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电磁与电动(二)
参考书目
❖ 郭硕鸿 电动力学 中山大学 ❖ 蔡圣善 经典电动力学 复旦大学 ❖ J.D. Jackson Classical Electrodynamics ❖ David J. Griffiths
Introduction to Electrodynamics ❖ 林璇瑛、张之翔 电动力学习题解
矢量场的散度
一个矢量场f (x,y,z)在某点处的散度定义为
f lim S f dS V 0 V
强度量 类比密度：
通量密度
矢量场的散度是一个标量，它标志在矢量空间范 围内某点矢量线的发散或收缩情况。
在不同的坐标系中，矢量场的散度具有不同的形 式。在直角坐标系中，矢量的散度可以写成
f fx f y fz x y z
a (b c) b (c a) c (a b) a (b c) a (c b) b (a c) c (b a)
三矢量的矢积
三个矢量的矢量积是一个矢量，可以表示为
a (b c) (b c) a (a c)b (a b)c
或者写成
(a b) c (a c)b (b c)a
r
r
r r3 0 (r 0)
r 0
1 r
r r3
;
'
1 r
r r3
r r3 0. (r 0)
x y z fx fy fz
* 柱坐标系的旋度表示 在柱坐标系中，矢量场f (r,θ, z)的旋度可以表示为
f
1 fz
r
f z
er
fr z
f z r
e
1 r
r
(rf r
)
1 r
f r
e
z
* 球坐标系的旋度表示 在球坐标系中，矢量场f (r,θ,φ)的旋度可以表示为
f
1
r sin
f 0
反之，无源场总可以表示为某一个矢量场的旋度。 即如果
B 0
则必有
B f
高斯定理
对任何矢量场f (x,y,z)，有
S f dS V fdV
这里，闭合曲面S为积分体积V的外表面，面积元dS 的方向为垂直于曲面向外。
斯托克斯定理
对任何矢量场f (x,y,z)，有
l f dl S f dS
* 柱坐标系的散度表示
……
在柱坐标系中，矢量场f (r,θ, z)的散度可以表示为
f
1 r
r
(rf
r
)
1 r
f
fz z
* 球坐标系的散度表示
在球坐标系中，矢量场f (r,θ,φ)的散度可以表示为
f
1 r2
r
(r2 fr )
1
r sin
(sin f )
1
r sin
f
矢量场的旋度 一个矢量场f (x,y,z)在某点的旋度沿闭合曲线所围
梯度 散度 旋度
标量场的梯度
一个标量场φ(x,y,z)的梯度在直角坐标系下定义为
x
ex
y
ey
z
ez
梯度的方向：规定为指向 φ增加最快的方向 任一方向上的单位矢量： n ex cos ey cos ez cos 梯度与方向导数
n cos cos cos
n
x
y
z
在直角坐标系中，通常将矢量算符写成
(sin
f
)
f
er
1 1
r
sin
f r
r
(rf )e
1 r
r
(rf
)
f r
e
基本定理
标量场的梯度为无旋场
任何标量场φ(x,y,z)的梯度均为无旋场，即
0
反之，无旋场总可以表示为某一个标量场的梯度。 即如果
f 0
则必有
f
矢量场的旋度为无源场
任何矢量场f (x,y,z)的旋度均为无源场，即
ex
x
ey
y
ez
z
* 柱坐标系的梯度表示
在柱坐标系中，标量场φ(r,θ, z)的梯度可以表示 为
r
er
1 r
e
z
ez
* 球坐标系的梯度表示
在球坐标系中，标量场φ(r,θ,φ)的梯度可以表示 为
r
er
1 r
e
1
r sin
e
* 梯度同数量场的等数量面垂直 常见数量场有等温线 、等高线等
平面法线方向上的分量被定义为
f dl
(
f )n
lim S 0
l
S
或
l
f
dl
lim (
S 0
f
)n S
lim (
S 0
f
) S
则有 ( f )n ( f )cos(S, f )
如矢量场与积分路线同向且同步，则环量最大
在直角坐标系中，矢量的旋度可以用行列式表示为
ex ey ez f
i jk a b ax ay az
bx by bz
两个矢量的矢量积不符合乘法的交换律。
混合积
三个矢量的混合积是一个标量，其数值是以三个 矢量为基矢的平行六面体的体积。
在直角坐标系中，三个矢量的混合积为
ax ay az a (b c) bx by bz
cx cy cz
三个矢量的混合积符合下列交换律
预备知识 矢量分析与张量运算
矢量分析
标量积
两个矢量的标量积是一个标量，定义为
a b abcos
在直角坐标系中，两个矢量的标积为
a b axbx ayby azbz
矢量积
两个矢量的矢量积是一个矢量，大小定义为
c a b absin
方向垂直两个矢量构成的平面，构成右手螺旋系。 在直角坐标系中，两个矢量的矢积为
这里，闭合曲线l 为积分面积S 的边界线。
一些基本关系
r (x x')2 (y y')2 (z z')2
r (x x', y y', z z') (x x')i (y y') j (z z')k
结论：
P(x,y,z) P’(x’,y’,z’)
rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3
r r ; 'r r
参考书目
❖ 郭硕鸿 电动力学 中山大学 ❖ 蔡圣善 经典电动力学 复旦大学 ❖ J.D. Jackson Classical Electrodynamics ❖ David J. Griffiths
Introduction to Electrodynamics ❖ 林璇瑛、张之翔 电动力学习题解
矢量场的散度
一个矢量场f (x,y,z)在某点处的散度定义为
f lim S f dS V 0 V
强度量 类比密度：
通量密度
矢量场的散度是一个标量，它标志在矢量空间范 围内某点矢量线的发散或收缩情况。
在不同的坐标系中，矢量场的散度具有不同的形 式。在直角坐标系中，矢量的散度可以写成
f fx f y fz x y z
a (b c) b (c a) c (a b) a (b c) a (c b) b (a c) c (b a)
三矢量的矢积
三个矢量的矢量积是一个矢量，可以表示为
a (b c) (b c) a (a c)b (a b)c
或者写成
(a b) c (a c)b (b c)a
r
r
r r3 0 (r 0)
r 0
1 r
r r3
;
'
1 r
r r3
r r3 0. (r 0)
x y z fx fy fz
* 柱坐标系的旋度表示 在柱坐标系中，矢量场f (r,θ, z)的旋度可以表示为
f
1 fz
r
f z
er
fr z
f z r
e
1 r
r
(rf r
)
1 r
f r
e
z
* 球坐标系的旋度表示 在球坐标系中，矢量场f (r,θ,φ)的旋度可以表示为
f
1
r sin
f 0
反之，无源场总可以表示为某一个矢量场的旋度。 即如果
B 0
则必有
B f
高斯定理
对任何矢量场f (x,y,z)，有
S f dS V fdV
这里，闭合曲面S为积分体积V的外表面，面积元dS 的方向为垂直于曲面向外。
斯托克斯定理
对任何矢量场f (x,y,z)，有
l f dl S f dS
* 柱坐标系的散度表示
……
在柱坐标系中，矢量场f (r,θ, z)的散度可以表示为
f
1 r
r
(rf
r
)
1 r
f
fz z
* 球坐标系的散度表示
在球坐标系中，矢量场f (r,θ,φ)的散度可以表示为
f
1 r2
r
(r2 fr )
1
r sin
(sin f )
1
r sin
f
矢量场的旋度 一个矢量场f (x,y,z)在某点的旋度沿闭合曲线所围
梯度 散度 旋度
标量场的梯度
一个标量场φ(x,y,z)的梯度在直角坐标系下定义为
x
ex
y
ey
z
ez
梯度的方向：规定为指向 φ增加最快的方向 任一方向上的单位矢量： n ex cos ey cos ez cos 梯度与方向导数
n cos cos cos
n
x
y
z
在直角坐标系中，通常将矢量算符写成
(sin
f
)
f
er
1 1
r
sin
f r
r
(rf )e
1 r
r
(rf
)
f r
e
基本定理
标量场的梯度为无旋场
任何标量场φ(x,y,z)的梯度均为无旋场，即
0
反之，无旋场总可以表示为某一个标量场的梯度。 即如果
f 0
则必有
f
矢量场的旋度为无源场
任何矢量场f (x,y,z)的旋度均为无源场，即
ex
x
ey
y
ez
z
* 柱坐标系的梯度表示
在柱坐标系中，标量场φ(r,θ, z)的梯度可以表示 为
r
er
1 r
e
z
ez
* 球坐标系的梯度表示
在球坐标系中，标量场φ(r,θ,φ)的梯度可以表示 为
r
er
1 r
e
1
r sin
e
* 梯度同数量场的等数量面垂直 常见数量场有等温线 、等高线等
平面法线方向上的分量被定义为
f dl
(
f )n
lim S 0
l
S
或
l
f
dl
lim (
S 0
f
)n S
lim (
S 0
f
) S
则有 ( f )n ( f )cos(S, f )
如矢量场与积分路线同向且同步，则环量最大
在直角坐标系中，矢量的旋度可以用行列式表示为
ex ey ez f
i jk a b ax ay az
bx by bz
两个矢量的矢量积不符合乘法的交换律。
混合积
三个矢量的混合积是一个标量，其数值是以三个 矢量为基矢的平行六面体的体积。
在直角坐标系中，三个矢量的混合积为
ax ay az a (b c) bx by bz
cx cy cz
三个矢量的混合积符合下列交换律
预备知识 矢量分析与张量运算
矢量分析
标量积
两个矢量的标量积是一个标量，定义为
a b abcos
在直角坐标系中，两个矢量的标积为
a b axbx ayby azbz
矢量积
两个矢量的矢量积是一个矢量，大小定义为
c a b absin
方向垂直两个矢量构成的平面，构成右手螺旋系。 在直角坐标系中，两个矢量的矢积为
这里，闭合曲线l 为积分面积S 的边界线。
一些基本关系
r (x x')2 (y y')2 (z z')2
r (x x', y y', z z') (x x')i (y y') j (z z')k
结论：
P(x,y,z) P’(x’,y’,z’)
rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3
r r ; 'r r