湖北省荆州市沙市第五中学高中数学第二章圆锥曲线与方程单元卷练习新人教A版选修2_1

高中数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程测试卷
一、选择题
1．若平面内一条直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，则下列命题：(1)若C 是圆，则
l 与C 一定相切；(2)若C 是抛物线，则l 与C 一定相切；（3）若C 是椭圆，则l 与C 一定
相切；（4）若C 是双曲线，则l 与C 一定相切．其中正确的有( )．
A ．1 个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．过抛物线x 2
＝4y 的焦点且与其对称轴垂直的弦AB 的长度是( )． A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
3．双曲线1 ＝ 4－922y x 与直线m x －y ＋ 3
2
＝(m ∈R )的公共点的个数为( )．
A ．0
B ．1
C ．0或1
D ．0或1或2
4．在直角坐标平面内，已知点F 1(－4，0)，F 2(4，0)，动点M 满足条件：|MF 1|＋|MF 2|＝8，则点M 的轨迹方程是( )．
A ．1 ＝ 9
＋162
2y x
B ．x =0
C ．y ＝0(－4≤x ≤4)
D ．1
＝ 16
＋162
2　y x 5．已知经过椭圆1 ＝ ＋5
22
y x 的焦点且与其对称轴成45º的直线与椭圆交于A ，B 两点，
则|AB |＝( )．
A ．
3
52 B ．310
C ．
2
5
D ．10
6．已知点A (3，0)、B (－3，0)，|AC |－|BC |＝4，则点C 轨迹方程是( )． A ．1 ＝ 542
2y －x
B ．1 ＝ 542
2y －x (x ＜0)
C ．1 ＝ 5
42
2y －x (x ＞0)
D ．0 ＝ 5
42
2y －x (x ＜0)
7．方程mx 2
＋(m ＋1)y 2
＝m (m ＋1)，m ∈R 表示的曲线不可能是( )． A ．直线
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
8．若椭圆1 ＝9
＋ 162
2x y 上的点到直线y ＝x ＋m 的最短距离是2，则m 最小值为( )．
A ．－1
B ．3-
C ． 7-
D ．1
9．直线y ＝x －k 与抛物线x 2
＝y 相交于A ，B 两点，若线段AB 中点的纵坐标为1，则
k 的值为( )．
A ．－
2
1 B ．
2
1
C ．－
4
1
D ．－1
10．设椭圆2
2＋10y x ＝1和双曲线22－8
y x ＝1的公共焦点分别为F 1，F 2，P 是这两曲线
的交点，则△PF 1F 2的外接圆半径为( )．
A ．1
B ．2
C ．22
D ．3
二、填空题
11．直线m y 2 ＝ 与曲线 222218＝ ＋ 9m y x m (m ∈R ，m ≠0)有 个公共点． 12．到点(－4，0)与到直线x ＝－
4
25的距离之比为54
的动点的轨迹方程是 ．
13．与14
92
2=-y x 有相同渐近线且实轴长为10的双曲线方程是 ． 14．已知△ABC 的两个顶点为A (0，0)、B (6，0)，顶点C 在曲线1 ＝ 9
162
2y －x 上运动，
则△ABC 的重心的轨迹方程是 ．
15．若点P ，Q 在抛物线y 2
＝4x 上，O 是坐标原点，且OP ·＝0，则直线PQ 恒过
的定点的坐标是 ．
16．已知正三角形ABC ，若M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则以B ，C 为焦点，且过M ，N 的椭圆与双曲线的离心率之积为 ．
三、解答题 17．若过椭圆
1 ＝ ＋2
22
2b y a x (a ＞b ＞0)左焦点的直线与它的两个交点及其右焦点构成周长
为16的三角形，此椭圆的离心率为0.5，求这个椭圆方程．
18．已知直线1＋ ＝x y k 与双曲线x 2
－y 2
＝1的左支相交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为点M ，定点C (－2，0)．
(1)求实数k 的取值范围；
(2)求直线MC 在y 轴上的截距的取值范围．
19．若点P在抛物线y2＝2x上，A(a，0)，
(1)请你完成下表：
PA的最小值及相应的点P坐标
(2)若a∈R，求||
20．若点P在以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上，且PF⊥FO，|PF|＝2，O为原点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线x－2y＝1与此抛物线相交于A，B两点，点N是抛物线弧AOB上的动点，求△ABN面积的最大值．
参考答案
一、选择题 1．B 2．C
3．C
解析：双曲线1 ＝ 4－922y x 的渐近线方程为y ＝±3
2
x 与已知直线平行或重合，而当m ＝
0时，重合；此时，公共点个数为0；m ≠0时，公共点个数为1．
4．C 5．A 6． B 7．D 8．C 9．A
10．D
解析：由椭圆与双曲线的定义可得1||PF 与2||PF 的方程组，进一步可知△PF 1F 2为直角三角形．
二、填空题 11．2．
12．1 ＝ 9
＋252
2y x ．
13．
1 ＝ 9
100－2522y x 或1 ＝ 4225
－252
2x y ． 14．
1 ＝ 16
2 922
y －－x )((y ≠0)． 15．(4，0)． 16．2． 三、解答题 17．1 ＝ 12
＋162
2y x ．
解：如图，由椭圆定义可知|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ．
△ABF 2的周长＝|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16．
∴a ＝4， 又∵ e ＝
a
c
＝0.5，
（第17题）
∴ c ＝2，
∴ b ＝3＝ 222－c a ． 椭圆方程为1 ＝ 12
＋162
2y x ．
18．(1)1＜k ＜2．
解：把直线y ＝kx ＋1代入双曲线x 2
－y 2
＝1整理有 (1－k 2
)x 2
－2kx －2＝0，
∵设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由韦达定理可知x 1＋x 2＝2－12k k ＜0， ① x 1·x 2＝
2
－12
k
－＞0． ②
且 ∆＝(－2k )2
－4(1－k 2
)·(－2)＝4k 2
－8 k 2
＋8＞0得
－2＜k ＜2.③ ∴ 1＜k ＜2.
(2)∵ M ⎪⎭⎫ ⎝⎛2＋ 2＋2121y y ，x x ， M ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛1＋－1 －122
2k k k k ，，即M ⎪⎭⎫ ⎝⎛22－11 －1k k k ，. ∴MC ：y ＝
2
＋＋21
2k k －x ＋
2
＋＋22
2k k －.
在y 轴线截距为y m ＝
2
＋＋22
2
k k －，
当k ∈(1，2)，有y m ＞2或y m ＜－2－2. 19．(1)
(2)当a ≤1时，|PA |的最小值＝|a |，相应的点P (0，0)；
当a ＞1时，|PA |的最小值＝12-a ，相应的点P (a －1，±22-a )． 20．(1)x y 4＝2；
（第18题）
O
解：由PF ⊥FO ，|PF |＝2可知当x ＝2
p
时，y ＝2. 即2p ·
2
p
＝4，∴ p ＝2. ∴抛物线方程为y 2
＝4x . (2)510．
解：由(1)可知，直线AB 过焦点F (1，0). 把直线x －2y ＝1代入抛物线y 2
＝4x . 有x 2
－18 x ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). |AB |＝21－4
1＋
1x x ＝2058 25＝－4＋ 41＋ 1212
21＝ ·）( ·x x x x . 设N (x 0，20x )，
点N 到AB 的距离h ＝
5
1
400－x －x .
S △ABN ＝21·|AB |·h ＝21
·20·5
1400－x －x .
当 0x ＝2时，S △ABN 取得最大值，此时S △ABN ＝10
（第20题）。