19-20 第1章 章末复习课

2构成形式 对于“若 p，则 q”形式的命题，其命题的否定为“若 p，则﹁q”， 而其否命题的形式为“若﹁p，则﹁q”. 3与原命题的真假关系 命题的否定与原命题的真假性总是相对的，即一真一假，而否命 题与原命题的真假性无必然联系.
2．请写出下列命题的否命题和命题的否定． (1)若|x|＋|y|＝0，则 x＝y＝0； (2)若△ABC 是等腰三角形，则它有两个内角相等； (3)若 x2－3x－4≤0，则－1≤x≤4.
[解] (1)由命题 p：(x＋1)(x－5)≤0，解得－1≤x≤5. 命题 q：1－m≤x＜1＋m(m>0)． ∵p 是 q 的充分条件， ∴[－1,5]⊆[1－m,1＋m)， ∴15－ ＜m1＋≤m－，1， 解得 m＞4， 则实数 m 的取值范围为(4，＋∞)．
(2)∵m＝5，∴命题 q：－4≤x<6. ∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题， ∴命题 p，q 为一真一假． 当 p 真 q 假时，可得－x＜1－≤4x≤或5x≥，6， 解得 x∈∅. 当 q 真 p 假时，可得x－＜4－≤1x或＜x6＞，5， 解得－4≤x<－1 或 5<x<6. 因此 x 的取值范围是[－4，－1)∪(5,6).
对于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真 假的判定，记“若 p，则 q”为真命题，记为“p⇒q”，“若 p，则 q” 为假命题，记为“p⇒/ q”.
提醒：充分条件、必要条件与充要条件的探究，需要从两个方面 加以论证，切勿漏掉其中一个方面.
1．已知 p：{x|－2≤x≤10}，q：{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0}， 若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围．
当 a＜1 时，A⊆/ B，不合题意； 当 a＝1 时，A⊆B，符合题意； 当 a＞1 时，1≤x≤a，要使 A⊆B，则 1＜a＜3. 综上，符合条件的 a∈[1,3)．
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[解] (1)命题的否定：若 x＝2 或 x＝－1，则 x2－x－2≠0. 否命题：若 x≠2 且 x≠－1，则 x2－x－2≠0. (2)命题的否定：若集合 B 真包含于集合 A，则集合 A 不包含于 集合 B. 否命题：若集合 B 不真包含于集合 A，则集合 A 不包含于集合 B.
命题的否定与否命题的区别 1定义 命题的否定一般是直接对命题的结论进行否定，而否命题是对原 命题的条件和结论分别否定组成的命题.
1－m＜1＋m，

∴D C，∴1－m≤－2， 1＋m>10，
1－m＜1＋m，

或1－m＜－2， 1＋m≥10，
解得m≥9.故实数m的取值范围是{m|m≥9}.
命题的否定与否命题
【例 2】 写出下列命题的否定和否命题： (1)若 x＝2 或 x＝－1，则 x2－x－2＝0； (2)若集合 B 真包含于集合 A，则集合 A 包含于集合 B.
有 0＜x1＋x2＜2 且 0＜x1x2＜1. 根据根与系数的关系xx11＋ x2＝x2＝ n，－m， 得00＜ ＜n－＜m1＜，2，
即－2＜m＜0,0＜n＜1，故有 q⇒p.
反之，取 m＝－13，n＝12，那么方程变为 x2－13x＋12＝0， 则 Δ＝19－4×12＜0，此时方程 x2＋mx＋n＝0 无实根，所以 p⇒/ q. 综上所述，p 是 q 的必要不充分条件．
等价转化思想的应用 【例 3】 已知 c>0，设 p：函数 y＝cx 在 R 上单调递减；q：不 等式 x＋|x－2c|>1 的解集为 R.如果 p 和 q 有且仅有一个为真命题，求 c 的取值范围．
[解] 函数 y＝cx 在 R 上单调递减⇔0＜c＜1. 不等式 x＋|x－2c|>1 的解集为 R⇔函数 y＝x＋|x－2c|在 R 上恒大 于 1.

或1－m＜－2， 1＋m≥10，
解得 m≥9.
故实数 m 的取值范围是{m|m≥9}．
法二：∵p是q的充分不必要条件，∴﹁p是﹁q的必要不充分条件．
由法一知p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}，
∴﹁p：C＝{x|x＜－2或x＞10}，q：D＝{x|x＜1－m或x＞1＋m，m＞ 0}．
4．已知 p：xx－ －53≥2；q：x2－ax≤x－a.若 p 是 q 的充分条件， 求实数 a 的取值范围．
[解] ∵p：xx－－35≥2， ∴xx－－31≤0，即 1≤x＜3. 又∵q：x2－ax≤x－a，∴x2－(a＋1)x＋a≤0.
①当 a＜1 时，a≤x≤1； ②当 a＝1 时，x＝1； ③当 a＞1 时，1≤x≤a. 设 q 对应的集合为 A，p 对应的集合为 B， ∵p 是 q 的充分条件，∴∁RB⊆∁RA，即 A⊆B.
[解] (1)否命题：若|x|＋|y|≠0，则 x，y 中至少有一个不为 0； 命题的否定：若|x|＋|y|＝0，则 x，y 中至少有一个不为 0. (2)否命题：若△ABC 不是等腰三角形，则它的任意两个内角都 不相等； 命题的否定：若△ABC 是等腰三角形，则它的任意两个内角都 不相等． (3)否命题：若 x2－3x－4>0，则 x<－1 或 x>4； 命题的否定：若 x2－3x－4≤0，则 x<－1 或 x>4.
∴－54≤m≤1.又∵m∈Z，∴m＝－1 或 m＝1. 当 m＝－1 时，方程①为 x2＋4x－4＝0， 无整数根； 当 m＝1 时，方程①为 x2－4x＋4＝0， 方程②为 x2－4x－5＝0. 此时①和②均有整数根． 综上，方程①和②均有整数根的充要条件是 m＝1.
分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一，利用分类讨论 思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点.解题中要找 清讨论的标准.
第一章 常用逻辑用语
章末复习课
充分条件、必要条件与充要条件的探究
【例 1】 已知 p：－2<m<0,0<n<1；q：关于 x 的方程 x2＋mx ＋n＝0 有两个小于 1 的正根．试分析 p 是 q 的什么条件．
[解] 若关于 x 的方程 x2＋mx＋n＝0 有两个小于 1 的正根，设为 x1，x2，则 0＜x1＜1,0＜x2＜1，
等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想， 本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命 题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种 数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形 式，从而使复杂问题简单化、具体化.
3．已知命题 p：(x＋1)(x－5)≤0，命题 q：1－m≤x<1＋m(m>0)． (1)若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围； (2)若 m＝5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数 x 的取值范围．
[解] 法一：令 A＝{x|－2≤x≤10}， B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0} ＝{x|[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0，m＞0} ＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．
∵p 是 q 的充分不必要条件，∴A B.
1－m＜1＋m，

∴1－m≤－2， 1＋m＞10，
1－m＜1＋m，
∵x＋|x－2c|＝22xc－ ，2c，
x≥2c， x＜2c，
函数 y＝x＋|x－2c|在 R 上的最小值为 2c，∴2c＞1，得 c＞12.
0＜c＜1， 如果 p 真 q 假，则0＜c≤21，
解得 0<c≤12；
c≥1， 如果 q 真 p 假，则c＞12， 解得 c≥1. ∴c 的取值范围为0，12∪[1，＋∞)．
分类讨论思想的应用
【例 4】 已知关于 x 的方程(m∈Z)：
mx2－4x＋40， ②
求方程①和②的根都是整数的充要条件．
[解] 当 m＝0 时，方程①的根为 x＝1， 方程②化为 x2－5＝0，无整数根，∴m≠0. 当 m≠0 时，方程①有实数根的充要条件是 Δ＝16－4×4m≥0⇒ m≤1； 方程②有实数根的充要条件是 Δ＝16m2－4(4m2－4m－5)≥0⇒m≥－54.