江西高二高中数学期中考试带答案解析

江西高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知集合，则（）
A．{1}B．{3，6}
C．{4，5}D．{1，3，4，5，6}
2.设是实数,且复数在复平面内对应的点在第三象限，则的取值范围为（）
A．B．
C．D．
3.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是 ( )
A．B．C．D．
4.条件；条件，则的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件
5.已知偶函数上满足f′(x)＞0则不等式的解集是（）
A．B．C．D．
6.我学校举办一次以班级为单位的广播体操比赛，9位评委给高一（1）班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去
掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是（）
A．2B．3
C．4D．5
7.已知函数，则（）
A．2B．1C．4D．8
8.下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第
一组的频数为4000．在样本中记月收入在，,的人数依次为、、……、．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，
图乙输出的（）
A．6000B．4000C．5000D．10000
9.右图是的图象，则的值是（）
A．B．C．D．
10.已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则的值为（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.曲线在点处的切线方程为________．
2.已知x，y的取值如下表：
x0134
从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为，则___________.
3.若函数在处取极值,则__________.
4.下列命题中：①函数的最小值是；②对于任意实数，有
且时，，，则时，；③如果是可导函数，则是函数
在处取到极值的必要不充分条件；④已知存在实数使得不等式成立，则实数
的取值范围是。

其中正确的命题是___________.
5.已是抛物线上的一点,过点的切线方程的斜率可通过如下方式求得: 在两边同时对x求导,得:，所以过的切线的斜率：,试用上述方法求出双曲线在处的切线方程为___________.
三、解答题
1.已知集合
A=, B=.
（1）若，求A∩B，；
（2）若A,求实数m的取值范围。

2.设函数，其中为自然对数的底数.
（1）求函数的单调区间；
（2）记曲线在点（其中）处的切线为，与轴、轴所围成的三角形面积为，求的最大值.
3.为了解某班学生喜爱打羽毛球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知在全部50人中随机抽取1人抽到不喜爱打羽毛球的学生的概率
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打羽毛球与性别有关？说明你的理由；
（3）已知喜爱打羽毛球的10位女生中，还喜欢打篮球，还喜欢打乒乓球，还喜欢踢足球，现在从喜欢打篮球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的6位女生中各选出1名进行其他方面的调查，求女生和不全被选中的概率．下面的临界值表供参考：
（参考公式：其中.）
4.已知函数定义域为R，且，对任意恒有，
（1）求函数的表达式；
（2）若方程=有三个实数解，求实数的取值范围；
5.已知函数，
（1）求函数的定义域；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）已知，命题p：关于x的不等式对函数的定义域上的任意恒成立；命题q：指数函数是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
6.已知函数；
（1）若函数在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围。

（2）若函数，若在[1，e]上至少存在一个x的值使成立，求实数的取值范围。

江西高二高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.已知集合，则（）
A．{1}B．{3，6}
C．{4，5}D．{1，3，4，5，6}
【答案】B
【解析】解：
选B
2.设是实数,且复数在复平面内对应的点在第三象限，则的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】解：因为在复平面内对应的点在第三象限，所以横纵坐标都小于零，即a-
3<0,a<3,选B
3.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是 ( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：记事件A={△PBC的面积大于 S 4 }，
基本事件空间是线段AB的长度，（如图）
因为 S△PBC＞S /4 ，则有1/ 2 BC•PE＞1/ 4 ×1 /2 BC•AD；
化简记得到：PE /AD ＞1/ 4 ，
因为PE平行AD则由三角形的相似性 PE/ AD ＞1 /4 ；
所以，事件A的几何度量为线段AP的长度，
因为AP="3/" 4 AB，
所以△PBC的面积大于 S/ 4 的概率="AP" /AB ="3" /4 ．
故选C
4.条件；条件，则的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】解：因为条件；条件，则从分不必要条件。

选A
5.已知偶函数上满足f′(x)＞0则不等式的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：因为偶函数f(x)在上满足f′(x)＞0，说明函数y=f(x)在给定区间单调递增，又因为是偶函数，
则利用对称性，则不等式
因此得到的解集为选项A
6.我学校举办一次以班级为单位的广播体操比赛，9位评委给高一（1）班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去
掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是（）
A．2B．3
C．4D．5
【答案】A
【解析】解：∵由题意知记分员在去掉一个最高分94和一个最低分87后，余下的7个数字的平均数是91，(89+88+92+90+x+93+92+91)/ 7 =91，∴635+x=91×7=637，∴x=2，故选A ．
7.已知函数，则（ ）
A ．2
B ．1
C ．4
D ．8
【答案】B
【解析】解：因为已知函数为分段函数，代入关系式中，f(1)=f(0)+1=20-1+1=1,选B
8.下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在，,
的人数依次为
、
、……、
．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，
图乙输出的（ ）
A ．6000
B ．4000
C ．5000
D ．10000
【答案】A
【解析】解：∵月收入在[1000，1500）的频率为0.0008×500=0.4，且有4000人 ∴样本的容量n="4000/" 0.4 =10000，
由图乙知输出的S=A 2+A 3++A 6=10000-4000=6000． 故答案为： 6000
9.右图是的图象，则的值是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】解：因为图像可知原函数与x 轴有3个不同的零点，则为-1,0,2，则函数f(x)=(1+x)(x-2)x,而x 1,x 2为导函数的两个不同的根，则求导可知
，则利用完全平方的关系式可知所求的为16/9
10.已知函数的图像在点
处的切线与直线
垂直，若数列
的前项
和为
，则
的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】解；∵函数f （x ）=x 2-bx 的图象在点A （1，f （1））处的切线l 与直线x+3y-1=0平行，由f （x ）=x2+bx 求导得：f′（x ）=2x+b ，由导函数得几何含义得：f′（1）=2-b=3⇒b=-1，∴f （x ）=x 2-x 所以f （n ）=n （n+1），∴数列 {1 /f(n) }的通项为 1/ f(n) ="1" /n(n+1) ="1" /n -1/（n+1） ，所以 1/ f(n) 的前n 项的和即为T n ，则利用裂项相消法可以得到：T n ="(1-1" /2 )+(1/ 2 -1 /3 )+(1/ 3 +1/ 4 )+…+(1 /n -1 /n+1 )="1-1" /n+1 所以数列的前2011项的和为：T 2012=1-1/2013 ="2012/" 2013 ．故选A
二、填空题
1.曲线在点
处的切线方程为________．
【答案】
【解析】解：因为
利用点斜式方程可知为x-y-1=0
2.已知x ，y 的取值如下表：
x 0 1 3 4
从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为，则
___________.
【答案】2.6 【解析】解：点
在回归直线上，
计算得 . =2，. =4.5； 代入得a=2.6
3.若函数在处取极值,则__________.
【答案】3
【解析】解：因为
由于在x=1处取得极值，因此则有，经验证符合题意
4.下列命题中：①函数的最小值是；②对于任意实数，有
且时，，，则时，；③如果是可导函数，则是函数在处取到极值的必要不充分条件；④已知存在实数使得不等式成立，则实数
的取值范围是。

其中正确的命题是___________.
【答案】②③
【解析】解：因为
①函数的最小值是；等号取不到，错误。

②对于任意实数，有且时，，，则时，
；满足导数与函数单调性关系，成立。

③如果是可导函数，则是函数在处取到极值的必要不充分条件；成立。

④已知存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围应该是，因此错误。

5.已是抛物线上的一点,过点的切线方程的斜率可通过如下方式求得: 在两边同时对x求导,得:，所以过的切线的斜率：,试用上述方法求出双曲线在处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】解：由双曲线x2-y2/2 =1，得到y2=2x2-2，
根据题意，两边同时对x求导得：2yy′=4x，解得y′="2x" /y ，
由P（ 2 ，），得到过P得切线的斜率k=2，
则所求的切线方程为：y- =2（x- 2 ），即2x-y- =0．
故答案为：2x-y- =0
三、解答题
1.已知集合
A=, B=.
（1）若，求A∩B，；
（2）若A,求实数m的取值范围。

【答案】（1） , (2) 故
【解析】第一问首先翻译A,B为最简集合，即为
A=
B=
然后利用当m=-1时，则有 B=
,
第二问，因为A，
所以满足A
得到结论。

解：因为A=
,
B=
当m=-1时，则有 B=
,
(2) 因为A，
所以满足A
故
2.设函数，其中为自然对数的底数.
（1）求函数的单调区间；
（2）记曲线在点（其中）处的切线为，与轴、轴所围成的三角形面积为，求的最大值.
【答案】（Ⅰ）函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（Ⅱ）的最大值为.
【解析】第一问利用由已知，所以，
由，得，所以，在区间上，，函数在区间上单调递减；在区间上，，函数在区间上单调递增；
第二问中，因为，所以曲线在点处切线为：.
切线与轴的交点为，与轴的交点为，
因为，所以，
，在区间上，函数单调递增，在区间上，函数单调递减.所以，当时，有最大值，此时，
解：（Ⅰ）由已知，所以，由，得，所以，在区间上，，函数在区间上单调递减；
在区间上，，函数在区间上单调递增；
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（Ⅱ）因为，所以曲线在点处切线为：.
切线与轴的交点为，与轴的交点为，
因为，所以，
，在区间上，函数单调递增，在区间上，函数单调递减.所以，当时，有最大值，此时，
所以，的最大值为
3.为了解某班学生喜爱打羽毛球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知在全部50人中随机抽取1人抽到不喜爱打羽毛球的学生的概率
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打羽毛球与性别有关？说明你的理由；
（3）已知喜爱打羽毛球的10位女生中，还喜欢打篮球，还喜欢打乒乓球，还喜欢踢足球，现在从喜欢打篮球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的6位女生中各选出1名进行其他方面的调查，求女生和不全被选中的概率．下面的临界值表供参考：
（参考公式：其中.）
【答案】(1) 列联表补充如下：
（2）有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关
（3）.
【解析】第一问利用数据写出列联表
第二问利用公式计算的得到结论。

第三问中，从6位女生中选出喜欢打篮球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件如下：
，，
基本事件的总数为8
用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，由于由
2个基本事件由对立事件的概率公式得
解：(1) 列联表补充如下：
喜爱打羽毛球不喜爱打羽毛球合计
（2）∵
∴有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关
（3）从6位女生中选出喜欢打篮球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件如下：
，，
基本事件的总数为8，
用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，由于由
2个基本事件由对立事件的概率公式得.
4.已知函数定义域为R，且，对任意恒有，
（1）求函数的表达式；
（2）若方程=有三个实数解，求实数的取值范围；
【答案】（1）（2）
【解析】第一问中，利用因为，对任意恒有，
第二问中，因为方程=有三个实数解，所以
又因为当；
当从而得到范围。

解：（1）因为，对任意恒有，
（2）因为方程=有三个实数解，所以
又因为，当；
当；当
，
5.已知函数，
（1）求函数的定义域；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）已知，命题p：关于x的不等式对函数的定义域上的任意恒成立；命题q：指数函数是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
【答案】（1）（2）
（3）
【解析】第一问中，利用由即
第二问中，，得：
，
第三问中，由在函数的定义域上的任意，，当且仅当时等号成立。

当命题p为真时，；而命题q为真时：指数函数
．因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以
当命题p为真，命题q为假时；当命题p为假，命题q为真时分为两种情况讨论即可。

解：（1）由即
（2），得：
，
（3）由在函数的定义域上的任意，，当且仅当
时等号成立。

当命题p为真时，；而命题q为真时：指数函数
．因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以
当命题p为真，命题q为假时，
当命题p为假，命题q为真时，，
所以
6.已知函数；
（1）若函数在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围。

（2）若函数，若在[1，e]上至少存在一个x的值使成立，求实数的取值范围。

【答案】（1）（2）实数k的取值范围是.
【解析】第一问中，利用导数，因为在其定义域内的单调递增函数，所以
内满足恒成立，得到结论第二问中，在[1，e]上至少存在一个x的值使成立，等价于不等式在[1，e]上有解，转换为不等式有解来解答即可。

解：（1），
因为在其定义域内的单调递增函数，
所以内满足恒成立，即恒成立，
亦即，
即可又
当且仅当，即x=1时取等号，
在其定义域内为单调增函数的实数k的取值范围是.
（2）在[1，e]上至少存在一个x的值使成立，等价于不等式在[1，e]上有解，设
上的增函数，依题意需
实数k的取值范围是。