第5讲指数函数与对数函数

第四讲 指数函数与对数函数
1．指数函数的图象与性质 y ＝a x
a ＞1
0＜a ＜1
图象
定义域 (1)R
值域 (2)__________________
注意 (1)指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论． (2)换元时注意换元后“新元”的范围．
（3）画指数函数的图象，抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，1a .
题型一 指数函数的图象及应用
例1（1）函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )． A ．a ＞1，b ＜0 B ．a ＞1，b ＞0 C ．0＜a ＜1，b ＞0 D ．0＜a ＜1，b ＜0
（2） 函数()32
3221x a y -
-⋅=π
的部分图象大致如图中的一个，根据你的判断，a 可能的取值是( )．
性 质
(3)过定点___________
(4)当x ＞0时，___________； (5)当x ＞0时，_____________；
x ＜0时，_____________. x ＜0时，_____________ (6)在(－∞，＋∞)上是
___________
(7)在(－∞，＋∞)上是___________
A.12
B.3
2 C ．2 D ．4
指数函数的图象，不仅可以直观准确地把握指数函数的性质，而且利用指数函数的图象的形象直观，还可以使有些问题得到简捷的解法． 题型二 指数函数的性质及应用
例2（1）设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．
(2） 已知函数()321121x x f x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=.
(I )求函数f (x )的定义域；(II )讨论f (x )的奇偶性；(III )求证：f (x )＞0. （3）已知a ＝
5－12
，函数f (x )＝a x
，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为__________________．
（4）已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是 A ．(1,5) B ．(1,4) C ．(0,4) D ．(4,0)
(5)已知log a 1
2＞0，解不等式a 224x x ＋－≤1a ；
2.对数函数 (1)对数函数的定义
一般地，函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)叫做对数函数． (2)对数函数的图象与性质 a ＞1
0＜a ＜1
图 象
①定义域：______________
性 质
②值域：__________
③过点________)，即x ＝______时，y ＝_______
④当x ＞1时，__________ 当0＜x ＜1时，__________ ⑤当x ＞1时，____________ 当0＜x ＜1时，__________ ⑥在(0，＋∞)上是________
⑦在(0，＋∞)上是___________
3.指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 对数值取正、负值的规律：
当a ＞1且b ＞1或0＜a ＜1且0＜b ＜1时，log a b ＞0； 当a ＞1且0＜b ＜1或0＜a ＜1且b ＞1时，log a b ＜0. 解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．
画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1,1a . 对数值的大小比较方法
(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化同真数后利用图象比较． 题型三 对数函数的图象及应用
例3（1）若0＜a ＜1，则下列不等式成立的是 A ．log 12a ＞log 5a ＞log 3a B ．log 5a ＞log 3a ＞log 12a C ．log 3a ＞log 5a ＞log 12a D ．log 1
2a ＞log 3a ＞log 5a (1)不同底问题或可以化为同底的问题利用单调性处理； (2)不可化为同底的问题，一般利用中间值来比较大小．
（2） 已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a ＞0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )．
A ．0＜a －1＜b ＜1
B ．0＜b ＜a －1＜1
C ．0＜b －1＜a ＜1
D ．0＜a －1＜b －1＜1
题型四 对数函数的性质及应用 例4(1)已知f (x )＝log a
1－mx
x －1
(a ＞0，a ≠1)是奇函数． (1)求m 的值； (2)讨论f (x )的单调性．
（2）函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)(a ＞0，a ≠1)在[0,1]上最大值和最小值之和为a ，求a 的值．
(3)设()⎩⎨⎧≤>=,
0,10,
0,lg x x x x f x ,则f (f (－2))＝______.
(4)设函数()⎩⎨⎧>-≤=-,1,log 1,
1,221x x x x f x 则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________．
题型五 指数对数综合题
例5设方程2x ＋x －3＝0的根为α，方程 log 2x ＋x －3＝0的根为β，则α＋β=（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．6。