(江苏专用)2021高考数学二轮复习解答题满分练2理

解答题总分值练2
1.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD ⊥底面ABCD, PA ⊥PC ； (1)求证：平面PAB ⊥平面PCD ；
(2)假设过点B 的直线l 垂直于平面PCD ， 求证：l ∥平面PAD .
证明 (1)因为ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ，
因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD, CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ， 因为AP ⊂平面PAD ，所以PA ⊥CD ，
又PA ⊥PC, PC ∩CD ＝C, CD ，PC ⊂平面PCD ， 所以AP ⊥平面PCD ，
又AP ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD . (2)由(1)知，AP ⊥平面PCD ，又l ⊥平面PCD ， 所以l ∥PA ，
又l ⊄平面PAD, AP ⊂平面PAD ，所以l ∥平面PAD .
2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且满足cos B cos C ＋b 2a ＋c ＝0 .
(1)求角B 的值；
(2)假设c ＝2，AC 边上的中线BD ＝
3
2
，求△ABC 的面积. 解 (1)cos B cos C ＋b 2a ＋c ＝0⇔cos B cos C ＋sin B
2sin A ＋sin C ＝0,
所以cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0， 所以2sin A cos B ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0， 所以2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0， 所以sin A (2cos B ＋1)＝0， 因为sin A ≠0，所以cos B ＝－1
2.
所以B ＝2π
3
.
(2)延长BD 到E ，使BD ＝DE ，易知四边形AECB 为平行四边形，
在△BEC 中，EC ＝2，BE ＝2BD ＝3，因为∠ABC ＝2π3
，所以∠BCE ＝π
3
，由余弦定理得，
BE 2＝EC 2＋BC 2－2EC ·BC ·cos∠BCE ，
即3＝22
＋a 2
－2·2a ·cos π
3
， 即a 2
－2a ＋1＝0， 解得a ＝1，
S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2×
32＝32
. 3.某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一局部，如下图建立平面直角坐标系xOy .
(1)假设最大拱高h 为6米，那么隧道设计的拱宽l 是多少？
h 不小于6米，那么应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？(隧道口截面面积
公式为S ＝2
3
lh )
解 (1)设抛物线的方程为y ＝－ax 2
(a ＞0)，那么抛物线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫10，－32，
代入抛物线方程得a ＝3
200
，
令y ＝－6，解得x ＝±20，那么隧道设计的拱宽l 是40米.
(2)抛物线最大拱高为h 米，h ≥6，抛物线过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫10，－⎝ ⎛⎭⎪⎫h －92， 代入抛物线方程得a ＝h －
9
2
100
.
令y ＝－h ，那么－h －
92100x 2＝－h ，解得x 2＝100h
h －9
2
，
那么⎝ ⎛⎭
⎪⎫l 22
＝100h h －92
，h ＝92l 2l 2－400，
∵h ≥6，∴92
l 2l 2－400≥6，即20＜l ≤40，
∴S ＝23lh ＝23l ·92l 2l 2－400＝3l
3l 2－400
，20<l ≤40，
∴S ′＝9l 2
(l 2
－400)－3l 3
·2l (l 2－400)2＝3l 2
(l 2
－1 200)(l 2－400)2＝3l 2
(l ＋203)(l －203)(l 2－400)2
， 当20<l <203时，S ′＜0；当203<l ≤40时，S ′＞0， 即S 在(20,203)上单调递减，在(203，40]上单调递增， ∴当l ＝203时，S 取得最小值，此时l ＝203，h ＝27
4
.
答 当拱高为27
4
米，拱宽为203米时，使得隧道口截面面积最小.
C 与y 轴相切，圆心在直线2x －y ＝0上，且直线x －y ＝0被圆C 截得的弦长为2 2.
(1)求圆C 的标准方程；
(2)两定点A (0,1)，B (0，－1)，P 为圆C 上的动点，求PA 2
＋PB 2
的取值范围. 解 (1)由可设圆心C (a,2a )，那么r ＝|a |. 圆心到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －2a |2＝|a |
2，
那么⎝
⎛⎭
⎪⎫|a |22＋(2)2＝|a |2
，解得a ＝±2， 从而所求圆C 的标准方程为(x －2)2
＋(y －4)2
＝4 或(x ＋2)2
＋(y ＋4)2
＝4. (2)设P (x ，y )，
那么PA 2
＋PB 2
＝x 2
＋(y －1)2
＋x 2
＋(y ＋1)2
＝2(x 2
＋y 2
)＋2， 要求PA 2
＋PB 2
的取值范围，只需求x 2
＋y 2
的取值范围，
而x 2
＋y 2的几何意义为圆C 上的点P (x ，y )到原点O (0,0)的距离的平方. 由圆心C 到原点O 的距离OC ＝25，
知点P (x ，y )到原点O 的距离的最大值，最小值分别为25＋2,25－2，那么x 2
＋y 2
的取值范围为[24－85，24＋85]，
故PA 2
＋PB 2
的取值范围为[50－165，50＋165].
f (x )＝a ln x ＋bx (a ，b ∈R )在x ＝12
处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直
线x －y ＋1＝0垂直. (1)求实数a ，b 的值；
(2)假设关于x 的不等式f (x )≥x 2
－3x ＋k 有大于0的实数解，求实数k 的取值范围； (3)假设对于任意的x ∈[1，＋∞)，不等式f (x )≤(m －2)x －m x
恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝a x
＋b ，
由题设可知f ′(1)＝－1且f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝0， 即⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＋
b ＝－1，2a ＋b ＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝－2.
代回检验可得，满足题意. 所以实数a ，b 的值分别为1和－2.
(2)由(1)可知f (x )＝ln x －2x ，所以不等式f (x )≥x 2
－3x ＋k 即x 2
－x －ln x ＋k ≤0. 令g (x )＝x 2
－x －ln x ＋k (x >0)，那么g ′(x )＝2x －1－1x ＝2x 2
－x －1x ＝(2x ＋1)(x －1)
x
，
所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，那么g (x )min ＝g (1)＝k . 因此，欲使不等式f (x )≥x 2
－3x ＋k 有大于0的实数解，那么k ≤0. 即实数k 的取值范围是(－∞，0].
(3)对于任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )≤(m －2)x －m x
恒成立，等价于ln x －m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x ≤0在x ∈[1，
＋∞)上恒成立.
设h (x )＝ln x －m ⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x (x ≥1)，
那么h ′(x )＝1x
－m ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋1x 2＝－mx 2
＋x －m x
2
. 假设m ≤0，那么h ′(x )>0，h (x )在[1，＋∞)上为增函数，
h (x )≥h (1)＝0，
这与题设h (x )≤0矛盾.
假设m >0，方程－mx 2
＋x －m ＝0的判别式Δ＝1－4m 2
.
(i)当Δ≤0，即m ≥1
2时，h ′(x )≤0，所以h (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以h (x )≤h (1)
＝0，即不等式成立；
(ii)当0<m <12时，设方程－mx 2
＋x －m ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，x 1＝1－1－4m 2
2m ∈(0,1)，
x 2＝1＋1－4m
2
2m ∈(1，＋∞)，当x ∈[1，x 2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (x )≥h (1)＝0，
与题设矛盾. 综上所述，m ≥1
2
.
即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞. 6.(2021·江苏泰州中学模拟)数列{}a n ，{}b n ，S n 为数列{}a n 的前n 项和，向量x ＝(1，b n )，
y ＝(a n －1，S n )，x ∥y .
(1)假设b n ＝2，求数列{}a n 的通项公式； (2)假设b n ＝n
2
，a 2＝0.
①证明：数列{}a n 为等差数列； ②设数列{}c n 满足c n ＝
a n ＋3
a n ＋2
，问是否存在正整数l ，m (l <m ，且l ≠2，m ≠2)，使得c l ，c 2，c m 成等比数列？假设存在，求出l ，m 的值；假设不存在，请说明理由. (1)解 由x ＝(1，b n )，y ＝(a n －1，S n )，x ∥y ， 得：S n ＝(a n －1)b n ，假设b n ＝2，那么S n ＝2a n －2.
①
当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，即a 1＝2， 又S n ＋1＝2a n ＋1－2，
②
②－①得：S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ， 即a n ＋1＝2a n ，所以
a n ＋1
a n
＝2，又a 1＝2， 所以{}a n 是首项为2，公比为2的等比数列. 所以a n ＝2n
.
(2)①证明 因为b n ＝n
2，那么2S n ＝na n －n ，
③
当n ＝1时，2S 1＝a 1－1，即a 1＝－1， 又2S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－(n ＋1)，
④
④－③得：2S n ＋1－2S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －1， 即(n －1)a n ＋1－na n －1＝0，
⑤ 又na n ＋2－(n ＋1)a n ＋1－1＝0，
⑥
⑥－⑤得：na n ＋2－2na n ＋1＋na n ＝0，
即a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{}a n 为等差数列. ②解 因为a 1＝－1，a 2＝0，数列{a n }为等差数列， 所以数列{}a n 是首项为－1，公差为1的等差数列.
a n ＝－1＋(n －1)×1＝n －2，所以c n ＝n ＋1
n
，
假设存在正整数l ，m (l <m ，且l ≠2，m ≠2)，使得c l ，c 2，c m 成等比数列， 即c 2
2＝c l c m ， 可得94＝l ＋1l ·m ＋1m
，
整理得5lm －4l ＝4m ＋4，即l ＝4m ＋45m －4，
由
4m ＋4
5m －4
≥1，得1≤m ≤8, 一一代入检验⎩⎪⎨
⎪
⎧
m ＝1，l ＝8
或⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝2，l ＝2
或⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝3，l ＝16
11
或⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝4，l ＝5
4
或⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝5，l ＝8
7
或
⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝6，l ＝1413
或⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝7，l ＝32
31
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝8，
l ＝1.
又l ，m 为正整数，l <m ，且l ≠2，m ≠2， 所以存在l ＝1，m ＝8符合题意.。