上海市徐汇区上海中学2024年高三第一次适应性考试数学试题试卷

上海市徐汇区上海中学2024年高三第一次适应性考试数学试题试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A ．
12
B ．
35
C ．
25
D ．
310
2．若复数2
(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．0或2
B ．2
C ．0
D ．1或2
3．已知集合{2,0,1,3}A =-，{53}B x x =-<<，则集合A B 子集的个数为（ ）
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
4．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）
A ．36
B ．26
C ．5
D 53
5．已知函数31,0
()(),0
x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）
A ．－10
B ．－9
C ．－7
D ．1
6．不等式42,
3x y x y -⎧⎨+⎩
的解集记为D ，有下面四个命题：1:(,),25p x y D y x ∀∈-；2:(,),22p x y D y x ∃∈-；
3:(,),22p x y D y x ∀∈-；4:(,),24p x y D y x ∃∈-.其中的真命题是（ ）
A ．12,p p
B ．23,p p
C ．13,p p
D ．24,p p
7．设全集U =R ，集合2
{|340}A x x x =-->，则U
A =（ ）
A ．{x |-1 <x <4}
B ．{x |-4<x <1}
C ．{x |-1≤x ≤4}
D ．{x |-4≤x ≤1}
8． “1
sin 2x =
”是“2()6
x k k Z ππ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．已知1
5455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．c b a >>
10．已知函数f (x )＝223,1ln ,1
x x x x x ⎧--+≤⎨
>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －1
2恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )
A ．12⎛
⎝ B ．1
2⎡⎢⎣
C ．1,2e ⎛ ⎝⎦
D ．12e ⎛ ⎝⎭
11．已知函数1()sin 22
f x x x =
+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．
6
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 12．已知集合{
}2
230A x x x =--≤{}
2B x x =＜，则A B =( )
A ．()1,3
B ．(]1,3
C ．[)1,2-
D ．()1,2-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x <时，()2x
f x m =+（m 为常数），若()3
12
f =
，则实数m 的值为______. 14．已知盒中有2个红球，2个黄球，且每种颜色的两个球均按A ，B 编号，现从中摸出2个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好同时包含字母A ，B 的概率为________. 15．已知函数()3
14sin 3
f x x x =+
在0x =处的切线与直线60nx y --=平行，则n 为________. 16．已知向量AB =（1，2），AC =（-3，1），则AB BC ⋅=______．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5=45，a 2+a 6=1． （I ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足：
12222b b ++…1()2
n n n b a n N *
+=+∈，求{b n }的前n 项和． 18．（12分）已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，且533S a =，468a a +=． （1）求n a ． （2）设2n n
n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
19．（12分）第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下： 组别 [30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
频数
5 30
40
50
45
20
10
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设μ，σ分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求μ，σ的值（μ，σ的值四舍五入取整数），并计算(5193)P X <<； （2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于μ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于μ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A 的概率为
2
3，抽中价值为30元的纪念品B 的概率为13
.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额. （参考数据：()0.6827P X μδμδ-<≤+≈；(22)0.9545P X μδμδ-<≤+≈；
(33)0.9973P X μδμδ-<≤+≈.）
20．（12分）设函数 .
(I )求的最小正周期；
(II )若
且
，求
的值.
21．（12分）在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1
*
2
n a n b n N +=∈.
（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若1
2
n n n c a b =
，求数列{}n c 的前n 项和n S . 22．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -P ABCD -中，PAB △是等边三角形，BC ⊥AB ，23BC CD ==，
2AB AD ==.
（1）若3PB BE =，求证：AE
平面PCD ；
（2）若4PC =，求二面角A PC B --的正弦值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】
根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出B 类产品的概率，不放回情况下第二次检测出A 类产品的概率，即可得解. 【详解】
A 类产品共两件12,A A ，
B 类产品共三件123,,B B B ，
则第一次检测出B 类产品的概率为
35
； 不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出A 类产品的概率为
2142
=；
故第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为313
5210
⨯=； 故选：D. 【点睛】
本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题. 2．C 【解析】
试题分析：因为复数2
(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，所以(2)0m m -=且2320m m -+≠，因此0.m =注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件. 考点：纯虚数 3．B 【解析】 首先求出A B ，再根据含有n 个元素的集合有2n 个子集，计算可得.
【详解】
解：
{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，
{2,0,1}A B ∴=-，
A B ∴子集的个数为328=.
故选：B . 【点睛】
考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题． 4．B 【解析】
先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 【详解】 如图所示：
1,,A P C 确定一个平面α，
因为平面11//AA DD 平面11BB CC ， 所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ， 所以四边形1APC Q 是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为12B P PC =， 所以112C B PC =， 即1PC PB ==
所以115,23AP PC AC ===由余弦定理得：22211111
cos 25
AP PC AC APC AP PC +-∠=
=⨯ 所以126
sin 5
APC ∠=
所以S 四边形1APQC 111
2sin 262
AP PC APC =⨯⨯⨯∠=故选：B 【点睛】
本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 5．B 【解析】
根据分段函数表达式，先求得()1f -的值，然后结合()f x 的奇偶性，求得((1))g f -的值.
因为函数3,0
()(),0
x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，所以(1)(1)2f f -=-=-，
((1))(2)(2)(2)10g f g f f -=-=-=-=-.
故选：B 【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力. 6．A 【解析】
作出不等式组表示的可行域，然后对四个选项一一分析可得结果. 【详解】
作出可行域如图所示，当1,2x y ==时，max (2)3y x -=，即2y x -的取值范围为(,3]-∞，所以
1(,),25,x y D y x p ∀∈-为真命题；
2(,),22,x y D y x p ∃∈-为真命题；34,p p 为假命题.
故选：A
【点睛】
此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题. 7．C 【解析】
解一元二次不等式求得集合A ，由此求得
U
A
由()()2
34410x x x x --=-+>，解得1x <-或4x >.
因为{|1A x x =<-或4}x >，所以U
{|14}x x A =-≤≤.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题. 8．B 【解析】
1sin 2x =
⇔2()6x k k Z ππ=+∈或52()6
x k k Z ππ=+∈，从而明确充分性与必要性. 【详解】 ，
由1
sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+
∈， 即2()6
x k k Z ππ=+∈能推出1
sin 2x =，
但1
sin 2x =推不出2()6
x k k Z ππ=+∈
∴“1
sin 2x =”是“2()6
x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件
故选B 【点睛】
本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题. 9．A 【解析】
根据指数函数的单调性，可得1
551a =>，再利用对数函数的单调性，将,b c 与1
1,2对比，即可求出结论.
【详解】
由题知105
4
41551,1log log 22
a b =>=>=>=
，
551
log 2log 2
c =<=
，则a b c >>. 故选:A. 【点睛】
本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题.. 10．D
【解析】
由已知可将问题转化为：y＝f(x)的图象和直线y＝kx－1
2
有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y＝kx
－1
2
的下方，即可求得：k＞
1
2
；再求得直线y＝kx－
1
2
和y＝ln x相切时，k＝
e
e
；结合图象即可得解.
【详解】
若关于x的方程f(x)＝kx－1
2
恰有4个不相等的实数根，
则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－1
2
有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象，如图，
故点(1,0)在直线y＝kx－1
2
的下方．
∴k×1－1
2
＞0，解得k＞
1
2
.
当直线y＝kx－1
2
和y＝ln x相切时，设切点横坐标为m，
则k＝
1
ln
2
m
m
+
＝
1
m
，∴m e
此时，k＝1
m
＝
e
f(x)的图象和直线y＝kx－
1
2
有3个交点，不满足条件，
故所求k的取值范围是
1
2
e
⎛
⎝⎭
，
故选D..
【点睛】
本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题．11．A
【解析】
化简()1sin 2f x x x =
+为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出它的图象向左平移(0)m m >个单位长度后的图象的函数表
达式sin 3y x m π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，利用所得到的图象关于y 轴对称列方程即可求得()6m k k z ππ=+∈，问题得解。

【详解】
函数()1sin 2f x x x =
+可化为：()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后， 得到函数sin 3y x m π⎛
⎫
=++
⎪⎝
⎭
的图象，又所得到的图象关于y 轴对称， 所以sin 013m π⎛⎫
++
=± ⎪⎝
⎭，解得：()32m k k z πππ+=+∈，即：()6
m k k z π
π=+∈， 又0m >，所以min 6
m π
=.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识，考查转化能力，属于中档题。

12．C 【解析】
解不等式得出集合A ，根据交集的定义写出A ∩B ． 【详解】
集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}＝{x |﹣1≤x ≤3}，
={x x<2}B ，{|1<2}A B x x ∴⋂=≤﹣
故选C ． 【点睛】
本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．1 【解析】
根据()f x 为定义在R 上的偶函数，得()()11f f =-，再根据当0x <时，()2x
f x m =+（m 为常数）求解.
【详解】
因为()f x 为定义在R 上的偶函数，
所以()()11f f =-，
又因为当0x <时，()2x
f x m =+， 所以()()131122
f f m -=-=+=， 所以实数m 的值为1.
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
14．23
【解析】
根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】
从袋中任意地同时摸出两个球共24C 种情况，其中有11
22C C 种情况是两个球颜色不相同； 故其概率是11222422263C P C C ⨯=== 故答案为：
23
． 【点睛】 本题主要考查了求事件概率，解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
15．4
【解析】
根据题意得出()0n f '=，由此可得出实数n 的值.
【详解】
()314sin 3
f x x x =+，()24cos f x x x '∴=+，直线60nx y --=的斜率为n ， 由于函数()314sin 3
f x x x =+在0x =处的切线与直线60nx y --=平行，
则()04n f '==.
故答案为：4.
【点睛】
本题考查利用函数的切线与直线平行求参数，解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
16．-6
【解析】
由BC AC AB =-可求BC ，然后根据向量数量积的坐标表示可求AB
•BC . 【详解】
∵AB =（1，2），AC =（-3，1），∴BC AC AB =-=（-4，-1），
则AB •BC =1×（-4）+2×（-1）=-6
故答案为-6
【点睛】
本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础试题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（I ）21n a n =-；（Ⅱ）224n +-
【解析】 （Ⅰ）设等差数列的公差为4，则依题设2d =． 由,可得2n c =． 由，得，可得． 所以． 可得． （Ⅱ）设，则. 即，
可得2n c =，且． 所以，可知．
所以
， 所以数列
是首项为4，公比为2的等比数列． 所以前n 项和．
考点：等差数列通项公式、用数列前n 项和求数列通项公式．
18． (1) ()23n a n =- (2) 2(4)216n n T n +=-⋅+
【解析】
(1)由数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，解得30a =，又由46582a a a +==，解得2d =， 即可求得数列的通项公式；
(2)由（1）得()1232n n n n b a n +=⋅=-⋅，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n 项和．
【详解】
(1)由题意，数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，又533S a =，30a ∴=，
由46582a a a +==，得54a =，所以5324a a d -==，解得2d =，
所以数列的通项公式为()()3323n a a n d n =+-=-．
(2)由（1）得()1232n n n n b a n +=⋅=-⋅，
()()()234122120232n n T n +=-⋅+-⋅+⋅+
+-⋅， ()()()()3412221242322n n n T n n ++=-⋅+-⋅+
+-⋅+-⋅， 两式相减得()()2341222222232n n n n T T n ++-=⋅-++++-⋅，
()
1228128(3)2(4)21612n n n n n -++--+-⋅=-⋅+=-，
即2(4)216n n T n +=-⋅+．
【点睛】
本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
19．（1）65μ=，14σ≈，0.8186P =；（2）详见解析.
（1）根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而X ～N （65，142），计算P （51＜X ＜93）即可；
（2）列出Y 所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额．
【详解】
解：（1）由已知频数表得：
53040504520()354555657585200200200200200200E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+109565200
⨯=， 22222()(3565)0.025(4565)0.15(5565)0.2(6565)0.25(7565)0.225D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯22(8565)0.1(9565)0.05210+-⨯+-⨯=，
由2196225σ<<，则1415σ<<，
而214.5210.5210=>，所以14σ≈，
则X 服从正态分布(65,14)N ， 所以
(22)()(5193)(2)2
P X P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<++-<<+<<=-<<+=
0.95450.68270.81862+==； （2）显然，()()0.5P X P X μμ<=≥=，
所以所有Y 的取值为15，30，45，60，
121(15)233
P Y ==
⨯=， 111227(30)2323318
P Y ==⨯+⨯⨯=， 1211122(45)2332339
P Y ==⨯⨯+⨯⨯=， 1111(60)23318P Y ==⨯⨯=， 所以Y 的分布列为：
所以()1530456030318918
E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=， 需要的总金额为：200306000⨯=.
本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题．
20． (I )；(II )
【解析】
(I )化简得到
，得到周期. (II ) ，故，根据范围判断，代入计算得到答案. 【详解】
(I ) ，故
. (II ) ，故，， ，故，， 故，故，
.
【点睛】
本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21．（1）1n a n =-，2n n b =（2）2(2)2n n S n =+-⨯ 【解析】
(1)根据10a =与32a =可求得12b =,3328b ==再根据等比数列的基本量求解即可.
(2)由(1)可得1(1)2n n c n -=-⨯,再利用错位相减求和即可.
【详解】
解：
（1）依题意12b =,3328b ==,
设数列{}n b 的公比为q ,由120n a n b +=>,可知0q >,
由223128b b q q =⋅=⨯=,得24q =,又0q >,则2q
, 故111222n n n n b b q --==⨯=,
又由122n a n +=,得1n a n =-.
（2）依题意1(1)2n n c n -=-⨯.
01221021222(2)2(1)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,①
则12312021222(2)2(1)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,②
①-②得12122222(1)2(1)212n
n n
n n S n n ---=+++--⨯=--⨯-…, 即2(2)2n n S n -=-+-⨯,故2(2)2n n S n =+-⨯.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题.
22．（1）详见解析（2
【解析】
（1）如图，作EF PC ∥，交BC 于F ，连接AF .
因为3PB BE =，所以E 是PB
的三等分点，可得3
BF =. 因为2AB AD ==
，BC CD ==AC AC =，所以ABC ADC △≌△，
因为BC ⊥AB ，所以90ABC ∠=︒，
因为tan 3
AB ACB BC ∠===，所以30ACB ACD ∠=∠=︒，所以60BCD ∠=︒，
因为tan AB AFB BF ∠===，所以60AFB ∠=︒，所以AF CD ∥， 因为AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF 平面PCD .
又EF PC ∥，EF ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以EF 平面PCD .
因为AF EF F =，AF 、EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ∥平面PCD ，所以AE 平面PCD .
（2）因为PAB △是等边三角形，2AB =，所以2PB =.
又因为4PC =，23BC =222PC PB BC =+，所以BC PB ⊥.
又BC ⊥AB ，,AB PB ⊂平面PAB ，AB PB B ⋂=，所以BC ⊥平面PAB .
因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD .在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD .
以B 点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -， 则(23,0,0)C ，(0,2,0)A ，3)P ， 所以(23,0,0)BC =，3)BP =，(23,2,0)AC =-，(0,3)AP =-.
设111(,,)x y z =m 为平面BPC 的法向量，则00m BC m BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1113030
x y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，
令11z =-，可得3,1)=-m .
设222(,,)x y z =n 为平面APC 的法向量，则00n AC n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即222232030
x y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩， 令21z =，可得3,1)n =. 所以5,25cos ==⨯m n ，则25251()n s ,5i =-=m n 所以二面角A PC B --25.。