1对数不等式的解法
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对数不等式的解法
典型例题：
例1 解不等式2)1(log 3≥--x x 。
解：原不等式等价于 ⎪⎩⎪⎨⎧-≥->->-2)3(11301x x x x 或⎪⎩
⎪⎨⎧-≤-<-<>-2)3(113001x x x x 解之得：4<x ≤5 ∴原不等式的解集为{x |4<x ≤5}
例2 解关于x 的不等式： )1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a
解：原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a
当a >1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x （其实中间一个不等式可省）
当0<a <1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或
∴当a >1时不等式的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x ； 当0<a <1时不等式的解集为{}
42<<x x 。
例3 解关于x 的不等式x x a a log 1log 5+>-。
解：原不等式等价于 Ⅰ：⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+>-≥+0log 5)log 1(log 50log 12x x x x a a a a 或 Ⅱ：⎩⎨⎧≤+≥-01log 0log 5x x a a 解Ⅰ：1log 1<≤-x a
解Ⅱ：1log -≤x a ∴1log <x a
当a >1时有0<x <a 当0<a <1时有x >a
∴原不等式的解集为{x |0<x <a , a >1}或{x |x >a , 0<a <1} 例4 解不等式2
4log a x x x x a >。
解：两边取以a 为底的对数：
当0<a <1时原不等式化为：2log 29)(log 2-<
x x a a ∴0)1log 2)(4(log <--x x a a 4log 2
1<<x a ∴a x a <<4 当a >1时原不等式化为：2log 2
9)(log 2->x x a a ∴0)1log 2)(4(log >--x x a a
∴ 2
1log 4log <>x x a a 或 ∴a x a x <<>04或 ∴原不等式的解集为}10,|{4<<<
<a a x a x 或}1,0|{4><<>a a x a x x 或。