高考数学教学论文 中有关不等式的考点分析及解题策略

1 a ln( x 1), 其中 n∈N*,a 为常数. (1 x) n
（Ⅰ）当 n=2 时，求函数 f(x)的极值； （Ⅱ）当 a=1 时，证明：对任意的正整数 n,当 x≥2 时，有 f(x)≤x-1. 解析： （Ⅰ）由已知得函数 f(x)的定义域为{x|x＞1}， 当 n=2 时， f ( x)

1 的解集为 2
． (, 3] (0,1]
10. （ 全 国 ） ． 设 奇 函 数 f ( x) 在 (0， ) 上 为 增 函 数 ， 且 f (1) 0 ， 则 不 等 式
f ( x) f ( x) 0 的解集为（ D x
）
0) (1， ) A． (1，
(3) 设 0 c
1 2 2 ，当 n 1 时， a1 0 2 ，结论成立 3 1 3c
n 1
当 n 2 时，由（2）知 an 1 (3c)
0
2 ∴ an (1 (3c) n 1 ) 2 1 2(3c)n 1 (3c)2( n 1) 1 2(3c) n 1 2 2 2 2 2 n 1 ∴a 2 ] 1 a2 an a2 an n 1 2[3c (3c ) (3c )
n n
由此得 S n 1 3
n 1
2( Sn 3n ) ．······················· 4 分
因此，所求通项公式为
bn Sn 3n (a 3)2n 1 ， n N* ．① ··················· 6 分
（Ⅱ）由①知 S n 3 (a 3)2
n 1
2(1 (3c) n ) 2 n 1 1 3c 1 3c
2． （全国 1）设函数 f ( x) x x ln x ．数列 an 满足 0 a1 1 ， an 1 f ( an ) ． （Ⅰ）证明：函数 f ( x) 在区间 (0， 1) 是增函数； （Ⅱ）证明： an an 1 1 ； （Ⅲ）设 b (a1， 1) ，整数 k ≥
高考中有关不等式的考点分析及解题策略
不等式是高中数学的重要内容，是分析、解决有关数学问题的基础与工具．在近年来的 高考中,有关不等式的试题都占有较大的比重(涉及不等式的试题一般占总分的 12%左右), 考查内容中不仅有不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,而且注重考查逻辑思维能 力、运算能力以及分析问题和解决问题的综合数学能力.有关不等式的题目多数是与函数、 方程、数列、三角、解析几何、立体几何及实际问题相互交叉和渗透，而且充分体现出不等 式的知识网络所具有的极强的辐射作用。 不等式试题高考中形式活泼且多种多样， 既有选择 题、填空题，又有解答题。 考试大纲要求： 1、 理解不等式的性质及其证明； 2、 掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并 会简单的应用； 3、 掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式； 4、 掌握简单不等式的解法。 下面结合 08 年典型考题谈谈有关不等式问题的考点分析及解题策略。 一. 选择及填空题中考点分析及解题策略 【典型考题】 1.（天津）已知函数 f ( x) A． [1,1]
a1 b ．证明： ak 1 b ． a1 ln b
解析： （Ⅰ）证明： f ( x) x x ln x ， f ' x ln x, 当x 0,1 时，f ' x ln x 0 故函数 f x 在区间(0,1)上是增函数； （Ⅱ）证明： （用数学归纳法） （i）当 n=1 时， 0 a1 1 ， a1 ln a1 0 ，
x 2, x 2,
x0 2 ，则不等式 f ( x) x 的解集是（A） x0
C. [ 2,1] D. [1, 2]
B. [2, 2]
2.（江西）若 0 a1 a2 , 0 b1 b2 ,且a1 a2 b1 b2 1 ，则下列代数式中值最大的是 （A） A． a1b1 a2b2 “a 3.（陕西） B． a1a2 b1b2 C． a1b2 a2b1 D．
f (ak ) f (ak 1 ) f (1) .而 an 1 f (an ) ，则 ak 1 f (ak ), ak 2 f (ak 1 ) ， ak 1 ak 2 1 ，也就是说当 n k 1 时， an an 1 1 也成立；
根据（ⅰ） 、 （ⅱ）可得对任意的正整数 n ， an an 1 1 恒成立. （Ⅲ）证明：由 f ( x) x x ln x ． an 1 f (an ) 可得
2， 3， 则b的取值范围 7. （山东） 若不等式｜3x-b｜＜4 的解集中的整数有且仅有 1，
用心 爱心 专心
（5，7）. 8.（江苏）已知 x, y, z R ， x 2 y 3 z 0 ，则
3 x 1 x
y2 的最小值 xz
．3
9.（江西）不等式 2
3 3
∴ ak 1 [0,1] ，由数学归纳法知 an [0,1] 对所有 n N * 成立
用心 爱心 专心
2
(2) 设 0 c
1 ，当 n 1 时， a1 0 ，结论成立 3
3 2
当 n 2 时，∵ an can 1 1 c,∴1 an c(1 an 1 )(1 an 1 an 1 )
1 2
a 1 ”是“对任意的正数 x ， 2 x ≥ 1 ”的（ A x 8
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2 2
）
A．充分不必要条件 C．充要条件
4.（浙江）已知 a ，b 都是实数，那么“ a b ”是“ a >b”的（D） A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 （ B ） B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3 *
（Ⅰ）证明： an [0,1] 对任意 n N 成立的充分必要条件是 c [0,1] ；
*
（Ⅱ）设 0 c
1 n 1 * ，证明： an 1 (3c) , n N ; 3 1 2 2 2 2 ,n N* （Ⅲ）设 0 c ，证明： a1 a2 an n 1 3 1 3c
3． （全国 2）设数列 an 的前 n 项和为 S n ．已知 a1 a ， an 1 S n 3 ， n N ．
n
*
（Ⅰ）设 bn S n 3 ，求数列 bn 的通项公式；
n
（Ⅱ）若 an 1 ≥ an ， n N ，求 a 的取值范围．
*
解析： （Ⅰ）依题意， S n 1 S n an 1 S n 3 ，即 S n 1 2 S n 3 ，
a k 1 b a k b a k ln a k a1 b ai ln ai
i 1
k
1， 若存在某 i ≤ k 满足 ai ≤ b ，则由⑵知： ak 1 b ai b ≥ 0 2， 若对任意 i ≤ k 都有 ai b ，则 a k 1 b a k b a k ln a k
n n 1
，nN ，
*
于是，当 ≥ 2 时，
an Sn Sn 1 3n (a 3) 2n 1 3n 1 (a 3) 2n 2
用心 爱心 专心 4
2 3n 1 (a 3)2n 2 ， an 1 an 4 3n 1 (a 3)2n 2
∵0 C
1 2 ,由（1）知 an 1 [0,1] ，所以 1 an 1 an 1 3 且 1 an 1 0 3
∴1 an 3c(1 an 1 ) ∴1 an 3c(1 an 1 ) (3c) 2 (1 an 2 ) (3c) n 1 (1 a1 ) (3c) n 1 ∴ an 1 (3c) n 1 (n N * )
a2 f (a1 ) a1 a1 ln a1 a1
由函数 f ( x) 在区间 (0， 1) 是增函数，且函数 f ( x) 在 x 1 处连续，则 f ( x) 在区间 (0， 1] 是增 函数， a2 f (a1 ) a1 a1 ln a1 1 ，即 a1 a2 1 成立；
2
n2
3 n2 12 a 3 ， 2
当 n ≥ 2 时，
3 an 1 ≥ an 12 2
n2
a 3≥ 0
a ≥ 9 ．
又 a2 a1 3 a1 ． 综上，所求的 a 的取值范围是 9， ．··················· 12 分 4． （山东）已知函数 f ( x)
C． (， 1) (1， )
1) (0， 1) B． (，
D． (1， 0) (0， 1)
【考点分析及解题策略】 从以上例子可以看出,选择题、填空题主要考查不等式的基本性质、解简单不等式、基 本不等式应用、简单转化求参数范围、比较大小等，同时注意把不等式问题的考查与函数等 问题的考查相结合。这类题目多属于基础问题，难度不大。解题策略可按解答选择填空题的 一般策略进行，如用: 直接法、特殊化法、排除法、验证法、数形结合法等。选择方法时要 注意合理、准确、快速，不要“小题大做” ，应当思维灵活，不拘一格，以提高解题效率。 二. 解答题中考点分析及解题策略 【典型考题】 1（安徽）设数列 an 满足 a0 0, an 1 can 1 c, c N , 其中c 为实数
(1) 必要性 ：∵ a1 0,∴ a2 1 c ， 又 ∵ a2 [0,1],∴ 0 1 c 1 ，即 c [0,1] 充分性 ：设 c [0,1] ，对 n N 用数学归纳法证明 an [0,1]
*
当 n 1 时， a1 0 [0,1] .假设 ak [0,1]( k 1) 则 ak 1 cak 1 c c 1 c 1 ，且 ak 1 cak 1 c 1 c 0
用心 爱心 专心
3
（ⅱ）假设当 x k (k N *) 时， ak ak 1 1 成立，即 0 a1 ≤ ak ak 1 1 那么当 n k 1 时，由 f ( x) 在区间 (0， 1] 是增函数， 0 a1 ≤ ak ak 1 1 得
a1 b ai ln ai a1 b ai ln b a1 b ( ai ) ln b a1 b ka1 ln b
i 1 i 1 i 1
k
k
k
a1 b ka1 ln b a1 b (a1 b) 0 ，即 ak 1 b 成立.
2
5.（海南）已知 a1 a2 a3 0 ，则使得 (1 ai x) 1 (i 1, 2,3) 都成立的 x 取值范围是
A.（0，
1 2 1 2 ） B. （0， ） C. （0， ） D. （0， ） a1 a1 a3 a3
． （0，2） 。
1
6.（上海）不等式 x 1 ＜1 的解集是