关于n维单形的两个轨迹定理

８ ０
（
大 学 数 学
一 ） ０ 一 一 ．
第２ ７卷
但点Ｍ是单形 ∑ Ａ 的七 （ ） 号心， 所以点Ｍ满足（ ． １ １ 将（） ） 代人上式， 经整理可得
一
（
＋ ） ．
（ ２ ）
（ ３ ）
又依题 设 ， 是单 形 Ｎ
（ 的ｋ Ａ） ＋ｌ号心 ， 定义 １ 按 有
整数 ． 定义 １ Ｅ 在 维 欧 氏 空 间 Ｅ 中 ， 设 维 单 形
一
（ 的 外 心 为 Ｏ， 点 Ｍ 满 足 Ａ） 若
Ｏ ＝ ＞Ｏ ， Ｍ ÷∑ Ａ ÷ ：
（ １ ）
则 点Ｍ称为 单形∑ （） 其外心０的是 心， 为单 ∑ （） 号 Ａ 关于 号 简称 形 Ａ 的 心．
依 题设 ， Ｑ是 线段 ＭＰ 上 的点 ， ＭＱ＝÷Ｑ 所 以有 ｋ— － —尸， 一 且 ｌ Ｐ， — ＭＱ—Ｑ —＋ — 即 — — 十
成立就行了 ．
［ 稿 日 期］ ２ ０ — ０ １ 收 ０ ８１—６
［ 金 项 目］ 江西 省 教 育 厅 ２ ０ 基 ０ ８年度 科 技 项 目 （ Ｊ ８ ８ ） ＧＪＯ ３ ９
（） ｉ 再证纯粹性． ｉ 即假定Ｑ是单形 ∑ （） ｑ１ Ａ 的ｋ－ 号超球面上任一点， 证明点Ｑ满足题设条件．
应用同 法， 点Ｍ是 一 设 单形 ∑ （） 号心， Ｑ 长至点Ｐ 使Ｍ ＝ Ｐ 那么只 Ａ 的ｋ 连Ｍ 并延 ， Ｑ Ｑ ， 需证 明 点Ｐ 单形 ∑ （） 外 超球面Ｓ ０Ｒ上就 ． 在 Ａ的 接 （，） 行了 一
［ 摘 要 ］ 在 维 欧 氏 空 间 Ｅ”中 ， 用 向量 方 法 ， 出 了关 于 维单 形 的 两 个 优 美 的轨 迹 定 理 应 给 ［ 键 词 ］ ”维 欧 氏空 间 ； 维 单 形 ； 一 １ 超 球 面 ； 心 ； 超 球 面 关 ｎ 维 ｋ号 ｋ号 ［ 图 分 类 号 ］ Ｏ１ ４ 中 ８ ［ 文献 标 识 码 ］ Ａ ［ 章 编 号 ］ １ ７—４ ４ ２ １ ）４０ ７—３ 文 ６２１ ５ （ ０ １ ０—０ ９０
设Ｎ为单形 ∑ （ ） － 号心， Ａ 的ｋｋ ｌ 则由向 量的运算性质可知 一 Ｎ＋Ｎ ， 一 一 代人上式可得 Ｏ Ｑ
一 （ 愚＋ １ ） ＋（ 尼＋ １ ） 一ｋ ．
但Ｍ和 Ｎ分别是单形
此 ， 式 可 以 改写 为 上
（ ） 号心和ｋ 号心， Ａ 的ｋ ＋ｌ 它们分别满足（） ３， １ 和（ 易知是 一 是 ） ． ） （＋１ 叶 因
∑ （） 号 Ａ 的是 心Ｍ 为 球心， 半径的ｎ １ 球面， 为单 ∑ （） ｇＮ Ｎ 为 － 维超 称 形 Ａ 的是 － ． ． ＿ ￣
２ 两 个 优 美 的 轨 迹 定 理
根 据 以 上 定 义 ， 们 司 以Ｍ是给定的 维单形 ∑ （ ） 号心， Ａ 的ｋ Ｐ是单形 ∑ （ 的外接超球面 Ａ）
Ｓ ０ＲｋＮ￣ Ａ，线段Ｍ 取一 ， Ｑ ÷ Ｐ则点Ｑ 轨迹是单 （，） ４ 一 － 在 Ｐ上 点Ｑ使Ｍ 一 Ｑ ， 的 形∑ （） ＋ｌ Ａ 的ｋ
号超球 面 ．
证 ｉ先证完备性． （ ） 即假定点Ｑ满足题设条件， 证明点Ｑ在单形 ∑ （ ） ＋１ Ａ 的志 号超球面上．
设单形 ∑ （ ） ＋ｌ Ａ 的ｋ 号心为Ｎ， 那么根据定义 ２只需证明等式ＩＱＩ ， Ｎ 一
一
Ｏ一 Ｏ・ Ｎ ∑ Ａ． 赢
由 （ ） （ ） 得 ２和 ３可
Ｎ Ｑ一 ０Ｑ— ｏＮ 一 ＯＰ・
但点 Ｐ在超球 面 ｓ （ Ｒ） ， 以 Ｉ Ｐ Ｉ 一 ０， 上 所 —Ｒ， 而 由上 式可 得 Ｉ Ｏ 从 Ｉ ＮＱ 一
． 就 表 明点 Ｑ 在单 形 这
∑ （） ＋ 号 球面上 Ａ 的ｋ ｌ 超 ．
一
（ 尼＋ １ ）
．
注意 点Ｑ 形 ∑ （） ＋ 号 球面 所以 Ｑ 一 到 在单 Ａ 的愚 １ 超 上， 有１ ｌ ， 而由 Ｎ 从 上式可 Ｐ — ， 得ｌ Ｒ ０ｌ
这就表明点Ｐ在单形 ∑ （） 外接超球面Ｓ～（ ，） Ａ的 ” ｏＲ 上．
１ 几 个 有 关 的概 念
本文约定： 符号 ∑ （ ） 维欧氏空间 Ｅ Ａ 表示 中的任意一个 维单形， 该单形的顶点集为
｛ Ａ。 … ， ； 心 为 ０， 径 为 Ｒ 的 一１维超 球 面记 作 Ｓ （ Ｒ） 字 母 ｋ表示 任 意给定 的一 个 Ａ ， ， Ａ ＋ ｝球 半 一 ０， ；
依题设 ， Ｐ在线段 ＭＱ的延长线上 ， ＭＱ Ｉ ｌ， 以有Ｑ ＭＱ， —’ —’ （——Ｏ 点 且 ＝÷Ｑ 所 Ｐ — ＝ｋ — 即Ｏ —Ｏ ＝ｋ０ — ． — — ｐ — — ＋ — — — — Ｑ — — — Ｑ Ｍ） ’ — ＋
由此 可 得
—… ０Ｐ＝ （ 十１ ０ — — — 七 ） Ｑ一是ＯＭ ．
第 ２ ７卷 第 ４期
２１ ０ １年 ８月
大 学 数 学
ＣＯ ＩＬＥＧ Ｅ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ Ｍ ＣＳ
Ｖ ｏ１ ２ № ． ． ７， ４
Ａ ｕ ．２ ｌ ｇ ０１
关 于 维 单 形 的两 个 轨 迹 定 理
曾建 国 ， 曹 新 ， 熊 曾润
（ 南 师 范学 院 数 学 与 计 算 机 科 学 学 院 ， 西 赣 州 ３ １ ０ ） 赣 江 ４ ０ ０
显 然 ， 这个 定 义 ， 维单 形 的 １ 心 和 ＋１号 心 ， 按 号 就是 该 单 形 的 垂 心［ 重 心 ． 和 由此 可知 ， 维
单形 的 ｋ号 心概 念 ， 它 的垂 心 和重心 概 念 的统一 推 广 ， 外延 是极 其 广 阔的． 是 其
定义２ 在ｎ Ｅ 维欧氏空问Ｅ 中， 设 维单形 ∑ （ ） Ａ 的外接超球面为Ｓ ０Ｒ ， 一 （ ，）那么， 以单形