推荐-江苏省如皋中学2018年1月份高三期末考试数学试卷及解答 精品

江苏省如皋中学2018 2018学年度第一学期高三期末考试
数学试卷18.01
第Ⅰ卷
一、选择题：（每小题5分，12小题，共60分）
1下列命题中：⑴ 函数)(x f y =的图象与)(y f x =的图象关于直线x y =对称；⑵ 若
)()(x f x f --=，
则函数)(x f 的图象关于原点对称；⑶ 若)()(x f x f -=，则)(x f 的图象关于y 轴对称；⑷ 函数)(x f y =的图象与)(x f y -=的图象关于x 轴对称，其中真命题是
A ⑵⑶
B ⑵⑶⑷
C ⑴⑵⑶
D ⑴⑵⑶⑷ 2 设1,0≠>a a ，函数x y a log =的反函数和x
y a
1
log =的反函数的图象关于 A x 轴对称 B y 轴对称 C 直线x y =对称 D 原点对称 3 点P （θθcos ,sin ）在角α的终边上，则角α的值为 A θ B Z k k ∈+,θπ C
θπ
-2
D ,2
k k Z π
πθ+
-∈
4 设θ是三角形的内角，若函数6cos 4sin )(2
+-=θθx x x f 对一切实数x 都有
0)(>x f ，则θ的取值范围是
A )6,
0(π
B )65,6(ππ
C )6
,0(π∪),65(ππ D )32,3(π
π
5 若定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在[2,3--]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，则
A )(cos )(sin βαf f >
B )(cos )(sin βαf f <
C )(sin )(sin βαf f >
D )(cos )(cos βαf f > 6 为得到函数x y 3sin =的图象，只需将函数x y 3cos =的图象
A 向左平移
3π个单位 B 向右平移2π
个单位 C 向左平移6π个单位 D 向右平移6
π
个单位
7 在△ABC 中，=，=，若0>⋅，则三角形ABC 是
A 锐角三角形
B 直角三角形
C 钝角三角形
D 等腰直角三角形 8 将函数122+--=x x y 的图象按向量平移，得到函数2x y -=的图象，则的坐标为 A )2,1( B )2,1(- C )2,1(- D )2,1(-- 9 已知数列{}n a （N n ∈*）中，11=a ，n
n
n a a a 211+=+，则这个数列的第n 项为
A 12-n
B 12+n C
121-n D 1
21
+n 10 设双曲线122
22=-b
y a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线l 过（0,a ），（b ,0）两点，
已知原点到直线l 的距离为
c 4
3
，则双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 2 D
33
2 11 若]2
,
0[π
θ∈，则椭圆0sin 4cos 22222=+-+θθy x y x 的中心的轨迹是
12 在边长为a 的菱形ABCD 中，∠BAD=
3π，将△BAD 绕BD 旋转3
2π后点A 到达点A /，则三棱锥A /-BCD 的体积为 A 3161a B 3163a C 31633a D 3
16
39a
江苏省如皋中学2018 2018学年度第一学期高三期末考试
数学试卷
第Ⅱ卷
二、填空题：（每小题4分，4小题，共16分）
13 若存在常数0>p ，使得函数)(x f 满足)2
()(p
px f px f -
=（R x ∈）恒成立，则)(x f 的一个正周期为________ 14 设A={
}
1|),(2-=
x y y x ，B={}a x y y x +=|),(；
⑴ 若A ∩B=φ，则满足条件的a 组成的集合是_____________________
⑵ 若A ∩B 为单元素集，则满足条件的a 组成的集合是_________________
15 已知F 1，F 2分别是椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的两焦点，点P 在椭圆上，△POF 2
是面积为3的正三角形，则2
b 的值是____________
16 某湖中有四个小岛,拟在四个小岛之间建三座桥，使四岛相连，共有________种不同的
建桥方案。

三、解答题：
17 解关于x 的不等式a x a x -≤-224 （0>a ）
18 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若△ABC 的外接圆的半径R=3，
且
b
c
a B C -=2cos cos ，分别求出B 和
b 的大小。

19 在正四棱锥P-ABCD 中，AB=a 2，E 为PD 的中点，O 为底面ABCD 的中心，侧面PAD
与底面ABCD 所成的角二面角为600。

⑴ 证明：AC ⊥平面PBD ；
⑵ 求异面直线EA 与PC 所成的角的正切值。

20设等比数列{}n a 中，公比1≠q ，n n a a a S +++= 21，n
n a a a T 11121+++=。

⑴ 用1a ，q ，n 表示
n
n
T S ； ⑵ 若113T S -
，33
T S ，5
5T S 成等差数列，求q ； ⑶ 在⑵的条件下，设11=a ，1
23121-++=
n n a n
a a R
，求证：49<n R
21 甲、乙容器中有浓度为25%和75%的盐酸溶液各8克，从甲溶液往乙容器倒入4克溶
液，摇匀后，再从乙容器往甲容器倒入4克溶液为一次操作，这样的操作反复进行。

⑴ 求操作n 次后，甲容器与乙容器中的纯盐酸分别为多少克？ ⑵ 欲使甲容器中的溶液浓度大于48%，问至少操作多少次？
22 已知函数c bx ax x f ++=2)(（R c b a ∈,,），当]1,1[-∈x 时，|)(x f |≤1。

⑴ 求证：1||≤b ；
⑵ 设a bx cx x g ++=2)(，证明：当]1,1[-∈x 时，2|)(|≤x g ； ⑶ 若1)0(-=f ，1)1(=f ，求实数a 的值。

江苏省如皋中学2018 2018学年度第一学期高三期末考试
数学试卷答案
一、 选择题：
⑴—⑸：DBDBA ⑹—⑽：DCBCA ⑾—⑿：DB
二、 填空题：
（13）
2
p
（14） ⑴ {}|101a a a <-≤<或 ⑵ {}|101a a a -≤<≥或 （15）
（16） 16
三、 解答题：
（17）原不等式可化为：222220404()x a x a x a x a -≥⎧
⎪
-≥⎨⎪-≤-⎩
⇒
225/2x a x a x a x a ≥⎧
⎪
≤-≥⎨⎪≤⎩
或 522a a x ⇒≤≤ ∴ 原不等式的解集为5[2,
]2
a
a 。

（18）在△ABC 中，由正弦定理知：
2sin sin sin a b c
R A B C
===
∴a A =
b B =
s i n c C = ∴
b c a B C -=2cos cos 可化为：cos 2sin sin cos sin C A C
B B
-= 整理得：sin (2cos 1)0A B -= 又sin 0A ≠ ∴2cos 10B -=
⇒ 1cos 2
B =
60B ⇒=
∴3b B === （19）① 证明：连PO ，易证：PO ⊥面ABCD ∴PO ⊥AC
又AC ⊥BD ，BD 和PO 是面PBD 内的两相交直线 ∴AC ⊥面PBD
② 解：以O 为原点，过AD 的中点M 的射线为x 轴，过AB 中点N 的射线为y 轴，
OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
设A (,,0)a a ，
P )，D (,,0)a a -，C (,,0)a a --
∴
E (,,)222
a a a -
，
∴3(,22a a AE =-- ）
，(,,P C a a =---
∴
cos ,||||AE PC AE PC AE PC ∙<>==
∴tan ,8AE PC <>=
（20）① 由题意得：1(1)
1n
n a q S q -=-，111(1)11n n a q T q
-=-
∴
211n n
n
S a q T -= ② 由题意：2
351351
3S S S T T T =- 2224
211123a q a q a ⇒=- 42230q q ⇒--=
2
2
(3)(1)0q q ⇒-+= 2
3q ⇒=
q ⇒= ③ 由②知道：
1
21
3n n n n a --=
∴ 21231333
n n n R -=+
+++ 21112133333
n n n n n R --=++++
两式相减得：212111133333n n n n
R -=++++-
∴1991319
443234
n n n R +=--<
（21）①设操作n 次后，甲、乙两容器中的纯盐酸分别为n a 、n b 克
则：125%475%810
25%44123
a ⨯+⨯=⨯+
⨯=
1114(25%875%8)3
b a =⨯+⨯-= 111111
()232
n n n n a a a b ---=
++ 而118n n a b --+=
∴11833
n n a a -=
+ 11
4(4)3
n n a a -⇒-=-
∴{}4n a -是首项为23
-，公比为1
3的等比数列
∴1
214()33n n a --=-
1214()33n n a -⇒=- 121
4()33n n b -=+ *n N ∈
② 依题意：48%8n a
>
⇒ 1214() 3.8433n --> 130.24n -⇒< 325
log 2
n ⇒>
又n 为自然数
∴n 的最小值为3
故至少3次能达到要求。

（22）① 证明：∵c bx ax x f ++=2
)(
∴(1)f a b c =++
(0)
f c = (1)f a b c -=-+ ∴1
[(1)(1)]2
b f f =
-- 又当]1,1[-∈x 时，|)(x f |≤1 ∴|(1)|1f <，|(1)|1f -< ∴1|||
[(1)(1)]|2b f f =--≤1
[|(1)||(1)|]2
f f +-1≤ ② 由①知：(1)f a b c =++
(0)
f c = (1)f a b c -=-+
∴a bx cx x g ++=2)( 2
11
(0)(1)(1)(1)(1)(1)22
f x f x f x =-+
++-- 又]1,1[-∈x 时，2
10x -≤，10x +≥，10x -≥ ∴|()|g x 2
11
|(0)(1)(1)(1)(1)(1)|22f x f x f x =-+
++-- 2
11|(0)(1)||(1)(1)||(1)(1)|22f x f x f x ≤-+++--
2
11|(1)||(1)||(1)|22
x x x ≤-+++-
= 2
2x - ≤2
③ ∵]1,1[-∈x 时，|)(x f |≤1
∴]1,1[-∈x 时，()f x 的最大值小于或等于1，()f x 的最小值为1- 又1)0(-=f ，1)1(=f ∴()f x 在0x =时取得最小值-1
∴(0)1
021
f c b a a b c ==⎧⎪⎪-=⎨⎪++=⎪⎩ 2a ⇒=。