新无穷小比较1-7

tan 2 x ~ 2 x .
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限．
例6
( x 1) sin x 求 lim . x0 arcsin x
当 x 0时 , sin x ~ x , arcsin x ~ x .

x cos( a bx )
lim f ( x ) f ( 1) .
练习题答案
3
一、1、 ； 2
0, m n 2、 1, m n ；3、2； , m n
a 6、 ； n
e ； 2、
4、 ；
5、 x ；
1
7、3；
1 8、 , 2. 2
二、1、 ； 2
2

1 2
,
故当 x 0 时， cos x与 x 2是同阶的无穷小. 1
( 2) 因为lim
x 2
tan( x-2) ( x-2)
4 3
lim
x 2
tan( x-2)
4 3
4 3
( x-2)
1 3
0
( x-2) 所以当 x 2时, tan( x- 2) 是x- 2的高阶无穷小，
x ~ sin x ~ tanx ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x ) ~ e x 1 a 1 ~ x ln a , 1 cosx ~
x
1 2
x ,
2
(1 x ) 1 ~
1 n
x n
二、等价无穷小代换
定理２(等价无穷小代换定理) 设在自变量 x的同一 变化趋势下， ,,,都是无穷小,且 ~ , ~ , lim f ( x )存在或为无穷大, 则 lim f ( x ) lim f ( x ). 证 lim f ( x ) lim( ) f ( x )
lim lim f ( x ) lim lim f ( x ).
例5
tan 2 2 x 求 lim . x0 1 cos x
1 2 解 当 x 0时 , 1 cos x ~ x , 2 ( 2 x )2 原式 lim 8. x 0 1 x2 2
三、小结
1、无穷小的比较
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.
高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
2、等价无穷小的代换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
思考题
任何两个无穷小都可以比较吗？
思考题解答
不能．
例当 x 时
1 sin x 都是无穷小量 f ( x ) , g( x ) x x g( x ) lim sin x 不存在且不为无穷大 但 lim x f ( x ) x
x0
1 cos mx e
x2
1
; ( 2 ) lim
x0
5 x 2 2(1 - cos 2 x ) 6 x 4sin x
3 2
.
例9 求 lim
x0
1 cos x 1 cos x

.
作 业 P60 3.(1)(4)(5)(7)(8) 4. 5.(2) 6.(1) (2)(5)(6)(8)
tan x sin x为x的三阶无穷小 .
例3 当 x 0时 , 试确定下列无穷小的阶.
(1)
3 x4

1 x3;
( 2) x x x .
例4 证明: 当 证:
时,
～
( a 1) ( a n 1 a n2 a 1) a 1
n
～
定理1 与 是等价无穷小的的充分 必要条件 为 o( ).
1
练 习 题
6、 lim
x0
(1 ax ) n 1 x
=_________.
7、当 x 0 时， a x 3 a ( a 0 ) 对于 x 是_______阶无穷小 . n 8、当 x 0 时，无穷小 1 cos x 与 mx 等价，则 m _______, n _______ . 二、求下列各极限： tan x sin x lim 1、 ； 3 x0 sin x e e lim 2、 ； sin x sin x 3、 lim ； x0 x tan x tan a 4、 lim ； xa xa
证
设 ~ ， lim lim 1 0，
必要性
o( )，即 o( )．
充分性
设 o( )．
o( ) o( ) lim （１＋ ） 1， lim lim ~ ．
( 4 ) 如果 lim 无穷小 .
k
C 0 , k 0 , 就说 是 的 k 阶的
例1 比较下列各对无穷小
(1) x 0， cos x与 x 2 ( 2 ) x 2 , tan( x- 2 ) 与 x- 2 1
解 (1) 因为 lim
x 0
4 3
1 cosx x
三、 证明：若 , 是无穷小，则 ~ 0( ) . 四、设 f(x)= lim
2 n x 2n 1 求：1、 f ( x ) 的表达式 . 2、确定 a, b 的值,使得 lim f ( x ) f (1) ，
x 1 x 1
x
2 n 1
sin
； 4、sec 2 a . 3、
sin 2 x x , x 1 1 cos( a b ) , x 1 2 1 cos( a b ) , x 1 2 cos( a bx ), x 1 四、1、 ； 2、 a 2 k ( k 0 , 1, ) , b 0 .
故当 x 时 f ( x ) 和 g ( x ) 不能比较.
一、填空题： tan 3 x lim 1、 =__________. x 0 sin 2 x arcsin x n 2、 lim =________. x 0 (sin x ) m ln( 1 2 x ) 3、 lim =_________. x0 x 1 x sin x 1 4、 lim =________. 2 x0 x arctan x x lim 2 n sin n =________. 5、 n 2
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, 当 x 0时 ,
sin x x o( x ),
1 2 1 cos x x o( x 2 ). 2
sin x ~ x , 1 2 1 cos x ~ x . 2
y 1 2 x 2
y 1 cos x
常用等价无穷小: 当 x 0时 ,
解
( x 1) x lim ( x 1) 1. 原式 lim x0 x0 x
注意
不能滥用等价无穷小代换.
切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小不能分别代换.
tan x sin x 例7 求 lim . 3 x0 sin 2 x
错 解 当 x 0时 , tan x ~ x , sin x ~ x . x x 原式 lim x0 3 0. (2 x ) 解 当 x 0时 , sin 2 x ~ 2 x , 1 3 tan x sin x tan x (1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2 . 原式 lim 3 x 0 ( 2 x ) 16 例8 求 (1) lim
4 3
而 lim
x 2
tan( x-2) ( x-2)
4 3
4 3
故 1， tan( x- 2 ) 是 x- 2的时 , tan x sin x为 x的三阶无穷小 . 解 lim
tan x sin x x3
x0
1 sin x 1 cos x lim ( ) 2 x 0 cos x x x 1 sin x 1 cos x 1 lim lim lim , 2 x 0 cos x x 0 x0 x 2 x
lnlim二等价无穷小代换定理2等价无穷小代换定理limlimlimlimlimtanlim若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换而不会改变原式的极限
第一章
第七节
无穷小的比较
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小的比较
1 例如, 当 x 0时 , x , x , sin x , x sin 都是无穷小 . x x2 观 lim0 3 x 0, x 2比 3 x要快得多 ; x 察 各 lim sin x 1, sin x与x大致相同 ; 极 x0 x 1 限 2 x sin x lim sin 1 lim 0 不存在 . 不可比. 2 x0 x0 x x （ 型） 0
2 2
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小 , 记作 o( )； ( ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小． ２ ( 3 ) 如果 lim C 0 , 就说 与 是同阶的无穷小 ; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;