2020届中考数学考点专题训练《圆》

2020届中考数学考点专题训练《圆》
一．选择题
d= cm,则直线l与☉O的位置关系是
1.已知☉O半径r=2 cm,☉O的圆心到直线l的距离
( )
A. 相离
B. 相交
C. 相切
D. 无法确定
【答案】B
【解析】
d= ，所以d<r，所以直线l与⊙O的位
因为⊙O的半径r=2 cm，圆心O到直线l的距离为
置关系是相交．
d= ,
【详解】∵因为⊙O的半径r=2 cm，圆心O到直线l的距离为
∴d<r,
∴直线l与⊙O的位置关系是相交.
故选:B.
【点睛】考查了直线与圆的位置关系,设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
2.如图所示，从⊙O 外一点A 引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．已知∠A＝26°，则∠ACB 的度数为（）
【答案】A
【解析】
连接OB，
∵AB切⊙O于点B，∴∠OBA=90°，
∵∠A=26°，
∴∠AOB=90°-26°=64°，
∴∠ACB=1
2
∠AOB=0
1
64
2
=32°．
故选A.
点睛：本题考查的是切线的性质及圆周角定理，熟知切线的性质定理和圆周角定理是解题的关键．
3.若直线l与☉O有公共点,则直线l与☉O的位置关系可能是( )
A. 相交或相切
B. 相交或相离
C. 相切或相离
D. 无法确定
【答案】A
【解析】
由一条直线与圆有公共点，可得公共点可能是1个或2个，从而得到答案．
【详解】∵一条直线与圆有公共点，
∴公共点可能是1个或2个，
∴这条直线与圆的位置关系是：相切或相交．
故选:A.
【点睛】考查了直线与圆的位置关系．注意相切⇔直线和圆有1个公共点，相交⇔一条直线和圆有2个公共点．
4. 已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 无法确定
【答案】C
【解析】
首先求得该圆的半径，再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断．若d＜r，则直线与圆相交，直线与圆相交有两个交点；若d=r，则直线于圆相切，直线与圆相交有一个交点；若d＞r，则直线与圆相离，直线与圆相交没有交点：
根据题意，得该圆的半径是6cm，即大于圆心到直线的距离5cm，则直线和圆相交，故直线l 与⊙O的交点个数为2．故选C．
5．（2019山东省枣庄市）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）
A．B．2C．2D．8
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA﹣AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的
性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2．【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH==，
∴CD=2CH=2．
故选：C．
【点评提示】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．
6．（2019淄博市）如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（）
A．2πB．C．D．
【考点】MN：弧长的计算；M5：圆周角定理．
【分析】先连接CO，依据∠BAC=50°，AO=CO=3，即可得到∠AOC=80°，进而得出劣弧AC的
长为=．
【解答】解：如图，连接CO，
∵∠BAC=50°，AO=CO=3，
∴∠ACO=50°，
∴∠AOC=80°，
∴劣弧AC的长为=，
故选：D．
【点评提示】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键．
7.如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是AB
̂（异于A 、B ）上两点，C 是MN ̂上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（ ）
A ．√2
B ．π2
C ．32
D ．√52 【解答】解：如图，连接EB ．设OA ＝r ．
∵AB 是直径，
∴∠ACB ＝90°，
∵E 是△ACB 的内心，
∴∠AEB ＝135°，
∵∠ACD ＝∠BCD ，
∴AD
̂=DB ̂， ∴AD ＝DB =√2r ，
∴∠ADB ＝90°，
易知点E 在以D 为圆心DA 为半径的圆上，运动轨迹是GF
̂，点C 的运动轨迹是MN ̂， ∵∠MON ＝2∠GDF ，设∠GDF ＝α，则∠MON ＝2α
∴MN ̂的长GF ̂的长=2α⋅π⋅r 180α⋅π⋅√2r 180=√2．
故选：A ．
8.如图，AD 是⊙O 的直径，AB
̂=CD ̂，若∠AOB ＝40°，则圆周角∠BPC 的度数是（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．70°
【解答】解：∵AB
̂=CD ̂，∠AOB ＝40°， ∴∠COD ＝∠AOB ＝40°，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD ＝180°，
∴∠BOC ＝100°， ∴∠BPC =1
2∠BOC ＝50°，
故选：B ．
9．（2019宜宾市）在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE=4，EF=3，点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．34
D ．10
【分析】设点M 为DE 的中点，点N 为FG 的中点，连接MN ，则MN 、PM 的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP 的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．
【解答】解：设点M 为DE 的中点，点N 为FG 的中点，连接MN 交半圆于点P ，此时PN 取最小值．
∵DE=4，四边形DEFG 为矩形，
∴GF=DE，MN=EF，
∴MP=FN=DE=2，
∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．
故选：D．
【点评提示】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键．
二、填空题
10.（2019台州市）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=度．
【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．
【解答】解：连接OC，
由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D=90°﹣∠COD=26°，
故答案为：26．
【点评提示】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
11．如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120°，点A与点B的距离为2√3，若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为．
【解答】解：连接AB，过O作OM⊥AB于M，
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠BAO＝30°，AM=√3，
∴OA＝2，
=2πr，
∵240π×2
180
∴r=4
3
故答案是：4
3
12．（2018烟台市）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=．
【分析】根据题意正六边形中心角为120°且其内角为120°．求出两个扇形圆心角，表示出扇形半径即可．
【解答】解：连OA
由已知，M为AF中点，则OM⊥AF
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴∠AOM=30°
设AM=a
∴AB=AO=2a，OM=
∵正六边形中心角为60°
∴∠MON=120°
∴扇形MON的弧长为： a
则r1= a
同理：扇形DEF的弧长为：
则r2=
r1：r2=
故答案为：：2
【易错知识点提示】本题考查了正六边形的性质和扇形面积及圆锥计算．解答时注意表示出两个扇形的半径．
13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝°．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，PA⊥OA，
∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，
∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；
故答案为：76．
三、解答题
14.已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、
BN于D、C两点．
（1）如图1，求证：AB2＝4AD•BC；
（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OC、OD，如图1所示：
∵AM和BN是它的两条切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
∴∠ADE+∠BCE＝180°
∵DC切⊙O于E，
∴∠ODE =12∠ADE ，∠OCE =12∠BCE ，
∴∠ODE+∠OCE ＝90°，
∴∠DOC ＝90°，
∴∠AOD+∠COB ＝90°，
∵∠AOD+∠ADO ＝90°，
∴∠AOD ＝∠OCB ，
∵∠OAD ＝∠OBC ＝90°，
∴△AOD ∽△BCO ，
∴AD BO =OA BC ，
∴OA2＝AD•BC ，
∴（12AB ）2＝AD•BC ，
∴AB2＝4AD•BC ；
（2）解：连接OD ，OC ，如图2所示：
∵∠ADE ＝2∠OFC ，
∴∠ADO ＝∠OFC ，
∵∠ADO ＝∠BOC ，∠BOC ＝∠FOC ，
∴∠OFC ＝∠FOC ，
∴CF ＝OC ，
∴CD 垂直平分OF ，
∴OD ＝DF ，
在△COD 和△CFD 中，{OC =CF
OD =DF CD =CD
，
∴△COD ≌△CFD （SSS ），
∴∠CDO ＝∠CDF ，
∵∠ODA+∠CDO+∠CDF ＝180°，
∴∠ODA ＝60°＝∠BOC ，
∴∠BOE ＝120°，
在Rt △DAO ，AD =√33OA ，
Rt△BOC中，BC=√3OB，∴AD：BC＝1：3，
∵AD＝1，
∴BC＝3，OB=√3，
∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝2×1
2×√3×3−120π×(√3)2
360
=3√3−π．
15．如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC 与半圆O的另一个交点为P，连接AE．
（1）求证：AE是半圆O的切线；
（2）若PA＝2，PC＝4，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，∠ABO＝∠OCE＝90°，
∵OE⊥OA，
∴∠AOE＝90°，
∴∠BAO+∠AOB＝∠AOB+∠COE＝90°，
∴∠BAO＝∠COE，
∴△ABO∽△OCE，
∴AB
OC =AO
OE
，
∵OB＝OC，
∴AB
OB =AO
OE
，
∵∠ABO＝∠AOE＝90°，∴△ABO∽△AOE，
∴∠BAO＝∠OAE，
过O作OF⊥AE于F，
∴∠ABO＝∠AFO＝90°，
在△ABO与△AFO中，{∠BAO=∠FAO ∠ABO=∠AFO AO=AO
，
∴△ABO≌△AFO（AAS），
∴OF＝OB，
∴AE是半圆O的切线；
（2）解：∵AF是⊙O的切线，AC是⊙O的割线，∴AF2＝AP•AC，
∴AF=√=2√3，
∴AB＝AF＝2√3，
∵AC＝6，
∴BC=√AC2−AB2=2√6，
∴AO=√AB2+OB2=3√2，
∵△ABO∽△AOE，
∴AO
AE =AB
AO
，
∴3√2
AE =√3
3√2
，
∴AE＝3√3．
16．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）如图所示；
AC．
（2）OE∥AC，OE=1
2
理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=1
∠BAC，
2
∠BOD，
∵∠BAD=1
2
∴∠BOD＝∠BAC，
∴OE∥AC，
∵OA＝OB，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥AC，OE=1
AC．
2
17.如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于
点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF是⊙O的切线；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠ADC，
∴ED＝EC；
（2）如图1，连接OA，
∵AB＝AC，
̂=AĈ，
∴AB
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∴△ABE∽△CBA，
∴AB
BC =BE
AB
，
∴AB2＝BC•BE，
∴BC•BE＝25，
∴AB＝5，
如图2，连接AG，
∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，
∴BG＝AB＝5．
18.如图，已知AC、AD是⊙O的两条割线，AC与⊙O交于B、C两点，AD过圆心O且与⊙O
交于E、D两点，OB平分∠AOC．
（1）求证：△ACD∽△ABO；
（2）过点E的切线交AC于F，若EF∥OC，OC＝3，求EF的值．[提示：（√2+1）（√2−1）＝1]
【解答】证明：（1）∵OB平分∠AOC
∴∠BOE=1
2
∠AOC
∵OC＝OD
∴∠D＝∠OCD
∵∠AOC＝∠D+∠OCD
∴∠D=1
2
∠AOC
∴∠D＝∠BOE，且∠A＝∠A
∴△ACD∽△ABO
（2）∵EF切⊙O于E
∴∠OEF＝90°
∵EF∥OC
∴∠DOC＝∠OEF＝90°
∵OC＝OD＝3
∴CD=√OC2+OD2=3√2
∵△ACD∽△ABO
∴AD
AO =CD
BO
∴AE+6
AE+3=3√2
3
∴AE＝3√2
∵EF∥OC
∴AE
AO =EF
OC
∴3√2
3√2+3=EF
3
∴EF＝6﹣3√2。