册亨县一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

册亨县一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为（）
A．B．
C．D．
2．已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y+7=0相交于A，B两点，且•=4，则实数a 的值为（）
A．或﹣B．或3 C．或5D．3或5
3．已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（）
A．a=3 B．a=﹣3 C．a=±3 D．a=5或a=±3
4．已知集合A={y|y=x2+2x﹣3}，，则有（）
A．A⊆B B．B⊆A C．A=B D．A∩B=φ
5．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A．15B．
C．15D．15
【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．
6．已知直线y=ax+1经过抛物线y2=4x的焦点，则该直线的倾斜角为（）
A．0 B．C．D．
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．
16
16
3
π-B．
32
16
3
π-C．
16
8
3
π-D．
32
8
3
π-
【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．
8．已知α是△ABC的一个内角，tanα=，则cos（α+）等于（）
A． B．C．D．
9．等比数列{a n}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a6=（）
A．3 B．C．±D．以上皆非
10．与函数y=x有相同的图象的函数是（）
A．B．C．D．
11．已知f（x）为偶函数，且f（x+2）=﹣f（x），当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x；若n∈N*，a n=f（n），则a2017等于（）
A．2017 B．﹣8 C．D．
12．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m n+的值是（）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
【命题意图】本题考查样本平均数、中位数、茎叶图等基础知识，意在考查识图能力和计算能力．
二、填空题
13．设变量y x ,满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
，则22(1)3(1)z a x a y =+-+的最小值是20-，则实数
a =______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 14．定义)}(),(min{x g x f 为)(x f 与)(x g 中值的较小者，则函数},2min{)(2x x x f -=的取值范围是
15．定义：[x]（x ∈R ）表示不超过x 的最大整数．例如[1.5]=1，[﹣0.5]=﹣1．给出下列结论： ①函数y=[sinx]是奇函数；
②函数y=[sinx]是周期为2π的周期函数； ③函数y=[sinx]﹣cosx 不存在零点；
④函数y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}．
其中正确的是 ．（填上所有正确命题的编号）
16．曲线y=x+e x 在点A （0，1）处的切线方程是 ．
17．若命题“∃x ∈R ，x 2﹣2x+m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是 ． 18．若复数34
sin (cos )i 55
z αα=-
+-是纯虚数，则tan α的值为 . 【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力．
三、解答题
19．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]． （1）求图中a 的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60o
ABC ∠=，侧面PDC 为等边三角形，
且与底面ABCD 垂直，M 为PB 的中点． （Ⅰ）求证：PA ⊥DM ；
（Ⅱ）求直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值．
21．已知曲线2
1
()f x e x ax
=+（0x ≠，0a ≠）在1x =处的切线与直线2(1)20160e x y --+= 平行．
（1）讨论()y f x =的单调性；
（2）若()ln kf s t t ≥在(0,)s ∈+∞，(1,]t e ∈上恒成立，求实数的取值范围．
22．已知集合A={x|x ＜﹣1，或x ＞2}，B={x|2p ﹣1≤x ≤p+3}．
（1）若p=，求A ∩B ；
（2）若A ∩B=B ，求实数p 的取值范围．
23．已知f （x ）=x 3+3ax 2+bx 在x=﹣1时有极值为0． （1）求常数 a ，b 的值；
（2）求f （x ）在[﹣2，﹣]的最值．
24．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC．
（Ⅰ）求证：AB⊥SC；
（Ⅱ）设D，F分别是AC，SA的中点，点G是△ABD的重心，求证：FG∥平面SBC；（Ⅲ）若SA=AB=2，AC=4，求二面角A﹣FD﹣G的余弦值．
册亨县一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：由于椭圆的标准方程为：
则c2=132﹣122=25
则c=5
又∵双曲线的离心率
∴a=4，b=3
又因为且椭圆的焦点在x轴上，
∴双曲线的方程为：
故选A
【点评】运用待定系数法求椭圆（双曲线）的标准方程，即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），双曲线方程可设为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），由题目所给条件求出m，n即可．
2．【答案】C
【解析】解：圆x2
+y2+2x﹣4y+7=0，可化为（x+）2+（y﹣2）2=8．
∵•=4，∴2•2cos∠ACB=4
∴cos∠ACB=，
∴∠ACB=60°
∴圆心到直线的距离为，
∴=，
∴a=或5．
故选：C．
3．【答案】B
【解析】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，
∴2a﹣1=9或a2=9，
当2a﹣1=9时，a=5，A∩B={4，9}，不符合题意；
当a 2
=9时，a=±3，若a=3，集合B 违背互异性；
∴a=﹣3． 故选：B ．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题．
4． 【答案】B
【解析】解：∵y=x 2+2x ﹣3=（x+1）2
﹣4，
∴y ≥﹣4． 则A={y|y ≥﹣4}． ∵x ＞0，
∴
x+≥
2
=2（当
x=，即x=1时取“=”），
∴B={y|y ≥2}， ∴B ⊆A ． 故选：B ．
【点评】本题考查子集与真子集，求解本题，关键是将两个集合进行化简，由子集的定义得出两个集合之间的关系，再对比选项得出正确选项．
5． 【答案】C
【解析】还原几何体，由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，且VE ^平面
ABCD ，如图所示，所以此四棱锥表面积
为1S =262创
?11
23+2
2622
创创?
15=，故选C ．
46
46
10
10
1
1
32
6
E V
D C
B
A
6． 【答案】D
【解析】解：抛物线y 2=4x 的焦点（1，0），直线y=ax+1经过抛物线y 2
=4x 的焦点，可得0=a+1，解得a=﹣1， 直线的斜率为﹣1，
该直线的倾斜角为：．
故选：D ．
【点评】本题考查直线的倾斜角以及直线的斜率的关系，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
7． 【答案】D
【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为21132
244428233
V =π⨯⨯-⨯⨯⨯=π-，故选D ． 8． 【答案】B
【解析】解：由于α是△ABC 的一个内角，tan α=，
则
=，又sin 2α+cos 2α=1，
解得sin α=，cos α=（负值舍去）．
则cos （α+）=cos cos α﹣sin sin α=×（﹣）=．
故选B ．
【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和商数关系，考查两角和的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．
9． 【答案】C
【解析】解：∵a 3，a 9是方程3x 2
﹣11x+9=0的两个根， ∴a 3a 9=3，
又数列{a n }是等比数列，
则a
62
=a 3a 9=3，即a 6=±
．
故选C
10．【答案】D
【解析】解：A ：y=的定义域[0，+∞），与y=x 的定义域R 不同，故A 错误
B ：与y=x 的对应法则不一样，故B 错误
C ：=x ，（x ≠0）与y=x 的定义域R 不同，故C 错误
D ：，与y=x 是同一个函数，则函数的图象相同，故D 正确
故选D
【点评】本题主要考查了函数的三要素：函数的定义域，函数的值域及函数的对应法则的判断，属于基础试题
11．【答案】D
【解析】解：∵f （x+2）=﹣f （x ）， ∴f （x+4）=﹣f （x+2）=f （x ）， 即f （x+4）=f （x ）， 即函数的周期是4．
∴a 2017=f （2017）=f （504×4+1）=f （1）， ∵f （x ）为偶函数，当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ， ∴f （1）=f （﹣1）=， ∴a 2017=f （1）=， 故选：D ．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．
12．【答案】C
【解析】由题意，得甲组中
78888486929095
887
m +++++++=，解得3m =．乙组中888992<<，
所以9n =，所以12m n +=，故选C ．
二、填空题
13．【答案】2± 【
解
析
】
14．【答案】(],1-∞ 【解析】
试题分析：函数(){}
2
min 2,f x x x =-的图象如下图：
观察上图可知：()f x 的取值范围是(],1-∞。

考点：函数图象的应用。

15．【答案】 ②③④
【解析】解：①函数y=[sinx]是非奇非偶函数；
②函数y=[sinx]的周期与y=sinx 的周期相同，故是周期为2π的周期函数； ③函数y=[sinx]的取值是﹣1，0，1，故y=[sinx]﹣cosx 不存在零点；
④函数数y=[sinx]、y=[cosx]的取值是﹣1，0，1，故y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}． 故答案为：②③④．
【点评】本题考查命题的真假判断，考查新定义，正确理解新定义是关键．
16．【答案】 2x ﹣y+1=0 ．
【解析】解：由题意得，y ′=（x+e x ）′=1+e x
，
∴点A （0，1）处的切线斜率k=1+e 0
=2，
则点A （0，1）处的切线方程是y ﹣1=2x ，即2x ﹣y+1=0，
故答案为：2x ﹣y+1=0．
【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用点斜式方程求切线方程，注意最后要用一般式方程来表示，属于基础题．
17．【答案】 m ＞1 ．
【解析】解：若命题“∃x ∈R ，x 2
﹣2x+m ≤0”是假命题，
则命题“∀x ∈R ，x 2
﹣2x+m ＞0”是真命题，
即判别式△=4﹣4m ＜0， 解得m ＞1， 故答案为：m ＞1
18．【答案】34
-
【解析】由题意知3sin 05α-
=，且4cos 05α-≠，所以4cos 5α=-，则3tan 4
α=-. 三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）依题意，
根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得， 10（2a+0.02+0.03+0.04）=1， 解得a=0.005． ∴图中a 的值0.005．
（2）这100名学生语文成绩的平均分为：
55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05 =73（分），
【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解
20．【答案】
【解析】由底面ABCD 为菱形且60o
ABC ∠=，∴ABC ∆，ADC ∆是等边三角形， 取DC 中点O ，有,OA DC OP DC ⊥⊥，
∴POA ∠为二面角P CD A --的平面角， ∴90o
POA ∠=．
分别以,,OA OC OP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图，
则(0,1,0),
(0,1,0)A P D B C -． …… 3分
（Ⅰ）由M 为PB 中点，M ∴3
(DM =(3,0,3),PA =-0),0,DC PA DM PA DC =∴== ∴ PA ⊥DM …… 6分
（Ⅱ）由(0,2,0)DC =，0PA DC ⋅=，∴PA ⊥DC ， ∴ 平面DCM 的法向量可取(3,0,PA = …… (0,1,PC =， 设直线PC 与平面DCM 所成角为θ则sin |cos ,||
|4||||6PC PA PC PA PC PA θ⋅=<>===．即直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值为
4
．…… 12分 21．【答案】（1）()f x 在1(,)e -∞-，1(,)e +∞上单调递增，在1(,0)e
-，1(0,)e 上单调递减；（2）1[,)2
+∞. 【解析】
试题解析：（1）由条件可得2
21
'(1)1f e e a
=-
=-，∴1a =， 由21()f x e x x =+，可得222
22
11'()e x f x e x x -=-=，
由'()0f x >，可得2210,0,
e x x ⎧->⎨≠⎩解得1x e >或1
x e <-；
由'()0f x <，可得2210,0,
e x x ⎧-<⎨≠⎩解得10x e -<<或1
0x e <<．
所以()f x 在1(,)e -∞-，1(,)e +∞上单调递增，在1(,0)e -，1
(0,)e
上单调递减．
（2）令()ln g t t t =，当(0,)s ∈+∞，(1,]t e ∈时，()0f s >，()ln 0g t t t =>， 由()ln kf s t t ≥，可得ln ()
t t
k f s ≥在(0,)x ∈+∞，(1,]t e ∈时恒成立， 即max ln ()t t k f s ⎡⎤≥⎢
⎥⎣⎦max
()()g t f s ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，故只需求出()f s 的最小值和()g t 的最大值．
由（1）可知，()f s 在1(0,)e 上单调递减，在1
(,)e +∞上单调递增，
故()f s 的最小值为1
()2f e e
=，
由()ln g t t t =可得'()ln 10g t t =+>在区间(1,]e 上恒成立， 所以()g t 在(1,]e 上的最大值为()ln g e e e e ==，
所以只需122
e k e ≥
=， 所以实数的取值范围是1
[,)2
+∞.
考点：1、利用导数研究函数的单调性及求切线斜率；2、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
22．【答案】
【解析】解：（1）当
p=时，B={x|0≤x
≤}， ∴A ∩B={x|2＜x
≤}； （2）当A ∩B=B 时，B ⊆A ；
令2p ﹣1＞p+3，解得p ＞4，此时B=∅，满足题意； 当p ≤4
时，应满足，
解得p 不存在；
综上，实数p 的取值范围p ＞4．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵f （x ）=x 3+3ax 2
+bx ， ∴f'（x ）=3x 2
+6ax+b ，
又∵f （x ）在x=﹣1时有极值0，
∴f'（﹣1）=0且f（﹣1）=0，
即3﹣6a+b=0且﹣1+3a﹣b=0，
解得：a=，b=1 经检验，合题意．
（2）由（1）得f'（x）=3x2+4x+1，
令f'（x）=0得x=﹣或x=﹣1，
又∵f（﹣2）=﹣2，f（﹣）=﹣，f（﹣1）=0，f（﹣）=﹣，
∴f（x）max=0，f（x）min=﹣2．
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵SA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴SA⊥AB，又AB⊥AC，SA∩AC=A，
∴AB⊥平面SAC，
又AS⊂平面SAC，∴AB⊥SC．
（Ⅱ）证明：取BD中点H，AB中点M，
连结AH，DM，GF，FM，
∵D，F分别是AC，SA的中点，
点G是△ABD的重心，
∴AH过点G，DM过点G，且AG=2GH，
由三角形中位线定理得FD∥SC，FM∥SB，
∵FM∩FD=F，∴平面FMD∥平面SBC，
∵FG⊂平面FMD，∴FG∥平面SBC．
（Ⅲ）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，∵SA=AB=2，AC=4，∴B（2，0，0），D（0，2，0），H（1，1，0），
A（0，0，0），G（，，0），F（0，0，1），
=（0，2，﹣1），=（），
设平面FDG的法向量=（x，y，z），
则，取y=1，得=（2，1，2），
又平面AFD的法向量=（1，0，0），
cos＜，＞==．
∴二面角A﹣FD﹣G的余弦值为．
【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．。