山东省2014届高三数学 备考2013届名校解析试题精选分类汇编14 导数与积分

山东省2014届高三理科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编14：
导数与积分
一、选择题
1 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ,已
知(1)f x +是偶函数(1)'()0x f x -<. 若12x x <,且122x x +>,则1()f x 与2()f x 的大小关系是
（ ）
A ．12()()f x f x <
B ．12()()f x f x =
C ．12()()f x f x >
D ．不确定
【答案】C 由(1)'()0x f x -<可知,当1x >时,'()0f x <函数递减.当1x <时,'()0f x >函数递增.因为函数(1)f x +是偶函数,所以(1)(1)f x f x +=-,()(2)f x f x =-,即函数的对称轴为1x =.所以若121x x <<,则12()()f x f x >.若11x <,则必有22x >,则2121x x >->,此时由
21()(2)f x f x <-,即211()(2)()f x f x f x <-=,综上12()()f x f x >,选
C ．
2 ．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）设2
3
5
1
1
1
1
1
1
,,a dx b dx c dx x
x
x
=
==⎰
⎰
⎰
,则下列关系式成立的是
（ ）
A ．235a b c <<
B ．
325b a c
<< C ．523
c a b <<
D ．253
a c
b <<
【答案】C
2
2111ln ln 2a dx x x ===⎰,33111ln ln 3b dx x x ===⎰,55
111ln ln 5c dx x x ===⎰,所以
ln 2
22a ==,ln 3ln 33b ==,ln 555
c ==.因为6328==,6239==,所以
<.105232==,102525==,<,<<所以523
c a b
<<,
选 C ．
3 ．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）设函数()()3
402f x x x a a =-+<<有三个零点1x 、x 2、x 3,且123,x x x <<则下列结论正确的是 （ ）
A ．11x >-
B ．20x <
C ．32x >
D ．201x <<
【答案】D
∵函数()()3
402f x x x a a =-+<<,
∴f′(x)=3x 2
﹣4.令f′(x)=0,得 x=±
.
∵当233x <-
时,'()0f x >;在2323
(,)33
-上,'()0f x <;在23(
,)3+∞上,'()0f x >.故函数在23(,)3-∞-
)上是增函数,在2323(,)33-上是减函数,在23(,)3+∞上是增函数.故23
()3
f -是极大值,23
(
)3
f 是极小值.再由 f (x)的三个零点为x 1,x 2,x 3,且123,x x x <<得 x 1<﹣,﹣
<x 2
,x 3>
.
根据f(0)=a>0,且f()=a ﹣
<0,得
>x 2>0.
∴0<x 2<1.选
D ．
4 ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）若()y f x =既是周期函数,又是奇函数,
则其导函数'()y f x = （ ）
A ．既是周期函数,又是奇函数
B ．既是周期函数,又是偶函数
C ．不是周期函数,但是奇函数
D ．不是周期函数,但是偶函数
【答案】B
因为()y f x =是周期函数,则有()()f x T f x +=,两边同时求导,得'()()''()f x T x T f x ++=,即
'()'()f x T f x +=,所以导函数为周期函数.因为()y f x =是奇函数,所以()()f x f x -=-,两边求导
得'()()''()f x x f x --=-,即'()'()f x f x --=-,所以'()'()f x f x -=,即导函数为偶函数,选 B ．
5 ．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设函数()sin cos f x x x x =+的图像在
点(,())t f t 处切线的斜率为k,则函数k=g(t)的部分图像为
【答案】B
【解析】函数的导数为'()sin cos cos f x x x x x x =+=,即()cos k g t t t ==.则函数()g t 为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除A,
C ．当02
t π
<<
时,()0g t >,所以排除排除D,选 B ．
6 ．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）由曲线1xy =,直线,3y x x ==及x 轴所围成的
曲边四边形的面积为 （ ）
A ．
116
B ．
92
C ．
1
ln 32
+ D ．4ln 3-
【答案】 C
【解析】由1xy =得1y x =,由1y x
y x =⎧⎪
⎨=⎪⎩
得1D x =,所以曲边四边形的面积为
1
3
21
3
010
1
11
1
ln ln 32
2
xdx dx x x x +=+=
+⎰
⎰
,选 C ．
7 ．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）若函数1()e (0,)ax
f x a b b
=-
＞＞0的图象在0x =处的切线与圆2
2
1x y +=相切,则a b +的最大值是 （ ）
A ．4
B ．22
C ．2
D ．2
【答案】D 函数的导数为1'()e ax f x a b =-
⋅,所以01'(0)e a
f a b b
=-⋅=-,即在0x =处的切线斜率为a k b =-,又011(0)e f b b =-=-,所以切点为1(0,)b -,所以切线方程为1a
y x b b
+=-,即
10ax by ++=,圆心到直线10ax by ++=的距离22
11d a b ==+,即221a b +=,所以
2212a b ab +=≥,即102
ab <≤
.又222()21a b a b ab +=+-=,所以2
()21112a b ab +=+≤+=,即2a b +≤
,所以a b +的最大值是2,选
D ．
8 ．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）函数sin e ()x
y x =-π≤≤π的大致图象为
【答案】D 因为函数为非奇非偶函数,所以排除A,
C ．函数的导数为sin 'cos x
y e x =⋅由
(A)
(B)
(C)
(D)
sin 'cos 0x y e x =⋅=,得cos 0x =,此时2
x π
=
或2
x π
=-
.当02
x π
<<
时,'0y >,函数递增.当
2
x π
π<<时,'0y <,函数递减,所以2
x π
=
是函数的极大值,所以选
D ．
9 ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有
()f x =(4)f x -,且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则
（ ）
A ．2(2)(3)(log )a f f f a <<
B ．2(3)(log )(2)a f f a f <<
C ．2(log )(3)(2)a f a f f <<
D ．2(log )(2)(3)a f a f f <<
【答案】C 由()f x =(4)f x -,可知函数关于2x =对称.由()2(),xf x f x ''>得(2)()0x f x '->,所以当2x >时,
()0f x '>,函数递增,所以当2x <时,函数递减.当
24a <<,21log 2a <<,24222a <<,即4216a <<.所以22(log )(4log )f a f a =-,所以224log 3a <-<,即224log 32a a <-<<,所以
2(4log )(3)(2)a f a f f -<<,即
2(log )(3)(2)a f a f f <<,选
C ．
10．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知偶函数)(x f 在R 上的任一取
值都有导数,且'(1)1f =,(2)(2),f x f x +=-则曲线)(x f y =在5-=x 处的切线的斜率为
（ ）
A ．2
B ．-2
C ．1
D ．-1
【答案】D
【 解析】由(2)(2),f x f x +=-得(4)(),f x f x +=可知函数的周期为4,又函数)(x f 为偶函数,所以(2)(2)=(2)f x f x f x +=--,即函数的对称轴为2x =,所以(5)(3)(1)f f f -==,所以函数在
5-=x 处的切线的斜率'(5)'(1)1k f f =-=-=-,选
D ．
二、填空题
11．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）
10
(2)x e x dx -=⎰____________________.
【答案】2e -
12100
(2)()2x x e x dx e x e -=-=-⎰
.
12．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）
221
x dx =⎰
_____________;
【答案】
7
3
【 解析】
2
2321
1
18173
333
x dx x =
=-=⎰
.
13．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）由曲线23y x =-和直线2y x =所围成
的面积为 【答案】
32
3
【解析】由232y x y x
⎧=-⎨=⎩得1x =或3x =-,所以曲线2
3y x =-和直线2y x =所围成的面积为
1
2
3213
3
132(32)(3)3
3
x x dx x x x ----=--=
⎰. 14．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））已知2
(),()(1),x
f x xe
g x x a ==-++若
12,,x x R ∃∈使得21()()f x g x ≤成立,则实数a 的取值范围是.
【答案】1
a e
≥-
【解析】'()(1)x
x
x
f x e xe x e =+=+,当1x >-时,'()0f x >函数递增;当1x <-时,'()0f x <函数递减,所以当1x =-时()f x 取得极小值即最小值1
(1)f e
-=-
.函数()g x 的最大值为a ,若12,,x x R ∃∈使得21()()f x g x ≤成立,则有()g x 的最大值大于或等于()f x 的最小值,即1
a e
≥-.
15．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））抛物线2
y x =在A(l,1)处的切线与y 轴
及该抛物线所围成的图形面积为. 【答案】
1
3
【解析】函数2
y x =的导数为'2y x =,即切线斜率为2k =,所以切线方程为12(1)y x -=-,即
21
y x =-,由
221y x y x
=-⎧⎨=⎩,解得
1
x =,所以所求面积为
1
12232
10
00
11((21))(21)()33
x x dx x x dx x x x --=-+=-+=⎰⎰. 16．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）若
1
1
(2)3ln 2(1)a
x dx a x
+=+>⎰,则a 的值是_____________ ;
【答案】2 由 22
1
11
(2)(ln )
ln 13+ln2a
a
x dx x x a a x
+=+=+-=⎰,所以213
ln ln2
a a ⎧-=⎨
=⎩,解得2a =. 17．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）已知函数()f x 的定义域为[]1,5-,部分对应值
如下表,()f x 的导函数()y f x '=的图像如图所示,给出关于()f x 的下列命题:
①函数()2y f x x ==在时,取极小值②函数()[]0,1f x 在是减函数,在[]1,2是增函数,③当
12a <<时,函数()y f x a =-有4个零点④如果当[]1,x t ∈-时,()f x 的最大值是2,那么t 的最小
值为0,其中所有正确命题序号为_________. 【答案】①③④
【解析】由导数图象可知,当10x -<<或24x <<时,'()0f x >,函数递增.当02x <<或45x <<时,'()0f x <,函数递减.所以在2x =处,函数取得极小值,所以①正确,②错误.当12a <<时,由
()0y f x a =-=得()f x a =.
由图象可知,此时有四个交点,所以③
正确.当[]1,x t ∈-时,()f x 的最大值是2,由图象可知0t ≥,所以t 的最小值为0,所以④正确.综上所有正确命题序号为①③④.
18．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知
()
,10320
2
=+⎰dx t x
则常数
t =_________.
【答案】1 【解析】
()2
2
32
00
3()8210x
t dx x tx t +=+=+=⎰,解得1t =.
19．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）给出下列命题:①函数2
4
x
y x =
+在区间[1,3]上是增函数; ②函数f(x)=2x -x 2
的零点有3个;
③函数y= sin x(x ∈],[ππ-)图像与x 轴围成的图形的面积是S= ⎰-
π
πxdx sin ;
④若ξ~N(1,2σ),且P(0≤ξ≤1)=0.3,则P(ξ≥2)=0.2. 其中真命题的序号是(请将所有正确命题的序号都填上): 【答案】②④
①2224'(4)x y x -+=+,由22
2
4
'0(4)x y x -+=>+,解得22x -<<,即函数的增区间为(2,2)-,所以①错误.②
正确.③当0x π-≤≤时,sin 0x ≤,所以函数y= sin x(x ∈],[ππ-)图像与x 轴围成的图形的面积是
sin x dx π
π
-
⎰,所以③错误.④因为12(01)10.6
(2)0.222
P P ξξ-≤≤-≥=
==,所以④正确,所以正
确的为②④.
三、解答题
20．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A ））函数()R a x ax nx x x f ∈--=2
1)(.
(I)若函数)(x f 在1=x 处取得极值,求a 的值;
(II)若函数)(x f 的图象在直线x y -=图象的下方,求a 的取值范围; (III)求证:2012201320132012<. 【答案】
21．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设函数1
()(01)1f x x x x nx
=
≠＞且 (1)求函数()f x 的单调区间;
(2)已知1121n a nx x
＞对任意(0,1)x ∈成立,求实数a 的取值范围. 【答案】
22．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）设函数()2
ln f x x ax x =+-.
(1)若1a =,试求函数()f x 的单调区间;
(2)过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线,证明:切点的横坐标为1;
(3)令()()
x
f x
g x e =,若函数()g x 在区间(0,1]上是减函数,求a 的取值范围.
【答案】解: (1)1a =时, 2
()(0)f x x x lnx x =+->
1'()21f x x x ∴=+-
(21)(1)x x x -+=
()()110,,'0,,,'022x f x x f x ⎛⎫⎛⎫
∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()f x 的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
(2)设切点为()()
,M t f t ,()1
'2f x x ax x
=+- 切线的斜率12k t a t
=+-,又切线过原点()
f t k t =
()2221
2ln 211ln 0f t t a t at t t at t t t t =+-+-=+-∴-+=，即：
1t =满足方程21ln 0t t -+=,由21,ln y x y x =-=图像可知21ln 0x x -+=
有唯一解1x =,切点的横坐标为1; 或者设()2
1ln t t t ϕ=-+,()1
'20t t t
ϕ=+>
()()0+t ϕ∞在，递增,且()1=0ϕ,方程21ln 0t t -+=有唯一解
(3)()()()
''x
f x f x
g x e
-=
,若函数()g x 在区间(0,1]上是减函数, 则()()()(0,1],'0,:'x g x f x f x ∀∈≤≤即,所以()21
2ln 10x x x a x x
-+
-+-≥---(*) ()()21
2ln 1h x x x x a x x =-+
-+-设
()()()2
22
122111
'222x x x h x x a a x x x -++=---+=--+
若2a ≤,则()'0,h x ≤()h x 在(]0,1递减,()()10h x h ≥=
即不等式()()',(0,1],
f x f x x ≤∀∈恒成立
若2a >,
()()232
1121
22'20x x x x x x x ϕϕ=-
--∴=++> ()x ϕ在(]0,1上递增,()()12x ϕϕ≤=-
()()000,1,x x a
ϕ∃∈=-使得
()()0,1,x x x a ϕ∈>-,即()'0h x >,()(]0,1h x x 在上递增,()()10h x h ≤=
这与(]0,1x ∀∈,()21
2ln 10x x x a x x -+-+-≥矛盾
综上所述,2a ≤
解法二:
()()()''x f x f x g x e
-=
,若函数()g x 在区间(0,1]上是减函数, 则()()()(0,1],'0,:'x g x f x f x ∀∈≤≤即,所以()21
2ln 10x x x a x x
-+-+-≥ 显然1x =,不等式成立 当()0,1x ∈时,21
2ln 1x x x x a x
-+
-≤
-恒成立 设()()()
22221112ln 21ln ,'11x x x x x x x x x h x h x x x -+
--+--+-=
=-- 设()()()()()2
23
1211
21ln ,'210x x x x x x x x x x x ϕϕ-+=-+--
+-=-+> ()x ϕ在()0,1上递增,()()10x ϕϕ<= 所以()'0h x <
()h x 在()0,1上递减,()()221
11
2ln 111lim
lim 2221x x x x x
x h x h x x x x →→-+
-⎛⎫>==-+++= ⎪-⎝
⎭
所以 2a ≤
23．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知函数3
2
()f x ax bx =+在点(3,(3))f 处的
切线方程为122270x y +-=,且对任意的[)0,x ∈+∞,()ln(1)f x k x '≤+恒成立. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式; (Ⅱ)求实数k 的最小值; (Ⅲ)求证:11
1
1ln(1)223
n n
++++
<++(*N n ∈). 【答案】
解:(Ⅰ)将3x =代入直线方程得92y =-
,∴9
2792
a b +=-① 2()32,(3)6f x ax bx f ''=+=-,∴2766a b +=-②
①②联立,解得1
1,32
a b =-= ∴32
11()32
f x x x =-
+ (Ⅱ)2
()=f x x x '-+,∴2
ln(1)x x k x -+≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立; 即2
ln(1)0x x k x -++≥在[)0,x ∈+∞恒成立;
设2
()ln(1)g x x x k x =-++,(0)0g =, ∴只需证对于任意的[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥
[)221
()21,0,11
k x x k g x x x x x ++-'=-+=∈+∞++
设2
()21h x x x k =++-,
【D 】1．)当=18(1)0k ∆--≤,即9
8
k ≥
时,()0h x ≥,∴()0g x '≥ ()g x 在[)0,+∞单调递增,∴()(0)g x g ≥
【D 】2．)当=18(1)0k ∆-->,即9
8
k <时,设12,x x 是方程2210x x k ++-=的两根且12x x < 由121
2
x x +=-
,可知10x <,
分析题意可知当20x ≤时对任意[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥;
∴10,1k k -≥≥,∴918
k ≤<
综上分析,实数k 的最小值为1
(Ⅲ)令1k =,有2
ln(1),x x x -+≤+即2
ln(1)x x x ≤++在[)0,x ∈+∞恒成立;
令1
x n
=
,得221111ln(1)ln(1)ln n n n n n n ≤++=++-
∴
222222111111
11(ln 2ln1)(ln 3ln 2)(ln(1)ln )
23
23111
=1ln(1)
231111ln(1)
1223(1)1
2ln(1)2ln(1)
n n n n
n n n n n n n n
+
+++
≤+++++-+-+++-++++++<++++++⨯⨯-=-++<++∴原
不等式得证
24．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）设函数()sin x
f x e x =
(1)求函数()f x 单调递增区间;
(2)当[0,]x π∈时,求函数()f x 的最大值和最小值. 【答案】解:(1)'
()(sin cos )x
f x e x x =+
sin()4x x π
=+
'()0,sin()0.4f x x π
≥∴+≥
3
22,2
2,444
k x k k x k ππππππππ∴≤+
≤+-≤≤+即 3()2,2,44f x k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调增区间为
(2)[]0,,x π∈ 33
10,,44
x x πππ⎡⎤
⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
由（）知，是单调增区间，是单调减区间
3
43(0)0,()0,(),4f f f e πππ===
所以4
3max
2
2)43(π
πe f f ==,0)()0(min ===πf f f
25．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）设函数1
()(2)ln 2f x a x ax x
=-+
+. (Ⅰ)当0a =时,求()f x 的极值; (Ⅱ)当0a ≠时,求()f x 的单调区间;
(Ⅲ)当2a =时,对任意的正整数n ,在区间1
1[,6]2n n
++上总有4m +个数使得
1231234()()()()()()()()m m m m m f a f a f a f a f a f a f a f a +++++++<+++成立,试问:正整数m 是
否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由 【答案】解:(I)函数()f x 的定义域为(0,)+∞ 当0a =时,1()2ln f x x x =+,∴22
2121()x f x x x x -'=-= 由()0f x '=得12
x =
. ()f x ,()f x '随x 变化如下表:
由上表可知,1()()22ln 22
f x f ==-极小值,没有极大值
(II)由题意,22
2(2)1
()ax a x f x x +--'=.
令()0f x '=得11x a =-,212
x = 若0a >,由()0f x '≤得1(0,]2x ∈;由()0f x '≥得1
[,)2
x ∈+∞
若0a <,
① 当2a <-时,112a -<,1(0,]x a ∈-或1
[,)2
x ∈+∞,()0f x '≤;
11
[,]2
x a ∈-,()0f x '≥.
②当2a =-时,()0f x '≤. ③当20a -<<时,112a -
>,1(0,]2x ∈或1[,)x a ∈-+∞,()0f x '≤;11
[,]2x a
∈--,()0f x '≥.
综上,当0a >时,函数的单调递减区间为1(0,]2,单调递增区间为1[,)2
+∞; 当2a <-时,函数的单调递减区间为1(0,]a -,1[,)2+∞,单调递增区间为11[,]2
a -; 当2a =-时,函数的单调减区间是(0,)+∞, 当20a -<<时,函数的单调递减区间为1(0,]2,1[,)a -
+∞,单调递增区间为11[,]2a
--. (Ⅲ) 当2a =时,1
()4f x x x
=+,22
41()x f x x -'=. ∵1
1[,6]2x n n
∈++,∴()0f x '≥.
∴min 1()()42f x f ==,max 1()(6)f x f n n
=++ 由题意,11()4(6)2mf f n n
<++恒成立.
令168k n n =++≥,且()f k 在1
[6,)n n +++∞上单调递增,
min 1()328f k =,因此1
328
m <,而m 是正整数,故32m ≤,
所以,32m =时,存在12321
2
a a a ====,12348m m m m a a a a ++++====时,对所有n 满足题意.
∴32max m =
26．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）已知函数f(x)=axlnx 图像上点(e,f(e))处
的切线与直线y=2x 平行(其中e= 2.71828),g(x)=x 2-x 2
-tx-2. (1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值;
(3)对一切x ∈(]e ,0,3f(x)≥g(x)恒成立,求实数t 的取值范围.
【答案】
27．（【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学）(本小题满分l3分)已知函数f(x)a ln x ax(a R)
=--∈.
3
(I)若a=-1,求函数f(x)的单调区间;
=的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45o,对于任意的t∈ [1,2],函数(Ⅱ)若函数y f(x)
322
m
g(x )x x [f '(x )](f '(x )=++
是f (x )的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数,求m 的取值范围;
(Ⅲ)求证:
2341
2234*ln ln ln ln n ...(n ,n N )n n
⨯⨯⨯⨯<≥∈ 【答案】解:(Ⅰ)当1a =-时,(1)
'() (0)x f x x x
-=> 解'()0f x >得),1(+∞∈x ;解'()0f x <得
)1,0(∈x )(x f 的单调增区间为()+∞,1,减区间为()1,0
(Ⅱ) ∵
)0()1()('>-=
x x x a x f ∴12
)2('=-=a
f 得2-=a ,32ln 2)(-+-=x x x f x x m
x x g 2)22
(
)(23-++=,∴2)4(3)('2-++=x m x x g ∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数,且()02'
g =-∴⎩
⎨⎧><0)3('0
)('g t g
由题意知:对于任意的]2,1[∈t ,'()0g t <恒成立,
所以,'(1)0
'(2)0'(3)0
g g g <⎧⎪
<⎨⎪>⎩
,∴9337-<<-m . (Ⅲ)证明如下: 由(Ⅰ)可知
当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >,即01ln >-+-x x , ∴0ln 1x x <<-对一切),1(+∞∈x 成立 ∵2,≥∈N *n n ,则有1ln 0-<<n n ,∴n n n n 1
ln 0-<
<
ln 2ln 3ln 4
ln 123
11(2,N )234
234
n n n n n n n
*-∴
⋅⋅⋅⋅
<⋅⋅⋅⋅=≥∈
28．（山东省青岛市
2013
届高三第一次模拟考试理科数学）已知向量
(,ln )x m e x k =+,(1,())n f x =,//m n (k 为常数, e 是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直,()()x F x xe f x '=.
(Ⅰ)求k 的值及()F x 的单调区间;
(Ⅱ)已知函数2
()2g x x ax =-+(a 为正实数),若对于任意2[0,1]x ∈,总存在1(0,)x ∈+∞, 使得
21()()g x F x <,求实数a 的取值范围.
【答案】解:(I)由已知可得:()f x =1x
nx k e
+1
ln ()x x k x f x e --'∴=,
由已知,1(1)0k
f e
-'=
=,∴1k = ∴()()x F x xe f x '=1
(ln 1)1ln x x x x x x
=--=--所以()ln 2F x x '=--
由21
()ln 200F x x x e '=--≥⇒<≤,
由21
()ln 20F x x x e
'=--≤⇒≥
()F x ∴的增区间为21(0,]e ,减区间为21
[,)e
+∞
(II)
对于任意2[0,1]x ∈,总存在1(0,)x ∈+∞, 使得21()()g x F x <,∴max max ()()g x F x <
由(I)知,当21x e =
时,()F x 取得最大值2211()1F e e
=+ 对于2
()2g x x ax =-+,其对称轴为x a =
当01a <≤时,2max ()()g x g a a ==, ∴22
1
1a e <+
,从而01a <≤ 当1a >时,max ()(1)21g x g a ==-, ∴21211a e -<+,从而21
112a e
<<+
综上可知: 21
012a e
<<+
29．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）已知函数
()ln(1)(1)1()f x x k x k =---+∈R ,
(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ)若()0f x ≤恒成立,试确定实数k 的取值范围; (Ⅲ)证明:ln 2ln 334++ln 1n n +
+<(1)
4
n n -(,n N n ∈>1).
【答案】
30．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知函数2
20a f (x )a ln x x(a )x
=-++≠
(I)若曲线y f (x )=在点(1,1f ()))处的切线与直线20x y -=垂直,求实数a 的值; (Ⅱ)讨论函数f (x )的单调性;
(Ⅲ)当0a (,)∈-∞时,记函数f (x )的最小值为g(a),求证:4
()g a e -≥- 【答案】
31．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知
32()1,()2f x x nx g x x ax x ==+-+
(1)求函数()f x 的单调区间;
(2)求函数()f x 在[t,t+2](0t >)上的最小值;
(3)对一切的(0,),2()'()2x f x g x ∈+∞≤+恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】
32．（山东省临沂市
2013
届高三
5
月高考模拟理科数学）已知函数
21()eln ,()ln 1,()2
f x x
g x x x
h x x ==--=
. (Ⅰ)求函数()g x 的极大值.
(Ⅱ)求证:存在0(1,)x ∈+∞,使01()()2
g x g =;
(Ⅲ)对于函数()f x 与()h x 定义域内的任意实数x ,若存在常数k,b,使得()f x kx b +≤和()h x kx b +≥都成立,则称直线y kx b =+为函数()f x 与()h x 的分界线.试探究函数()f x 与()h x 是否存在“分界线”?若存在,请给予证明,并求出k ,b 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)11()1(0).x g x x x x
-'=
-=＞ 令()0,g x '＞解得01;x ＜＜ 令()0,g x '＜解得1x ＞.
∴函数()g x 在(0,1)内单调递增,在(1,)+∞上单调递减. 所以()g x 的极大值为(1) 2.g =-
(Ⅱ)由(Ⅰ)知()g x 在(0,1)内单调递增,在(1,)+∞上单调递减, 令1()()()2
x g x g ϕ=-
∴1(1)(1)()0,2
g g ϕ=-＞ 取e 1,x '=＞则
111(e)(e)()ln e (e 1)ln (1)222
g g ϕ=-=-+-++
3
e ln 20.2
=-++＜
故存在0(1,e),x ∈使0()0,x ϕ=即存在0(1,),x ∈+∞使01()().2
g x g = (说明:x '的取法不唯一,只要满足1,x '＞且()0x ϕ'＜即可) (Ⅱ)设2
1()()()eln (0)2
F x h x f x x x x =-=
-＞
则2e e ()x F x x x x -'=-==
则当0x ＜,()0F x '＜,函数()F x 单调递减;
当x 时,()0F x '＞,函数()F x 单调递增.
∴x =
()F x 的极小值点,也是最小值点,
∴min ()0.F x F ==
∴函数()f x 与()h x 的图象在x =
1
e 2
).
设()f x 与()h x 存在“分界线”且方程为1
e (2
y k x -=,
令函数1
()e 2u x kx =+-
①由()h x ≥()u x ,得211
e 22
x kx +-≥在x ∈R 上恒成立,
即2
2e 20x kx --+在x ∈R 上恒成立,
∴2=44(e 20k ∆--+≤,
即24(0k -≤,
∴k =
故1
() e.2
u x =-
②下面说明:()()f x u x ≤,
即1
eln e(0)2
x x -＞恒成立.
设1
()eln e 2
V x x =+
则e ()V x x '=
=
∵当0x ＜,()0V x '＞,函数()V x 单调递增,
当x 时,()0V x '＜,函数()V x 单调递减,
∴当x =
,()V x 取得最大值0,max ()()0V x V x =≤.
∴1
eln e(0)2
x x -＞成立.
综合①②知1()e,2h x -且1
()e,2
f x -
故函数()f x 与()h x 存在“分界线”1
e 2
y =-,
此时1
e.2
k b ==-
33．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）某幼儿园准备建一个转盘,转盘的外围
是一个周长为k 米的圆.在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算,转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k 元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时,
相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为(12820)225x x k ⎡⎤
++⎢⎥⎢⎦⎣
元.假设座位等距分布,且
至少有两个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他因素,记转盘的总造价为y 元. (1)试写出y 关于x 的函数关系式,并写出定义域; (2)当k=50米时,试确定座位的个数,使得总造价最低?
【答案】
34．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）已知函数()()ln f x x x ax a R =+∈
(I)若函数()f x 在区间)
2
,e ⎡+∞⎣上为增函数,求a 的取值范围;
(II)若对任意()()()1,,1x f x k x ax x ∈+∞>-+-恒成立,求正整数k 的值. 【答案】
35．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）已知函数()ln ,()x
f x ax x
g x e =+=.
(I)当0a ≤时,求()f x 的单调区间
(Ⅱ)若不等式()x m
g x x
-<
有解,求实数m 的取值菹围; (Ⅲ)定义:对于函数()y F x =和()y G x =在其公共定义域内的任意实数0x .,称00()()F x G x -的值为两函数在0x 处的差值.证明:当a=0时,函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有差值都大干2.
【答案】
36．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数
),1()1ln()1(2)1(2)(2+∞∈--+-+=x x a x a x x f .
(1)2
3
=
x 是函数的一个极值点,求a 的值; (2)求函数)(x f 的单调区间; (3)
当
2
=a 时,函数
）
0(,)(2>--=b b x x g ,若对任意
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++∈1,11,21e e m m ,e e m f m g 22|)()(|212+<-都成立,求b 的取值范围.
【答案】解:(1)函数)1(1)1(2)1(2)(2
--+-+=x n a x a x x f
1
)
1(2)1(22)(--+-+='x a a x x f , 23
=
x 是函数的一个极值点 0)2
3
(='∴f
解得:2
3
=a
(2)1
)
(21)1(2)1(22--=
--+-+='x a x x x a a x f ），的定义域是（又∞+1)(x f
），）的单调增区间为（（时，函数当∞+≤∴11x f a 为增区间）为减区间，（，时，（当),11+∞〉a a a
(3)当a=2时,由(2)知f(x)在(1,2)减,在(2,+∞)增.
3)1(,11
)11(,0)2(22-=++=+=e e f e e f f
]3,0[]1,11
[)(2-++=∴e e e
x f y 的值域在
为减函数在]1,11
[)(2++--=e e b x x g
])11(,1[]1,11[)(22
b e
b e e e x g y -+--+-++=∴）（的值域为在
b>0
成立，只要
所以e e m g m f b e b e 22)()(0
)1(,0)11
(22122+〈-〈-+-〈-+-∴
成立即可e e b e e b e e b e e 22222)1(3))1(3222222+〈+-+=+++-=-+---
解得:0<b<2
37．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知(),P x y 为函数1ln y x
=+图象上一点,O 为坐标原点,记直线OP 的斜率()k f x =.
(I)若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
()0m >上存在极值,求实数m 的取值范围; (II)当 1x ≥时,不等式()1
t
f x x ≥+恒成立,求实数t 的取值范围; (III)求证()()()2
2
*
1!1n n n e n N -+>+∈⎡⎤⎣⎦.
【答案】解:(Ⅰ)由题意()1ln x
k f x x
+==
,0x > 所以()2
1ln ln x x f x x x '+⎛
⎫'==- ⎪⎝⎭
当01x <<时,()0f x '>;当1x >时,()0f x '<. 所以()f x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减. 故()f x 在1x =处取得极大值 因为函数()f x 在区间1,3m m ⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
(其中0m >)上存在极值, 所以01
1
13m m <<⎧⎪
⎨+>⎪⎩
得213m <<. 即实数m 的取值范围是213⎛⎫
⎪⎝⎭
，
(Ⅱ)由()1
t
f x x ≥
+得()()11ln x x t x ++≤
令()()()11ln x x g x x
++=
则()2
ln x x
g x x
-'=
令()ln h x x x =- 则()111=
x
h x x x
-'=-
因为1,x ≥所以()0h x '≥,故()h x 在[)1+∞，
上单调递增 所以()()110h x h ≥=>,从而()0g x '>
()g x 在[)1+∞，上单调递增, ()()12g x g ≥=
所以实数t 的取值范围是(],2-∞
(Ⅲ)由(Ⅱ) 知()2
1
f x x ≥
+恒成立, 即 1ln 2122ln 11111x x x x x x x x
+-≥⇔≥=->-+++
令()1,x n n =+则()()
2
ln 111n n n n +>-+
所以()2
ln 12112
⨯>-
⨯, ()2
ln 23123
⨯>-
⨯, ,
()()
2
ln 111n n n n +>-
+.
所以()()222
111ln 123121223
1n n n n n ⎡⎤
⎡⎤⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯+>-++⋅⋅⋅+⎢
⎥⎣⎦⨯⨯+⎣⎦
12121n n n ⎛⎫=-->- ⎪+⎝⎭
所以()2
2
2
2
1231n n n e
-⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯+>
所以()()()2
2
1!1n n n e n -*
+>+⋅∈⎡⎤⎣⎦N
38．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）已知函数2
1()122
f x nx ax x =-
- (1)若函数()f x 在x=2处取得极值,求实数a 的值; (2)若函数()f x 在定义域内单调递增,求实数a 的取值范围; (3)当12a =-时,关于x 的方程1
()2
f x x b =-+在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b 的取值范围.
【答案】
39．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）某分公司经销某种品牌产品,每件产品的
成本为30元,并且每件产品须向总公司缴纳a 元(a 为常数,2≤a≤5)的管理费,根据多年的统计经验,
预计当每件产品的售价为x 元时,产品一年的销售量为
x k
e
(e 为自然对数的底数)万件,已知每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件.经物价部门核定每件产品的售价x 最低不低于35元,最高不超过41元.
(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x 元的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.
【答案】
40．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）设函数x
xe x f =)(.
(1) 求)(x f 的单调区间与极值;
(2)是否存在实数a ,使得对任意的),(21+∞∈a x x 、,当21x x <时恒有
a
x a f x f a x a f x f -->
--1122)
()()()(成立.若存在,求a 的范围,若不存在,请说明理由.
【答案】解: (1)x
e x x
f )1()(+='.令0)(='x f ,得1-=x ; x
)1,(--∞
1-
),1(+∞-
)(x f '
-
0 +
)(x f
极小值
)(x f ∴的单调递减区间是)1,(--∞,单调递增区间是),1(+∞-
)(x f 极小值=e f 1
)1(-=-
(2) 设a x a f x f x g --=)
()()(,由题意,对任意的),(21+∞∈a x x 、,当21x x <时恒有)()(12x g x g >,即
)(x g y =在),(+∞a 上是单调增函数
22
2
222
()()[()()](1)()()()()()()()x x a
x
x
a
x
x
x
a
f x x a f x f a x e x a xe ae
g x x a x a x x ax a e xe ae x e axe ae ae
x a x a '---+--+'==
--+---+--+=
=
--
),(+∞∈∀a x ,0)(≥'x g
令0)(2≥+--=a
x
x
x
ae ae axe e x x h
2()2(1)(2)(2)x x x x x x h x xe x e a x e ae x x e a x e '=+-+-=+-+ (2)()x x x a e =+-
若2-≥a ,当a x >时,0)(>'x h ,)(x h 为),[+∞a 上的单调递增函数,
0)()(=>∴a h x h ,不等式成立
若2-<a ,当)2,(-∈a x 时,0)(<'x h ,)(x h 为]2,[-a 上的单调递减函数,
)2,(0-∈∃∴a x ,0)()(0=<a h x h ,与),(+∞∈∀a x ,0)(≥x h 矛盾
所以,a 的取值范围为)[-2,+∞
41．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）已知函数
()()()()201,10.x f x ax bx c e f f =++==且
(I)若()f x 在区间[]0,1上单调递减,求实数a 的取值范围;
(II)当a=0时,是否存在实数m 使不等式()2
24141x
f x xe mx x x +≥+≥-++对任意x R ∈恒成立?
若存在,求出m 的值,若不存在,请说明理由.
【答案】
42．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）设函数
321()(4),()ln(1)3
f x mx m x
g x a x =++=-,其中0a ≠. ( I )若函数()y g x =图象恒过定点P,且点P 关于直线32
x =
的对称点在()y f x =的图象上,求m 的值;
(Ⅱ)当8a =时,设()'()(1)F x f x g x =++,讨论()F x 的单调性; (Ⅲ)在(I)的条件下,设(),2()(),2f x x G x g x x ≤⎧=⎨>⎩
,曲线()y G x =上是否存在两点P 、Q, 使△OPQ(O 为原点)是以O 为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在y 轴上?如果存在,求a 的取值范围;如果不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)令ln(1)0x ,则2x ,
(2,0)P 关于32x 的对称点为(1,0), 由题知1(1)
0,(4)0,33f m m m (Ⅱ)2
()2(4)8ln F x mx m x x ,定义域为(0,), 8()2(82)F x mx m x 2
2(82)8
mx m x x (28)(1)mx x x 0,x 则10x ,
当0m 时,280,()0,mx F x
此时()F x 在(0,+)上单调递增,
当0m 时,由4()00,F x x m 得 由4()
0,F x x m 得 此时4()0,F x m 在上为增函数, 在4,m 为减函数,
综上当0m 时,()F x 在(0,+)上为增函数, 0m 时,在40,m 上为增函数,在4,m 为减函数 (Ⅲ)由条件(Ⅰ)知32,2,()ln(1),2,x x x G x a x x . 假设曲线()y G x 上存在两点P 、Q 满足题意,则P 、Q 两点只能在y 轴两侧,
设(,())(0),P t G t t 则32(,),Q t t t
POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形,
2320,()()0OP OQ t G t t t .①
(1)当02t
时, 32(),G t t t
此时方程①为23232()()0,t
t t t t 化简得4210t t .
此方程无解,满足条件的P 、Q 两点不存在
(2)当2t
时,()ln(1)G t a t ,方程①为232ln(1)()0,t a t t t 即1(1)ln(1),t t a 设()
(1)ln(1)(1),h t t t t 则1()ln(1),1t h t t t 显然当2t 时()0()h t h t 即在(2,+
)为增函数, ()h t 的值域为((2),
),h 即(0,+), 当0a 时方程①总有解.
综上若存在P 、Q 两点满足题意,则a 的取值范围是(0,+)
43．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））已知函数2(),()1(1)f x ax x g x n x =+=+.
(1)若a=l,求()()()F x g x f x =-在(1,)-+∞上的最大值;
(2)利用(1)的结论证明:对任意的正整数n,不等式234121(1)49
n n n n
++
++>+都成立: (3)是否存在实数a(a>0),使得方程2(1)'()(41)g x f x a x -=--在区间1(,)e e 内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出a 的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】。