第九章 管内流体流动

混合长度理论假定由于流体微团横向运 动而引起的速度差U 1 或 U 2 ，等于 为y点处的纵向脉动速度 U ' ，故有：
umax 2umean pR 4 L
2
(9-7) (9-8)
pR4 qv 8L
在切应力分布式(9-6)中取r＝R得到管壁上 的切应力τ0 为
p R 0 L 2
(9-9)
9.2.2 流动阻力

阻力损失

速度分布式(9—5)说明，流体在管内流 功的代价是其压力沿管程方向下降 原因是流体流动时要克服管壁摩擦阻力 因管壁摩擦阻力产生的压降称为流动阻 力损失

湍流的强度

在湍流流动中，脉动量显然是标志流体 湍流脉动程度的重要参数 例如，风洞气流流场性能优劣的评价指 标之一就是脉动


由于脉动量的平均值为零，因此常常用脉 动量的均方根值来反映湍流脉动的强烈程 度，称为湍流强度，通常用符号I表示，即
I u
2
(9-3)

有时用脉动量的均方根值与时均速度之比 表示湍流强度，称为相对湍流强度用I r表 示， 即：
解
平均流速
umean 4qv 4 2010 2.55m / s 2 2 D 0.1
3
因为雷诺数： Re umean D 1260 2.55 0.1 357 2300

0.9
所以流态为层流，可按式（9-11）计算出沿程压 头损失：
64 L u 64 60 2.55 hf 35.6m Re D 2 g 357 0.1 2 9.81
第九章 管内流体流动
前言

管内流动具有广泛的应用背景:

通过管内配送工业及城市生活用水 采用长输管道远距离输送石油和天然气 等
本章将重点讨论


管内层流流动和湍流流动的速度分布及 流动阻力 简要介绍非圆形管道和弯曲管道中的流 体流动
9.1 流体流动的内部结构

流体流动的内部结构是指流体微元尺度 上的流动状况 粘性流体流动中的速度分布、剪切力的 大小以及流动阻力等都是流动内部结构 的外在表现，因而与流动结构有密切的 关系
9.3 湍流的半经验理论

9.3.1 湍流假说——普朗特混合 长度理论
雷诺应力


流体作层流流动时，流体层之间存在着 由流体本身粘性作用引起的切应力 而流体作湍流流动时，流体层之间除了 存在着这种切应力之外，还存在着由湍 流脉动引起的附加切应力，这种附加切 应力称为湍流切应力或称为雷诺应力 (Reynolds stress)


设管子轴向坐标为x，径向坐标为y，按 式(5—16)和式(5—17)
半径为 R 的水平圆管内充分发展层流的 速度分布和切应力分布为

p 2 2 ur (R r ) 4 L p r rx L 2
(9-5)
(9-6)
式中，Δp为管段长度L所对应的压力 降,μ为流体粘度
由速度分布式(9—5)不难得到管内流体的 最大速度 umax (管中心线上)、平均速度 umean和体积流量qv为



从本质上看，层流时染色线保持光滑 直线，是因为流体运动规则、稳定， 流体层之间没有宏观的横向掺混(但分 子扩散是存在的) 湍流时，流体在总体上沿管道向前流 动，同时还在各个方向作随机脉动， 流体层之间出现显著的横向掺混，从 而使得染色线抖动、弯曲、直至断裂 冲散
流态的判定

流动从层流型态过渡到湍流型态的过程是 一个流动失稳的过程，称为流动型态的转 变
工程中常用“沿程压头”损失 hf 来表示流 动阻力损失，即
p 8Lqv hf 4 g R g
(9-10)
沿程压头损失，也可用平均速度来表示 将式(9-7)代入上式有
8Lumean 64Lu 64 L u h f 4 R g Dumean D2 g Re D 2 g
(9-16b)

实验证明：在湍流中湍流粘性系数或运 动涡粘性系数，都是随空间和时间变化 的函数，这是湍流粘性系数与流体动力 粘度 的重要区别之一
普朗特(Prandtl)混合长度理论

1925年，普朗特(Prandtl)提出混合长度 理论

其基本思想是：湍流中流体微团的不规 则运动与气体分子的热运动相似 因此，可借用分子运动论中建立粘性应 力与速度梯度之间关系的方法，来研究 湍流中雷诺应力与时均速度之间的关系
2 mean 2 mean
(9-11)

其中，D＝2R 为管道直径

Re
du

为雷诺数
阻力系数

阻力系数 (亦称为沿程摩擦系数)是按著 名的达西—怀斯巴赫(Darcy· Weisbach)公 式定义的，即
Lu hf D 2g
2 mean
(9-12)
比较式(9-l1)和式(9-12)可知，对于管内充 分发展的层流流动，阻力系数λ为:

将 u ( y l ) 在 y 点处校泰勒级数展开， 略去高阶小量，可得
dU dU (U )l [U ( y) ( ) y l ] u( y) l ( )y dy dy

类似地，对于流体微团由 y-l 到 y 点 处的迁移，其引起的时均速度差值为
dU dU (U ) 2 [U ( y) ( ) y l ] U ( y) l ( )y dy dy

实验时，保持容器内液位不变，逐渐 开启玻璃管阀门

当管内流体流速不大时，染色细流体 的运动呈一条直线表明流体层之间互 不接混，流动处于层流型态，称为层 流流动

再开大阀门，当流速达到某一但时， 染色细线散开，产生许多小旋涡，开 始颤动
最终与主体水流掺混在一起，使水染 色。此时，流动处于紊流型态，称为 湍流流动，也叫紊流流动
将湍流瞬时速度代入N—S方程并作时均化 处理．可得雷诺应力与脉动速度的关系为
( yx )T V 'U '
(9-15)

式(9—15)对应于x-y平面直角坐标，其 中V '、 ' 分别表示y、x方向的脉动速度 U 粘性切应力是由流体层间分子扩散进而 产生动量横向传递引起的


而雷诺应力是由流体微团的脉动进而产 生动量横向传递引起的
64 Re
(9-13)

值得指出的是，对于不能确定速度分布 的复杂管道流动、包括非圆形截面的管 道、弯曲管道等等，可按式(9—12)实验 确定阻力系数λ 然后将其拟合成经验公式，用于设计计 算

例9—1 管道出口压力与壁面切应力 流量为20 L／s的甘油流过一根长60 m、 直径为100 mm的水平圆管。甘油的 粘度μ＝0.9Pa· s，密度ρ＝ 1260 kg／ m3，进口压力为590 kN/m2。若忽略 进口效应，求出口压力及管道壁而上 的切应力


结果使该点处流体产生 x 方向的随机脉 动U '
其大小取决于靠近 y 点处的时均速度分 布和混合长度 l 的大小


借助于图9—6 上述概念，可用数学公 式来描述
流体微团从 y+l 处移动到 y 点处时，其 时均速度与 y 点处流体的时均速度差为：

(U )l U ( y l ) U ( y)
Ir
u / u
2
(9-4)
9.2 圆管内充分发展的层流流动

不可压缩流体在圆管内作层流流动时， 在距管道入口相对远处，流体的速度分 布将不再随流动距离发生变化，这种流 动称为充分发展的层流流动

将管子轴向设为x，则充分发展意味 着：
u 0 x
9.2.1 速度与切应力分布

在5.3.1节中已详细讨论了充分发展的层 流流动问题 在此仅列出速度分布和切应力分布的主 要结果
因此，湍流流动时流体内部的切应力可表 示为：
( yz )e yx ( yz )T
(9-14)

其中，(τyx)e表示湍流流体的切应力，称 为有效切应力 (τyx)T是湍流脉动产生的附加应力，即 雷诺应力



τyx是通常意义的粘性切应力
按通常约定，下标y表示切应力作用面与 y方向垂直，x表示应力方向


9.1.2 湍流的基本特征

湍流的时均速度和脉动速度 对于稳态层流流动，其速度不随时间变 化，只随空间位置变化，在某一测量点 处测得的速度随时间的变化如图9-2所示


对于湍流流动，由于流体质点在随主流 流动过程中还有随机脉动

因此在稳态流场中某一点测得的速度曲 线将如图9—3所示

该图表明，虽然速度U的瞬时变化无规 律可循，但由于是稳态流动，所以瞬时 速度的时间平均值U 是常量 因而可将湍流瞬时速度U 视为一个不随 时间变化的常量 U (称为时均速度)与一 个随时间随机变化的脉动量 U ' 相叠加的 结果 即 U U U' (9—1)


普朗特因此想法引进了—个与气体分子 子自由程相对应的概念——混合长度l
并在此基础上建立了一个比式(9—16)更 直观的湍流模型


如图9—5所示，在任意时间间隔，从流 场中的 y+l 点处或 y-l 点处有一个流体微 团到达y点 假定：流体微团到达 y 点时，仍保持原 所在区域的时均速度U ( y l ) 或 U ( y l ) ，流体微团的到达，使 y 点 流体的动量发生了突然的变化

在非稳态流动条件下，流场中某一点测得的 速度曲线将如图9—4所示

这种情况下湍流的时均速度U 也随时间 发生变化

但这种变化是因为非稳态流场中主体流 动本身 指的是
1 u ( x, y , z, t ) t
t t
u( x, y , z, t )dt (9-2)
dU ( yx )T T dy
(9-16a)

将式(9—16a)与牛顿剪切定理比较可见 系数 T 与动力粘度 有类似之处 故将 T 称为涡粘性系数或湍流粘性系数 仿照运动粘度，定义运动涡粘性系数 ＝ T /



式(9-16a)可改写为:
dU ( yz )T dy

式中t 表示时间平均周期，它比脉动周 期大得多 另一方面又比非稳态流动的特征时间小 得多


由(9—2)式可知，脉动速度U’的时均值 为零

通常，将时均速度 U 不随时间变化的湍 流流动，称为稳态湍流(对应于稳态流场)
而将时均速度 U 随时间变化的湍流， 称为非稳态湍流(对应于非稳态流场)

转变点的判定指标是雷诺数 Re
du

从层流转换到湍流所对应的雷诺数称为 临界雷诺数

大量实验表明，临界雷诺数不是一个固 定不变的常数。它与近口处的扰动、管 道入口形状及管壁粗糙度等因素有关

如果扰动量大，管道处不平滑，管壁较 粗糙，则临界雷诺数要小些，反之，临 界雷诺数要大些

在通常条件下，雷诺实验表明，当Re＜ 2300时，一般为层流 当只Re ＞4000时，一般为湍流 当2300＜ Re ＜4000时，可能是层流， 也可能是湍流，与流动环境有关，称为 过渡区
2 m 2
压力降：
p ghf 1260 9.81 35.6 4.40105 N / m2
出口压力:
p2 p1 p 590 440 150kN / m
按式（9-9），壁面处流体的切应力为:
2
pD 4.40 105 0.1 0 183N / m2 0.183kN / m2 4L 4 60

9.1.1 层流与湍流

流动型态 1883年，著名的雷诺(Reynolds)实验揭 示出粘性流动有两种性质不同的型态， 层流和湍流
下图所示为雷诺实验示意图


一个充满水的容器与一根水平玻璃管连 接，连接管口呈喇叭形 容器内放置一装有染色示踪剂的小容器， 并用一根细管将示踪剂引导到玻璃管喇 叭口的前方，使其轴心线与玻璃管重合 实验时，保持容器内液位不变，逐渐开 启玻璃管阀门，当管内流体流速不大时, 染色细流体的运动呈一条直线，表明流 体层之间互不掺混，流动处于层流型态， 称为层流流动

对于牛顿型流体，粘性切应力可通过牛 顿剪切定理将其与速度联系起来 而雷诺应力因影响因素较多，目前只能 通过假设将其与时均速度联系起来，即 所谓的湍流模型

布辛聂斯克(Boussinesq)涡粘性假设

布辛聂斯克认为： 由流体微团动量横向传递产生的雷诺 应力与粘性切应力的产生有类似之处 既然粘性切应力可用牛顿剪切定理来 表示，那么流体作一维稳态湍流流动 时雷诺应力亦可类似表示为