x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝9.又根据抛物线的定义可得|F A |＝y 1－(－3)＝y 1＋3， |FB |＝y 2－(－3)＝y 2＋3，|FC |＝y 3－(－3)＝y 3＋3，所以|F A |＋|FB |＋|FC |＝y 1＋3＋y 2＋3＋y 3＋3＝y 1＋y 2＋y 3＋9＝18. 7．[2015·河北名校联盟质检]若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为_____．答案233解析双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，一个焦点坐标为(c,0)．根据题意：|bc －a ×0|b 2＋a 2＝14×2c ，所以c ＝2b ，a ＝c 2－b 2＝3b ，所以e ＝c a ＝23＝233.8．已知直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与C 相交于A 、B 两点，AB 的中点M 的坐标为(3,2)，则抛物线C 的方程为______．答案 y 2＝4x 或y 2＝8x解析由题意可设直线l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)，与抛物线C 的方程y 2＝2px (p >0)联立可得k 2x 2－k 2px －2px ＋k 2p 24＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧p 2＋p k 2＝3p k ＝2，解得k ＝1，p ＝2或k ＝2，p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝8x .9．已知点P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若点M 是∠F 1PF 2的角平分线上的一点，且F 1M ⊥MP ，则|OM |的取值范围是______．答案 (0,4)解析解法一：如图，延长PF 2，F 1M ，交于点N ，∵PM 是∠F 1PF 2的角平分线，且F 1M ⊥MP ，∴|PN |＝|PF 1|，M 为F 1N 的中点，∵O 为F 1F 2的中点，M 为F 1N 的中点，∴|OM |＝12|F 2N |＝12||PN |－|PF 2||＝12||PF 1|－|PF 2||，对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，xy ≠0)，设点P 的坐标为(x 0，y 0)(－a <x 0<a )，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，又F 1(－c,0)，F 2(c,0)，故|PF 1|＝(x 0＋c )2＋y 20＝(x 0＋c )2＋b 2－b 2x 2a 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c a x 02＝a ＋ex 0，同理|PF 2|＝a －ex 0，∴|OM |＝12||PF 1|－|PF 2||＝12|2ex 0|＝12×2e |x 0|＝e |x 0|，∵点P 是椭圆上与四个顶点不重合的点，故|x 0|∈(0，a )，故|OM |∈(0，c )，对于x 225＋y 29＝1，c ＝4，故|OM |的取值范围是(0,4)．解法二：由椭圆的对称性，只需研究动点P 在第一象限内的情况，当点P 趋近于椭圆的上顶点时，点M 趋近于点O ，此时|OM |趋近于0；当点P 趋近于椭圆的右顶点时，点M 趋近于点F 1，此时|OM |趋近于25－9＝4，所以|OM |的取值范围为(0,4)．解法三：如图，延长PF 2，F 1M 交于点N ，∵PM 是∠F 1PF 2的角平分线，且F 1M ⊥MP ，∴|PN |＝|PF 1|，M 为F 1N 的中点，又O 为F 1F 2的中点，∴|OM |＝12|F 2N |＝12||PN |－|PF 2||＝12||PF 1|－|PF 2||，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|OM |＝12|2|PF 1|－10|＝||PF 1|－5|，又|PF 1|∈(1,5)∪(5,9)，∴|OM |∈(0,4)，故|OM |的取值范围是(0,4)．10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝32，M 是椭圆C 上的一点，且点M 到椭圆C 两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左顶点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，P (0，t )是y轴上一点，满足|P A |＝|PB |，P A →·PB→＝4，求实数t 的值．解 (1)由已知得2a ＝4，则a ＝2，又e ＝c a ＝32，所以c ＝3，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)易知A (－2,0)，设B (x 1，y 1)，根据题意可知直线l 的斜率存在，可设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，把它代入椭圆C 的方程，消去y ，整理得：(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0，由根与系数的关系得－2＋x 1＝－16k 21＋4k 2，则x 1＝2－8k 21＋4k 2，y 1＝k (x 1＋2)＝4k 1＋4k2，所以线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2.①当k ＝0时，则有B (2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是P A →＝(－2，－t )，PB→＝(2，－t )，由P A →·PB →＝－4＋t 2＝4，解得t ＝±2 2.②当k ≠0时，则线段AB 的垂直平分线的方程为y －2k1＋4k 2＝－1k⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8k 21＋4k 2. 因为P (0，t )是线段AB 垂直平分线上的一点，令x ＝0，得t ＝－6k1＋4k 2，于是P A →＝(－2，－t )，PB →＝(x 1，y 1－t )，由P A →·PB →＝－2x 1－t (y 1－t )＝4(16k 4＋15k 2－1)(1＋4k 2)2＝4，解得：k ＝±147，代入t ＝－6k 1＋4k 2，解得t ＝±2145. 综上，满足条件的实数t 的值为t ＝±22或t ＝±2145.。

2018新北师大版数学八年第六章平行四边形附答案

第六章检测卷时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．若n边形的内角和是1080°，则n的值是( )A．6 B．7 C．8 D．92．在▱ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶1，则∠B的度数为( )A．0° B．60° C．120° D．150°3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论正确的是( ) A．S▱ABCD＝4S△AOB B．AC＝BDC．AC⊥BD D．▱ABCD是轴对称图形第3题图第5题图4．若平行四边形的两条对角线长分别为6cm和16cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是( )A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm5．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AE＋AF等于( )A．2 B．3 C．4 D．66．如图，▱ABCD中，AC⊥AB，O为对角线AC的中点，点E为AD的中点，连接OE，过点O作OF⊥BC于点F.若∠D＝53°，则∠FOE的度数是( )A．37° B．53° C．127° D．143°第6题图第7题图7．如图，点O为四边形ABCD内任意一点，E，F，G，H分别为OA，OB，OC，OD的中点，则四边形EFGH的周长为( )A．9 B．12 C．18 D．不能确定8．如图，在平行四边形ABCD中，按下列条件得到的四边形EFGH不一定是平行四边形的是( )9．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD＝5，DE＝6，则AG的长是( )A．6 B．8 C．10 D．12第9题图第10题图10．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE 交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC.其中正确的结论为( )A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④二、填空题(每小题3分，共15分)11．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是________．12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：____________，使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线)．第12题图第13题图第14题图13．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′＝________°.14．如图是一副形似“秋蝉”的图案，其实线部分是由正方形、正五边形和正六边形叠放在一起形成的，则图中∠MON的度数为________．15．在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝25，则▱ABCD的周长等于__________．三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)16．(8分)如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，E，F分别为AB，AD的中点，BC＝6，CD＝4，求EF的长．17．(9分)如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线． (1)请按如下步骤在图中完成作图(保留作图痕迹)：①分别以A ，C 为圆心，以大于12AC 长为半径画弧，弧在AC 两侧的交点分别为P ，Q .②连接PQ ，分别与AB ，AC ，CD 交于点E ，O ，F ； (2)求证：AE ＝CF .18．(9分)如图是郑州某街道示意图，字母表示公交站点，其中AF ∥BC ，EC ⊥BC ，BA ∥DE ，BD ∥AE .甲、乙两人同时从B 站乘车到F 站，甲乘1路车，路线是B →A →E →F ；乙乘2路车，路线是B →D →C →F .假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F 站？请说明理由．19．(9分)如图，以四边形ABCD 各顶点及各边延长线上的点构成△AEF ，△BGH ，△CMN ，△DPQ ，求∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠M ＋∠N ＋∠P ＋∠Q 的度数．20．(9分)如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E .(1)求证：BE ＝CD ；(2)连接BF ，AC ，DE ，当BF ⊥AE 时，求证：四边形ACED 是平行四边形．21．(10分)如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OA ＝5cm ，E ，F 为直线BD 上的两点，且DE ＝12OD ，BF ＝12OB ，连接AE ，CE ，CF ，AF .(1)求证：四边形AECF 为平行四边形；(2)若DE ＝13OD ，BF ＝13OB ，上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？(3)若CA 平分∠BCD ，∠AEC ＝60°，求四边形AECF 的周长．22．(10分)如图，在▱ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E ，使CE ＝12BC ，连接DE ，CF .(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形；(2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．23．(11分)如图，在▱ABCD中，连接对角线AC，∠CAD的平分线AF交CD于点F，∠ACD的平分线CG交AD于点G，AF，CG交于点O，E为BC上一点，且∠BAE＝∠GCD.(1)图①中，若△ACD是等边三角形，OC＝2，求▱ABCD的面积；(2)图②中，若△ACD是等腰直角三角形，且∠CAD＝90°，求证：CE＋2OF＝AC.参考答案与解析1．C 2.C 3.A 4.B 5.C 6.D 7.C 8.A 9.B10．D 解析：∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB＝∠EBF，∴∠CBE＝∠EBF，∴BE平分∠CBF，故①正确；∵BC＝EC，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF，∴CF平分∠DCB，故②正确；∵DC∥AB，∴∠DCF＝∠CFB.∵∠ECF ＝∠BCF，∴∠CFB＝∠BCF，∴BF＝BC，故③正确；∵FB＝BC，BE⊥CF，∴BE垂直平分FC，∴PF＝PC，故④正确．故选D.11．10 12.AD ＝BC (答案不唯一) 13.3614．33° 解析：由正五边形、正六边形和正方形的性质得∠AOM ＝108°，∠OBC ＝120°，∠NBC ＝90°，∠AOB ＝12×120°＝60°，∴∠MOB ＝108°－60°＝48°.∵∠OBN ＝360°－120°－90°＝150°，∴∠NOB ＝12×(180°－150°)＝15°，∴∠MON ＝∠MOB －∠NOB ＝48°－15°＝33°.15．12或20 解析：此题分两种情况讨论：(1)如图①，在▱ABCD 中，BC 边上的高AE ＝4，AB ＝5.∵AC ＝25，∴EC ＝AC 2－AE 2＝2，BE ＝AB 2－AE 2＝3，∴BC ＝BE ＋EC ＝5，∴▱ABCD 的周长为2(AB ＋BC )＝20；(2)如图②，BC ＝BE －EC ＝3－2＝1，∴▱ABCD 的周长为2(AB ＋BC )＝12，∴▱ABCD 的周长等于12或20.16．解：连接BD .∵∠C ＝90°，BC ＝6，CD ＝4，∴BD ＝BC 2＋CD 2＝62＋42＝213.(4分)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ＝12BD ＝12×213＝13.(8分)17．(1)解：图形如图所示．(4分)(2)证明：由作图可知PQ 垂直平分AC ，∴OA ＝OC .∵AB ∥CD ，∴∠OCF ＝∠OAE .(6分)在△OCF 与△OAE 中，⎩⎨⎧∠OCF ＝∠OAE ，OC ＝OA ，∠COF ＝∠AOE ，∴△OCF ≌△OAE ，∴AE ＝CF .(9分)18．解：同时到达F 站．(2分)理由如下：连接BE 交AD 于G ，∵BA ∥DE ，AE ∥DB ，∴四边形ABDE 为平行四边形，∴AB ＝DE ，AE ＝BD ，BG ＝GE .(4分)∵AF ∥BC ，G 是BE 的中点，∴F 是CE 的中点，即EF ＝FC .∵EC ⊥BC ，AF ∥BC ，∴AF ⊥CE ，即AF 垂直平分CE ，(7分)∴DE ＝DC ，即AB ＝DC ，∴AB ＋AE ＋EF ＝DC ＋BD ＋CF ，∴两人同时到达F 站．(9分)19．解：由三角形外角的性质可得∠FAB ＝∠E ＋∠F ，∠HBC ＝∠G ＋∠H ，∠DCN ＝∠M ＋∠N ，∠QDA ＝∠P ＋∠Q .(3分)∵四边形ABCD 的外角和为360°，∴∠FAB ＋∠HBC ＋∠DCN ＋∠QDA ＝360°，(6分)∴∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠M ＋∠N ＋∠P ＋∠Q ＝360°.(9分)20．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠BEA .(2分)∵AE 平分∠BAD ，∴∠EAB ＝∠EAD ，∴∠EAB ＝∠BEA ，∴AB ＝BE ，∴BE ＝CD .(4分)(2)∵BA ＝BE ，BF ⊥AE ，∴AF ＝EF .在△ADF 和△ECF 中，⎩⎨⎧∠DAF ＝∠CEF ，AF ＝EF ，∠AFD ＝∠EFC ，∴△ADF≌△ECF ，(7分)∴AD ＝CE .∵AD ∥CE ，∴四边形ADEC 是平行四边形．(9分)21．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵DE ＝12OD ，BF ＝12OB ，∴DE ＝BF ，∴OE ＝OF ，∴四边形AECF 为平行四边形．(3分) (2)解：∵DE ＝13OD ，BF ＝13OB ，∴DE ＝BF ，∴OE ＝OF ，∴四边形AECF 为平行四边形，∴上述结论成立，由此可得出结论：若DE ＝1n OD ，BF ＝1nOB ，则四边形AECF 为平行四边形．(6分)(3)解：在▱ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA .∵CA 平分∠BCD ，∴∠BCA ＝∠DCA ，∴∠DCA ＝∠DAC ，∴AD ＝CD .∵OA ＝OC ，∴OE ⊥AC ，∴OE 是AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE .∵∠AEC ＝60°，∴△ACE 是等边三角形，∴AE ＝CE ＝AC ＝2OA ＝10cm ，∴C 四边形AECF ＝2(AE ＋CE )＝2×(10＋10)＝40(cm)．(10分)22．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC .∵F 是AD 的中点，∴DF ＝12AD .(2分)又∵CE ＝12BC ，∴DF ＝CE .(4分)又∵DF ∥CE ，∴四边形CEDF 是平行四边形．(4分)(2)解：过点D 作DH ⊥BE 于点H .(5分)在▱ABCD 中，∵AB ∥CD ，∠B ＝60°，∴∠DCE ＝60°，∴∠CDH ＝30°.∵AB ＝4，∴CD ＝AB ＝4，∴CH ＝2，∴DH ＝DC 2－CH 2＝2 3.(7分)在▱CEDF 中，CE ＝DF ＝12AD ＝3，则EH ＝CE －CH ＝1.∴在Rt △DHE 中，由勾股定理得DE ＝DH 2＋HE 2＝（23）2＋1＝13.(10分)23．(1)解：∵△ACD 是等边三角形，∴AC ＝CD ＝AD ，∠ACD ＝∠D ＝∠CAD ＝60°.∵AF 平分∠CAD ，CG 平分∠ACD ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝30°，CG ⊥AD ，∴OA ＝OC ＝2.(2分)在Rt △AOG 中，∵∠OAG ＝30°，OA ＝2，∴OG ＝12OA ＝1，∴AG ＝3，∴AD ＝2AG ＝23，CG ＝AC 2－AG 2＝（23）2－（3）2＝3，∴S ▱ABCD ＝AD ·CG ＝23×3＝6 3.(5分)(2)证明：延长OF 到点M ，使FM ＝OF ，连接CM .∵△ACD 是等腰直角三角形，AF ，CG 是角平分线，∴AF ⊥CF ，∠OAC ＝∠D ＝∠ACD ＝45°，∠OCA ＝∠DCG ＝22.5°，∴∠COF ＝∠OAC ＋∠OCA ＝67.5°，∠AGC ＝∠D ＋∠GCD ＝67.5°，∴∠AOG ＝∠AGO ，∴OA ＝AG .(7分)∵CF⊥OM，OF＝FM，∴CO＝CM，∴∠M＝∠COM＝67.5°，∴∠ACM＝180°－∠CAM－∠M＝67.5°，∴∠ACM＝∠M，∴CA＝AM.(8分)∵∠BAE＝∠GCD＝22.5°，AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝45°，∴∠EAC＝∠ACG＝22.5°，∴AE∥CG.∵EC∥AG，∴四边形AECG 是平行四边形，∴CE＝AG＝OA，∴AC＝AM＝OA＋OM＝CE＋2OF.。

2018届高中数学北师大版（文）第8章平面解析几何单元测试52Word版含答案

2018届⾼中数学北师⼤版（⽂）第8章平⾯解析⼏何单元测试52Word版含答案课时作业52 椭圆⼀、选择题1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的⼀个焦点，且椭圆的另外⼀个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F 是椭圆的另外⼀个焦点)，∴周长为4a ＝4 3.答案：C2．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离⼼率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D .1925或21解析：若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，解得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，若c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 答案：C3．(20172湖北⼋校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y5＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A .514B .513C .49D .59解析：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM∥PF 2，∵OM⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.⼜∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝533313＝513，故选B . 答案：B4．(20162新课标全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的⼀个顶点和⼀个焦点，若椭圆中⼼到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离⼼率为( )A .13B .12C .23D .34解析：解法1：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l 的⽅程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bcb 2＋c 2＝1432b，解得b 2＝3c 2，⼜b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12(e ＝－12舍去)，故选B .解法2：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l 的⽅程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bcb 2＋＝1432b，所以bc a ＝1432b，所以e ＝c a ＝12，故选B .答案：B5．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，在长轴A 1A 2上任取⼀点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线，与椭圆的⼀个交点为P ，则使得PF 1→2PF 2→<0的点M 的概率为( )A .22B .223 C .63D .12解析：设P(x ，y)，PF 1→＝(－c －x ，－y)，PF 2→＝(c －x ，－y)，∵PF 1→2PF 2→＝(－c －x ，－y)2(c－x ，－y)＝x 2＋y 2－c 2＝x 2＋? ??1－x 24－3＝3x 24－2<0，∴－2632PF 2→<0的点M 的概率为23263232＝63.答案：C6．(20172湖北武昌调研)已知椭圆x 2a 2＋yb 2＝1(a>b>0)的左焦点F(－c,0)关于直线bx ＋cy ＝0的对称点P 在椭圆上，则椭圆的离⼼率是( )A .24B .34C .33D .22解析：设左焦点F(－c,0)关于直线bx ＋cy ＝0的对称点为P(m ，n)，则n m ＋c 2? ????－b c ＝－1，b2m －c 2＋c2n 2＝0n m ＋c ＝c b ，bm －bc ＋nc ＝0，所以m ＝b 2c －c 3b 2＋c 2＝ a 2－2c 2 c a 2＝(1－2e 2)c ，n ＝c 2b ＋bc 2b 2＋c 2＝2bc 2a2＝2be 2.因为点P(m ，n)在椭圆上，所以 1－2e 22c 2a 2＋4b 2e 4b 2＝1，即(1－2e 2)2e 2＋4e 4＝1，即4e 6＋e 2－1＝0，将各选项代⼊知e ＝22符合，故选D . 答案：D ⼆、填空题7．直线x －2y ＋2＝0过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1的左焦点F 1和⼀个顶点B ，则椭圆的⽅程为________．解析：直线x －2y ＋2＝0与x 轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c ＝2. 直线x －2y ＋2＝0与y 轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b ＝1.故a 2＝b 2＋c 2＝5，椭圆⽅程为x 25＋y 2＝1.答案：x 25＋y 2＝18．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为________．解析：如图，设椭圆的标准⽅程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，由题意知，2a ＝4，a ＝2，∵∠CBA＝π4，BC ＝2，∴点C 的坐标为C(－1,1)．⼜∵点C 在椭圆上，∴14＋1b 2＝1，∴b 2＝43，∴c 2＝a2－b 2＝4－43＝83，c ＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为463.答案：4639．(20172安徽江南⼗校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，若|PQ|＝a ，AP⊥PQ，则椭圆C 的离⼼率为________．解析：不妨设点P 在第⼀象限，由对称性可得|OP|＝|PQ|2＝a2，在Rt △POA 中，cos ∠POA＝|OP||OA|＝12，故∠POA＝60°，易得P ? ????14a ，34a ，代⼊椭圆⽅程得：116＋3a 216b 2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2－c 2)，则c 2a 2＝45，所以离⼼率e ＝255.答案：255三、解答题10．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F 2(1,0)，点H ? 2，2103在椭圆上．。

2018高考一轮北师大版数学文练习：第八章平面解析几

课时分层训练(四十六) 抛物线A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2016·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0)D ．(1,0)D [由y 2＝4x 知p ＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]2．(2017·云南昆明一中模拟)已知点F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在抛物线C 上，若|AF |＝4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．1B [由题意易知F (1,0)，F 到准线的距离为2，A 到准线的距离为|AF |＝4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为2＋42＝3.]3．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y23＝1的渐近线的距离是( )【导学号：66482402】A.12 B ．32 C ．1D ． 3B [由双曲线x 2－y 23＝1知其渐近线方程为y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，又y 2＝4x 的焦点F (1,0)，∴焦点F 到直线的距离d ＝3(3)2＋(－1)2＝32.] 4．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42xD [因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，p ＝2 2. 所以抛物线方程为y 2＝±42x .]5．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4C [如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由|PF |＝x 0＋2＝42，得x 0＝32，代入抛物线方程得，y 20＝42×32＝24，所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12|OF ||y 0|＝12×2×26＝2 3.] 二、填空题6．(2017·山西四校三联)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦长|AB |为__________.【导学号：66482403】8 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．易得抛物线的焦点是F (1,0)，所以直线AB 的方程是y ＝x －1.联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得x 2－6x ＋1＝0.所以x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]7．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为__________．－34 [∵点A (－2,3)在抛物线C 的准线上． ∴－p2＝－2，∴p ＝4，焦点F (2,0)．因此k AF ＝3－0－2－2＝－34.]8．已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线方程为__________．x 2＝3y [设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2，消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝2a2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线方程是x 2＝3y .] 三、解答题9．抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．[解] 由题意，设抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)．设公共弦MN 交y 轴于A ，则|MA |＝|AN |，且AN ＝ 5. 3分∵|ON |＝3，∴|OA |＝32－(5)2＝2， ∴N (5，±2). 6分∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y . 8分抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58，准线方程为y ＝－58. 10分抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程为y ＝58. 12分10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.【导学号：66482404】[解] (1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4. 3分由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . 5分(2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42). 8分设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22). 10分又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2. 12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303 B ．6 C ．12D ．7 3C [∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点， ∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，∴AB 的方程为y －0＝tan30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34. 联立⎩⎨⎧y 2＝3x ，y ＝33x －34，得13x 2－72x ＋316＝0，∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，即x A ＋x B ＝212.由于|AB |＝x A ＋x B ＋p ， ∴|AB |＝212＋32＝12.]2．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝__________.2 [抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4. 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ， y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16. 因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2) ＝16k 2－16k ＋4.所以16k 2－16k ＋4＝0，则k 2－4k ＋4＝0. 因此得k ＝2.]3．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF →＝2 FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值.【导学号：66482405】[解] (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得 y 2－4my －4＝0. 2分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 因为AF →＝2 FB →，所以y 1＝－2y 2. 联立上述三式，消去y 1，y 2得m ＝±24. 所以直线AB 的斜率是±2 2. 5分(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB. 8分因为2S△AOB ＝2×12·|OF|·|y1－y2|＝(y1＋y2)2－4y1y2＝41＋m2，所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4. 12分。

2018单元滚动检测卷高考数学理北师大版精练检测：九平

单元滚动检测九平面解析几何考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·北京海淀区一模)设a ∈R ，则直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．0，π4] B ．3π4，π) C ．0，π4]∪(π2，π)D ．π4，π2)∪3π4，π)2．已知点P (x 0，y 0)在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q (x ′，y ′)＝(x 0＋y 0，x 0y 0)的轨迹是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．椭圆D ．双曲线3．(2016·烟台调研)圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能4．(2016·福州质检)直线y ＝x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C 的离心率为( ) A.－1＋52 B.1＋52 C.3－52 D.125．(2016·兰州诊断考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 等于( )A.22B.32C.23D.336．(2016·长春质量检测)若F (c,0)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△OAB 的面积为12a 27，则该双曲线的离心率e 等于( ) A.53 B.43 C.54 D.857．设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是( ) A ．圆 B ．两条平行直线 C ．抛物线D ．双曲线8．我们把离心率为黄金比5－12的椭圆称为“优美椭圆”．设F 1，F 2是“优美椭圆”C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，则椭圆C 上满足∠F 1PF 2＝90°的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．39．(2016·青岛二模)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( ) A.12或32 B.23或2 C.12或2D.23或3210．(2017·深圳调研)已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程为( ) A ．x 2＝4y B ．y 2＝3x C ．x 2＝2yD ．y 2＝4x11．(2016·郑州质检)已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(6，172)，则|P A |＋|PM |的最小值是( ) A ．8 B.192 C ．10 D.21212．(2016·湖南六校联考)已知A ，B 分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，不同两点P ，Q 在椭圆C 上，且关于x 轴对称，设直线AP ，BQ 的斜率分别为m ，n ，则当2b a ＋a b ＋12mn ＋ln|m |＋ln|n |取最小值时，椭圆C 的离心率为( ) A.33 B.23 C.12 D.22第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．14．(2016·沈阳模拟)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 为抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点M 到y 轴的距离为________．15．(2016·山西四校联考)已知双曲线x 29－y 2b 2＝1(b >0)，过其右焦点F 作圆x 2＋y 2＝9的两条切线，切点记作C ，D ，双曲线的右顶点为E ，∠CED ＝150°，则双曲线的离心率为________．16．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在直线l ：x －2y ＝0上. (1)求此椭圆的离心率；(2)若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点在圆x 2＋y 2＝4上，求此椭圆的方程.18.(12分)(2016·北京西城区模拟)已知对任意m ∈R ，直线l ：y ＝x ＋m 与双曲线C ：x 22－y 2b 2＝1(b >0)恒有公共点.(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)若直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线交于P ，Q 两点，并满足FP →＝15FQ →，求双曲线C 的方程.19.(12分)(2016·四川高中名校联盟测试) 如图，已知F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过点F 2的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，直线l ，AF 1，BF 1的斜率分别为k ，k 1，k 2，且满足k 1k 2＋k 2＝0(k ≠0). (1)若a ＝2，b ＝3，求直线l 的方程； (2)若k ＝12，求|AF 1|＋|BF 2||AB |的值.20.(12分)(2016·烟台模拟)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆的一个焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.21.(12分)如图，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为32.(1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程.22.(12分)已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12，且经过点A (1，32).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上的两点.(ⅰ)若OP ⊥OQ ，求证：1|OP |2＋1|OQ |2为定值；(ⅱ)当1|OP |2＋1|OQ |2为(ⅰ)中所求定值时，试探究OP ⊥OQ 是否成立？并说明理由.答案解析1．B 设直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角为α，则tan α＝－1a 2＋1∈－1,0)，由于0≤α<π，故3π4≤α<π.] 2．B 设P 在以原点为圆心，1为半径的圆上运动，P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝1，∵Q (x ′，y ′)＝(x 0＋y 0，x 0y 0)， ∴⎩⎨⎧x ′＝x 0＋y 0，y ′＝x 0·y 0.∴x ′2＝x 20＋y 20＋2x 0y 0＝1＋2y ′，即Q 点的轨迹方程为y ′＝12x ′2－12， ∴Q 点的轨迹是抛物线．]3．C 圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， ∴圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝3，又圆心在直线2tx －y －2－2t ＝0上， ∴圆与直线相交，故选C.]4．A 设直线y ＝x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1在第一象限的交点为A ，依题意有点A 的坐标为(c ，c )，又点A 在椭圆C 上，故有c 2a 2＋c 2b 2＝1，因为b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＋c2a 2－c2＝1，所以c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3±52，又因为C 是椭圆，所以0<e <1，所以e ＝5－12.]5．A 设椭圆C 的焦距为2c (c <a )，由于直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0，所以ab a 2＋b2＝63c . 又b 2＝a 2－c 2，所以3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0，解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍去)，所以e ＝22，故选A.] 6．C 设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为θ，则tan θ＝b a ，tan 2θ＝2aba 2－b 2，因此△OAB 的面积可以表示为 12·a ·a tan 2θ＝a 3b a 2－b 2＝12a 27，解得b a ＝34，则e ＝54.故选C.] 7．B 设P (1，a )，Q (x ，y )．以点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ， k OP ·k OQ ＝ayx ×1＝－1，x ＝－ay ，∵|OP |＝|OQ |，∴1＋a 2＝x 2＋y 2＝a 2y 2＋y 2＝(a 2＋1)y 2，而a 2＋1>0，∴y 2＝1，∴y ＝1或y ＝－1， ∴动点Q 的轨迹是两条平行于x 轴的直线．] 8．A 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则⎩⎨⎧m ＋n ＝2a ，4c 2＝m 2＋n 2， mn ＝2a 2－2c 2. 而5－12＝c a ，所以mn ＝2a 2－2(5－12a )2＝(5－1)a 2，与m ＋n ＝2a 联立无实数解．] 9．A 设圆锥曲线Γ的离心率为e ，因为|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则①若圆锥曲线Γ为椭圆，由椭圆的定义，则有e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝34＋2＝12；②若圆锥曲线Γ为双曲线，由双曲线的定义，则有e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝34－2＝32.综上，所求的离心率为12或32，故选A.] 10．A 设P (x ，y )，则Q (x ，－1)． ∵QP →·QF →＝FP →·FQ→， ∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)，即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .]11．B 依题意可知焦点F (0，12)，准线为y ＝－12，延长PM 交准线于点H ，则|PF |＝|PH |， |PM |＝|PH |－12＝|PF |－12， |P A |＋|PM |＝|PF |＋|P A |－12，即求|PF |＋|P A |的最小值．因为|PF |＋|P A |≥|F A |，又|F A |＝62＋(172－12)2＝10，所以|PM |＋|P A |≥10－12＝192，故选B.]12．D 设点P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，所以mn ＝b 2a 2，从而2b a ＋a b ＋12mn ＋ln|m |＋ln|n |＝2b a ＋a b ＋a 22b 2＋ln b 2a 2，设b 2a 2＝x ，令f (x )＝12x ＋ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝2x －12x 2，f (x )min ＝f (12)，即b 2a 2＝12.因为2b a ＋ab ≥22，当且仅当2b a ＝a b ，即b 2a 2＝12时取等号，取等号的条件一致，此时e 2＝1－b 2a 2＝12，所以e ＝22.]13．(－3，－2)解析因为方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆．所以|a |－1>a ＋3>0，解得－3<a <－2. 14.54解析抛物线的准线为x ＝－14，由抛物线的定义及梯形中位线的性质知M 到抛物线准线的距离为32，所以点M 到y 轴的距离为32－14＝54.15.233解析由题可得△OCE 为等腰三角形，且底角为75°，所以顶角∠COE ＝30°，在Rt △OCF 中，|OC |＝3，易知|OF |＝23，即c ＝23，所以离心率e ＝c a ＝233. 16．32解析 ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为x ＝4，代入y 2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y 21＋y 22＝16＋16＝32.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －4)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －16k ＝0，由题意知k ≠0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16， ∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32>32.综合①②知(y 21＋y 22)min ＝32.17．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0， ∴x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，y 1＋y 2＝－(x 1＋x 2)＋2＝2b 2a 2＋b 2，∴线段AB 的中点坐标为(a 2a 2＋b 2，b 2a 2＋b 2)．∵线段AB 的中点在直线l 上， ∴a 2a 2＋b 2－2b 2a 2＋b 2＝0， ∴a 2＝2b 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝22.(2)由(1)知b ＝c ，从而椭圆的右焦点F 的坐标为(b,0)，设点F (b,0)关于直线l ：x －2y ＝0的对称点的坐标为(x 0，y 0)，则y 0－0x 0－b ·12＝－1，且x 0＋b 2－2·y 02＝0，∴x 0＝35b ，y 0＝45b .由已知得x 20＋y 20＝4，∴(35b )2＋(45b )2＝4， ∴b 2＝4，又由(1)知a 2＝2b 2＝8， ∴椭圆的方程为x 28＋y 24＝1. 18．解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22－y 2b2＝1，整理得(b 2－2)x 2－4mx －2(m 2＋b 2)＝0.当b 2＝2，m ＝0时，易知直线l 是双曲线C 的一条渐近线，不满足题意，故b 2≠2，易得e ≠ 2.当b 2≠2时，由题意知Δ＝16m 2＋8(b 2－2)(m 2＋b 2)≥0，即b 2≥2－m 2，故b 2≥2，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2＋b22≥2，e ≥ 2.综上可知，e 的取值范围为(2，＋∞)．(2)由题意知F (c,0)，直线l ：y ＝x －c ，与双曲线C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －c ，x 22－y 2b 2＝1，化简得(b 2－2)y 2＋2cb 2y ＋b 2c 2－2b 2＝0，当b 2＝2时，易知直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，与双曲线C 只有一个交点，不满足题意，故b 2≠2. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2cb 2b 2－2， ①y 1y 2＝b 2c 2－2b 2b 2－2， ②因为FP →＝15FQ →，所以y 1＝15y 2，③ 由①③可得y 1＝－cb 23(b 2－2)，y 2＝－5cb 23(b 2－2)，代入②整理得5c 2b 2＝9(b 2－2)(c 2－2)，又c 2＝b 2＋2，所以b 2＝7.所以双曲线C 的方程为x 22－y 27＝1.19．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，∴直线l 的方程为y ＝k (x －c )，将其代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得(b 2＋a 2k 2)x 2－2a 2k 2cx ＋a 2k 2c 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝a 2k 2c 2－a 2b 2b 2＋k 2a 2，而k 1＝y 1x 1＋c ＝k (x 1－c )x 1＋c ，k 2＝k (x 2－c )x 2＋c，由已知k 1k 2＋k 2＝0且k ≠0，得k 2(x 1－c )(x 2－c )(x 1＋c )(x 2＋c )＋k 2＝0，则(x 1－c )(x 2－c )＋(x 1＋c )(x 2＋c )＝0，即x 1x 2＋c 2＝0⇔a 2k 2c 2－a 2b 2b 2＋k 2a 2＋c 2＝0 ⇔2|k |ac ＝a 2－c 2⇔2|k |＝1e －e .∵a ＝2，b ＝3，∴c ＝1，即有e ＝c a ＝12，∴k ＝±324，则直线l 的方程为 32x －4y －32＝0或32x ＋4y －32＝0. (2)若k ＝12，则由(1)知2|k |＝1e －e ，∴e ＝22. ∵|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·(2a 2k 2c )2－4(b 2＋a 2k 2)(a 2k 2c 2－a 2b 2)b 2＋a 2k 2 ＝2ab 2(k 2＋1)a 2k 2＋b2，由椭圆定义可知|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ， ∴|AF 1|＋|BF 1||AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB ||AB |－1＝4a |AB |－1＝2(a 2k 2＋b 2)b 2(k 2＋1)－1＝8(14a 2＋b 2)5b 2－1＝25(a 2b 2＋4)－1 ＝25(11－e 2＋4)－1＝75，即|AF 1|＋|BF 1||AB |＝75. 20．解 (1)设F (c,0)，由题意k AF ＝2c ＝233，∴c ＝ 3.又∵离心率e ＝c a ＝32，∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝1，故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，方程为 y ＝kx －2，联立直线与椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝kx －2，化简，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.∵Δ＝16(4k 2－3)>0，∴k 2>34.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1·x 2＝121＋4k 2， ∴|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·44k 2－31＋4k 2. 坐标原点O 到直线l 的距离d ＝2k 2＋1， S △OPQ ＝121＋k 2·44k 2－31＋4k 2·2k 2＋1＝44k 2－31＋4k 2. 令t ＝4k 2－3(t >0)，则S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t . ∵t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时，等号成立，∴S △OPQ ≤1，故当t ＝2时，即4k 2－3＝2，k ＝±72时，△OPQ 的面积最大，从而直线l 的方程为7x －2y －4＝0或7x ＋2y ＋4＝0.21．解 (1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1,0)，B (1,0)是上半椭圆C 1的左右顶点．设C 1的半焦距为c ，由c a ＝32及a 2－c 2＝b 2＝1，得a ＝2，∴a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为 y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入C 1的方程，整理得 (k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*)设点P 的坐标为(x p ，y p )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得x p ＝k 2－4k 2＋4，从而y p ＝－8k k 2＋4， ∴点P 的坐标为(k 2－4k 2＋4，－8k k 2＋4)．同理，由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)(k ≠0)，y ＝－x 2＋1(y ≤0)，得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )．∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →＝－k (1，k ＋2)． ∵AP ⊥AQ ，∴AP →·AQ→＝0，即－2k 2k 2＋4k －4(k ＋2)]＝0. ∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83.经检验，k ＝－83符合题意．故直线l 的方程为8x ＋3y －8＝0.22．解 (1)由题意，设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将点A (1，32)代入，得1a 2＋94b 2＝1，结合离心率e ＝c a ＝12，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)(ⅰ)①若P ，Q 分别为椭圆长轴和短轴的端点，则1|OP |2＋1|OQ |2＝712；②若P ，Q 都不为椭圆长轴和短轴的端点，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，OP ：y ＝kx ，则OQ ：y ＝－1k x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝kx ，解得x 2P ＝124k 2＋3，y 2P ＝12k 24k 2＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝－1k x ，解得x 2Q ＝12k 23k 2＋4，y 2Q ＝123k 2＋4， ∴1|OP |2＋1|OQ |2＝1124k 2＋3＋12k 24k 2＋3＋112k 23k 2＋4＋123k 2＋4＝7k 2＋712k 2＋12＝712. 综合①②可知，1|OP |2＋1|OQ |2为定值712.(ⅱ)对于椭圆C 上的任意两点P ，Q ，当1|OP |2＋1|OQ |2＝712时，不妨设OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x ，易得x 2P ＝124k 21＋3，y 2P ＝12k 214k 21＋3，x 2Q ＝124k 22＋3，y 2Q ＝12k 224k 22＋3，由1|OP |2＋1|OQ |2＝712，得4k 21＋312k 21＋12＋4k 22＋312k 22＋12＝712，即8k 21k 22＋7k 21＋7k 22＋6＝7(k 21k 22＋k 21＋k 22＋1)，亦即k 1k 2＝±1.当1|OP |2＋1|OQ |2为定值712时，OP ⊥OQ 不一定成立．。

【高三数学试题精选】2018高考数学一轮复习平面解析几何训练(北师大含答案)

2018高考数学一轮复习平面解析几何训练(北师大含答案)
c 第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．直线3x－＋a＝0(a为常数)的倾斜角为( )
A．30° B．60°
c．150° D．120°
解析选B直线的斜率为＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°
2．(2018 河北省衡水中学一模)已知直线l的斜率为3，在轴上的截距为另一条直线x－2－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．＝3x＋2 B．＝3x－2
c．＝3x＋12 D．＝－3x＋2
解析选A因为直线x－2－4＝0的斜率为12，所以直线l在轴上的截距为2，所以直线l的方程为＝3x＋2，故选A
3．(2018 太原质检)若直线l与直线＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( ) A13 B．－13
c．－32 D23
解析选B依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有a＋7＝2，b＋1＝－2，解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为－3－17＋5＝－13
4．直线l经过A(2，1)，B(1，2)(∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0≤α＜π B．0≤α≤π4或π2＜α＜π
c．0≤α≤π4 Dπ4≤α＜π2或π2＜α＜π
解析选B直线l的斜率为＝2－11－2＝1－2≤1，又直线l的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α＜0或0≤tan α≤1，所以π2＜α＜π或0≤α≤π4故选B
5．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，。

2018届高中数学北师大版立体几何单元测试 Word版含答案

一．基础题组1.【2011课标，文8】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A. B. C. D .【答案】D【解析】由题意可知,该几何体为一个半圆锥与一个三棱锥组合而成,不难分析出,选项D正确.2.【2011全国1，文8】【答案】C3. 【2010全国1，文6】直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30° B．45° C．60° D．90°【答案】：C4. 【2005全国1，文2】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（A ）π28（B ）π8 （C ）π24 （D ）π4【答案】B【解析】由题知，截面圆半径为1，距离，截面圆半径，球的半径构成直角三角形，即球的半径的平方=距离的平方+截面圆半径的平方，所以，球的半径等于根号2，球的表面积公式4π*半径的平方，所以，答案是8π 5. 【2005全国1，文4】如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为( )（A ）32 （B ）33 （C ）34 （D ）23【答案】A【解析】6. 【2011全国1，文15】已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为【答案】237. 【2009全国卷Ⅰ,文15】已知OA 为球O 的半径,过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M,若圆M 的面积为3π,则球O 的表面积等于____________.【答案】:16π8. 【2014全国1，文19】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.【解析】（1）连结1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点.因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥.又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，。

2018届北师大版平面解析几何单元测试1

1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°解析：选B.直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°.2．(2016·大连模拟)倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B ．3x －y －3＝0C.3x ＋y －3＝0 D ．3x ＋y ＋3＝0解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1，0)，所以方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．(2016·太原质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D ．23解析：选B.依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13. 4．直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A ．0≤α＜πB ．0≤α≤π4或π2＜α＜π C ．0≤α≤π4 D ．π4≤α＜π2或π2＜α＜π 解析：选B.直线l 的斜率为k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，又直线l 的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α＜0或0≤tan α≤1，所以π2＜α＜π或0≤α≤π4.故选B. 5．已知函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，当x ＜0时，f (x )＞1，方程y ＝ax ＋1a表示的直线是( )解析：选C.因为x ＜0时，a x ＞1，所以0＜a ＜1.则直线y ＝ax ＋1a的斜率0＜a ＜1，在y 轴上的截距1a＞1.故选C. 6．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C.令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．7．过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为________．解析：设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.答案：3x ＋4y ＋15＝08．若点A (4，3)，B (5，a )，C (6，5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3. 由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：49．(2016·沈阳质量监测)若直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)经过点(1，2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线经过点(1，2)得1a ＋2b ＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )×1＝(a ＋b )×⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a＋2a b ，因为b a ＋2a b ≥2b a ×2a b＝22⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝2a b 时取等号，所以a ＋b ≥3＋2 2. 答案：3＋2 210．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a ＝________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．答案：1211．根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.解：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α＜π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13. 故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.12．设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 的斜率为1；(2)直线l 在x 轴上的截距为－3.解：(1)因为直线l 的斜率存在，所以m ≠0，于是直线l 的方程可化为y ＝－1m x ＋2m －6m. 由题意得－1m＝1，解得m ＝－1. (2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32. 法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.。

2018届北师大版立体几何检测卷

解答题专项训练四1.[2017·佛山模拟]如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角．求证：(1)CM ∥平面P AD ；(2)平面P AB ⊥平面P AD .证明 (1)以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CD 为y 轴，CP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz .∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0，0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32， ∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32. (1)设n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量，由⎩⎨⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n ⊥CM →.又CM ⊄平面P AD ，∴CM∥平面P AD .(2)如图，取AP 的中点E ，连接BE ，则E (3，2,1)，BE →＝(－3，2,1)．∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A .又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，∴BE →⊥DA →， ∴BE ⊥DA .又P A ∩DA ＝A ，∴BE ⊥平面P AD .又∵BE ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面P AD .2．[2017·南京模拟]如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．解 (1)如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz .依题易得D (0,0,0)，A (1,0,0)，M (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，N (1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，所以NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，－1，AM →＝(－1,0,1)．设异面直线NE 与AM 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈NE →，AM →〉|＝|NE →·AM →||NE →|·|AM →|＝1252×2＝1010. 所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为1010.(2)假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ，如图所示．因为AN →＝(0,1,1)，可设AS →＝λAN →＝(0，λ，λ)，λ∈[0,1]，又EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，0，所以ES →＝EA →＋AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，λ－1，λ. 由ES ⊥平面AMN ，得⎩⎨⎧ES →·AM →＝0，ES →·AN →＝0，即⎩⎨⎧ －12＋λ＝0，(λ－1)＋λ＝0，解得λ＝12，此时AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，|AS →|＝22. 经检验，当AS ＝22时，ES ⊥平面AMN .故线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ，此时AS ＝22.3. [2015·湖北高考]《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥BP 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE .(1)证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC BC 的值．解 (1)证明：如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ，则D (0,0,0)，P (0,0,1)，B (λ，1,0)，C (0,1,0)，PB →＝(λ，1，－1)，点E 是PC 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，12，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，于是PB →·DE →＝0，即PB ⊥DE .又已知EF ⊥PB ，而DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF .因PC →＝(0,1，－1)，DE →·PC →＝0，则DE ⊥PC ，所以DE ⊥平面PBC . 由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB .(2)由PD ⊥平面ABCD ，所以DP →＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量；由(1)知PB ⊥平面DEF ，所以BP →＝(－λ，－1,1)是平面DEF 的一个法向量．若平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的大小为π3，则cos π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BP →·DP →|BP →||DP →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1λ2＋2＝12，解得λ＝ 2. 所以DC BC ＝1λ＝22. 故当平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC ＝22.4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC ＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D.(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；(2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值．解(1)证明：取AB的中点为O，连接OD，OB1，因为B1B＝B1A，所以OB1⊥AB.又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，所以AB⊥平面B1OD.因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD.由已知，BC⊥BB1，又OD∥BC，所以OD⊥BB1.因为AB∩BB1＝B，所以OD⊥平面ABB1A1.又OD ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1.(2)由(1)知，OB ，OD ，OB 1两两垂直，以O 为坐标原点，OB 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .由题设知B 1(0,0，3)，D (0,1,0)，A (－1,0,0)，C (1,2,0)，C 1(0,2，3)．则B 1D →＝(0,1，－3)，AC →＝(2,2,0)，CC 1→＝(－1,0，3)．设平面ACC 1A 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·AC →＝0，m ·CC 1→＝0，即x ＋y ＝0，－x ＋3z ＝0，可取m ＝(3，－3，1)．设直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成的角为θ，故sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪B 1D →·m |B 1D →|·|m |＝217.5．[2017·福建模拟]如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．解 (1)证明：以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0，1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0. ∵AD 1→·B 1E →＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1.(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)．又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎨⎧ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0.取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－a 2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.(3)连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D .∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C .又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，∴AD 1⊥平面DCB 1A 1，∴AD 1→是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时AD 1→＝(0,1,1)．设AD 1→与n 所成的角为θ，则cos θ＝n ·AD 1→|n ||AD 1→|＝－a 2－a 2 1＋a 24＋a 2. ∵二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，∴|cos θ|＝cos30°，即3a 22 1＋5a 24＝32，解得a ＝2，即AB 的长为2.6．[2017·陕西模拟]如图1，矩形ABCD 中，AB ＝2BC ＝4，M ，N ，E分别为AD ，BC ，CD 的中点．现将△ADE 沿AE 折起，折起过程中点D 仍记作D ，得到图2所示的四棱锥D －ABCE .(1)证明：MN ∥平面CDE ；(2)当AD ⊥BE 时，求直线BD 与平面CDE 所成角的正弦值．解(1)证明：取AE 的中点F ，连接MF ，NF ，如图．因为M ，F 分别为AD ，AE 的中点，所以MF ∥DE ，又MF ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以MF ∥平面CDE .同理可证NF ∥平面CDE .又MF ，NF ⊂平面MNF ，MF ∩NF ＝F ，所以平面MNF ∥平面CDE .因为MN ⊂平面MNF ，所以MN ∥平面CDE .(2)因为AB ＝2BC ＝4，所以BE ＝AE ＝22，AE 2＋BE 2＝AB 2，所以BE ⊥AE .又AD ⊥BE ，AE ，AD ⊂平面ADE ，AE ∩AD ＝A ，所以BE ⊥平面ADE .又BE ⊂平面ABCE ，所以平面ADE ⊥平面ABCE .连接DF ，由△ADE 为等腰三角形，F 为AE 的中点，得DF ⊥AE ，所以DF ⊥平面ABCE .因为AD ＝DE ＝2，所以AE ＝22，所以DF ＝ 2.以点E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz ，则E (0,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (1，－1，2)，BD →＝(－1，－3，2)．设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·EC →＝0，n ·ED →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，x －y ＋2z ＝0，令z ＝－2，则x ＝2，得平面CDE 的一个法向量n ＝(2,0，－2)．设直线BD 与平面CDE 所成的角为α，则sin α＝|cos 〈BD →，n 〉|＝|BD →·n ||BD →|·|n |＝412×6＝23，即直线BD 与平面CDE 所成角的正弦值为23.7．[2017·郑州模拟] 已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是边AC 和AB 的中点，现将△ADE 沿DE 折起，使平面ADE ⊥平面DEBC ，H ，F 分别是边AD 和BE 的中点，平面BCH 与AE ，AF 分别交于I ，G 两点．(1)求证：IH ∥BC ；(2)求二面角A －GI －C 的余弦值；(3)求AG 的长．解 (1)证明：因为D ，E 分别是边AC 和AB 的中点，所以ED ∥BC .因为BC ⊂平面BCH ，ED ⊄平面BCH ，所以ED ∥平面BCH . 因为ED ⊄平面BCH ，ED ⊂平面AED ，平面BCH ∩平面AED ＝HI ，所以ED ∥HI .又因为ED ∥BC ，所以IH ∥BC .(2)如图，建立空间直角坐标系，由题意得，D (0,0,0)，E (2，0,0)，A (0,0,2)，F (3,1,0)，C (0,2,0)，H (0,0,1)，B (4,2,0)，EA →＝(－2,0,2)，EF →＝(1,1,0)，CH →＝(0，－2，1)，HI →＝12DE →＝(1,0,0)．设平面AGI 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧EA →·n 1＝0，EF →·n 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋z 1＝0，x 1＋y 1＝0，令z 1＝1，解得x 1＝1，y 1＝－1，则n 1＝(1，－1,1)．设平面CIG 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧CH →·n 2＝0，HI →·n 2＝0，⎩⎪⎨⎪⎧－2y 2＋z 2＝0，x 2＝0，令z 2＝2，解得y 2＝1，则n 2＝(0,1,2)．所以cos 〈n 1，n 2〉＝－1＋23×5＝1515，所以二面角A －GI －C 的余弦值为1515.(3)由(2)知，AF →＝(3,1，－2)，设AG →＝λAF →＝(3λ，λ，－2λ)，0<λ<1，则GH →＝AH →－AG →＝(0,0，－1)－(3λ，λ，－2λ)＝(－3λ，－λ，2λ－1)，由GH →·n 2＝0，解得λ＝23，故AG ＝23AF ＝23 32＋1＋(－2)2＝2143.8.[2016·四川高考]如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD ，E 为棱AD 的中点，异面直线P A 与CD 所成的角为90°.(1)在平面P AB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(2)若二面角P －CD －A 的大小为45°，求直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值．解 (1)证明：在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行．延长AB，DC，相交于点M(M∈平面P AB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)解法一：由已知，CD⊥P A，CD⊥AD，P A∩AD＝A，所以CD ⊥平面P AD，从而CD⊥PD，所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角，所以∠PDA＝45°.设BC＝1，则在Rt△P AD中，P A＝AD＝2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH，易知P A ⊥平面ABCD.又CE⊂平面ABCD，从而P A⊥CE，又P A∩AH＝A，于是CE⊥平面P AH，而CE⊂平面PCE，所以平面PCE⊥平面P AH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE，所以∠APH是P A与平面PCE所成的角．在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，所以AH＝2 2.在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝322，所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.解法二：由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角，所以∠PDA ＝45°. 由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD .设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)，所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)．设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0，设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)．设直线P A 与平面PCE 所成角为α，则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13，所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.。

2018届北师大版(理) (五)解析几何单元测试

解析几何1．如果直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．－13C ．－23D ．－22．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．33．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与该圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 5．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝86．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73 B.54C.43D.53 7．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是抛物线C 的准线与椭圆E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．128．双曲线C 1：x 2m 2－y 2b 2＝1(m ＞0，b ＞0)与椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有相同的焦点，双曲线C 1的离心率是e 1，椭圆C 2的离心率是e 2，则1e 21＋1e 22＝( ) A.12B ．1 C. 2 D ．29．F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B .若2AF →＝FB →，则C 的离心率是( ) A. 2B ．2 C.233 D ．14310．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( ) A ．2B ．3C ．4D ．511．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 22－y 22＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B ．x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D ．x 220＋y 25＝1 12.已知点P 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左支上一点，F 1、F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M 、N 两点(如图)，点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是( ) A. 2B ． 3C ．2D ． 513．圆x 2＋y 2＝4上恰有三个点到直线x ＋y ＋m ＝0的距离都等于1，则m ＝________．14．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O 、F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线方程为________．15．若点P 是以A (－3，0)，B (3，0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一个交点，则|P A |＋|PB |＝________．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，椭圆上的点到点Q (1，0)的距离的最大值为3，则椭圆C 的方程为________．参考答案与解析1．D 因为直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，所以⎝⎛⎭⎫－a 2³(－1)＝－1，所以a ＝－2.2．B 由题意及双曲线的定义有||PF1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6.所以 |PF 2|＝9.3．[导学号：30812216] B将圆的方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即（0＋a ）2＋（0＋1）2>2a ，所以原点在圆外．4．A 由e ＝33得c a ＝33.① 又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3，代入①得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1. 5．A 直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －y ＋1＝0，即(－1，0)．根据题意，圆心为(－1，0)．因为圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.6．D由双曲线的一条渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，所以b 2a 2＝169. 又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，所以e 2＝259，所以e ＝53. 7．[导学号：30812217] B 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，所以椭圆中c ＝2，又c a ＝12，所以 a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，从而椭圆方程为x 216＋y 212＝1. 因为抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，所以 x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3，由图象可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B.8．D依题意，双曲线C 1中c 2＝m 2＋b 2，椭圆C 2中c 2＝a 2－b 2，所以a 2－b 2＝m 2＋b 2，即m 2＝a 2－2b 2，所以1e 21＋1e 22＝a 2－2b 2c 2＋a 2c 2 ＝2a 2－2b 2c 2＝2（a 2－b 2）c 2＝2. 9．C由已知得渐近线为l 1：y ＝b a x ，l 2：y ＝－b ax ，由条件得，F 到渐近线的距离|F A |＝b ，则|FB |＝2b ，在Rt △AOF 中，|OF |＝c ，则|OA |＝c 2－b 2＝a .设l 1的倾斜角为θ，即∠AOF＝θ，则∠AOB ＝2θ.在Rt △AOF 中，tan θ＝b a ，在Rt △AOB 中，tan 2θ＝3b a，而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ，即3b a ＝2b a 1－b 2a 2，即a 2＝3b 2，所以a 2＝3(c 2－a 2)，所以e 2＝c 2a 2＝43，即e ＝233. 10．B 由抛物线的方程可知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l 的斜率k ＝tan 60°＝3，则直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1＞0，y 2＜0)．将直线方程和抛物线方程联立消去x 并整理可得y 2－233py －p 2＝0，解得y 1＝3p ，y 2＝－33p .所以|AF ||BF |＝|y 1||y 2|＝333＝3，故选B.11．[导学号：30812218] D 由e ＝32可得a ＝2b ，则椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.双曲线x 22－y 22＝1的渐近线方程为y ＝±x ，则以双曲线的渐近线与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形，设在第一象限的小正方形边长为m ，则m 2＝4，m ＝2，从而点(2，2)在椭圆上，即224b 2＋22b 2＝1，解得b 2＝5.于是b 2＝5，a 2＝20.故椭圆方程为x 220＋y 25＝1. 12．D 由题意可知，ON 为△PF 1F 2的中位线，所以PF 1∥ON ，所以tan ∠PF 1F 2＝tan ∠NOF 2＝k ON ＝b a，所以⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2||PF 1|＝b a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝2b . 又因为|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以2b －2a ＝2a ，b ＝2a ，c ＝a 2＋b 2＝5a ，e ＝c a ＝ 5. 13.由题意知直线x ＋y ＋m ＝0为斜率为1的半径的中垂线，圆心到该直线的距离为1，即|m |2＝1，所以m ＝±2. ± 214. 依题意，设圆心为M ，且M 在抛物线上，又圆的面积为36π，所以半径|OM |＝6，所以|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p 2，又|MF |＝|MO |，即x M ＝p 4，所以6－p 2＝p 4，解得p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝16x .y 2＝16x15. 不妨设点P 在双曲线的右支上，则|P A |>|PB |，因为点P 是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|P A |－|PB |＝25①，又|P A |2＋|PB |2＝36②，①②联立化简得2|P A |²|PB |＝16，所以(|P A |＋|PB |)2＝|P A |2＋|PB |2＋2|P A |·|PB |＝52，所以|P A |＋|PB |＝213.21316．[导学号：30812219] 因为e ＝ca ＝1－b 2a 2＝12，所以b 2＝34a 2，则3x 2＋4y 2＝3a 2.设椭圆上任意一点P (x 0，y 0)，则|PQ |＝（x 0－1）2＋y 20＝ 14（x 0－4）2＋34a 2－3(－a ≤x 0≤a )，记f (x 0)＝14(x 0－4)2＋34a 2－3，当|PQ |取得最大值3时，f (x 0)取得最大值9.因为f (x 0)的图象开口向上，对称轴为x 0＝4，且a >0，则|－a －4|>|a －4|，故f (x 0)max ＝f (－a )＝9，解得a ＝－4(舍)或a ＝2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. x 24＋y 23＝1。

2018新北师大版数学八年第六章平行四边形附答案

第六章复习一、选择题1．已知▱ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（）A．4 B．12 C．24 D．282．在平行四边形ABCD中，∠B=60°，那么下列各式中，不能成立的是（）A．∠D=60° B．∠A=120°C．∠C+∠D=180°D．∠C+∠A=180°3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＞BC，按以下步骤作图：以A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、CD于E、F；再分别以E、F为圆心，大于EF的长半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD 于点H．则下列结论：①AG平分∠DAB，②CH=DH，③△ADH是等腰三角形，④S△ADH=S四边形ABCH．其中正确的有（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③4．在△MNB中，BN=6，点A，C，D分别在MB，NB，MN上，四边形ABCD为平行四边形，且∠NDC=∠MDA，则四边形ABCD的周长是（）A．24 B．18 C．16 D．125．如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①② B．只有①②③C．只有③④ D．①②③④二、填空题6．已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C= ．7．如图，平行四边形ABCD中，AC=4cm，BC=5cm，CD=3cm，则▱ABCD 的面积．8．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为．9．如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3），则D点的坐标是．10．如图所示，在▱ABCD中，E为AD中点，CE交BA的延长线于F，若BC=2AB，∠FBC=70°，则∠EBC的度数为度．三、解答题11．如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．（1）求证：CD=CE；（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．12．已知：如图，在▱ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于点G．（1）求证：AE⊥DF；（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．参考答案与试题解析一、选择题1．已知▱ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（）A．4 B．12 C．24 D．28【考点】平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，根据2（AB+BC）=32，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∵平行四边形ABCD的周长是32，∴2（AB+BC）=32，∴BC=12．故选B．【点评】本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能利用平行四边形的性质进行计算是解此题的关键．2．在平行四边形ABCD中，∠B=60°，那么下列各式中，不能成立的是（）A．∠D=60° B．∠A=120°C．∠C+∠D=180°D．∠C+∠A=180°【考点】平行四边形的性质；多边形内角与外角．【专题】压轴题．【分析】由于平行四边形中相邻内角互补，对角相等，而∠A和∠C 是对角，而它们和∠B是邻角，∠D和∠B是对角，由此可以分别求出它们的度数，然后可以判断了．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，而∠B=60°，∴∠A=∠C=120°，∠D=60°．所以D是错误的．故选D．【点评】本题主要利用了平行四边形的角的性质解决问题．3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＞BC，按以下步骤作图：以A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、CD于E、F；再分别以E、F为圆心，大于EF的长半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD 于点H．则下列结论：①AG平分∠DAB，②CH=DH，③△ADH是等腰三角形，④S△ADH=S四边形ABCH．其中正确的有（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③【考点】平行四边形的性质；作图—复杂作图．【分析】根据作图过程可得得AG平分∠DAB；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAH=∠DHA，进而得到AD=DH，从而得到△ADH是等腰三角形．【解答】解：根据作图的方法可得AG平分∠DAB，故①正确；∵AG平分∠DAB，∴∠DAH=∠BAH，∵CD∥AB，∴∠DHA=∠BAH，∴∠DAH=∠DHA，∴AD=DH，∴△ADH是等腰三角形，故③正确；故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及角平分线的做法，关键是掌握平行四边形对边平行．4．在△MNB中，BN=6，点A，C，D分别在MB，NB，MN上，四边形ABCD 为平行四边形，且∠NDC=∠MDA，则四边形ABCD的周长是（）A．24 B．18 C．16 D．12【考点】平行四边形的性质．【分析】本题利用了平行四边形的性质，两组对边分别平行，利用两直线平行得出同位角相等后，再根据已知条件判断出BM=BN，从而四边形ABCD的周长=BM+BN=2BN而求解．【解答】解：在平行四边形ABCD中CD∥AB，AD∥BC，∴∠M=∠NDC，∠N=∠MDA，∵∠NDC=∠MDA，∴∠M=∠N=∠NDC=∠MDA，∴MB=BN=6，CD=CN，AD=MA，∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=MA+AB+BC+CN=MB+BN=2BN=12．故选D．【点评】要求周长就要先求出四边的长，要求四边的长，就要根据平行四边形的性质和已知条件计算．5．如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①② B．只有①②③C．只有③④ D．①②③④【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．【专题】压轴题．【分析】根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．【解答】解：∵△ABE、△ADF是等边三角形∴FD=AD，BE=AB∵AD=BC，AB=DC∴FD=BC，BE=DC∵∠B=∠D，∠FDA=∠ABE∴∠CDF=∠EBC∴△CDF≌△EBC，故①正确；∵∠FAE=∠FAD+∠EAB+∠BAD=60°+60°+（180°﹣∠CDA）=300°﹣∠CDA，∠FDC=360°﹣∠FDA﹣∠ADC=300°﹣∠CDA，∴∠CDF=∠EAF，故②正确；同理可得：∠CBE=∠EAF=∠CDF，∵BC=AD=AF，BE=AE，∴△EAF≌△EBC，∴∠AEF=∠BEC，∵∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°，∴∠FEC=60°，∵CF=CE，∴△ECF是等边三角形，故③正确；在等边三角形ABE中，∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG=30°，∠ABC=150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．故选B．【点评】本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学生综合运用数学知识的能力．二、填空题6．已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C= 36°．【考点】平行四边形的性质．【分析】首先利用平行四边形性质得到∠C=∠A，BC∥AD，推出∠A+∠B=180°，求出∠A的度数，即可求出∠C．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠A，BC∥AD，∴∠A+∠B=180°，∵∠B=4∠A，∴∠A=36°，∴∠C=∠A=36°，故答案为36°．【点评】本题考查了平行四边形性质和平行线的性质的应用，主要考查学生运用平行四边形性质进行推理的能力，题目比较好，难度也不大．7．如图，平行四边形ABCD中，AC=4cm，BC=5cm，CD=3cm，则▱ABCD 的面积12cm2．【考点】平行四边形的性质．【分析】利用勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，再利用平行四边形的面积等于2倍的△ABC的面积计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=3cm，∵AC=4cm，BC=5cm，∴AC2+AB2=AC2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC=×3×4=6cm2，∴则▱ABCD的面积=2×6=12cm2，【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，题目比较简单．8．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为25°．【考点】平行四边形的性质．【专题】压轴题．【分析】由，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，可得到AD=DE即△ADE是等腰三角形，再由且∠BAD=60°，∠F=110°，即可求出∠DAE的度数．【解答】解：∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且CD=CD，∴AD=DE，∵∠DAE=∠DEA，∵∠BAD=60°，∠F=110°，∴∠ADC=120°，∠CDE═∠F=110°，∴∠ADE=360°﹣120°﹣110°=130°，∴∠DAE==25°，【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．9．如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3），则D点的坐标是（5，0）．【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】设CE和x轴交于H，由对称性可知CE=6，再根据等边三角形的性质可知AC=CE=6，根据勾股定理即可求出AH的长，进而求出AO和DH的长，所以OD可求，又因为D在x轴上，纵坐标为0，问题得解．【解答】解：∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是（7，﹣3），第六章复习一．选择题1．下列说法错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2．如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是（）A．5 B．7 C．8 D．10 3．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A．①，② B．①，④ C．③，④D．②，③4．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（）A．150°B．130° C．120°D．100°5．若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（）A．三角形 B．四边形 C．五边形D．六边形6．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7 B．10 C．35 D．70 7．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm 8．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）A．13 B．17 C．20 D．26 9．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（）A．6 B．12 C．20 D．24 10．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE 11．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF 的长为（）A．7 B．8 C．9 D．1012．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（）A．4 B．8 C．2 D．4二．填空题13．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．14．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于．15．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为．16．已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C （x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x= ．17．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC=5，EF=3．（1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S= ；（2）若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′S（用“＞”或“=”或“＜”填空）．三．解答题18．已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．19．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．20．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD 于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD 的面积．21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC 交BD于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．22．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD 及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．。

2018届北师大版解析几何检测卷

1．【2017湖南省五市十校教研教改共同体高三12月联考，7】已知12F F 、是双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，过点1F 且与x 轴垂直的直线与双曲线左支交于点,M N ，已知2MF N ∆是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）．A ．B ．2C ．1+．2【答案】C【解析】由题意得222222210,11b c c a ac e e e e a=⇒-=⇒--=>⇒=+ C.【易错点】要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 2．【2017广东郴州市高三第二次教学质量监测试卷,10】已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过,F A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若1)FA AB =-，则此双曲线的离心率是（）A B D ．【答案】A【解析】FA 的方程为1x yc b +=-，即0bx cy bc -+=，联立00bx cy bc bx ay -+=⎧⎨-=⎩得(,),1)ca bc B FA AB c a c a =--- ，所以1)cac c a=-⋅-，解得e =，故选A. 【易错点】1.双曲线的几何性质；2.向量的坐标运算.3．【2017四川省凉山州高中毕业班第一次诊断性检测,8】已知双曲线221x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若1260F PF ∠=︒，则三角形12F PF 的面积为（）A ．2B ．C D ．【答案】C【解析】1221tan 30tan2F PF b S θ===︒,故选C.【易错点】双曲线的几何性质4．【2017山东省枣庄市高三上学期期末，8】过抛物线()240y ax a =>的焦点F 作斜率为1-的直线,l l 与离心率为e 的双曲线()222210x y b a b-=>的两条渐近线的交点分别为,B C .若,,B C F x x x 分别表示,,B C F 的横坐标，且2F B C x x x =- ，则e =（）A ．6 BC.3 D【答案】D【易错点】1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与圆锥曲线的位置关系．5．【2017广东高三上学期阶段测评（一），11】过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线交于 M N ，两点，若4MF FN = ，则直线l 的斜率为（）A ．32±B ．23± C.34± D ．43±【答案】D【解析】不妨设()()()111122 0 0 M x y x y N x y >>，，，，，∵4MF FN =，∴124y y =-，又212y y p =-，∴22 28p py x =-=，，∴042382MN pk p p --==-.根据对称可得直线l 的斜率为43±.选D.【易错点】直线与抛物线位置关系6．如图，12 A A ，为椭圆22195x y +=的长轴的左、右端点，O 为坐标原点， S Q T ，，为椭圆上不同于12 A A ，的三点，直线12 QA QA OS ，，，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT +=（）A ．5B ．3．14 【答案】D【易错点】解析几何定值问题7．【2017广西南宁、梧州高三毕业班摸底联考，12】已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S =△△，则椭圆的离心率为（）A D 【答案】A【解析】设椭圆的左、右焦点分别为()()12 0 0F c F c -，，，，由x c =-，代入椭圆方程可得2by a =±，可设()2 b A c C x y a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，，23ABC BCF S S =△△，可得222AF F C = ，即有()22 2 b c x c y a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，，，即2222 2b c x c y a =--=，，可得22 2b x c y a ==-，，代入椭圆方程可得，2222414c b a a+=，由222 c e b a c a ==-，，即有221414e e -+=，解得e = A.【易错点】椭圆离心率8．【2017贵州遵义市高三第一次联考，11】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为62，左顶点到一条渐近线的距离为263，则该双曲线的标准方程为（） A ．22184x y -= B ．221168x y -= C ．2211612x y -= D ．221128x y -=【答案】A【解析】66,222e c a a b =⇒==，渐近线方程2222022x y y x b b -=⇒=±，因此左顶点到一条渐近线的距离为||2622,233a ab =⇒==，即该双曲线的标准方程为22184x y -=，选A. 【易错点】双曲线渐近线9.【2017云南大理高三第一次统测，11】已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =（） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2 【答案】A【易错点】双曲线的方程10.设直角坐标平面内与两个定点()2 0A -，、()2 0B ，的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是E .C 是轨迹E 上一点，直线BC 垂直于x 轴，则AC BC ⋅=（）A ．9-B ．3- C.3 D ．9 【答案】D【解析】由双曲线定义得E ：2224,22,113x y c a ==-=，因此(2,3)C ±，因此29AC BC BC ⋅== ,选D.【易错点】双曲线的定义11．【2017广东高三上学期阶段测评（一），8】已知双曲线()222210 0x y a b a b -=>>，的左、右焦点分别为12 F F ，，且2F 为抛物线224y x =的焦点，设点P 为两曲线的一个公共点，若12PF F △的面积为）A ．221927x y -= B ．221279x y -= C.221169x y -= D ．221916x y -= 【答案】A【解析】设P 点为第一象限点，且()11 P x y ，，1211122PF F S y =⨯⨯=△1y =，19x =，∴1226a PF PF =-=，∴ 2 a b ==，，故双曲线方程为221927x y -=.选A. 【易错点】双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|的转化.12．【2017广西柳州市高三10月模拟，10】已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）与抛物线28y x =有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为P ，若||5PF =，则双曲线的渐进线方程为（）A ．0x ±=B ．20x y ±=C 0y ±=D ．20x y ±=【答案】C【易错点】双曲线的渐进方程13．【2017云南大理高三第一次统测，15】在直角坐标系xOy 中，有一定点()1,2M -，若线段OM 的垂直平分线过抛物线()220x py p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是____________．【答案】54y =-【解析】线段OM 的中点为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭，2OM k =-所以线段OM 的垂直平分线方程为11122y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即5202x y -+=，其y 轴的交点为5,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,所以该抛物线的准线方程是54y =-. 【易错点】抛物线的标准方程14．【2017广西柳州市高三10月模拟，16】设双曲线22196x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则22||||AF BF +的最小值等于．【答案】16 【解析】22211226||||2||2||4||443163b AF BF a AF a BF a AB a a ⨯+=+++=+≥+=⨯+=【易错点】双曲线的定义15．【2017广东郴州市高三第二次教学质量监测试卷,21】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点3(1,)2.若点00(,)M x y 在椭圆C上，则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“椭点”. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点，且,A B 两点的“椭点”分别为,P Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求AOB ∆的面积.【答案】(1) 22143x y +=；（2.【解析】（Ⅰ）由12e =，得2a c =，又222,a b c b =+∴=，∴椭圆2222:+143x y C c c =，因点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在C 上，22914+143c c ∴=，得1c =，2,a b ∴==，所以椭圆C 的方程为：22143x y +=；（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y，则12,22x x P Q ⎛⎛ ⎝⎝，由以PQ 为直径的圆经过坐标原点，得0OP OQ ⋅=，即1212043x x y y += （1）由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消除y 整理得：()()222348430k x mk m +++-=，由()()222264163430k m k m ∆=-+->，得22340k m +->，而()2121222438,3434m mkx x x x k k -+=-=++ （2） ()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -∴=++=+++=+ （3）将（2）（3）代入（1）得：()()()()2222243340434434m m k kk--+=++，即22243m k -=，=，原点O 到直线:l y kx m =+的距离d =，12AOBS AB d ∆∴==把22243m k -=代入上式得AOB S ∆=，即AOB S ∆【易错点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.新定义问题. 16. 【2017四川省凉山州高中毕业班第一次诊断性检测，20】设椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，E 上一点P 到右焦点距离的最小值为1．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,2)的直线交椭圆E 于不同的两点A ，B ，求OA OB ⋅的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）13(,]4-∞. 【解析】（1）由题意得12c a =，且1a c -=，∴2a =，1c =，故2223b a c =-=， ∴椭圆的方程为22143x y +=．（2）①当k 不存在时，(0,A ，B ，∴(0,3OA OB ⋅=⋅=-；（iii ）代入（ii ）中25133314OA OB ⋅≤-+=+， ∴13(,]4OA OB ⋅∈-∞ ．【易错点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.向量的坐标运算. 17．【2017河南省广东省佛山市高三教学质量检测（一），20】（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()2 1M ，（1）求椭圆C 的方程；（2）设()0 1A -，，直线l 与椭圆C 交于 P Q ，两点，且AP AQ =，当OPQ △（O 为坐标原点）的面积S 最大时，求直线l 的方程.【答案】（1）22182x y +=；（2）1y =±或3y =+．【解析】（1）依题意得：22411a b+=，c e a ==，又222a b c =+，解得28a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22182x y +=.（2）显然，直线l 的斜率k 存在.①当0k =时，可设直线l 的方程为0y y =，()00 P x y -，，()00 Q x y ，，则2200182x y +=.所以()220000002122222y y S x y x y +-=⋅=⋅=≤⋅=. 当且仅当22002y y =-，即01y =时取等号，此时直线l 的方程为1y =±. ②当0k ≠时，可设直线l 的方程为y kx m =+，()11 P x y ，，()22 Q x y ，，联立22182y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()222148420k x kmx m +++-=.由()()()2228414420km k m ∆=-+⋅->，得2282k m +>（*），则有122814km x x k +=-+，()21224214m x x k -=+，于是可得PQ 的中点为224 1414kmm kk ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，.……9分因为AP AQ =，所以2211144014mk km k k++=---+，化简得2143k m +=，结合（*）可得06m <<. 又O 到直线l的距离为d =-所以1122S PQ d =⋅=.即S == 所以，当3m =时，S 取最大值，此时，k =l 的方程为3y =+. 综上所述，直线l 的方程为1y=±或3y =+.【易错点】1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．18．【2017山东省枣庄市高三上学期期末，21】（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y a b a b Ω+=>>，过点Q ⎫⎪⎪⎭作圆221x y +=的切线，切点分别为,S T .直线ST 恰好经过Ω的右顶点和上顶点.（1）求椭圆Ω的方程；（2）如图，过椭圆Ω的右焦点F 作两条互相垂直的弦,AB CD .① 设,AB CD 的中点分别为,M N ，证明: 直线MN 必过定点，并求此定点坐标； ②若直线,AB CD 的斜率均存在时，求由,,,A C B D 四点构成的四边形面积的取值范围.【答案】(1) 2212x y +=；(2)①2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；②16,29⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【解析】(1)过⎫⎪⎪⎭作圆221x y +=的切线，一条切线为直线1y =，切点()0,1S .设另一条切线为1y k x ⎛-=-⎝，即2220kx y -+=. 因为直线与圆221x y +=1，解得k =-，所以切线方程为3y =-+.由2231y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，解得13T ⎫⎪⎪⎭，直线ST的方程为)10y x -=-,即1y x =-. 令0x =，则1y =所以上顶点的坐标为()0,1，所以1b =；令0y =，则x =所以右顶点的坐标为)，所以a =所以椭圆Ω的方程为2212x y +=.若22222122k k k =++，得1k =±，则直线MN 斜率不存在. 此时直线MN 过点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 下证动直线MN 过定点2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.② 当直线,AB CD 的斜率均存在且不为0时，由①可知，将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得 ()2222124220k x k x k +-+-=,所以===.=()2242411122225k S AB CD k k +===++ 四边形222222114422211252121k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为22121219k k ⎛⎛⎫++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当1k =±时取等号，所以22221620,2299112121k k k k <≤≤-<⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1629S ≤<四边形，所以，由,,,A C B D 四点构成的四边形面积的取值范围为16,29⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【易错点】1、直线与圆的位置关系；2、椭圆的方程及几何性质；3、直线与椭圆的位置关系．19．【2017山西大学附属中学上学期11月模块诊断，20】已知点(0,2)A -,椭圆:E 22221(0)x y a b a b +=>>，F 是椭圆的右焦点，直线AFO 为坐标原点．（I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当POQ ∆的面积最大时，求l 的方程【答案】（I ）2214x y +=（II）2y x =-或2y x =- 【解析】（I ）设(,0)F c ，由条件知2c =得c =又c a =所以2a =，2221b a c =-=，故E 的方程为2214x y +=t =，则0t >，24444OPQ t S t t t∆==++，因为44t t +≥,当且仅当2t =，即k =0∆>.所以当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为2y x =-或2y x =- 法二：令241k m +=，则22216(4)1416()OPQ m S m m m ∆-==-当118m =时，即 8m = ，2418k += ，k =0∆>.所以OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为2y x =-或2y x =-；【易错点】椭圆的标准方程，点到直线的距离公式，弦长公式，二次分式类函数最值的求法20.【湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考，20】如图，设点,A B 的坐标分别为()),，直线,AP BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为23-．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ，点M N 、是轨迹为C 上不同于,A B 的两点，且满足//,//AP OM BP ON ，求证：MON ∆的面积为定值．【答案】（1）(22132x y x +=≠（2【解析】（1）由已知设点P 的坐标为(),x y ，由题意知(23AP BP k k x ==-≠ ，化简得P的轨迹方程为(22132x y x +=≠设,M N 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2121222426,3232mt t y y y y m m-+=-=++ 又()2121222221212122636OM ON y y y y t k k x x m y y mt y y t t m -===+++- ，所以222262363t t m -=--，得22223t m =+．又112MON S t y ∆=-所以MON S ∆==MON ∆ 【易错点】直接法求动点轨迹方程，圆锥曲线中定值问题。

2018届北师大版(文) 第8章平面解析几何单元测试48

课时作业48 直线的倾斜角与斜率、直线方程一、选择题1．直线x tan π3＋y ＋2＝0的倾斜角α是( )A.π3B.π6C.2π3D ．－π3解析：由已知可得tan α＝－tan π3＝－3，因α∈[0，π)，所以α＝2π3，故选C.答案：C2．过点(3，－2)的直线l 经过圆x 2＋y 2－2y ＝0的圆心，则直线l 的倾斜角大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：圆心坐标为(0,1)，斜率k ＝tan α＝－2－13－0＝－3，∴倾斜角α＝120°.答案：C3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab >0，bc <0 B ．ab >0，bc >0 C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析：由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b <0且－c b>0，故ab >0，bc <0.答案：A4．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析：依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案：B5．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为( ) A ．4 B.14 C ．－4D ．－14解析：∵{a n }为等差数列，a 4＝15，S 5＝55，∴a 1＋a 5＝22，∴2a 3＝22，∴a 3＝11，∴k PQ＝a 4－a 34－3＝4.答案：A6．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A ．4x －3y －3＝0B ．3x －4y －3＝0C ．3x －4y －4＝0D ．4x －3y －4＝0解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.答案：D7．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解析：法1：如图，过点P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B .由题意知OP ＝2，OA ＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BPA ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.法2：设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k2≤1，解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.答案：D8．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.答案：A 二、填空题9．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________．解析：当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1；当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)．综上k ∈[－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1. 答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，110．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是______________．解析：∵直线y ＝13x 的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率k ＝tan60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)，即3x －y －33＝0. 答案：3x －y －33＝011．斜率为2的直线经过A (3,5)，B (a,7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值分别为________和________．解析：由已知条件得k AB ＝7－5a －3＝2，解得a ＝4；k AC ＝b －5－1－3＝2，解得b ＝－3.答案：4 －312．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．解析：(1)当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x .(2)当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a＝1，即x －y ＝a .代入点(－3,5)，得a ＝－8. 即直线方程为x －y ＋8＝0. 答案：5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝01．(2017·山东德州一模)已知p ：“直线l 的倾斜角α>π4”；q ：“直线l 的斜率k >1”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当π2<α≤π时，tan α≤0，即k ≤0，而当k >1时，即tan α>1，则π4<α<π2，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B.答案：B2．(2017·陕西西安音乐学院附中等校模拟)若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 解析：由题意k PQ ＝0＋1b 1a－0＝ab ，∵ab <0，∴k PQ <0，直线的倾斜角为α，tan α＝k <0.∴α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π.故选B.答案：B3．过点P (－2,2)作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条解析：假设存在过点P (－2,2)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则－2a＋2b＝1，即2a －2b ＝ab ，直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S ＝－12ab ＝8，即ab ＝－16，联立⎩⎪⎨⎪⎧2a －2b ＝ab ，ab ＝－16，解得a ＝－4，b ＝4.∴直线l 的方程为x －4＋y4＝1，即x －y ＋4＝0，即这样的直线有且只有一条，故选C. 答案：C4．(2017·江西上饶重点六校一模)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my －1＝0和过定点B 的动直线mx －y －2m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：由题意可得A (1,0)，B (2,3)，且直线x ＋my －1＝0和直线mx －y －2m ＋3＝0垂直，则|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10≥2|PA |·|PB |.∴|PA |·|PB |≤5.答案：5。

2018届北师大版高三数学一轮复习练习第九章平面解析几何第1讲Word版含解析

基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A.30°B.60°C.120°D.150°解析直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°. 答案 B2.已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程是( ) A.x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C.x ＋y －3＝0D.x －y ＋3＝0解析圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0. 答案 D3.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析 ∵直线的斜率k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k ＜0，则倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案 B4.(2017·南昌一中期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A.6x －4y －3＝0 B.3x －2y －3＝0 C.2x ＋3y －2＝0D.2x ＋3y －1＝0解析因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.答案 A5.(2016·广州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13B.－13C.－32D.23解析依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有⎩⎨⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13. 答案 B6.(2017·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合. 答案 B7.(2016·衡水一模)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( ) A.y ＝3x ＋2 B.y ＝3x －2 C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2解析 ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2，∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A. 答案 A8.(2017·福州模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为( ) A.1B.2C.4D.8解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1，1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立.∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4. 答案 C 二、填空题9.已知三角形的三个顶点A (－5，0，)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________.解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0. 答案 x ＋13y ＋5＝010.若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________.解析当π6≤α<π4时，33≤tan α<1，∴33≤k <1. 当2π3≤α<π时，－3≤tan α<0，即－3≤k ＜0，∴k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1∪[－3，0).答案 [－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，111.过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________. 解析 ①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设直线方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a .则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝012.直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________. 解析直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2). 答案 (2，－2)能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.已知直线l 过点(1，0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( ) A.4x －3y －3＝0 B.3x －4y －3＝0 C.3x －4y －4＝0D.4x －3y －4＝0解析由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案 D14.(2017·西安调研)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 B.[－1，0] C.[0，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12. 答案 A15.已知直线l 过坐标原点，若直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.解析设直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)的公共点为P (x ，y ). 则点P (x ，y )在线段AB 上移动，且A (2，4)，B (3，2)，设直线l 的斜率为k . 又k OA ＝2，k OB ＝23.如图所示，可知23≤k ≤2.∴直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，216.在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是________. 解析直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1，1)，∴H (1，0)，直线HB 的方程为y ＝x －1，代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32. 所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1，即3x ＋y －3－1＝0. 答案 3x ＋y －3－1＝0。

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6抛物线试题理北师大版

第九章平面解析几何9.6抛物线试题理北师大版基础知识自主学习EI知识梳理----------------------------- i .抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线1(1不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线. 点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.【知识拓展】1. 抛物线y2= 2px(p>0)上一点P(x o, y o)到焦点F=, 0 的距离| PF1 = X o+ p也称为抛物线的焦半径.2念、a2. y= ax的焦点坐标为4，0，准线方程为x=- 43 .设AB是过抛物线y2= 2px( p>0)焦点F的弦，若A(x i, y i) , B(X2, y2)，则2P 2x i X2 = 4, y i y2=—p .2p弦长| AB = X i+ X2 + p= 1( a为弦AB的倾斜角).sin a以弦AB为直径的圆与准线相切.通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p,通径是过焦点最短的弦.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打或“ x”)(i) 平面内与一个定点F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. (x )2a⑵方程y= ax (a z0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(4, 0)，准线方程是x=—；( x )4(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形. (X )2o P P⑷ AB为抛物线y2= 2px(p>0)的过焦点F(； 0)的弦，若A(x i, y i), B(X2, y"，则X i X2=；，2y i y2 =—p ,弦长| AB = x i + X2 + p.( V )考点自测21. (20i6 •四川)抛物线y = 4x的焦点坐标是()A. (0,2)B. (0,i)C. (2,0)D. (i,0)答案D解析•••对于抛物线y2= ax,其焦点坐标为j|, 0 J,•••对于y2= 4x，焦点坐标为(1,0).2. (2016 •张掖一诊)过抛物线y2= 4x的焦点的直线l交抛物线于P(x i, y i) , Qx2, y2)两点, 如果X i+ X2= 6,则|PQ等于()A. 9 B . 8 C . 7 D . 6答案B解析抛物线y2= 4x的焦点为F(i,0),准线方程为x = —i.根据题意，可得| PQ =| PF + | QF = X i+ i + X2+ i = X i + X2 + 2= 8.3. 设抛物线y2= 8x的准线与x轴交于点Q若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线I 的斜率的取值范围是();1 riA. I-2, 2 B- [ —2,2]C. [ —1,1]D. [ —4,4]答案C解析Q —2,0)，设直线I的方程为y = k(x + 2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2+ (4 k2 —8)x+ 4k2= 0,2 2 2 2 2由△ =(4k —8) —4k ・4k = 64(1 —k) >0,解得—K k w 1.4. (教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P( —2,—4)，则该抛物线的标准方程为___________________ .答案y2=—8x 或x2=—y2 2解析设抛物线方程为y= 2px(p z 0)或x = 2py(p z0).将P( —2,—4)代入，分别得方程为y2=—8x 或x2=—y.5. _________ (2017 •合肥月考)已知抛物线y2= 2px(p>0)的准线与圆x2+ y2—6x —7 = 0相切，则p的值为_ .答案2解析抛物线y2= 2px( p>0)的准线为x= —p,圆x2+ y2—6x —7= 0,即(x —3)2+ y2= 16,则圆心为(3,0)，半径为4.又因为抛物线y2= 2px( p>0)的准线与圆x2+ y2—6x —7 = 0相切，所以3+字4,解得p= 2.题型分类深度剖析题型一抛物线的定义及应用2例1设P是抛物线y = 4x上的一个动点，若B(3,2)，则I PB + I PF的最小值为 _______________答案4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q 交抛物线于点P,则 | PQ = | P i F |.则有 | PB | + |PF | >| PB | + | PQ = |BQ = 4. 即| PB + | PF 的最小值为4. 引申探究1 •若将本例中的 B 点坐标改为（3,4），试求| PB + | PF 的最小值. 解由题意可知点（3,4）在抛物线的外部.•••| PB + | PF 的最小值即为 B, F 两点间的距离，•••丨 PB + | PF >1 BH =>/42+ 22="* 16+ 4 = 2 . 5, 即| PB + | PF 的最小值为2谑.22•若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为 y = 4x ，直线I 的方程为x — y + 5= 0,在抛物线上有一动点 P 到y 轴的距离为d i ,至U 直线I 的距离为d 2,求d i + d 2的最小值. 解由题意知，抛物线的焦点为 F （1,0）点P 到y 轴的距离d i = |PF — 1,所以 d + d 2= d 2 + |PF — 1.所以di + d 2的最小值为3 2 — 1.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关•由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度•“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.跟踪训练=（2016 •西安市铁一中学模拟）已知点P 是抛物线y 2=— 8x 上一点，设P 到此抛物线准线的距离是 d i ,到直线x + y — 10= 0的距离是d 2,则d i + d 2的最小值是（）A. 3 B . 2 3 C . 6 2 D . 3 答案 C解析•••抛物线方程是 y 2=— 8x ,•••抛物线的焦点为 F （ — 2,0），准线方程是x = 2（如图），易知d 2 + | PF 的最小值为点 F 到直线I 的距离，故cb+ | PF |的最小值为 _|1 + 5|_.12+ —1 2= 3\} 2,答案•••d i + d 2的最小值是焦点 F 到直线x + y — 10= 0的距离，即(d i + d 2)| — 2 + 0— 10|min = --- . ----6 2. 题型二抛物线的标准方程和几何性质命题点1求抛物线的标准方程2 2x y例2已知双曲线 G ：孑一含=1(a >0, b >0)的离心率为2.若抛物线 C 2:x 2 = 2py (p >0)的焦点到双曲线C 的渐近线的距离为 2，则抛物线C 2的方程为( A . x 2=竽y B.x 2=葺yC. x 2=8yD. 2x = 16y解析ca=2,2 2x?—y2= 1的离心率为2, ab2 2 . 2c a + b即 2 = —a ab2=4,「. a2=3，a= ；：3.a a v/ 、 2 2x2= 2py(p>0)的焦点坐标为b, 2 , x^—y2= 1的渐近线方程为y=b± a x，即y =±』3x.由题p2意得l = = 2, • p= 8.故C2的方程为彳1 +⑴2命题点2抛物线的几何性质2x = 16y.例3已知抛物y2= 2px(p>0)的焦点为F, A(x i, y i), B(x2, y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求(1)2 py$2=—p ,X1X2 =41 1両+面'为定值;以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为(2,0). 由题意可设则y i , y 2是方程(*)的两个实数根，所以y i y 2=— p 2.因为 y 2= 2px i , y 2 = 2px 2, 所以 y 2y 2= 4p 2x i X 2,⑵両+両=卫+品X i + X 2+ p. p pX i X 2+ 2 X i + X 2 + —(3)设AB 的中点为Mx o , y o )，分别过A, B 作准线的垂线，垂足为 C, D,过M 作准线的垂线, 垂足为N,1JrN冷□ Hrnti i i则 | MN = 2(l AC + I BD ) = 2(l AH + I BF ) = 2 AE |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.思维升华 (i)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 P ,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2) 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.沐咗订谊'(i)(20i6 •全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A , B 两点，交C 的准线于D, E 两点.已知|AB = 4 2, |DE = 2 5,贝U C 的焦点到准线的距离为( )A . 2B . 4C . 6D . 8(2)(20i6 •昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y 2= 2px ( p >0)的焦点为F ,已知点A B 为抛物得 y 2= 2pjmy+ 2 ,2 2即 y - 2pmy- p = 0.(*)所以X l X 2 =2 2y i y 24p4p _p_4p _ 7 因为 2pX i X 2 =4 X i + X 2=|AB - p ,代入上式,i|AF| iIBF]线上的两个动点，且满足/ AFB= 120° .过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线 MN 垂足为N 则£MN的最大值为()答案⑴B(2)A解析 ⑴ 不妨设抛物线 C ： y 2= 2px (p >0)，则圆的方程可设为 x 2 + y 2= r 2( r >0)，如图,又可设A (x o, 2 2),点 A (x o,2 2)在抛物线 y 2= 2px 上，二 8= 2px o ，① 点 A (x o,2 2)在圆 x 2+ y 2= r 2上，二 x 2+ 8= r 2,②联立①②③，解得 p = 4,即C 的焦点到准线的距离为 p = 4,故选B.⑵ 设|AF = a , |BF = b,分别过A 、B 作准线的垂线，垂足分别为 Q P, 由抛物线的定义知，| AF = I AQ ,| BF = I BR ,在梯形 ABPQ 中, 2|MN = |AQ + | BF f = a + b .2 2 2| AB = a + b — 2ab cos 120 °2 2 2=a + b + ab = (a + b ) — ab .a +b 2 又 ab w(〒)2,1322 I2722「33所以(a+ b) —ab》(a + b) —4( a+ b) = 4( a + b),得到| AB > a+ b),| MN v 2 a+ b=^3|AB冷a+ b = 3即牆的最大值为题型三直线与抛物线的综合问题命题点1直线与抛物线的交点问题2例4已知抛物线C ： y = 8x 与点M — 2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点.若 M A- M B= 0，则 k = ________ . 答案 2解析抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y = k (x — 2)，与抛物线方程联立，消去 y化简得 kX — (4 k + 8)x + 4k? = 0.设点 A (x i , y i ) , B ( X 2, y 2).8则 x i + X 2 = 4 + ^^, x i X 2= 4, 所以 y i + y 2= k ( x i + %) — 4k = 8，k2y i y 2 = k [X i X 2— 2(x i + X 2) + 4] =— i6.因为皿入(X i + 2, y i — 2) •( X 2+ 2,屮一2)=(x i + 2)( X 2+ 2) + (y i — 2)( y 2— 2)=x i X 2+ 2(x i + X 2) + y i y 2 — 2( y i + y 2)+ 8= 0, 将上面各个量代入，化简得k 2— 4k + 4 = 0，所以k = 2.命题点2与抛物线弦的中点有关的问题例5 (20i6 •全国丙卷)已知抛物线C ： y 2= 2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l i , I 2分别交C 于A, B 两点，交C 的准线于P, Q 两点.⑴ 若F 在线段AB 上, R 是 PQ 的中点，证明：AR// FQ⑵ 若厶PQF 的面积是△ ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.(i)证明由题意知，F 2, 0，设 I i : y = a , I 2: y = b ,则 ab ^0,a 2 且 A y , a ,R、、、 2、 2 }l ，贝U l 的方程为 2x — (a + b ) y + ab = 0.a —b a — b i ab记AR 的斜率为k i , FQ 的斜率为k 2,则k i =右=亍=i 一 abB 2, b , 记过A B 两点的直线为由于F 在线段AB 上，故 1 + ab = 0. b — 0 b == k 2.i I—2— 2所以AR/ FQ⑵解设过AB的直线为I，设I与x轴的交点为D(x i,O), 则S A ABF= 1 b—a ll FD = 2|b-a|由题意可得| b —a| x i —2 = LO_b，所以x i= 1, x i= 0（舍去）.设满足条件的AB的中点为E(x, y).2 y a+ b 2当AB与x轴不垂直时，由kAB= k DE可得市=x^(x丰1).而丁 = y，所以y= x- 1(x丰1).当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0), 所以，所求轨迹方程为y2= x- 1(X M 1). 思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2) 有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点. 若过抛物线的焦点，可直接使用公式| AB = X1 + X2+ p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3) 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.川(2016 •北京东城区质检)已知抛物线C: y2= 2px( p>0)的焦点为F,直线y= 45与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且| QF = 4| PQ(1) 求C的方程；⑵过F的直线l与C相交于A B两点，若AB的垂直平分线l '与C相交于M N两点，且AM B N四点在同一圆上，求I的方程.2 8 解(1)设Qx o,4)，代入y = 2px，得X O=p.p8 p p 8 所以丨PQ = p, |QF= 2 + x o = 2+ p.p 8 5 8由题设得£+_=；X_,2 p 4 p解得p=- 2(舍去)或p = 2.2所以C的方程为y = 4x.2 依题意知l与坐标轴不垂直，1x1― 2 ,S^P QF=l a- b| 2故可设I的方程为x= my^ 1( m^ 0).2 2代入y = 4x，得y —4my- 4 = 0.设A(x i, y i) , B(X2, y2)，贝U y i+ y2 = 4m yy = — 4.故AB的中点为D(2m+ 1,2 m ,| AE| = m+ 1| y i —y2| = 4( n i+1).又i '的斜率为一m所以I '1 2的方程为x= —m + 2m+ 3.将上式代入y 2= 4x ,并整理得 242y + my — 4(2 m + 3) = 0.设 M>, y s ) , N (X 4, y 4),4 则 y s + y 4= — m 2 2 2y s y 4= — 4(2 m+ 3).故MN 的中点为巳吊+ 2m + 3,— m , /1 4 m+ ] p2nU 1 i MN=1+m 1 y 3— y 41= 厂由于MN 垂1 2 2 1 2从而 4I AB 2+ |DE 2= 41 MN 2 , 222 2 22即 4( m+ 1) + (2m+ 常 + (帚+ 2)1 m+i2 ?m +m ，化简得m — 1 = 0,解得m= 1或m=— 1.所求直线I 的方程为x — y — 1 = 0或x + y — 1 = 0.7.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线 C: y = mx (n >0)，焦点为F ,直线2x — y + 2 = 0交抛物线C 于A, B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线 C 于点Q (1)求抛物线C 的焦点坐标；⑵若抛物线C 上有一点R (X R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；⑶是否存在实数 m ,使厶ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.思维点拨（3）中证明Q A- Q B= 0. 规范解答2 1解(1) I 抛物线C ： X = my ,1 •••它的焦点F (0, 4m ) - ［2分］ 11E1八⑵「RF = V R + 4m ，• 2+ 4m = 3,得仆4.［4 分］消去 y 得 mX — 2x — 2= 0,21依题意，有 △ = ( — 2) — 4X m K ( — 2)>0? m >—㊁他分］1 1 1即 P (m yp )，• m -［8 分］得QA= (X 1 — m , mX — m , QB= (X 2— m mX —比, 若存在实数 m 使厶ABC 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则 Q A- Q B= 0 , 旳1 12121八即(X 1 — m •( X 2 — m + (mX —m )( mX —讣=0 , ［10 分］ 4 6结合(*)化简得—— -+ 4 = 0 ,m m2 1即 2m — 3m- 2 = 0, • m= 2 或 m= — 2 , 1 1 1而 2€ (— ), — 2?( — 2，)-•••存在实数2,使厶ABC 是以Q 为直角顶点的直角三角形.［12分］I答题模板解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：第一步：联立方程，得关于 X 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出△ >0时参数范围（或指出直线过曲线内一点）；第三步：（3）存在，联立方程y = mX ,2x — y + 2 = 0, 设 A (X 1, mX ),X1+X2=m(*)•/ P 是线段AB 的中点,P ( X 1 + X 22 ， B (X 2,2 X 1 - X 2=—一.2 2mX + mX根据题目要求列出关于X1X2, x i + X2(或yy, y i + y2)的关系式，求得结果; 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.课时作业1 . (2017 •昆明质检)已知抛物线C的顶点是原点Q焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A B两点，如果O A 0B=- 12,那么抛物线C的方程为()2 2A. x = 8yB. x = 4y2 2C. y = 8xD. y = 4x答案C解析由题意，设抛物线方程为y2= 2px(p>0)，直线方程为x = my^p,2y = 2px,联立丿p 消去x得y2- 2pmy- p2= 0,x = my+ ,2设A(x i, y i) , B(X2, y2), 贝U y i + y2 = 2pm, y i y2=—p ,m 2 3得OA- OIB= X1X2+ y i y2 = (my + 2)(my+ 2)+ yy= n i y i y2 + ^p^y i + y2)+ 鲁 + yy = —4卩2=—12 ? p= 4,即抛物线C的方程为y2= 8x.2.已知抛物线y2= 2px( p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A. x= 1B. x =—1C. x= 2D. x = —2答案B2p解析T y = 2px( p>0)的焦点坐标为q, 0),•••过焦点且斜率为1的直线方程为y= x —§即x = y + p 将其代入y2= 2px，得y2= 2py + p2,2 2即y—2py—p = 0.设A(X1, y" , B(X2, y2),“一『1+y2 一则y1 + y2=2p , •2= p= 2 ,•••抛物线的方程为y2= 4x,其准线方程为x =- 1... 23. (2016 •上饶四校联考)设抛物线C： y = 3px(p>0)的焦点为F,点M在C上, \MF = 5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为()A. y2= 4x 或y2= 8x2 2B. y = 2x 或y = 8xC. y2= 4x 或y2= 16xD. y2= 2x 或y2= 16x答案C解析•••抛物线C：y2= 3px( p>0)的焦点为尺手,0),根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于点A,「./ OAF=Z AMF3p| AF 4可得在Rt△ AMF K sin / AMF= =——丨MF9p\/4 +花• C的方程为y2= 4x或y2= 16x.4. 已知抛物线y2= 2px( p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(X1, yd , B(X2, y2),则则^的X1X2•••以MF为直径的圆过点(0,2),设A(0,2),连接AF, AM 可得AF丄AM 在Rt△ AOF中, |AF^----------------29p4+16I OF• sin/ OAF=両3p44>2,162值一定等于()A.- 4 C. p2B. 4 D.—p答案 A解析①若焦点弦ABL x 轴，2小 P P 则 X 1 = X 2= 2，二 X 1X 2= 4；2••• y i = p , y 2 =- p ,「. y i y 2 =- p ,...丝一 4.X l X 2②若焦点弦AB 不垂直于X 轴，可设AB 的直线方程为y = k （X — 2）, 联立 y 2 = 2px ，得 k 2X 2 — (k 2p + 2p )x +2r r p贝U X l X 2= ■.42I 2• y i y 2= — p .故 =—4.X 1X 25. （2016 •江西南昌第一次模拟）已知抛物线C ： y 2= 8X 的焦点为F ,准线为I , P 是I 上一点，Q 是线段PF 与C 的一个交点，若|FH = 3|QF ，则I QF 等于（）8 5A.3B. 2 C . 3 D . 2 3 2答案 A由抛物线定义知，| MQ =|QF , 由厶PMg PKF得| MQ: | KF = I PQ ：l PF = 2 : 3, 所以 |QF = |MQ = || KF | 3 X 4= 32 2pk 解析如图所示，过Q 作QML l ，设l 与x 轴交于点A—1,0），则罟的故选A.6 •抛物线y2= 4x的焦点为F,点P（x, y）为该抛物线上的动点，若点最小值是()1 A.— B.2 C.亡 D.—2 2 23答案B解析抛物线2y = 4x的准线方程为x= —1,如图，过P作PN垂直直线x=- 1于N,由抛物线的定义可知| PF = |PN|，连接PA在Rt△ PAN中, sin / PAN= £,1 P A当罟=罟最小时，sin / PAN最小，即/ PAN最小，即/ PAF最大，此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为y= k(x+ 1),联立P「k x+l ' 得k2x2+ (2 k2—4)x + k2= 0, l y = 4x,所以△= (2 k2-4)2—4k4= 0,解得k=± 1,所以/ PAF=Z NPA= 45°, 烏=罟=cos/ NP斥#'故选B.7 •设F为抛物线C: y2= 3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A, B两点，贝U |AE|答案12解析焦点F的坐标为4,0,方法一直线AB的斜率为,3、—4 ,2 1 27 3，代入y = 3x，得f x —?x + 亦=0.所以直线AB的方程为y=# x4可得 a = 4, b 2= 16-4 = 12.设 A (x i , y i ) , B (x 2, y 2)，贝U x i + X 2=—,21 3所以 | AB = x i + X 2 + P = + 2= 12.方法二由抛物线焦点弦的性质可得8 .已知抛物线 C ： y 2= 2px ( p >0)的准线为I ，过M (1,0)且斜率为，3的直线与I 相交于点A, 与C 的一个交点为B,若AU M B 则p= __________ 答案 2解析如图，由AB 的斜率为 3,知/ a = 60°,又 AM= I M B••• M 为AB 的中点.过点B 作BP 垂直准线I 于点P,则/ ABP= 60°,二/ BAP= 30°,1• BF f = AB =| BM• M 为焦点，即p = 1,二p = 2.一 1 29 .已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为 , E 的右焦点与抛物线 C: y = 8x 的焦点重合, A , B 是C 的准线与E 的两个交点，贝U |AB = ________ 答案 6解析抛物线y 2= 8x 的焦点为(2,0),准线方程为x =- 2.2 2x y 设椭圆方程为—+ 2= 1(a >b >0), a b由题意，c = 2,匚=厅， a 2|AB = 2p2~ sin 0 3sin 230° 12.所以 4<r <16,即 2<r <4.2 2 故椭圆方程为話+12=1.把x = — 2代入椭圆方程，解得 y =± 3.从而 | AEB = 6.2 2 2 210. 设直线l 与抛物线y = 4X 相交于A , B 两点，与圆(x — 5) + y = r (r >0)相切于点M 且 M 为线段AB 的中点•若这样的直线 I 恰有4条，贝U r 的取值范围是 ___________________ 答案(2,4)解析如图,设 A (x i , y i ) , B (X 2, y 2), M (x o , y o ),两式相减，得(y i + y 2)( y i — y = 4(x i — X 2)•当I 的斜率k 不存在时，符合条件的直线 I 必有两条.当k 存在时，x i M X 2,又 y i + y 2 = 2y o ,所以 y o k = 2.y o — 0由 CM L AB 得 k ・一-=—1,X o — 5即 y o k = 5 — x o ，因此 2 = 5 — x o , x o = 3,即M 必在直线x = 3上.将x = 3代入y = 4x ,得 y 2= 12，则有—2 3<y o <2 3.y 2=4x则『2 y 2 = 4x 1,2则有 y 1—yx i — X 2 =2,因为点M在圆上，所以(x o —5)2+ y2= r2,2 2故r = y o+ 4<12 + 4= 16.又y o + 4>4(为保证有4条，在k存在时，o), 2所以4<r <16,即2<r<4.11. (2016 •沈阳模拟)已知过抛物线y2= 2px( p>0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于A(x i, y i) , B(X2, y2)( x i<X2)两点，且| AE| = 9.(1) 求该抛物线的方程；⑵o为坐标原点，c为抛物线上一点，若5C=OA F入S E求入的值.解(1)直线AB的方程是y = 2^2(X—2)，与y2= 2px联立，从而有4x2—5px+ p2= 0.所以X1+ X2=，由抛物线定义得45p| AB = X1 + X2+ p= — + p= 9,所以p= 4,从而抛物线方程为y? = 8x.(2) 由于p= 4，则4x —5px+ p = 0,即x —5x + 4= 0,从而X1 = 1, X2= 4,于是y1 = —2-』2, y2= 4 2,从而E(4,4 ,2).设C(X3, y3),则OC= (X3, y3) = (1 , —2 2) + 入(4,4 .2)=(4 入 + 1,4 2 入一2 2).又y3= 8x3,即[2 2(2 入一1)] 2= 8(4 入 + 1),2整理得(2入—1) = 4入+ 1,解得入=0或入=2.12 •设P, Q是抛物线y2= 2px( p>0)上相异两点，P, Q到y轴的距离的积为4，且&=0.(1)求该抛物线的标准方程；⑵过点Q的直线与抛物线的另一交点为R,与x轴的交点为T,且Q为线段RT的中点，试求.弦PR长度的最小值解(1)设P(X1, y1), QX2, y ,■/ O P- O Q= 0,则x i X2 + yy = 0._ 2 2又点P, Q在抛物线上，••• y i= 2px i, y2= 2px2,>2 2代入得2p• 2p+y i y2= 0，2y i y2 =- 4p,2y i y2 2•• XiX2| = —4p —= 4p .又I X1X2I = 4,•4p2= 4, p= 1,•抛物线的标准方程为y2= 2x.⑵ 设直线PQ过点日a,0)且方程为x= m什a,]x = my+ a,联立方程组2l y = 2x,2消去x得y —2my- 2a = 0,y i + y2 = 2m •十①y i y2=—2a,设直线PR与x轴交于点Mb,0),则可设直线PR的方程为x = ny+ b ,yi+ y3= 2n ,并设R X3 , y3),同理可知，1 ②Iy i y3=—2b ,由①②可得上=by2 a由题意得，Q为线段RT的中点，•- y3= 2y2 , •- b= 2a.又由(1)知，y i y2= —4，代入①，可得—2a=— 4 ,• a= 2,•- b= 4, y i y3=—8,消去y,得(k2+ 1)x2+ 2kx = 0,•••I PR = 1+ n2| y i —y3|=1 + n2•y i + y3 2—4y i y3=2'.,1 + n •”•,；“ + 82.当n = 0，即直线PR垂直于x轴时，| PR取最小值4 2.13.如图，由部分抛物线：y2= mx+1( n>0, x>0)和半圆x2+ y2= r2(x<0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C',若“黄金抛物线C'经过点(3,2)和(—扌，甲)-(1)求“黄金抛物线C'的方程；⑵设P(0,1)和Q0,—1)，过点P作直线I与“黄金抛物线C'相交于A P, B三点，问是否存在这样的直线I，使得QF平分/ AQB若存在，求出直线I的方程；若不存在，说明理由.解⑴：黄金抛物线C”过点(3,2)和(—2 ,三3),•r2= ( —2)2+ (#)2= 1,4 = 3m+ 1,二m= 1.•“黄金抛物线C'的方程为y2= x+ 1(x>0)和x2+ y2= 1(x<0).⑵假设存在这样的直线I，使得QP平分/ AQB显然直线l的斜率存在且不为0,y = kx+ 1,设直线l: y = kx+ 1,联立/ 2 消去y,l y = x+1,得k2x2+ (2k —1)x = 0,1 —2k 1 —k•-x B= k2, y B= k即B(1 —2k 1 —k, k2, k ),k•-k B= 1 —2k,联立■=y= kx +1,2 2“x + y = 1,2 22k 1 —k 加2k 1 —k= — kV7，y A= k"+7，即A(—币，布)，•-x A1• k AQ=_ 匚，k■/ QP平分/ AQB「. k Ao+ k BQ= 0,k 1 ” e l匸丟—k= 0，解得k = —1±2,由图形可得k =— 1 —■■-；2应舍去，• k=寸2 —1, •••存在直线I : y= ( 2 —1)x+ 1,使得QP平分/ AQB消去y,得(k2+ 1)x2+ 2kx = 0,。

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1．(2016·石家庄一模)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B ．x 212－y 24＝1C.x 210－y 26＝1 D ．x 26－y 210＝1解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c ＝4，a ＝2，b 2＝12，双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选A.2．已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：选D.由双曲线C 1知：a 2＝sin 2θ，b 2＝cos 2θ⇒c 2＝1，由双曲线C 2知：a 2＝cos 2θ，b 2＝sin 2θ⇒c 2＝1.3．(2016·惠州调研)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线的斜率为( )A ．±2B ．± 2C ．±12D ．±22解析：选B.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，所以e ＝ca＝1＋b 2a 2＝3，解得ba＝2，所以其渐近线的斜率为±2.故选B.4．(2015·高考湖南卷)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B ．54C.43D ．53解析：选D.由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，所以b 2a 2＝169.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，所以e 2＝259，所以e ＝53.5．(2015·高考四川卷)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3解析：选D.由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.6．(2016·唐山模拟)在△ABC 中，AB ＝2BC ，以A ，B 为焦点，经过C 的椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则( )A.1e 1－1e 2＝1 B ．1e 1－1e 2＝2C.1e 21－1e 22＝1 D ．1e 21－1e 22＝2解析：选A.如图，分别设椭圆与双曲线的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，x 2a ′2－y 2b ′2＝1(a ′>0，b ′>0)，焦距为2c ，则可知AB ＝2c ，BC ＝c ，因为C 在椭圆上，所以AC ＋BC ＝2a ⇒AC ＝2a －c ，又因为C 在双曲线上，所以AC －BC ＝2a ′，即2a －c －c ＝2a ′⇒a c －a ′c ＝1⇒1e 1－1e 2＝1.7．已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点的坐标为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：依题意知(13)2＝9＋a ，所以a ＝4，故双曲线方程为x 29－y 24＝1，则渐近线方程为x 3±y2＝0.即2x ±3y ＝0.答案：2x ＋3y ＝0或2x －3y ＝08．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y 2n －x 2m ＝1的焦距等于4，则n ＝________．解析：因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n >0，又椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．答案：59．(2015·高考湖南卷)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点．若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．解析：不妨设F (－c ，0)，PF 的中点为(0，b )．由中点坐标公式可知P (c ，2b )．又点P 在双曲线上，则c 2a 2－4b 2b 2＝1，故c 2a 2＝5，即e ＝ca＝ 5. 答案： 5 10．(2016·浙江省六市六校联盟模拟)如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2，0)，C (2，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝111．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25，又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3.所以|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，所以双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.12．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，所以一条渐近线方程为y ＝b23x .即bx －23y ＝0.所以|bc |b 2＋12＝ 3.所以b 2＝3，所以双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0. 将直线方程代入双曲线方程得 x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12. 所以⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，所以⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.所以t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．1．(2016·南昌调研)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0解析：选A.由题意，不妨设|PF 1|＞|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c ＞a ，所以有|PF 2|＜|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，即2x ±y ＝0.2．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．解析：由已知可得A 1(－1，0)，F 2(2，0)，设点P 的坐标为(x ，y )(x ≥1)，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－x －2＋y 2，因为x 2－y 23＝1，所以P A 1→·PF 2→＝4x 2－x －5＝4⎝⎛⎭⎫x －182－8116，故当x ＝1时，P A 1→·PF 2→有最小值－2. 答案：－23．(2016·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c ，0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以a ＝b ，所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，所以a 2＝b 2＝2，所以双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，所以x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，所以x 0＝32c ，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，所以3⎝⎛⎭⎫c a 4－8⎝⎛⎭⎫c a 2＋4＝0，所以(3e 2－2)(e 2－2)＝0，因为e ＞1，所以e ＝2，所以双曲线的离心率为 2.4．直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝bax 对称的直线l 2与x 轴平行．(1)求双曲线C 的离心率e ； (2)求双曲线C 的方程．解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －yb ＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M .而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q . 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，所以tan 30°＝b a ＝33.于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由于b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k 2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中，得x 2－3×3(x －2)2＝3k 2.化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2×362－4×8×（36＋3k 2）8＝9－6k 2＝3，解得k 2＝1.故所求双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.。

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