竞赛辅导讲义(几何)

第二部分 空间与图形
20、线段与角
思考练习
1、已知线段AB ＝16，C 为AB 上的一点，且AC ∶CB ＝3∶5，M 、N 分别为AC 、AB 的中点，求MN 的长．
2、在直线l 上取A 、B 两点，使AB ＝10cm ，再在l 上取一点C ，使AC ＝2cm ， M 、N 分别为AB 、AC 的中点，求MN 的长．
3、在一条直线形流水线上，依次在1A 、2A 、3A 、4A 、5A 处有5个具有同样性能的机器人在工作，每隔一定时间，它们要去取零件，将零件箱放在何处，才能使机器人取零件花费的总时间最少？
1A 2A 3A 4A 5A
4、某公司员工分别住在A 、B 、C 三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人，三个区在一直线上，位置如图所示，公司的班车打算在此间只设一
个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路线总和最少，那么停靠点的位置应在何处?
5、如图，已知A O E ∠和COG ∠都等于︒90，
FOG BOC ∠>∠，则图中以O 为顶点的锐角共有_____个．
6、时钟在12点25分时分针与时针之间的夹角度数为______．
7、若一个角的补角等于这个角的余角的6倍，则这个角等于__ ___．
8、小明家在车站O 的东偏北︒18方向300米处，学校B 在车站O 的南偏西︒10方向200米，小明经车站所走的=∠AOB ______度
M C N B
A
P
A 区
B 区
C 区
A
G
F
E
D
C B
O
E
B D C
A
O
9、若AOB ∠与BOC ∠互为补角，OD 是AOB ∠的平分线，OE 在BOC ∠内，
EOC BOE ∠=
∠2
1
，︒=∠72DOE ，求EOC ∠． 10、平面上有五个点，其中仅有三点在同一直线上，过每两点作一条直线，一共可以作_____条直线．
11、如图，OM 是AOB ∠的平分线，射线OC 在BOM ∠内部，ON 是BOC ∠的平分线，已知︒=∠80AOC ，求MON ∠的度数．
12、平面上三条直线相互之间的交点个数是( )
A 、3
B 、1或3
C 、1或2或3
D 、不一定是1、2、3
13、如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少︒30，求这两个角． 14、如图，已知AB ∥CD ，︒=∠110A ，︒=∠120C ，
则=∠CEF _______．
15、如图，已知AB 与CD 相交于点O ，OE 、OF 、
OG 分别是A OC ∠、BOD ∠、AOD ∠的平分线，求证：(1) E 、O 、F 三点共线；(2) EF OG ⊥．
说出下列证明每一步推理的理由：
证明：(1) ∵︒=∠+∠180DOB AOD ，
又AOD GOD ∠=
∠21，DOB FOD ∠=∠21
， ∴︒=∠+∠=∠90)(2
1
DOB AOD GOF ， 同理︒=∠90EOG ，
∴︒=∠+∠=∠180GOF EOG EOF ， ∴E 、O 、F 三点共线． (2) ∵︒=∠90EOG ，∴EF OG ⊥．
16、如图，平行直线a 与b 被两条相交直线所截，请数出图中
C
N M B
A
O
1 2
3 4 G
F
E
D
C
B
A
O
D
C
E
B A
F
b
a
有多少对同旁内角．
21、三角形的边角关系
例题讲练
例1 草原上4口油井，位于四边形ABCD 的4个顶点，如图现要建立一个维修站H ，试问H 建在何处，才能使它到4口油井的距离之和HD HC HB HA +++最小，说明理由．
解：维修站H 建在两条对角线的交点处就符合要求． 理由如下：不妨任取异于H 的一点E ，连EA 、EB 、EC 、 ED ， 则AC EC EA >+，BD ED EB >+，
=+>+++BD AC ED EC EB EA HD HC HB HA +++．
例2 若三角形的三边长均整数，周长为15，问这样的三角形共有多少个? 解：设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且c b a ≥≥．则2
15<
a 当7=a 时，1,7==c
b ；2,6==
c b ；3,5==c b ；4,4==c b ． 当6=a 时，3,6==c b ；4,5==c b ； 当5=a 时，5,5==c b ． 所以满足条件的三角形共有7个．
例3 若直角三角形的两条直角边长为a 、b, 斜边长为c 斜边上的高为h, 则有( ) (A)2
h ab = (B)
h b a 111=+ (C) 2221
11h
b a =+ (D) 2222h b a =+ 答：∵a ＞h ＞0，b ＞h ＞0，∴ ab ＞2
h ，2
2
b a +＞2h ＋2h ＝22
h ；可见，（A ）、（D ）
不正确；设斜边为c ，
h b a )(21+＞ab ch 2121=，即有b a 11+＞h
1
，故（B ）也不正确； 由ab h b a 212122=+, 化简整理后，得 222111h
b a =+，因些结论（C ）是正确的 思考练习
1、若ABC ∆的三边长是三个不同的整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的
A
C
D
B
H
E
最大边长为______
5、如图表示一个六边形的钢架ABCDEF ，它的结构是不稳固的，现需要想办法稳固这种结构使之不能活动，可用钢管连接某些对角线，问至少要用____根钢管才能稳固，请在图中画出来．
2、周长为24，各边长互不相等且都是整数的三角形共有_ __个．
3、在ABC ∆中，ACB ABC ∠=∠，A ACB ∠=∠2，
BD 平分B ∠，BD BE =，图中有___个等腰三角形．
4、在ABC ∆中，若︒=∠-∠90B A ，则ABC ∆是( ) (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形
(C) 钝角三角形 (D) 锐角三角形或钝角三角形
6、一个凸n 边形的内角和小于0
1999, 那么, n 的最大值是( )
(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14
7、一个凸n 边形的内角和超过︒1000，则n 的最小值是( ) (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10
8、多边形边上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形．图(一)给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形．
图(一)
请你按照上述方法将图(二)中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数．试把这一结论推广到n 边形．
B C
D
E
A
图(二)
9、给定平面上的几个点，已知1、2、4、8、16、32都是其中两点之间的距离，那么点数N 的最小可能值是（ ） (A) 4 (B) 5 (C)6 (D) 7
10、ABC ∆内共有n 个点，连结这些点(含A 、B 、C 共3+n 个点)可将ABC ∆个割成若干个不重叠的小三角形，问有多少这样的三角形？
11、过平面内点O 任意作7条直线，证明：以点O 为顶点的角中，必有一个小于︒26． 12、平面内有7条直线两两相交，证明：在所有的交角中，必有一个小于︒26．
22、角度计算
例题讲练
例1 已知在ABC ∆中，D 、E 分别在边AC 、AB 上， 且AC AB =、BD BC =、EB DE AD ==，求A ∠的度数．
略解：设A ∠的度数为x ，易见x AED A =∠=∠，
x BED -︒=∠180x EDC 2=∠，
2
2)180(180x
x EDB EBD =-︒-︒=
∠=∠
x x x BDC C ABC 2322=-=∠=∠=∠， ∴︒=++1802
3
23x x x ，
∴︒=45x ．
例2 在ΔABC 中,AB = AC, AD = AE, ∠BAD =0
60, 求∠EDC 的的度数．
略解：设α2=∠CAD ，由AB = AC 知，
A
E
D B C
A
B
C
D
E
∠B ＝
αα-=--00060)260180(2
1
α+=-∠-=∠0006060180B ADB , 由AD = AE 知，α-=∠090ADE ,
∴0
30180=∠-∠-=∠ADB ADE EDC ．
思考练习
1、如图：求D C B A ∠+∠+∠+∠F E ∠+∠+的度数．
2、如图，若EF 和CF 是E ∠和F ∠的平分线，若︒=∠40B ，︒=∠50D ，求F ∠．
3、如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，且AC DA BD ==，︒=∠63BAC ，求DAC ∠．
4、如图，CD BC AB ==，AE AD =，BE DE =，求C ∠的度数．
5、如图，ABC ∆中，︒=∠40B ，延长BA 至E ，作︒=∠56EDA ，E ∠与C ∠的平分线交于F ，求EFC ∠的度数．
6、如图，ΔABC 中，∠A ，∠B 的外角平分线AD 、BE 分别交对边的延长线于点D 、E ， 且AD =AB =BE ．求∠BAC 的度数．
7、在ΔABC 中，AB = AC ， AD = AE ，
060=∠BAD ，求∠EDC 的度数．
G B F C N E H
D A E
F D
B C
A C
D B A
D A
E
C
B
F
E D
C B
A
A
B
C
D
E
B
A
C
D
8、在下列三个图形中，已知︒=∠8ABC ，︒=∠90θ． (1) 在图1中若21∠=∠，则=∠A _____
(2) 在图2中若21∠=∠，43∠=∠，则=∠A _____
(3) 在图3中若21∠=∠，43∠=∠，65∠=∠，……，n n ∠=-∠1，(n 是大于等于1的自然数)，试推出A ∠的度数x 与n 的关系式．
23、构造全等三角形方法
例题讲解
例1 在ΔABC 中，AD 平分∠ABC ，AB ＋BD ＝AC ， 求证：∠B ＝2∠C.
略证：在AC 上截取AE ＝AB ，连结DE ，
则ΔABD ≌ΔAED ，∴BD ＝DE ，∠B ＝∠AED ＝∠EDC ＋∠C ， ∵AC ＝AB ＋BD ＝AE ＋EC ， ∴ED ＝EC ∴∠B ＝∠AED ＝2∠C 例2 在ΔABC 中，AD 是中线，若AB ＝5，AC ＝3，
求AD 的取值范围.
略解：延长AD 至E ，使AD ＝DE ，则ΔABD ≌ΔECD ， 易见，2AD ＜3＋5，AD ＜4 又 3＋2AD ＞5，AD ＞1 ∴1＜AD ＜4
A
B
2
1
C
θ
图1
A
B
C
1
2 4 5 n 3
θ
2
B
A
C
1
3 4 图2
A
D
B
C
E
A
B
C
D E
图3
例3 在ΔABC 中，∠BAC ＝0
120，AD ⊥BC 于D ，且AB ＋BD ＝DC ，求∠C 的度数. 略解：在BC 上截取DE ＝DB ，连结AE ， 则ΔABD ≌ΔAED ，∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AED ， ∵AB ＋BD ＝DC ，
∴EC ＝CD －DE ＝（AB ＋BD ）－BD ＝AB ＝AE ∴∠C ＝∠CAE ，∴∠B ＝∠AED ＝2∠C ∵∠B ＋∠C ＝0
60，∠C ＝0
20
例4 已知，如图，O 是正方形内一点，∠OBC ＝∠OCB ＝150
，
求证：ΔAOD 是等边三角形.
略证：连AC ，延长BO 交AC 于P ，连PD ，易得 ∠BPC ＝∠DPC ＝1200
， ∴∠DPO ＝1200
，
又∠POC ＝∠PCO ＝300
， ∴PO ＝PC ，
∴ΔOPD ≌ΔCPD ， ∴OD ＝DC ＝AD ， 同理，OA ＝AB ＝AD ， ∴ΔAOD 是等边三角形. 思考练习
1、已知D 为等边ΔABC 内一点，DB ＝DA ，BE ＝BA ， ∠DBE ＝∠DBC ，求∠BED 的度数.
2、证明：有两边和第三边中线对应相等的两个三角形全等.
3、在直角ΔABC 中，∠BAC ＝0
90，AB ＝AC ，
BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 于E ，求证：BD ＝2CE.
A
B C
D E A
B
C
D
E
A B
C
D
E
O
B
C A
D
P
4、在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE ，E 是AB 上的一点，求证：MD ＝MN.
5、若M 是正方形ABCD 的边AB 的中点，MN ⊥CM 交AD 于N ， 求证：∠BCM ＝∠MCN.
6、在正方形ABCD 中，E 是BC 上任一点，∠EAD 的平分线交CD 于F ， 求证：BE ＋DF ＝AE ．
7、在正方形ABCD 内作∠EAF ＝450
，E 、F 分别在BC ，CD 上，AH ⊥EF ，
求证：AH = AB. 答案提示
1、注意到∠DBE ＝∠DBC ，BE ＝BC ，可构造ΔBDE ≌ΔBDC ≌ΔCDA.
2、延长中线构造全等三角形.
3、注意到∠ABE ＝∠CBE ，BE ⊥CE ，可构造与ΔBEC 全等的三角形.
4、利用中点构造全等三角形.
5、用中点构造全等三角形.
6、利用边AB 构造三角形与ΔADF 全等, 得出等于BE ＋DF 的线段.
A B
C
D M
N
E
A
B
C D M
N
A
B
C
D E
F
A B
C
D E
F
H
7、利用边AB 构造三角形与ΔADF 全等,由全等三角形对应高相等得结果.
24、证两角相等的基本方法
例题讲解
例1 已知ΔABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，∠ABC ＝0
45，HD ＝DC ，
求证：BH ＝AC.
分析：只需证ΔACD ≌ΔBHD ，关键是证明∠DAC ＝∠DBH ， 考虑∠DAC ＝0
90－∠C ，∠DBH ＝0
90－∠C ，这样问题易证.
例2 从等腰Rt ΔABC 的直角顶点C 作中线BD 的垂线，交
BD 于F ，交AB 于E ，连结DE ，求证：∠CDF ＝∠ADE ．
分析：易见，∠CBD ＝∠ACE ，结合BC = AC, ∠BCA 是直角，只要过A 作GA ⊥AC 交CE 的延长线于G ，则可构 造出ΔBCD ≌ΔCAG ，得∠CDF ＝∠G ，再证ΔADE ≌ΔAGE ， 得∠ADE ＝∠G ，从而得∠CDF ＝∠ADE.
思考练习
1、如图，在ΔABC 中，BD ＝DE ，AB ＝BE ＝EC ，求证：∠BAD ＝∠C.
B
C
D
H
E A
A B
C
D
E
F
G
2、如图，D 是等边ΔABC 外一点，∠BDA ＝∠BCA ，求证：AD ＝BD ＋CD.
3、在等边ΔABC 中，点D 、E 在边BC 和AC 上，且AE ＝DC ，AD 与BE 相交于点P ，BG ⊥AD 于G ，已知PE ＝1，PG ＝3，求AD 的长度.
4、如图，在等腰ΔABC 中，AB ＝AC ，CE ＝BD ，求证：DF ＝EF.
5、在等边ΔABC 中，P 、Q 、R 为各边中点，M 为RC 上任一点，ΔPMS 是等边三角形，连结SQ ，求证：RM ＝QS ．
6、等腰Rt ΔABC 中，AC = BC ，AD 是中线，DE ⊥AB 于E ，求证：AB = AC + CD.
7、在ΔABC 中，AC = BC ，∠ACB = 0
90，D 是AC 上
一点，且AE 垂直BD 的延长线于E ，又BD = 2AE ，
求证：BD 平分∠ABC.
A B
C F
E
D E
A
B
C
E D
P
G 2 C
B A
D
1
3
A B
C
D
E
S
P
M
Q
A B
C
A
B
C
D E
A D E
8、在ΔABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，若AC = BH ， 求∠ABC 的度数。

9、ABC 中，AB = AC ， ∠A =0
100，BD 平分∠ABC ，
求证：BC = BD + AD ．
10、在ΔABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE = DF ；过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于P ，设线段PA ，PB 的中点分别为M ，N ，
求证：（1）ΔDEM ≌ΔDFN ；
（2）∠PAE ＝∠PBF ． 答案提示
1、先证∠2＝∠3，有∠ABG ＝∠1＋∠2＝180－2∠3＋∠2＝180－∠3＝∠AEC ，可得ΔABG ≌ΔAEC ，∴∠BAD ＝∠C.
2、在AD 上取点E ，使DE ＝DB ，证ΔABE ≌ΔCBD ，
5、连PQ ，PR ，则∠RPM ＝60－∠MPQ ＝∠QPS ，可证ΔPRM ≌ΔPQS.
6、提示：由BE 是角平分，AE ⊥BE ，可考虑构造等腰三角形.
9、分析：由BD 是角平分线，可在BC 上取点E ，使BE = AB ，连DE ，则有ΔABD ≌ΔEBD ，∠BED =∠A =0
100，得∠DEF =0
80在BC 上取点F ，使BF = BD ，可得∠DFE = ∠DEF =0
80，
再证DF = FC.
10、证明：（1）如图，连结DM ，DN ，易见，DM 平行且等于BN ，DN 平行且等于AM ，∴BND AMD ∠=∠， ∵M ，N 分别是AEP Rt ∆和BFP Rt ∆的斜边中点， ∴DN AM EM ==，DM BN FN ==，又DF DE =，∴DFN DEM ∆≅∆．
D
B C
A
A B
C D
E
F
P M
N
（2）由（1）知FND EMD ∠=∠，BNF AME ∠=∠，而AME ∆，BNF ∆均为等腰三角形，
∴PBF PAE ∠=∠．
25、四边形的性质
例题讲解
例1 六边形ABCDEF 的各角都相等，且AB ＋BC ＝11，AF －CD ＝3，求BC ＋DE 的值。

解：延长AB 、DC 交于点M ，延长AF 、DE 交于点N ， 则由条件易得六边形的每个内角都为0
120，∠N ＝∠M ＝0
60，
四边形ANDM 是平行四边形，ΔMBC 和ΔNEF 都是等边三角形，故有BC ＋CD ＝AF ＋EF ，BC －EF ＝AF －CD ＝3，又EF ＝EN ，BC ＝BM ，DE ＋EN ＝AM ＝AB ＋BC ＝11，得BC ＋DE ＝（BC －EF ）＋（DE ＋EN ）＝14.
例2 如图，四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是菱形，点B 、E 、F 在同一直线上，求∠BAF 的度数。

A
D
O
B
C
E A B C
D
F
M
N
解：过B 作BO ⊥AC 于O ，过F 作FG ⊥AC 于G ，则BO ＝2
1
AC ，∠BAC ＝045，易见，FG ＝BO ∴FG ＝
21AC ＝2
1
AF ， ∴∠FAC ＝0
30，∠BAF ＝∠BAC －∠FAC ＝0
15．
例3 E 是正方形ABCD 的边AB 上的一点，F 为对角线BD 上的一点，且AE ＝2DF ，
求证：ΔCEF 是等腰直角三角形. 解：过F 作MN ∥BC 交正方形两边于M 、N ，则 DF ＝2DN ＝2FN ＝2AM, CN ＝FM ， 由AE ＝2DF ＝2×2AM ＝2AM ， EM ＝AE －AM ＝2AM －AM ＝FN ，
FM ＝MN －FN ＝CD －DN ＝CN ，由勾股定理知，CF ＝EF ，
又2
2
2
2
2
2
2
)()()()(FN CN FN CN ME BM FN CN BE BC CE -++=-++=+=
222222)(2EF CF CF FN CN +=⋅=+⋅=， 所以ΔCEF 是等腰直角三角形.
思考练习
1、在10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 5
2、如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥EF ， CD ∥FA ，且BC －E ＝ED －AB ＝FA －CD ＜0，求该六边
形的六个角度数．
3、在梯形ABCD 在中，AB ∥CD ，AC ＝BC ，且 AC ⊥BC ，AB ＝BD ，AC 、BD 交于点E ，
N
A B
C
D
E F
C D
E
求证：ΔADE 为等腰三角形．
4、在梯形ABCD 在中，AD ∥BC ，∠B ＝0
30，
∠C ＝0
60，点E 、M 、F 、N 分别是AB 、BC 、CD 、
DA 的中点，已知BC ＝7，MN = 3，求EF.
5、在等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB ，对角线AC 与BD 交于点O ，∠ACD ＝0
60，点S 、P 、Q 分别是OD 、OA 、BC 的中点，(1) 求证：ΔPQS 是等边三角形；(2) 若AB ＝5，CD ＝3，求ΔPQS 的周长.
6、在梯形ABCD 中, AD ∥BC （BC ＞AD ）, ∠D ＝0
90, ,45,120
=∠==ABE CD BC 若
AE =10，求CE 的长．
答案提示
1、多边形的所有外角之和为︒360，故外角中的钝角的个数不能超过3个，从而知，内角中的锐角最多不能超过3个，选C ．
2、过点A 、C 、E 分别作BC 、ED 、FA 的平行线，交于点O 、P 、Q ，证ΔOPQ 为等边三角形，得六边形的六个角都等于0
120．
3、过C 、D 作AB 的垂线，易得∠ABD ＝0
30，可得∠ADB ＝∠AED ＝0
75，
4、延长CD 和BA ，交于G ，则∠BGC ＝0
90，连GM ，则点G 、M 、N 三点成一直线，GN
＝3.5，故GM ＝0.5，从而AD ＝1，EF ＝4。

5、由条件易见，ΔOCD 和ΔOAB 是等边三角形，(1)连结CS ，则CS ⊥BD ，在Rt ΔBCS 中,SQ ＝
21BC ，同理，PQ ＝21BC ，又SP ＝21AD ＝2
1
BC ，∴SQ ＝PQ ＝SP ，ΔPQS 是等边三角形.(2)AC ＝8，作CE ⊥AB 于E ，则CE ＝34，22BE CE BC +=＝7，故SQ ＝3.5，ΔPQS 的周长为10.5
B
C
E F
M N
D
A
6、延长DA 至M ，使BM ⊥BE ，过B 作BG ⊥AM 于G ，易知
四边形BCDG 为正方形，所以BC ＝BG ，又∠CBE ＝∠GBM ，∴Rt ΔBEC ≌Rt ΔBMG ，∴BM ＝BE ，∠ABE ＝∠ABM ＝0
45，∴ΔABE ≌Δ
ABM ，AM ＝AE ＝10，设CE ＝x ，则AG ＝10－x ，AD ＝12―（10―x ）＝2－x ，在Rt ΔADE 中，222DE AD AE +=，
∴2
2
)12()2(100x x -++=，即 024102
=+-x x ，解得41=x ，62=x ．
26、面积问题
例题讲解
例1 在ΔABC 中, D 是边BC 上的一点, 已知5=AC ,
6=AD ，10=BD ，5=CD ，求ΔABC 的面积。

解：过D 作CH ⊥AD 于H, 因为ΔACD 是等腰三角形, 所以, 在Rt ΔCHD 中, CD ＝5, DH ＝3, 则CH ＝4, 有12=∆ACD S ，
24
2==∆∆ACD ABD S S ．
36=+=∆∆∆ACD ABD ABC S S S
例2 已知，E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 和CD 上一点，若ΔCEF ，ΔABE ，ΔADF 的面积分别为3，4，5，求ΔAEF 的面积。

解：连结AC ，设ΔAEC ，ΔCAF 的面积分别为
y x ,，则54+=+y x 即1+=y x ，因为
EC
BC
x x =
+4 EC AD y =3 AD = BC 所以3
4y
x x =+，解得 5,6==y x ，
A
B
C
D
H
A
B
C
D
E
F
A
A
B
C
D
E G M
所以83=-+=∆y x S AEF ．
例3 在ΔABC 中 已知BD 和CE 分别是AC 、 AB 上的中线 并且BD ⊥CE ，BD = 4 ,CE =6, 求ΔABC 的面积。

解: 连DE, 则122
1
=⋅=CE BD S BCDE 四边形, DE 是中位线， 有, 16123
4
34=⨯==
∆BCDE ABC S S 四边形 例 4 设点EFGH 分别在面积而1的四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上, 且
)(是正数k k HA
DH
GD CG FC BF EB AE ====, 求四边形EFGH 的面积. 解：连结AC ，过点G 作GP ∥AC 交DH 于点P ，有
DC DG DA DP
= ， 由已知 k HA DH
GD CG ==， 则 1+=
k k DA
DH ， 于是有1
1+==k DC DG DA DP 从而
k DP
DH S S DPG DHG ==∆∆, 又由于ΔDPG ∽ΔDAC ，
有
2)1(1+=∆∆k S S DAC DPG ，故 2)1(+=∆∆k k S S D A C DHG ，因此，DAC DHG
S k k
S ∆∆+=2
)1( 同理 BAC BEF S k k
S ∆∆+=
2
)
1(，两式相加，得 )()1(2BAC DAC BEF DHG S S k k S S ∆∆∆∆++=
+2
2)1()1(+=+=k k
S k k ABCD
连结BD ，同理可证2
)
1(+=
+∆∆k k
S S CFG AEH ， ∴)(DHG CFG
BEF AEH ABCD EFGH S S S S S S ∆∆∆∆+++-=2)1(21+-=k k 2
2)
1(1
++=k k 思考练习
1、ΔABC 的周长是24, M 是AB 的中点, MC ＝MA ＝5, 求ΔABC 的面积．
2、在梯形ABCD 中, AB ∥CD, AB = 8, BC =26, 045=∠BCD , 0
120=∠BAD , 求梯形
A
B
C D
E
F
G
P H
ABCD 的面积．
3、已知一个梯形的四条边的长分别是1、2、3、4, 求此梯形的面积．
4、在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，DF ：FC = 1 ：1，CE ：EB = 2 ：1，若ΔADF 的面积为m ， 四边形AECF 的面积为n ，（n ＞m ）求四边形ABCD 的面积．
5、已知正方形ABCD 的面积为35， E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，AF 、CE 相交于G ，并且ΔABF 的面积为5，ΔBCE 的面积为14，求四边形BEGF 的面积．
6、点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 与BC 的中点，连AF 、CE ，交于点G ，求四边形AGCD 与矩形ABCD 的面积比．
7、在ΔABC 中, DE ∥AB ∥FG, 且FG 到DE 、AB 的距离之比为1: 2. 若ΔABC 的面积为32, ΔCDE 的面积为2, 则ΔCFG 的面积等于( )
(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12
答案提示
1、由MC ＝MA ＝MB ＝5知0
90=∠ABC ，又由ΔABC 的周长是24, 且斜边AB ＝10,
故BC ＋CA ＝14, 且2
2210=+CA BC , ∴2
2
)()(2CA BC CA BC CA BC +-+=⋅
24101422=-=，故24=∆ABC S ．
2、A 、B 分别作AE ⊥CD 于E, BF ⊥CD 于F , 在Rt ΔBFC 中, BC =26, 0
45=∠BCD , 则BF = FC = 6. 在Rt ΔAED 中,AE = 6, 0
30=∠DAE , 则32=DE , 所以CD = 3214+,
故3666)32148(2
1
=⨯++=
ABCD S 梯形. 3、以1、2、3、4为边作梯形, 按底边分类有六种可能: (1)以1、2为底; (2) 以1、3为底; (3) 以1、4为底; (4) 以2、3为底; (5) 以2、4为底; (6) 以3、4为底;易知,只有(3)才能构成梯形, 在
梯形ABCD 中, AB ＝3, BC ＝4, CD ＝2DA ＝1, 过点A 作AH ⊥BC 于H,作AE ∥CD 交BC 于E, 则
ΔBAE 为等腰三角形, 由2
2
22121⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==⋅∆AE AB AE S AH BE ABE 得
324133222=-=
AH , 所以 3
2
10=ABCD S 梯形． 4、连AC ，则
1==∆∆DF CF S S ADF ACF 2
1
==∆∆CE BE S S CAE ABE , m S S ADF ACF ==∆∆ m n S S S CAF AECF CAE -=-=∆四边形, ()m n S S CAE ABE -==
∆∆2
1
21 ()n m m n n m S ABCD 2
32121
+=-+
+=四边形． 5、连结BG ，记ΔAGE 面积为a ，ΔEGB 面积为b ，ΔBGF 面 积为c ，ΔFGC 面积为d
7235
2
15=⨯==∆∆ABC ABF S S BC BF 同理54
=BA BE 则⎩⎨⎧=++=++145d c b c b a
因为
41==BE AE b a ，25==BF FC c d ，所以 .25,41c d b a == 代入得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1427545
c b c b 解得⎪⎩
⎪⎨⎧==271002718c b ，故 27128=+=c b S BEGF
． 6、连结AC ，则G 是ΔABC 的重心，所以 ABC AGC S S ∆∆=3
1
从而 ABC ABC AGCD S S S ∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛+
=3
4
311四边形 所以
3
2234
==∆∆ABC ABC
ABCD
AGCD S S S S 矩形四边形.
7、选（B ）∵
4
1322===∆∆CAB CDE S S CA
CD ，又由题设知21=FA FD ，所以 31
=AD FD ，
AC AC AD FD 41433131=⨯==，故DC FD =，于是 4
1212
=⎪⎭⎫
⎝⎛=∆∆C F G C D E S S ， 8=∆CFG S ．
A
D
B
C
E
F
G
B
E
F
27、 比例线段
例题讲解
例1：在ΔABC 中，BD ＝DC ，E 为AB 上任意一点，CE 交AB 于F ，
求证：BE
AE FD AF 2=
. 证明：过D 作DM ∥AB ，交CE 于M ，则
DM
AE
FD AF =
， ∵BD ＝DC ，∴CM ＝ME ，又DM ＝21BE ， ∴BE
AE
FD AF 2=
例2 直角三角形ABC 的面积为120，且︒=∠90BAC ，AD 是斜边上的中线，过点D 作
AB AD ⊥于E ，连CE 交AD 于F ，求△AFE 的面积．
解：作FG ⊥AB 于G ，则FG ∥DE ∥AC
于是
AE AG
DE FG AC FG =
=2
1 ， AE EG AC FG = 两式相加，得 13==+=AE AE
AE EG AG AC FG ,
所以 AC FG 31
=
故203
1
212121=⋅⋅=⋅=∆AC AB FG AE S AFE
思考练习
1、 梯形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是DC 的 中点，直线BE 交AC 于F ，交AD 的延长线于G ， 求证：EG BF BG EF ⋅=⋅
2、在正方形ABCD 中，A 、E 、F 、G 在同一 直线上，并且AE = 5cm ，EF = 3cm ，求FG 的长。

3、工地上竖立着两根电线杆AB 、CD, 它们相距15cm, 分别自两杆高出地面4m, 6m,的A 、C 处, 向两侧地面上的E 和D, B 和F 点处, 用钢丝绳拉紧, 以固定电线杆, 那么钢丝绳AD 和BC 的交点P 离地面的高度是多少。

A
B C
D
E F
G
A
B
C
D
E
F
M
A
C
4、在Rt ΔABC 中，两条直角边AB 、AC 的长分别为1cm 、2cm ，那么，直角的角平分线的长度等于多少。

5、设ΔABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且3
1
=AB AD ，若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为
43，求EA
CE 的值． 答案提示 1、∵AB ∥DC ，∴
BG
EG
AB ED AB EC BF EF =
==， 2、由条件得AE EG EF AE =
， 3252==EF AE EG ， 3
16
=-=EF EG FG 3、作PQ ⊥EF 于Q, 设BQ = x , QD = y, PQ = h,由AB ∥PQ ∥CD, 得
y x y h +=4，y x x h +=6两式加, 得112
5=h
, 则h = 2.4m, 即点P 离地面高度为2.4m. 4、过B 作BE ∥DA 交CA 延长线于E ，则∠EBA ＝∠BAD ＝0
45，得BE=2
由32==CE AC EB AD ， 故 23232==EB AD ． 5、连结BE ，41
431=-=∆ADE S ，设x AC CE =，则x S ABE -=∆1，4131=-=∆x S ADE ，41=x ，3
1=EA CE
A
B
C
D
E F
P
A
B
C
D
E
28、相似三角形
例题讲解
例1 已知D 是ΔABC 的BC 边上一点，且∠ACD ＝∠B ，求证：AB AD AC ⋅=2
证明：∵∠ACD ＝∠B ，∠A ＝∠A ，
∴ΔACD ∽ΔABC ，
∴AC
AD AB AC =， ∴AB AD AC ⋅=2
.
例2 在ΔABC 中，∠ABC ＝0
60，点P 是ΔABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，求PB 的长.
解: ∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA 0
120=， ∠PAB ＝0
60－∠PBA ＝∠PBC ，∴ΔPAB ∽ΔPBC
从而
PC
PB
PB PA =
即34=⋅=PC PA PB
思考练习
1、在ΔABC 中，D 是边AC 上一点, 下列四种情况 中, 不能使ΔABD ∽ ΔACB 成立的情况是（ ）
(A)BD AB BC AD ⋅=⋅ (B)AC AD AB ⋅=2
(C) ACB ABD ∠=∠ (D)BD AC BC AB ⋅=⋅
2、已知直角ΔABC （AC ＞BC ）的斜边AB 的中点为D 过D 作AB 的垂线交AC 于E ，交BC 的延长线于F ，连结DC ， 求证：DF DE DC ⋅=2
3、如图, 若PA = PB, ∠APB =2∠ACB, AC 与PB 交于点D,
A
B
C
A
P
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
且PB = 4, PD =3, 求DC AD ⋅.
4、ΔABC 的三边长为c b a 、、, 且c
b a b
a b a +++=
, 求证：∠B ＝2∠A .
5、在正方形ABCD 中, , N 是DC 的中点, M 是AD 上异 于D 的点, 且∠NMB ＝∠MBC, 求tan ∠ABM
6、将边长为1的正方形ABCD 绕A 点按逆时针方向旋转
060至'''D C AB 的位置，求这两个正方形重叠部分的面积．
答案提示
1、因为由(B)(C)都能得出ΔABD ∽ΔACB, 因此可将(B)(C)排除掉.对于(A), 分别作BE ⊥AC 于E, DF ⊥AB 于F, 则DF = ADsinA, BE = ABsinA, 由BD AB BC AD ⋅=⋅得
BD BE BC DF ⋅=⋅，∴Rt ΔBDF ∽ Rt ΔCBE, ∴∠ABD ＝∠ACB, ∴ΔABD ∽ ΔACB ，故排除(A),
选(D).
3、延长BP 到Q, 使PQ = PB = 4, 连AQ, ∵PQ= PB = PA, ∴∠APB =2∠AQD, ∠APB =2∠ACB ，∴∠AQD =∠ACB ，又∠ADQ = ∠BDC ，ΔADQ ∽ΔBDC,
从而得
DC
DQ
BD AD =
，故 7=⋅=⋅DQ BD DC AD . A
B
C
D M
N
T
O
/B
M N
A
D
/D
C
4、由
c b a b a b a +++=
得c
a b
b a +=延长CB 到D, 使BD = AB = c, 则CD =
c a + 在ΔABC 和ΔDAC 中, EC
AC
AC BC =
， 又∠C 公用, ∴ΔABC ∽ΔDAC, 从而∠BAC = ∠D = ∠BAD, ∴∠ABC = ∠D + ∠BAD = 2∠D = 2∠BAC.
5、延长MN 交BC 的延长线于T, 设MB 的中点为O, 连结TO, 则ΔBAM ∽ΔTOB. 所以
BT
OB
MB AM =
, 即 BT AM MB ⋅=22, 在直角三角形BAM 中, 2)2(4k BM -+= 又k BT +=2, 所以)2)(2(2)2(42
k k k +-=-+，解得 34=k , 从而 3
2=AM ,
所以 3
1
tan ==∠AB AM ABM .
6、过'
B 作MN ∥AD ，分别交CD 、AB 于M 、N ，设'
'
C B 交C
D 于K ，则
2360sin 0''=
=AB N B ，所以 2
1,231'
=-
=AN M B ，又Rt K AB '∆≌Rt ADK ∆，所以'KAB ∠＝015=∠KAD ，0'''75.=∠=∠∴=D AB ADB AB AD ，则0'15=∠MDB
ADK ∆∽'
DMB ∆，,'
DM AD
MB
DK =32'-=⋅=DM MB AD DK ，322-==∆ADK S S .
29、圆
例题讲练
例1 在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝998，DC ＝1001，AD ＝1999，点P 在线段AD 上, 求满足条件∠BPC ＝0
90的点P 的个数.
解: 因为AB +CD = 1999 = AD, 所以梯形的中位线等于腰BC 的一半, 故以BC 为直径的圆与AD 的一个交点恰为AD 的中点, 即AD 的中点对BC 张成的角为直角. 又在AD 上取点Q, 使AQ = AB, DQ = DC, 由ΔABQ 和ΔDCQ 都是等腰三角形, 知Q 对BC 成0
90角. 注意到
以BC 为直径的圆与AD 至多有两个交点, 可知所求的点数为2 .
例2 已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O, 对角线AC
C
是直径, AC 与BD 相交于点P , AB = BD, 且PC = 0.6, 求四边形ABCD 的周长.
解: 连结BO 并延长交AD 于H, 因为AB = BD, O 是圆心, 所以BH ⊥AD, 又因为∠ADC ＝
090, 所以BH ∥CD, 从而
ΔOPB ∽ΔCPD ，,PO CP BO CD = 6
.05.16
.05.1-=
CD 故 CD = 1 于是 221922=-=-=CD AC AD ， 又2
1
21==CD OH
所以 64222=+=+=
BH AH AB
36922=-=-=AB AC BC ，四边形ABCD 的周长为63221+++.
例3 设ΔABC 是直角三角形, 点D 在斜边BC 上, BD = 4DC, 已知圆过点C 且与AC 相交于F, 与AB 相切于AB 的中点G ，求证: AD ⊥BF.
证明: 过D 作DE ⊥AC 于E, 则
AE AC 45=，ED AG 2
5
=，
∵AE AF AC AF AG 4
52
⋅=⋅=，
AE AF ED 4
5
4252⋅=， 即AE AF ED ⋅=25 ∴AE AF ED AB ⋅=⋅，故ΔBAF ∽ΔAED ∠ABF ＝∠DAE,
而∠EAD +∠DAB = 0
90，∴∠ABF +∠DAB = 090, 故 AD ⊥BF.
例4 如图, 已知P 是⊙O 外一点, PS 、PT 是⊙O 的两条切线, 过点P 作⊙O 的割线PAB,交⊙O 于A 、B 两点, 与ST 交于点C, 求证：
⎪⎭
⎫
⎝⎛+=PB PA PC 11211 证明：过P 作PH ⊥ST ，则H 是ST 的中点，
222CH PH PC +=222CH SH PS +-=
A
P
B
C S
T
H
A
B
C D
E
F
G
))((2CH SH CH SH PS +--=CT SC PS ⋅-=2
又CT SC PS PC ⋅-=2
2
CB AC PB PA ⋅-⋅=
))((PC PB PA PC PB PA ---⋅=2)(2PC PC PB PA PB PA ++-⋅=
∴PB PA PC PB PA ⋅=+2)(, ∴
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=PB PA PC 11211
例5 圆1O 与圆2O 外切于点A,两圆的一条外公切线与圆1O 相切于点B, 若AB 与两圆的另一条外公切线平行, 求圆1O 与圆2O 的半径之比.
解: 由AB ∥CD, 且1O C ⊥CD, ∴1O C ⊥AB. 于
是
A
CO B CO 11∠=∠, 由对称性知
A BO A CO 11∠=∠，
从而 0
111120=∠=∠=∠B AO A CO B CO ，∴0
123090120=-=∠E O O ， ∴)(2,21221221r r r r E O O O -=+=即，∴1r :2r = 1: 3
思考练习
1、点A 是半径为1的圆O 外的一点，OA=2，AB 是圆的切线，B 是切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，求ΔABC 的面积.
2、已知ABCD 是一个半径为R 的圆内接四边形, AB ＝12, CD ＝6, 分别延长AB 和DC, 它们交于P , 且BP ＝8, ∠APD ＝0
60, 求R.
3、如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20 个点中选取的正多边形的个数有多少个.
4、在ΔABC 中, ∠B = 0
36, ∠ACB = 0
128, ∠CAB 的平分线交BC
O 1 A
C D
B
O 2
于M, ΔABC 的外接圆的切线AN 交BC 的延长线于N, 求ΔANM 的最小内角.
5、如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切，若AB = 4，BE = 5，求DE 的长．
6、如图，设四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交点为M ，过点M 作AD 的平行线分别交AB 、CD 于E 、F, 交BC 延长线于点O, P 是以
O 为圆心，OM 为半径的圆上一点，
求证：∠OPF ＝∠OEP .
7、圆内接六边形ABCDEF 中，AB =CD = EF ，且对角线AD 、BE 、CF 相交于点Q ，AD 与CE 的交点为P .
（1）求证：EC AC
ED QD = （2）求证：22
CE AC PE CP =.
8、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P , 求点P 到两圆外公切线的距离. 答案提示
1、 连结OB 、OC ，由BC ∥OA ，得ABC OBC S S ∆∆=，由 OA=2，OB ＝1，则
060=∠AOB ，易得ΔOBC 为等边三角形，060=∠BOC ，∴6
61π==
=∆圆扇S S S OBC ABC 2、由割线定理, 得 PD PC PA PB ⋅=⋅ 有8×20＝PC(PC ＋6) 解得PC ＝10. 连AC, 在ΔPAC 中, 由PA ＝2PC, ∠APC ＝0
60,得∠PCA ＝0
90, 从而AD 是圆的直径,
31022=-=PC PA AC , 21422=+=CD AC AD ,所以 2122
1
==
AD R 3、由条件得∠CAM =∠MAB =
()
00008128361802
1
=--, 从而∠AMC =044, 又AN 为P
A B
C
D E
F
Q O
P
E
F A
B D
M
切线, 所以∠NAC = ∠B =0
36, ∠MAN = 044于是, 0
000924444108=--=∠N , 故ΔANM
的最小内角为044．
5、如图，易见ABCE 是等腰梯形，5==BE AC ，又ABC ACD BAC ∠=∠=∠，
5===AD BC AC ，4==AB DC ，由DE AD DC ⋅=2，得5
16=
DE ． 7、（1）由AB = CD = EF ，得对应弧相等，在ΔQDE 和ΔACE 中，∠QDE ＝∠BEC ＋∠CED ＝∠BEC ＋∠AEB ＝∠AEC ， ∴∠QDE ＝∠ACE ，∴ΔQDE ∽ΔACE ，故EC AC
ED QD =．
（2）易见DE ∥CF ，得ΔCPQ ∽ ΔEPD ，∴
DE
QC
PE CP =
，在ΔQDC 和ΔDEQ 中，∠QED ＝∠AEC ＝∠CDQ ， ∠DQE ＝∠DQF －∠EQF ＝∠QDC ＋∠QCD －∠DEQ ＝∠QCD ，∴ΔQDC ∽ΔDEQ ，
∴QD QC DE QD =， ∴DE QC QD ⋅=2
，∴2
2222CE AC DE QD DE DE QC DE QC PE CP ==⋅==． 8、解: 如图, MN 为⊙1O 与⊙2O 的一条公切线, M, N 为切点, PH ⊥MN 于H, 1O M = 1O P = 1 , 2O N = 2O P = 2 ,分别取2O P 、NH 的中点Q 、K, 则QK ⊥MN. 得,2
1QK
PH +=
22+=
PH QK ， 消去QK, 得3
4
=PH .
M
N
O1
P Q
H
K
O2。