2015届高考数学一轮总复习10-9随机变量的数字特征与正态分布课后强化作业(新人教A版)
高考数学一轮总复习 102统计图表、数据的数字特征和用样本估计总体课后强化作业 北师大版 (1)
"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习10-2统计图表、数据的数字特征和用样本估计总体课后强化作业北师大版"基础达标检测一、选择题1．某工厂生产滚珠，从某批产品中随机抽取8粒，量得直径分别为(单位：mm)：14.7,14.6,15.1,15.0,14.8,15.1,15.0,14.9，则估计该厂生产的滚珠直径的平均数为()A．14.8mm B．14.9mmC．15.0mm D．15.1mm[答案] B[解析]平均数x＝18(14.7＋14.6＋15.1＋15.0＋14.8＋15.1＋15.0＋14.9)＝14.9(mm)．2．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：组别(0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70] 频数1213241516137A．0.13 B．0.39C．0.52 D．0.64[答案] C[解析]由列表可知样本数据落在(10,40]上的频数为52，故其频率为0.52.3．(2013·陕西高考)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是()A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45[答案] D[解析] 解法1：用样本估计总体．在区间[15,20)和[25,30)上的概率为0.04×5＋[1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5＝0.45.解法2：由图可知，抽得一等品的概率P 1＝0.06×5＝0.3；抽得三等品的概率为P 3＝(0.02＋0.03)×5＝0.25.故抽得二等品的概率为1－(0.3＋0.25)＝0.45.4．(2012·安徽理，5)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 [答案] C[解析] 本题考查了数理统计中的平均数、中位数、方差、极差及条形图等问题． x －甲＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，x －乙＝15(5×3＋6＋9)＝6，甲的成绩的方差为15(22×2＋12×2)＝2，乙的成绩的方差为15(12×3＋32×1)＝2.4.故选C.5．(文)若M 个数的平均数是X ，N 个数的平均数是Y ，则这M ＋N 个数的平均数是( ) A.X ＋Y 2B.X ＋Y M ＋NC.MX ＋NY M ＋ND.MX ＋NY X ＋Y[答案] C[解析] 该题考查平均数的概念及运算．共有M ＋N 个数，这M ＋N 个数的和为(MX ＋NY )，故这M ＋N 个数的平均数为MX ＋NY M ＋N.(理)期中考试后，班长算出了全班40名同学的数学成绩的平均分为M .如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M N 为( )A ．4041B ．1 1C ．4140D ．21[答案] B[解析] 设40个人的成绩依次为a 1，a 2，…，a 40，则 M ＝a 1＋a 2＋…＋a 4040.当把该平均分M 当成一个人的分数时，41个分数的平均值为N ＝a 1＋a 2＋…＋a 40＋M41＝40M ＋M41＝M ， 故M N ＝11.6．(2013·山东高考)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图如图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169 B.367 C ．36 D.677[答案] B[解析] 去掉最高最低分后的数据为87,90,90,91,91,94,90＋x ，由x －＝91＝87＋90＋90＋91＋91＋94＋(90＋x )7得x ＝4，则方差S 2＝[(87－91)2＋(90－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2＋(94－91)2]＝367.二、填空题7．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图所示)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为123，第2小组的频数为12，则报考飞行员的总人数是________．[答案] 48[解析] 据频率分布直方图可得第4小组及第5小组的频率之和为5×(0.013＋0.037)＝0.25，故前3个小组的频率为1－0.25＝0.75，第2小组的频率为0.75×21＋2＋3＝0.25，又其频数为12，故总人数为120.25＝48(人)．8．(2013·江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892[答案] 2[解析] 本题考查统计中方差的计算．x －甲＝90，且S 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，x －乙＝90，且S 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2. 由于S 2甲>S 2乙，所求方差为2.9．如图所示，是海尔电视机厂产值统计图，产值最少的是第________季度，产值最多的是第________季度．第四季度比第二季度增产________%.[答案] 二 四 150[解析] 折线图描述某种现象在时间上的发展趋势．图中折线表示了海尔电视机厂四个季度产值先减少后增多，且第二季度最少，第四季度最多．第四季度比第二季度增产15万元，增产150%.三、解答题10．(文)(2013·广东高考)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：分组(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 频数(个)5102015(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率． [解析] (1)苹果的重量在[90,95)的频率为2050＝0.4.(2)重量在[80,85)的有4·55＋15＝1个．(3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1，[95,100)分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)共6种；设任取2个，重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有(1,2)(1,3)(1,4)共3种，所以P (A )＝36＝12.(理)(2013·广东高考)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率． [解析] (1)样本均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝1326＝22(2)由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．(3)设事件A ：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P (A )＝C 14C 18C 212＝1633. 能力强化训练一、选择题1．小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )A．30% B．10%C．3% D．不能确定[答案] C[解析]本题考查了扇形图，条形图．由图2知小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元．占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.2．甲、乙两名同学在五次考试中数学成绩统计用茎叶图表示如图所示，则下列说法正确的是()A.甲的平均成绩比乙的平均成绩高B．甲的平均成绩比乙的平均成绩低C．甲成绩的方差比乙成绩的方差大D．甲成绩的方差比乙成绩的方差小[答案] C[解析]本题考查茎叶图知识及样本数据中的均值与方差的求解及其意义．可以求得两人的平均成绩相同，均为107，又S2甲＝12＋(99＋107)2＋(105－107)2＋(115－107)25[(98－107)＋(118－107)2]＝66.8，而S2乙＝12＋(106－107)2＋(108－107)2＋(112－107)2＋(1145[(95－107)－107)2]＝44，故选C.二、填空题3．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．[答案]0.030 3[解析]由所有小矩形面积为1不难得到a＝0.030，而三组身高区间的人数比为321，由分层抽样的原理不难得到[140,150]区间内的人数为3人．4．下图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.(注：方差s 2＝1n [(x 1－x －)2－(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，其中x －为x 1，x 2，…，x n 的平均数)[答案] 6.8[解析] 本题考查茎叶图、方差的概念． 由茎叶图知x －＝8＋9＋10＋13＋155＝11，∴s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.三、解答题5．若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过．．．1mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：(1)(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．[解析] (1)4(2)由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70.(3)设这批产品中的合格品数为x 件， 依题意有505 000＝20x ＋20，解得x ＝5 000×2050－20＝1 980.所以该批产品的合格品件数估计是1 980件．6．(2013·安徽高考)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x 1，x 2，估计x 1－x 2的值．[解析] (1)设甲校高三年级学生总人数为n ， 由题意知，30n＝0.05，即n ＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1－530＝56.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x ′1、x ′2根据样本茎叶图可知． 30(x ′1－x ′2)＝30x ′1－30x ′2＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92 ＝2＋49－53－77＋2＋92 ＝15.因此x ′1－x ′2＝0.5，故x 1－x 2的估计值为0.5分．。
高考一轮总复习人教A版数学10-9
B．0 9 .5 4 D．0.977
，∴P(ξ<－2)＝0 0 .2 3
， 故选 C.
故 P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ> 2 ) －P(ξ<－2)＝0 9 .5 4 .
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4． ( 2 0 1 3 · 列 为
9 9 1 1 5 1 ＝ ⇒ ＝1× ＋2×m＋3×n＋4× ，∴2m＋3n＝ ，又 ＋m 4 4 4 12 3 4 1 2 ＋n＋12＝1，∴m＋n＝3， 联 立 求 解 可 得 1 n＝3， 故 选 A.
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[ 方法规律总结] 的 一 般 步 骤 ：
则 P(ξ＝1)的 值 为 ( A．3 2 · －2 C．2－4
[答案] B
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[解 析]
由 条 件 知 ，
nP＝6， nP1－P＝3，
n＝12， ∴ 1 P＝2， B.
1 1 1 11 ∴P(ξ＝1)＝C12( ( ) · ) ＝3×2－10， 故 选
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3．正 态 分 布 ( 1 ) 正 态 分 布 设 正 态 变 量 概 率 密 度 函 数 为 对 于 任 何 实 数 a<b， 随 机 变 量 x－μ 1 f(x)＝ e－ 2σ2 ， 如 果 2πσ
b X满 足 P(a<X≤b)＝ f(x)dx，则
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【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-4事件与概率课后强化作业 新人教B版
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-4事件与概率课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个 ①恰有1个白球和全是白球； ②至少有1个白球和全是黑球； ③至少有1个白球和至少有2个白球； ④至少有1个白球和至少有1个黑球． 在上述事件中，是对立事件的为( )A ．①B ．②C ．③D ．④ [答案]B[解析]∵“至少一个白球”和“全是黑球”不可能同时发生，且必有一个发生． 2．(2013·新课标全国Ⅰ)从1、2、3、4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.12B.13C.14D.16 [答案]B[解析]从1、2、3、4中任取两个不同的数共有6种不同结果，满足差的绝对值为2的结果有(1,3)和(2,4)两种，所以概率为P ＝26＝13，选B.3．(文)甲、乙两人随意入住两个房间，则甲乙两人恰住在同一间房的概率为( ) A.13 B.12 C.14 D ．1 [答案]B[解析]将两个房间编号为(1,2)，则所有可能入住方法有：甲住1号房，乙住2号房，甲住2号房，乙住1号房，甲、乙都住1号房，甲、乙都住2号房，共4种等可能的结果，其中甲、乙恰住在同一房间的情形有2种，∴所求概率P ＝12.(理)一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )A.9100B.25C.3100D.425[答案]D[解析]0～9这十个数字键，任意敲击两次共有10×10＝100种不同结果，在0～9中是3的倍数的数字有0,3,6,9，敲击两次都是3的倍数共有4×4＝16种不同结果，∴P ＝16100＝425.4．(2013·东北三省四市教研协作体诊断)下图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为( )A ．0.04B ．0.06C ．0.2D ．0.3 [答案]C[解析]因为分布在[20,25)的频率为0.01×5＝0.05，分布在[25,30)的频率为0.07×5＝0.35，所以分布在[30,35)、[35,40)、[40,45]的频率之和为1－0.05－0.35＝0.6，又因为年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，由等差数列的性质可得年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.2.5．(文)(2013·某某)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910 [答案]D[解析]从五位大学生中选三人共有10种等可能选法，事件“甲或乙被录用”的对立事件为“甲、乙都未被录用”即“丙、丁、戊被录用”，只有一种等可能情况，所以P ＝1－110＝910. (理)(2013·冀州中学检测)甲和乙等五名志愿者被随机地分到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为( )A.110B.910C.14D.48625 [答案]B[解析]当甲乙二人在同一岗位时，采用捆绑法将甲乙看作一人，此时的分配方案有A 44种，五人任意分配到四个岗位有C 25A 44种，所以甲乙在一起的概率为A 44C 25A 44＝110，甲乙不在一起的概率为1－110＝910.6．已知α、β、γ是不重合平面，a 、b 是不重合的直线，下列说法正确的是( ) A ．“若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α”是随机事件 B ．“若a ∥b ，a ⊂α，则b ∥α”是必然事件 C ．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件 D ．“若a ⊥α，a ∩b ＝P ，则b ⊥α”是不可能事件 [答案]D [解析]⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α，故A 错；⎭⎬⎫a ∥b a ⊂α⇒b ∥α或b ⊂α，故B 错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C 错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D 为真命题．二、填空题7．(2013·某某六校联考)从5名学生中选2名学生参加周六、周日社会实践活动，学生甲被选中而学生乙未被选中的概率是________．[答案]310[解析](文)设5名学生分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5(其中甲是a 1，乙是a 2)，从5名学生中选2名的选法有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 4，a 5)，共10种，学生甲被选中而学生乙未被选中的选法有(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，共3种，故所求概率为310.(理)从5名学生中任选2名有C 25＝10种不同选法，其中学生甲被选中，而乙未被选中的方法数有C 13＝3种，∴所求概率P ＝310.8．(2013·某某统考)将一颗骰子投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．[答案]712[解析]圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b 2，当d <2时，直线与圆相交，解|2a |a 2＋b 2≤2得b ≥a ，满足题意的b ≥a 共有21种情况，又易知将一颗骰子投掷两次分别得到点数a 、b 的基本情况共有36种，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为P ＝2136＝712.9．(2013·某某模拟)已知盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235，现从中任意取出2粒，恰好是同一色的概率是________．[答案]1735[解析]从中取出2粒棋子，“都是黑棋子”记为事件A ，“都是白棋子”记为事件B ，则A 、B 为互斥事件．所求概率为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.三、解答题10．(2013·某某一中一模)对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率．[解析](1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，10M ＝0.25，所以M ＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m ＋2＝40，m ＝4. p ＝m M ＝440＝0.10. 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商， 所以a ＝2440×5＝0.12.(2)因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为240×0.25＝60人． (3)(文)所取样本中参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m ＋2＝4＋2＝6人， 设在区间[20,25)内的人为a 1，a 2，a 3，a 4，在区间[25,30)内的人为b 1，b 2.则任选2人有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(b 1，b 2)共15种情况，而两人都在[25,30)内只能是(b 1，b 2)一种，所以所求概率为P ＝1－115＝1415.(理)所取样本中参加社区服务次数不少于20次的共有6人，其中次数在区间[25,30)内的有2人，从中任选2人，共有C 26＝15种不同选法，其中至多有一人次数落在区间[25,30)内的有15－1＝14种，∴所求概率P ＝1415.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2013·黄冈一模)设集合A ＝B ＝{1,2,3,4,5,6}，分别从集合A 和B 中随机取数x 和y ，确定平面上的一个点P (x ，y )，我们记“点P (x ，y )满足条件x 2＋y 2≤16”为事件C ，则C 的概率为( )A.29B.112C.16D.12 [答案]A[解析]分别从集合A 和B 中随机取数x 和y ，得到(x ，y )的可能结果有36种情况，满足x 2＋y 2≤16的(x ，y )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)这8种情况，故所求概率为P (C )＝836＝29，故选A.(理)(2013·某某一模)将一枚骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设两条直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，则点P (36P 1,36P 2)与圆C ：x 2＋y 2＝2013的位置关系是( )A ．点P 在圆C 上B ．点P 在圆C 外 C ．点P 在圆C 内D ．不能确定 [答案]C[解析]易知当且仅当a b ≠12时两条直线相交，而a b ＝12的情况有三种：a ＝1，b ＝2，此时两直线重合；a ＝2，b ＝4，此时两直线平行；a ＝3，b ＝6，此时两直线平行，而投掷两次的所有情况有36种，所以两条直线平行的概率P 1＝236＝118.两条直线相交的概率P 2＝1－336＝1112，∴点P (2,33)，点P 与圆心(0,0)的距离为d ＝(2－0)2＋(33－0)2＝1093<2013，故点P在圆C 内．12．(文)(2013·某某名校检测)一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.4π81B.81－4π81 C.127D.827 [答案]C[解析]由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127.(理)(2013·某某师大附中月考)如果一个n 位十进制数a 1a 2a 3…a n 的数位上的数字满足“小大小大…小大”的顺序，且满足：a 1<a 2，a 2>a 3，a 3<a 4，a 4>a 5，a 5<a 6，…，我们称这种数为“波浪数”；从1,2,3,4,5组成的无重复的五位数中任取一个五位数abcde ，这个数为“波浪数”的概率是( )A.215B.415C.25D.815 [答案]A[解析]显然b ，d 中必有一个数字为5，由对称性，不妨先设b ＝5，则d ≥3. 若d ＝4，则a ，c ，e 是1,2,3的任意排列都满足，有A 33＝6种； 若d ＝3，则c ，e 是1,2的任意排列，且a ＝4，有2种；则满足条件的概率是：2(A 33＋A 22)A 55＝215. 二、填空题13．(2013·潍坊模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m ”为事件A ，则P (A )最大时，m ＝________.[答案]7[解析]连续抛掷一枚骰子2次，共有36个基本事件，两次向上的点数之和及次数如表：14．(文)(2013·某某三校调研)一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．[答案]518[解析]列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率P ＝1036＝518.(理)(2013·某某)现在某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m 、n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．[答案]2063[解析]取到的两个数都是奇数的情况有4×5＝20种，任意选取两个数的所有的情况有7×9＝63种，故P ＝2063.三、解答题15．(文)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．[解析](1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件有：(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)．共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件． 故P (A )＝212＝16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得 a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2－1≤y ≤1，B ＝(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y .，作出可行域如图，可得P (B )＝μB μΩ＝12×(12＋32)×23×2＝13.(理)已知直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：ax －by ＋1＝0，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}． (1)求直线l 1∥l 2的概率；(2)求直线l 1与l 2的交点位于第一象限的概率．[解析](1)由题知，直线l 1的斜率为k 1＝12，直线l 2的概率为k 2＝ab .记事件A 为“直线l 1∩l 2＝∅”．a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}的基本事件空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，…，(5,6)，(6,6)}，其中共有36个基本事件．若l 1∥l 2，即k 1＝k 2，则有b ＝2a .满足条件的实数对(a ，b )有(1,2)、(2,4)、(3,6)，共3种情形． 所以P (A )＝336＝112.即直线l 1∥l 2的概率为112.(2)设事件B 为“直线l 1与l 2的交点位于第一象限”，由于直线l 1与l 2有交点，所以b ≠2a .由⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b ＋2b －2a ，y ＝a ＋1b －2a .因为直线l 1与l 2的交点位于第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2b －2a >0，a ＋1b －2a >0.解得b >2a .∵a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}， ∴基本事件总数共有36种．满足b >2a 的有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种，∴P ＝636＝16，即直线l 1与l 2交点在第一象限的概率为16.16．(文)(2013·某某市调研)某学校为了增强学生对数学史的了解，提高学生学习数学的积极性，举行了一次数学史知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4名数学家与他们所著的4本著作一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得－2分．其参赛者随机用4条线把数学家与著作一对一全部连接起来．(1)求该参赛者恰好连对一条的概率； (2)求该参赛者得分不低于6分的概率．[解析]记4名数学家分别为a ，b ，c ，d ，对应的4本著作分别为A ，B ，C ，D ，根据题意，不同的连线方法共对应下列24种情况：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A B C D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A B D C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A C B D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A C D B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A D B C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A D C B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d B A C D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d B A D C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d B C A D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d B C D A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d B D A C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d B D C A⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d C A B D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d C A D B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d C B A D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d C B D A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d C D A B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d C D B A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d D A B C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d D A C B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d D B A C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d D B C A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d D C A B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d D C B A 其中恰好连对一条的情形有如下8种：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A C D B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A D B C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d B C A D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d B D C A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d C A B D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d C B D A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d D A C B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d D B A C 恰好连对两条的情形有如下6种：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A B D C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A C B D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A D C B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d B A C D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d C B A D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d D B C A 全部连对的情形只有1种：⎝⎛⎭⎪⎫a b c d A B C D(1)恰好连对1条的概率为824＝13.(2)得分不低于6分即全部连对或恰好连对2条的概率为1＋624＝724.(理)(2013·某某理，17)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．1 7 92 0 1 53 0(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．[解析](1)样本均值为x －＝17＋19＋20＋21＋25＋306＝22(2)由(1)知样本中优秀工人有2名，占的比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．(3)设事件A ：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P (A )＝C 14C 18C 212＝1633.考纲要求1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式． 补充材料 1．事件(1)必然事件：在一定的条件S 下一定会发生的事件，叫做必然事件． (2)不可能事件：在一定的条件S 下一定不会发生的事件叫做不可能事件．(3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件． (4)随机事件：在条件S 下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件．确定事件和随机事件统称为事件．(5)基本事件：在试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件(除不可能事件外)可以用它们来表示，这样的事件称为基本事件．2．模型化方法事件可以用集合来表示，基本事件相当于集合中的元素，所有基本事件构成的集合相当于全集，事件相当于全集的子集．几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合交集为空集；事件A 的对立事件B 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．3．模拟思想与统计思想(1)概率的统计定义告诉我们，求一个事件的概率的基本方法是通过大量重复试验的频率值来估计概率值，而大量重复试验可用随机模拟方法来实现．(2)小概率事件在一次试验中，几乎不可能发生．在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件发生的可能性更大．4．复习概率这一章，一定要把弄清随机试验的基本事件，事件及其关系作为头等任务抓好落实．备选习题1．(2013·某某中学模拟)如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数y ＝x 2图象下方的点构成的区域．在D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为( )A.15B.14C.13D.12 [答案]C[解析]⎠⎛2－2x 2d x ＝13x 3|2－2＝163，所以P ＝16316＝13，选C.2．在区间[0,1]上任意取两个实数a ，b ，则函数f (x )＝13x 3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为( )A.79B.59C.49D.29 [答案]A[解析]由已知a 、b 在区间[0,1]上，所以f ′(x )＝x 2＋a ≥0，函数f (x )在[－1,1]内是增函数， ∵f (x )在[－1,1]上有且仅有一个零点，∴⎩⎨⎧f (－1)＝－13－a －b ≤0，f (1)＝13＋a －b ≥0，即⎩⎨⎧a ＋b ＋13≥0，a －b ＋13≥0.在坐标平面aOb 中，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，与不等式组⎩⎨⎧a ＋b ＋13≥0，a －b ＋13≥0，表示的平面区域，易知，这两个不等式组表示的平面区域的公共区域的面积等于12－12×(1－13)×23＝79，而不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，表示的平面区域的面积为1，因此所求的概率等于79，选A. 3．(2013·某某)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A.23B.12C.13D.16 [答案]C[解析]从A ，B 中各任意取一个数记为(x ，y )，则有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个基本事件．而这两数之和为4的有(2,2)，(3,1)，共2个基本事件．故所求的概率为26＝13. 4．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，只有一个解的概率为________．[答案]1112[解析]点(a ，b )取值的集合共有6×6＝36(个)元素．方程组只有一个解等价于直线ax ＋by ＝3与x ＋2y ＝2相交，即a 1≠b2，即b ≠2a ，而满足b ＝2a 的点只有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个，故方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3x ＋2y ＝2只有一个解的概率为3336＝1112.5．(2013·某某三中月考)已知A 、B 、C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着1，另一个球标着2.现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出1个球．(1)若用数组(x ，y ，z )中的x 、y 、z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的，请写出数组(x ，y ，z )的所有情形，并回答一共有多少种；(2)如果请您猜测摸出的这三个球的之和，猜中有奖．那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．[解析](1)数组(x ，y ，z )的所有情形为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种．答：一共有8种．(2)记“所摸出的三个球之和为i ”为事件A i (i ＝3,4,5,6)，易知，事件A 3包含有1个基本事件，事件A 4包含有3个基本事件，事件A 5包含有3个基本事件，事件A 6包含有1个基本事件，所以，P (A 3)＝18，P (A 4)＝38，P (A 5)＝38，P (A 6)＝18.故所摸出的两球之和为4、为5的概率相等且最大． 答：猜4或5获奖的可能性最大．。
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高考数学一轮复习数据的数字特征专项练习（带答案）用古典概率和随机变量的数字特征来解决数学分析中的一些恒等式问题是很有效的方法。
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一、选择题1.一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x为()A.21B.22C.20D.23[答案] A[解析] 由=22得x=21.2.下列说法正确的是()A.在两组数据中，平均值较大的一组方差较大B.平均数反映数据的集中趋势，标准差则反映数据离平均值的波动大小C.方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和D.在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高[答案] B[解析] 平均数、中位数、众数都是反映一组数据的集中趋势的统计量，方差、标准差、极差都是反映数据的离散程度的统计量，故选B.3.在一次歌声大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为()A.9.4 0.484B.9.4 0.016C.9.5 0.04D.9.5 0.016[答案] D[解析] 去掉一个最高分和一个最低分后剩余分数为9.4，9.4，9.6,9.4,9.7.其平均数为==9.5.方差s2=(0.12+0.12+0.12+0.12+0.22)=0.08=0.016.4.在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A.众数B.平均数C.中位数D.标准差[答案] D[解析] 本题考查样本的数字特征.A的众数88，B则为88+2=90.各样本都加2后，平均数显然不同.A的中位数=86，B的中位数=88，而由标准差公式s=知D正确.5.甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3;乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3，下列说法正确的有()甲队的技术比乙队好;乙队发挥比甲队稳定;乙队几乎每场都进球;甲队的表现时好时坏A.1个B.2个C.3个D.4个[答案] D[解析] s甲s乙，说明乙队发挥比甲队稳定，甲乙，说明甲队平均进球多于乙队，但乙队平均进球数为1.8，标准差仅有0.3，说明乙队的确很少不进球.6.期中考试后，班长算出了全班40人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均数为N，那么MN为()A. B.1C. D.2[答案] B[解析] 平均数是用所有数据的和除以数据的总个数而得到的.设40位同学的成绩为xi(i=1,2，，，40)，则M=，N=.故MN=1.二、填空题7.若样本x1+2，x2+2，，xn+2的平均值为10，则样本2x1+3,2x2+3，，2xn+3的平均值为________.[答案] 19[解析] x1+2，x2+2，，xn+2的平均值为10，x1，x2，，xn的平均值为8，2x1+3,2x2+3，，2xn+3的平均值为28+3=19.8.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a-b=________. 甲乙 7 9 8 0 7 8 5 5 7 9 1 1 1 3 3 4 6 2 2 0 2 3 1 0 1 4 0 [答案] 8[解析] 由茎叶图知a=19，b=11，a-b=8.三、解答题9.某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况，从两班各抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下(单位：分)：甲班：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74;乙班：90,76,86,81,84,87,86,82,85,83.(1)求两个样本的平均数甲和乙;(2)求两个样本的方差和标准差;(3)比较两组数据的平均数，并估计哪个班的平均分较高;(4)比较两组数据的标准差，并估计哪个班的数学成绩比较整齐.[解析] (1)甲=(82+84+85+89+79+80+91+89+79+74)=83.2(分)，乙=(90+76+86+81+84+87+86+82+85+83)=84(分).(2)s=[(82-83.2)2+(84-83.2)2+(85-83.2)2+(89-83.2)2+( 79-83.2)2+(80-83.2)2+(91-83.2)2+(89-83.2)2+(79-83.2 )2+(74-83.2)2]=26.36(分2)，s=[(90-84)2+(76-84)2+(86-84)2+(81-84)2+(84-84)2+(87 -84)2+(86-84)2+(82-84)2+(85-84)2+(83-84)2]=13.2(分2)，所以s甲=5.13(分)，s乙=3.63(分).(3)因为甲乙，所以据此估计乙班的平均分较高.(4)因为s甲s乙，所以据此估计乙班的数学成绩比甲班整齐.高考数学一轮复习数据的数字特征专项练习及答案的内容就是这些，查字典数学网预祝考生取得优异的成绩。
高三数学一轮复习课时作业10：§12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
§12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．(2016·郑州一模)某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的均值为( ) A ．0.9 B ．0.8 C ．1.2D ．1.12．(2017·芜湖月考)若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3×2－2 B ．2－4 C ．3×2－10D ．2－83．设随机变量X ～N (μ，σ2)，且X 落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等，若P (X >2)＝p ，则P (0<X <2)等于( ) A.12＋p B ．1－p C ．1－2p D.12－p 4．一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的均值与方差分别为________，________.5．(2016·湖北宜昌一中月考)已知X ～N (μ，σ2)时，P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4，则ʃ4312πe －(x －1)22d x ＝________.6.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及均值E (ξ).7.(2016·汕尾调研)为了解某市高三学生身高情况，对全市高三学生进行了测量，经分析，全市高三学生身高X (单位：cm)服从正态分布N (160，σ2)，已知P (X <150)＝0.2，P (X ≥180)＝0.03. (1)现从该市高三学生中随机抽取一名学生，求该学生身高在区间『170,180)的概率； (2)现从该市高三学生中随机抽取三名学生，记抽到的三名学生身高在区间『150,170)的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值 E (ξ).8.(2016·泉州模拟)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X≤3的概率； (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？9.为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及均值；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.答案精析1．A 2.C 3.D 4.2020035.0.021 5 6．解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝15.(2)由题意，得随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3， 则P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1103＝11 000，P (ξ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫1－110×⎝⎛⎭⎫1102＝271 000， P (ξ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫1－1102×110＝2431 000， P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫1－1103＝7291 000. 所以，随机变量ξ的分布列为故随机变量ξ的均值E (ξ)＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.(或因为ξ～B (3，910)，所以E (ξ)＝3×910＝2710.)7．解 (1)由全市高三学生身高X 服从N (160，σ2)，P (X <150)＝0.2， 得P (160≤X <170)＝P (150≤X <160) ＝0.5－0.2＝0.3. 因为P (X ≥180)＝0.03，所以P (170≤X <180)＝0.5－0.3－0.03＝0.17.故从该市高三学生中随机抽取一名学生，该学生身高在区间『170,180)的概率为0.17. (2)因为P (150≤X <170)＝P (150≤X <160)＋P (160≤X <170)＝0.3＋0.3＝0.6，ξ服从二项分布B (3,0.6)，所以P (ξ＝0)＝(1－0.6)3＝0.064， P (ξ＝1)＝3×0.6×(1－0.6)2＝0.288， P (ξ＝2)＝3×0.62×(1－0.6)＝0.432， P (ξ＝3)＝0.63＝0.216. 所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝3×0.6＝8．解 方法一 (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”为事件A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”， 因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖的中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖的中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值为E (3X 2)．由已知可得，X 1～B (2，23)，X 2～B (2，25)，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125，因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．方法二 (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”为事件A ，则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的事件， 因为P (X ＝0)＝(1－23)×(1－25)＝15，P (X ＝2)＝23×(1－25)＝25，P (X ＝3)＝(1－23)×25＝215，所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1，X 2的分布列如下：所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E (X 1)>E (X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大． 9．解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，故X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的均值为 E (X )＝20×12＋60×12＝40.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元， 所以，先寻找均值为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案， 因为60元是面值之和的最大值， 所以均值不可能为60元； 如果选择(50,50,50,10)的方案， 因为60元是面值之和的最小值， 所以均值也不可能为60元．因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况， 同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案， 所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析． 对于方案1，即方案(10,10,50,50)， 设顾客所获的奖励额为X 1， 则X 1的分布列为X 1的均值为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20,20,40,40)， 设顾客所获的奖励额为X 2， 则X 2的分布列为X 2的均值为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.。
近年高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10.9离散型随机变量的均值、方差和正
2019版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10.9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布课后作业理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10.9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布课后作业理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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10．9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布［重点保分两级优选练］A级一、选择题1．已知ξ的分布列为ξ－101P错误!13错误!则在下列式中：①E错误!错误!;③P(ξ＝0）＝错误!.正确的个数是( ）A．0 B．1 C．2 D．3答案C解析E(ξ)＝（－1)×错误!＋1×错误!＝－错误!，故①正确．D(ξ）＝错误!2×错误!＋错误!2×错误!＋错误!2×错误!＝错误!，故②不正确．由分布列知③正确．故选C.2．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0。
6)，则E（Y)，D(Y）分别是（）A．6和2.4 B．2和2。
4C．2和5.6 D．6和5.6答案B解析由已知随机变量X＋Y＝8,所以Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0。
6＝2，D(Y)＝（－1)2D(X）＝10×0。
6×0.4＝2。
4。
故选B。
3．（2018·广东茂名模拟）若离散型随机变量X的分布列为X01P a2错误!则X的数学期望E（X）＝（) A．2 B．2或错误! C。
【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第十二章 算法初步、复数、推理与证明 12-6 Word版含解析
基础达标检测 一、选择题1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N ＋)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10[答案] B[解析] 由S n ＝1－12n 1－12>12764得n >7，又n ∈N ＋，所以n ≥8.2．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋____________( )A.π2 B ．π C.32π D ．2π [答案] B[解析] 由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.3．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某人的证明过程如下：1°当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立.2°假设n ＝k (k ∈N ＋)时不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋k ＋2＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立.上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案] D[解析]本题的证明中，从n＝k到n＝k＋1的推理没有用到归纳假设，所以本题不是用数学归纳法证题．4．下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是()A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)[答案] D[解析](1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N＋)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k∈N＋都成立．5．用数学归纳法证明“1＋2＋…＋n＋(n－1)…＋2＋1＝n2(n∈N ＋)”，从n＝k到n＝k＋1时，左边添加的代数式为() A．k＋1 B．k＋2C．k＋1＋k D．2(k＋1)[答案] C[解析] 在由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边式子为1＋2＋3＋…＋k ＋k ＋1＋k ＋…＋2＋1，因此，左边添加的式子为k ＋1＋k .6．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N ＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3[答案] A[解析] 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．二、填空题7．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．[答案] a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)[解析] a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5， a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9， ∴a n ＝1(2n －1)(2n ＋1). 8．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．[答案] 2k ＋1[解析] ∵n 为正奇数，假设n ＝2k －1成立后，需证明的应为n ＝2k ＋1时成立．9．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N ＋)时，从k 到k ＋1，左边需要增加的代数式为________．[答案] 2(2k ＋1)[解析] 当n ＝k 时左边的最后一项是2k ，n ＝k ＋1时左边的最后一项是2k ＋2，而左边各项都是连续的，所以n ＝k ＋1时比n ＝k 时左边少了(k ＋1)，而多了(2k ＋1)(2k ＋2)．因此增加的代数式是(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)． 三、解答题 10．用数学归纳法证明：n ∈N ＋时，11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n 2n ＋1. [解析] (1)当n ＝1时，左边＝11×3， 右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边．∴等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，等式成立 ，即有11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)， ＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (2k ＋3)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1， ∴n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，一切n ∈N ＋，等式成立.能力强化训练一、选择题1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2[答案] D[解析] ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.2．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为( )A ．190B ．715C ．725D ．385[答案] B[解析] 由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n 项和，通项a n ＝4n －3.由此可归纳出第n 件首饰的珠宝数为n [1＋(4n －3)]2＝2n 2－n .则前n 件首饰所用的珠宝总数为2(12＋22＋…＋n 2)－(1＋2＋…＋n )＝4n 3＋3n 2－n 6. 当n ＝10时，总数为715.二、填空题3．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．[答案] f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2[解析] ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2；∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.4．(2014·青岛二模)利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N ＋)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了________项．[答案] 2k[解析] 当n ＝k 时为1＋12＋13＋…＋12k －1， 当n ＝k ＋1时为1＋12＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12·2k －1， 所以从n ＝k 到n ＝k ＋1增加了2k 项．三、解答题5．由下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．[解析] 根据给出的几个不等式可以猜想第n 个不等式，即一般不等式为： 1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2(n ∈N ＋)． 用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，1>12，猜想成立；(2)假设当n ＝k 时，猜想成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1>k 2， 则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1>k 2＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1>k 2＋2k 2k ＋1＝k ＋12，即当n ＝k ＋1时，猜想也确，由(1)(2)可知对任意的n ∈N ＋，不等式都成立．6．是否存在常数a 、b 、c 使等式12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N ＋都成立，若存在，求出a 、b 、c并证明；若不存在，试说明理由．[解析] 假设存在a 、b 、c 使12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N ＋都成立．当n ＝1时，a (b ＋c )＝1；当n ＝2时，2a (4b ＋c )＝6；当n ＝3时，3a (9b ＋c )＝19.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a (b ＋c )＝1，a (4b ＋c )＝3，3a (9b ＋c )＝19.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13，b ＝2，c ＝1.证明如下： ①当n ＝1时，由以上知存在常数a ，b ，c 使等式成立．②假设n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12 ＝13k (2k 2＋1)；当n ＝k ＋1时， 12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k (2k 2＋1)＋(k ＋1)2＋k 2＝13k (2k 2＋3k ＋1)＋(k ＋1)2＝13k (2k ＋1)(k ＋1)＋(k ＋1)2＝13(k ＋1)(2k 2＋4k ＋3)＝13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]．即n ＝k ＋1时，等式成立．因此存在a＝1，b＝2，c＝1使等式对一切n∈N＋都成立．3。
高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第9讲离散型随机变量的均值与方差正态分布知能训练轻松
【2019最新】精选高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第9讲离散型随机变量的均值与方差正态分布知能训练轻松闯关理北师大版X的分布列为则X的数学期望EX＝( )A．2 B．2或12C. D．1解析：选C.因为分布列中概率和为1，所以＋＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以EX＝.2．(2016·江西省八校联考)在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在[80，120]内的概率为0.8，则落在(0，80)内的概率为( ) A．0.05 B．0.1C．0.15 D．0.2解析：选B.P(0<ξ<80)＝[1－P(80≤ξ≤120)]＝(1－0.8)＝0.1.3．(2016·嘉峪关质检)签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为( )A．5 B．5.25C．5.8 D．4.6解析：选B.由题意可知，X可以取3，4，5，6，P(X＝3)＝)＝，P(X＝4)＝,C)＝，P(X＝5)＝,C)＝，P(X＝6)＝,C)＝.由数学期望的定义可求得EX＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25.4．(2016·河北省监测)已知某高级中学高三学生有2 000 名，在第一次模拟考试中数学成绩ξ服从正态分布N(120，σ2)，已知P(100<ξ<120)＝0.45，若学校教研室欲按分层抽样的方式从中抽出100份试卷进行分析研究，则应从140分及以上的试卷中抽( )A．4份B．5份C．8份D．10份解析：选B.因为P(ξ>140)＝＝0.05，所以从140分及以上的试卷中抽×100＝5份．5．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．解析：记不发芽的种子数为Y，则Y～B(1 000，0. 1)，所以EY＝1 000×0.1＝100.又X＝2Y，所以EX＝E(2Y)＝2EY＝200.答案：2006．(2016·邯郸一模)公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.022 8来设计的．设男子身高X服从正态分布N(170，72)(单位：cm)，参考以下概率P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997 4，则车门的高度(单位：cm)至少应设计为________cm.解析：因为P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4，所以P(X≥μ＋2σ)＝＝0.022 8，所以车门的高度至少设计为μ＋2σ才符合要求，即为170＋2×7＝184 cm.答案：1847．(2015·高考山东卷)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.解：(1)个位数字是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，随机变量X的取值为：0，－1，1，因此P(X＝0)＝,C)＝，P(X＝－1)＝,C)＝，P(X＝1)＝1－－＝.所以X的分布列为则EX＝0×＋(8．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙约定两人面试都合格就一同签约，否则两个人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都为，且面试是否合格相互不影响.(1)求至少有一人面试合格的概率；(2)求签约人数X的分布列和数学期望.解：(1)用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝P(C)＝，所以至少有一人面试合格的概率为 1－P( )＝1－·＝.(2)由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3.P(X ＝0)＝P( )＋P(B)＋P( C)＝； P(X ＝1)＝P(AC)＋P(AB)＋P(A)＝；P(X ＝2)＝P(BC)＝；P(X ＝3)＝P(ABC)＝.所以X 的分布列为EX ＝0×＋1×＋2×＋39．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号． (1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，EY ＝1，DY ＝11，试求a ，b 的值． 解：(1)X 的取值为0所以EXDX ＝(0－1.5)2×＋ (1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.(2)由DY ＝a2DX 得2.75a2＝11，得a ＝±2， 又EY ＝aEX ＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4，所以或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.1．(2016·南昌第一次模拟)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X<75)＝0.3，P(X ≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80，85)，[85，95)，[95，100]内各有1位同学的概率；(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]内的人数为Y ，求随机变量Y 的分布列和数学期望EY.解：(1)由题知，P(80≤X<85)＝－P(X<75)＝0.2，P(85≤X<95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P ＝A×0.2×0.2×0.1＝0.024. (2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X<75)＝0.4，所以Y服从二项分布B(3，0.4)，P(Y＝0)＝0.63＝0.216，P(Y＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432，P(Y＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P(Y＝3)＝0.43＝0.064，所以随机变量YEY＝3×0.4＝1.2.2．(2016·西安地区八校联考)某公司准备将1 000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择．若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1(万元)的概率分布列如下表所示：且ξ1的期望Eξ1＝120；ξ2(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p(0＜p＜1)和1－p .(1)求m，n的值；(2)求ξ2的分布列；(3)若Eξ1＜Eξ2，则选择投资乙项目，求此时p的取值范围．解：(1)由题意得解得m＝0.5，n＝0.1.(2)ξ2的可能取值为41.2，117.6，204，P(ξ2＝41.2)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)，P(ξ2＝117.6)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2，P(ξ2＝204)＝p(1－p)，所以ξ2(3)由(2)可得：Eξ2＝41.2p(1－p)＋117.6[p2＋(1－p)2]＋204p(1－p)＝－10p2＋10p＋117.6，由Eξ1＜Eξ2，得120＜－10p2＋10p＋117.6，解得：0.4＜p＜0.6，即当选择投资乙项目时，p的取值范围是(0.4，0.6)．。
2015届高考数学一轮复习 10.7二项分布与正态分布课后自测 理
安徽省2015届高考数学一轮复习 10.7二项分布与正态分布课后自测 理A 组 基础训练一、选择题1．设随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P(ξ＝3)的值是( ) A.316 B.516 C.716 D.58【解析】 P(ξ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516.【答案】 B2．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977【解析】 ∵μ＝0，则P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝0.023， ∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0. 954. 【答案】 C3．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为( )A ．0.45B ．0.6C ．0.65D ．0.75【解析】 设目标被击中为事件B ，目标被甲击中为事件A ，则由P(B)＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，得P(A|B)＝＝＝0.60.8＝0.75. 【答案】 D4．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125 B ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125 C ．C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123 D ．C 25C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125【解析】 移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动两次，向上移动三次．故其概率为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125.【答案】 B5．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，函数f(x)＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ＝( )A ．1B ．4C ．2D ．不能确定【解析】 根据题意函数f(x)＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4，根据正态密度曲线的对称性，当函数f(x)＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.【答案】 B 二、填空题6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 【解析】 设该队员每次罚球的命中率为P(0＜P ＜1)， 则依题意有1－P 2＝1625，又0＜P ＜1，∴P ＝35.【答案】 357．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续．．正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．【解析】 依题意，该选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能．由相互独立事件概率乘法，所求概率P ＝1×0.2×0.82＝0.128. 【答案】 0.1288．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．【解析】 设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B(发芽，又成活为幼苗)． 依题意P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.【答案】 0.72 三、解答题9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率； (2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率． 【解】 (1)设“购买甲种保险”事件为A ，“购买乙种保险”事件为B ， 由已知条件P(A)＝0.5，P(B A )＝0.3， ∴P(B)P(A )＝0.3，P(B)＝0.3A＝0.6，因此，1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为1－P(A B )＝1－P(A )P(B )＝1－(1－0.5)(1－0.6)＝0.8.(2)一位车主两种保险都不购买的概率为P ＝P(A B )＝0.2.因此3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为C 13×0.2×0.82＝0.384. 10．(2013·课标全国卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n ＝3，再从这批产品中任取4件检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．【解】 (1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P(A)＝P(A 1B 1)＋P(A 2B 2)＝P(A 1)P(B 1|A 1)＋P(A 2)P(B 2|A 2)＝416×116＋116×12＝364.(2)X 可能的取值为400,500,800，并且P(X ＝400)＝1－416－116＝1116，P(X ＝500)＝116，P(X＝800)＝14，所以以X 的分布列为E(X)＝400×1116＋500×116＋800×4＝506.25.B 组 能力提升1．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235B ．C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135C ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫135D ．C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235【解析】 S 7＝3即为7次摸球中，有5次摸到白球，2次摸到红球，又摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13. 故所求概率为P ＝C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫135.【答案】 B图10－7－32．将一个半径适当的小球放入如图10－7－3所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．【解析】 记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P(B)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P(A)＝1－P(B)＝1－14＝34.【答案】 343．(2013·辽宁高考)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．【解】 (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P(A )＝C 36C 10＝16，所以P(A)＝1－P(A )＝56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.P(X ＝0)＝C 02·⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·15＝4125；P(X ＝1)＝C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·45＝28125；P(X ＝2)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫250·15＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·45＝57125；P(X ＝3)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫250·45＝36125.所以X 的分布列为：所以E(X)＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.。
高考数学总复习(人教版)：10-9随机变量的数字特征与正态分布(理)
10-9随机变量的数字特征与正态分布(理)基础巩固强化1.已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋1，则Y ( ) A ．－16 B.23 C ．1 D.2936[答案] B[解析] 由分布列的性质知：12＋16＋a ＝1，∴a ＝13， 由期望的定义知，E (X )＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16. 由期望的性质知，E (Y )＝2E (X )＋1＝23. 2．已知随机变量X 的概率分布如下表所示：则X 的方差为( A ．3.56 B ．8.12 C ．3.2 D. 3.56[答案] A[分析] 先由离散型随机变量分布列的性质求出x ，再依据期望、方差的定义求解．[解析] 由0.4＋0.1＋x ＝1得x ＝0.5， ∴E (X )＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D (X )＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56. 3．已知随机变量ξ，η满足ξ＝2η－1，且ξ～B (10，p )，若E (ξ)＝8，则D (η)＝( )A ．0.5B ．0.8C ．0.2D ．0.4[答案] D[解析] ∵E (ξ)＝10p ＝8，∴p ＝0.8，∴D (ξ)＝10p (1－p )＝10×0.8×0.2＝1.6，又D (ξ)＝D (2η－1)＝4D (η)，∴D (η)＝0.4.4．(2011·湘潭模拟)设一随机试验的结果只有A 和A －，且P (A )＝p ，令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (A 出现)，0 (A 不出现).则X 的方差D (X )等于( )A ．pB ．2p (1－p )C ．－p (1－p )D ．p (1－p )[答案] D[解析] X 服从两点分布，故D (X )＝p (1－p )．5．(2011·浙江温州模拟)某人射击一次击中的概率为35，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )A.81125B.54125C.36125D.27125[答案] A[解析] 该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是 P 1＝C 23·(35)2·25，三次全部击中目标的概率是P 2＝C 33·(35)3， 所以此人至少有两次击中目标的概率是 P ＝P 1＋P 2＝C 23·(35)2·25＋C 33·(35)3＝81125. 6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.7．如果随机变量ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，且D (ξ)＝2，则E (pξ－D (ξ))＝________.[答案] 0[解析] ∵ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，∴np ＝4， 又∵D (ξ)＝2，∴np (1－p )＝2，∴p ＝12， ∴E (pξ－D (ξ))＝E (12ξ－2)＝12E (ξ)－2＝0.8．甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、4个白球和2个黑球，先从甲罐中任意取出一球放入乙罐，再从乙罐中取出一球，则从乙罐中取出的球是白球的概率为________．[答案] 2155[解析] 设从甲罐中取出红球、白球、黑球的事件分别为A 1、A 2、A 3，设从乙罐中取出白球的事件为B ，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝15，P (A 3)＝310，所求概率P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝12×411＋15×511＋310×411＝2155.9．已知袋中装有大小相同的2个白球和4个红球．从袋中随机地将球逐个取出，每次取后不放回，直到取出两个红球为止，取球次数X 的均值为________．[答案] 145[解析] 依题意，X 的可能取值为2、3、4，P (X ＝2)＝A 24A 26＝25；P (X ＝3)＝(C 12C 14A 22)C 13A 36＝25； P (X ＝4)＝(C 22C 14A 33)C 13A 46＝15， ∴E (X )＝2×25＋3×25＋4×15＝145. 10.(2012·江西理，18)如图，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0,1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V (如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V ＝0)．(1)求V ＝0的概率；(2)求V 的分布列及数学期望E (V )．[分析] (1)从6个不同的点中随机选取3个点，共有C 36种方法，选取的3个点与原点共面时，3个点必须在同一个坐标平面内．因为每条坐标轴上有两个点，所以同一坐标平面内有4个点，从这4个点中任取3个即可；(2)先求出V 的各种可能取值，然后求其概率．[解析] (1)从6个点中随机选取3个点总共有C 36＝20种取法，选取的3个点与原点在同一个面内的取法有3C 34＝12种，因此V ＝0的概率为P (V ＝0)＝1220＝35.(2)V 的所有可能取值为0、16、13、23、43，因此V 的分布列为由V 的分布列得E (V )＝0×35＋16×120＋13×320＋23×320＋43×120＝940.[点评] 本题以立体图形为载体，考查概率知识及分布列、期望的求法，立意新颖，第1问易于解决，第2问中要对各种体积情况进行逐一运算，以防遗漏，难度中等．能力拓展提升11.(2012·杭州质检)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A ．(0，712)B ．(712，1) C ．(0，12) D ．(12，1)[答案] C[解析] 由已知条件可得P (X ＝1)＝p ， P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12，又由p ∈(0,1)，可得p ∈(0，12)，故应选C.12．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a －b |的取值”，则ξ的数学期望E (ξ)为( )A.89 B.35 C.25 D.13[答案] A[解析] ∵对称轴在y 轴左侧， ∴－b2a <0，∴ab >0，即a 与b 同号，∴满足条件的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条．ξ的取值为0、1、2，P (ξ＝0)＝6×7126＝13，P (ξ＝1)＝8×7126＝49，P (ξ＝2)＝4×7126＝29.∴E (ξ)＝13×0＋49×1＋29×2＝89.13．一批产品的次品率为0.01，现连续抽取20次，抽得次品数为ξ，则D (ξ)＝________.[答案] 0.198[解析] ∵ξ～B (20,0.01)，∴D (ξ)＝20×0.01×(1－0.01)＝0.198. 14．如果ξ～B (100，12)，当P (ξ＝k )取得最大值时，k ＝________.[答案] 50[解析] P (ξ＝k )＝C k 100⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－k＝C k 100⎝ ⎛⎭⎪⎫12100，由组合数的性质知，当k ＝50时取到最大值．15．(2012·湖北理，20)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：、900的概率分别为0.3、0.7、0.9.求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．[分析] (1)利用概率的加法公式及对立事件求分布列，再求均值与方差．(2)利用条件概率公式求解．[解析] (1)由已知条件和概率的加法公式有：P (X <300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X <900)＝P (X <900)－P (X <700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y 的分布列为：Y 0 2 6 10P 0.3 0.4 0.2 0.1于是，E (Y )＝00.1＝3； D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2 ×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7， 又P (300≤X <900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝P (300≤x <900)P (X ≥300)＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.[点评] 本题考查随机变量的分布列与均值、方差、条件概率等知识，考查抽象概括能力与计算能力．16．(2012·聊城市模拟)某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女学生；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法，从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．(1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数； (2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率； (3)记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．[解析] (1)因为数学兴趣小组人数：英语兴趣小组人数＝105＝21，从数学兴趣小组和英语兴趣小组中抽取3人，则抽取数学小组的人数为2人，英语小组的人数为1人．(2)从数学兴趣小组中抽取2人恰有一名女生的概率P ＝C 16·C 14C 210＝815.(3)随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3. P (ξ＝0)＝C 24C 210·35＝225；P (ξ＝1)＝C 16·C 14C 210·35＋C 24C 210·25＝2875；P (ξ＝2)＝C 26C 210·35＋C 16·C 14C 210·25＝3175；P (ξ＝3)＝C 26C 210·25＝215，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P22528753175215E (ξ)＝0×225＋1×2875＋2×3175＋3×215＝85.1．(2011·广东广州二模)设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值等于( )A.73B.53 C ．5D ．3[答案] A[解析] 已知ξ～N (3,4)，所以μ＝3，又因为P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，所以(2a －3)＋(a ＋2)2＝3，解得a ＝73. 2．(2011·浙江五校联考)设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.1681[答案] B[解析] 由P (ξ≥1)＝59，得C 12p (1－p )＋C 22p 2＝59，即9p 2－18p ＋5＝0，解得p ＝13或p ＝53(舍去)，∴P (η≥2)＝C 24p 2(1－p )2＋C 34p 3(1－p )＋C 44p 4 ＝6×(13)2×(23)2＋4×(13)3×23＋(13)4＝1127.3．(2011·潍坊模拟)某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．40%[答案] D[解析] 由条件知μ＝90，P (ξ<60)＝0.1，∴P (ξ>120)＝0.1，∴P (90≤ξ<120)＝12[1－2P (ξ<60)]＝12×(1－0.2)＝0.4，故选D.4．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的6支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个．则X 的均值为( )A ．5B ．5.25C ．5.8D ．4.6[答案] B[解析] 由题意可知，X 可以取3、4、5、6，P (X ＝3)＝1C 36＝120；P (X ＝4)＝C 23C 36＝320； P (X ＝5)＝C 24C 36＝310；P (X ＝6)＝C 25C 36＝12， ∴E (X )＝3×120＋4×320＋5×310＋6×12＝5.25.5．设随机变量ξ的分布列如下表所示，E (ξ)＝1.6，则a －b ＝( )A.0.2C ．－0.2D ．－0.4[答案] C [解析] 由0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，得a ＋b ＝0.8①又由E (ξ)＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a ＋2b ＝1.3②由①②解得a＝0.3，b＝0.5，∴a－b＝－0.2，故应选C.6．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p 的取值范围是()A．[0.4,1] B．(0,0.4]C．(0,0.6] D．[0.6,1)[答案] B[解析]∵事件A在一次试验中发生的概率为p，∴由条件知C14p(1－p)3≥C24p2(1－p)2，解得p≤0.4，故选B.7．(2011·温州十校联考)已知随机变量X～N(3,22)，若X＝2η＋3，则D(η)等于()A．0B．1C．2D．4[答案] B[解析]由X＝2η＋3，得D(X)＝4D(η)，而D(X)＝22＝4，∴D(η)＝1.8．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34，12，13，14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] 设A 、B 、C 、D 分别表示甲同学能正确回答第一、二、三、四个问题的事件，A －、B －、C －、D －分别为A 、B 、C 、D 的对立事件(例如A －表示甲同学第一题回答错误)．由题设条件知，P (A )＝34，P (B )＝12，P (C )＝13，P (D )＝14，P (A －)＝14，P (B －)＝12，P (C －)＝23，P (D －)＝34.(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件W ，则由题设条件知W ＝ABC ＋AB C －D ＋A B －CD ＋A －BCD ＋A －B C －D ，∵A 、B 、C 、D 各事件相互独立，∴P (W )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C －)·P (D )＋P (A )·P (B －)·P (C )·P (D )＋P (A －)·P (B )·P (C )·P (D )＋P (A －)·P (B )·P (C －)·P (D )＝34×12×13＋34×12×23×14＋34×12×13×14＋14×12×13×14＋14×12×23×14＝14.(2)由题意知，ξ的可能取值为2、3、4，则P (ξ＝2)＝P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝14×12＝18，P (ξ＝3)＝P (ABC ＋A B －C －)＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C －)＝34×12×13＋34×12×23＝38.P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－18－38＝12，∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝278.。
高考数学一轮总复习 103变量间的相关关系课后强化作业 北师大版
"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习10-3变量间的相关关系课后强化作业北师大版"基础达标检测一、选择题1．设有一个回归方程为y＝2－2.5x，则变量x增加一个单位时，则()A．y平均增加2.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少2.5个单位D．y平均减少2个单位[答案] C[解析]由回归方程的系数b＝－2.5可知，x每增加一个单位，则y平均减少2.5个单位．2．对于事件A和事件B，通过计算得到χ2的观测值χ2≈4.514，下列说法正确的是() A．有99%的把握说事件A和事件B有关B．有95%的把握说事件A和事件B有关C．有99%的把握说事件A和事件B无关D．有95%的把握说事件A和事件B无关[答案] B[解析]由独立性检验知有95%的把握说事件A与B有关．3．(文)已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为y＝0.01x ＋0.5，则加工600个零件大约需要__________h．()A．6.5 B．5.5C．3.5 D．0.5[答案] A[解析]将x＝600代入回归方程即得A.(理)工人月工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的回归方程y＝50＋80x，下列判断正确的是()(1)劳动生产率为1 000元时，工资为130元；(2)劳动生产率提高1 000元时，则工资提高80元；(3)劳动生产率提高1 000元，则工资提高130元；(4)当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元．A．(1) B．(2)C ．(3)D ．(4)[答案] B[解析] 劳动生产率的单位是千元，故应把x ＝1(千元)代入，求得y 增加80(元)． 4．(2012·湖南理，4)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确．．．的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg [答案] D[解析] 本题主要考查线性相关及回归方程．D 选项断定其体重必为58.79kg 不正确．注意回归方程只能说“约”“大体”而不能说“一定”“必”．5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”[答案] C[解析] 本小题考查内容为独立性检验．6．635<K 2＝7.8<10.828，∴我们有99%的把握认为二者有关，或者说在犯错的概率不超过1%的前提下二者有关．6．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元[答案] B[解析] ∵x －＝4＋2＋3＋54＝72，y －＝49＋26＋39＋544＝42，又y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)， ∴42＝72×9.4＋a ^，∴a ^＝9.1.∴线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.∴当x ＝6时，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．[点评] 本小题考查了对线性回归方程的理解及应用，求解的关键是明确线性回归方程必过样本中心点(x －，y －)，同时考查计算能力．二、填空题7．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：[答案] 99.9%[解析] 首先算得χ2≈11.377，然后查表可得概率．8．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据算得线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为________杯(已知回归系数b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ＝y －b x )．[答案] 70[解析] 根据表格中的数据可求得x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40(杯)．∴a ＝y －－b x －＝40－(－2)×10＝60，∴y ^＝－2x ＋60， 当x ＝－5时，y ^＝－2×(－5)＋60＝70(杯)．9．某高校“初步统计”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：为了判断主据，得到χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，因为χ2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．[答案] 5%[解析] 因为3.841<4.844<6.635，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，这种判断出错的可能性为5%.三、解答题10．(2013·重庆高考)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑i ＝1n x i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x－2，a ＝y －－b x －，其中x －，y －为样本平均值．线性回归方程也可写为 y ^＝b ^x ＋a ^.[解析] (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2.又l xx ＝∑i ＝1n x 2i －n x －2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑i ＝1n x i y i ＝n x －y －＝184－10×8×2＝24.由此得b ＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值B 随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).能力强化训练一、选择题1．在第29届奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居世界金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见．有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性公民中有1 560名持反对意见，2 452名女性公民中有1 200人持反对意见，在运用这些数据说明中国的奖牌是否与中国进入体育强国有无关系时用什么方法最有说服力( )A ．平均数与方差B ．回归直线方程C ．独立性检验D ．概率[答案] C[解析] 由于参加讨论的公民按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况：认为有关与无关，故该资料取自完全随机统计，符合2×2列联表的要求，故用独立性检验最有说服力．2．已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝bx ＋a ，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝bx ＋a ”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] (x 0，y 0)为这10组数据的平均值，又因为线性回归方程y ^＝bx ＋a 必过样本中心(x ，y )，因此(x ，y )外，可能还有其他样本点．二、填空题3．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：小李这6号打6小时篮球的投篮命中率为________．[答案] 0.5 0.53[解析] 本题主要考查线性回归方程以及运算求解能力．利用公式求系数利用回归方程统计实际问题．小李这5天的平均投篮命中率y ＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝0.5，可求得小李这5天的平均打篮球时间x ＝3.根据表中数据可求得b ^＝0.01，a ^＝0.47，故回归直线方程为y ^＝0.47＋0.01x ，将x ＝6代入得6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53.4．某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用，把500名使用过血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，经查临界值表知P (χ2≥3.841)≈0.05，则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； ②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； ③这种血清预防感冒的有效率为95%； ④这种血清预防感冒的有效率为5%. [答案] ①[解析] 因为χ2≈3.918≥3.841，则P (χ2≥3.814)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．三、解答题5．(2013·福建高考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2P (χ2≥k )0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828(K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ))[解析] (1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名． 所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(15×25－15×45)260×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．6．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)[解析] (1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250， 从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1000 ＝－20(x －334)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定价为8.25元时，工厂可获得最大利润．。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-9随机变量的数字特征与正态分布课后强化作业 新人教A
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-9随机变量的数字特征与正态分布课后强化作业 新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．(2013·某某模拟)一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n 把钥匙依次分给n 名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为( )A ．1B ．n C.n ＋12 D.n －12[答案]C[解析]这把可以打工柜门的钥匙排在任何一个位置都是等可能的，概率为1n ，设试开次数为ξ，则E (ξ)＝(1＋2＋…＋n )·1n ＝n ＋12.2．(2013·某某一模)已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (η)，D (η)分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6 [答案]B[解析]∵X ～B (10,0.6)，∴E (X )＝10×0.6＝6，D (X )＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4， ∴E (η)＝8－E (X )＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝2.4.3．(2013·白山联考)设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 [答案]A[解析]∵X ～N (1,52)，P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)， ∴(a －2)＋02＝1，∴a ＝4.4．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( )A ．39元B ．37元C ．20元 D.1003元[答案]B[解析]ξ的分布列为∴E (ξ)＝50×0.6＋30×0.35．已知随机变量ξ，η满足ξ＝2η－1，且ξ～B (10，p )，若E (ξ)＝8，则D (η)＝( ) A ．0.5 B ．0.8 C ．0.2 D ．0.4 [答案]D[解析]∵E (ξ)＝10p ＝8，∴p ＝0.8，∴D (ξ)＝10p (1－p )＝10×0.8×0.2＝1.6，又D (ξ)＝D (2η－1)＝4D (η)，∴D (η)＝0.4.6．(2013·某某调研)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16 [答案]B[解析]P ＝23×⎝⎛⎭⎫1－34＋⎝⎛⎭⎫1－23×34＝512 二、填空题7．抛掷一枚均匀的正方体骰子，观察出现的点数，如果出现了5点或6点，则称“抛掷高效”，若“抛掷高效”则得1分，否则得0分，则抛掷一次得分的期望为________．[答案]13[解析]由题意P (ξ＝0)＝23，P (ξ＝1)＝13，∴E (ξ)＝0×23＋1×13＝13.8．如果随机变量ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，且D (ξ)＝2，则E (pξ－D (ξ))＝________. [答案]0[解析]∵ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，∴np ＝4， 又∵D (ξ)＝2，∴np (1－p )＝2，∴p ＝12，∴E (pξ－D (ξ))＝E (12ξ－2)＝12E (ξ)－2＝0.9．甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、4个白球和2个黑球，先从甲罐中任意取出一球放入乙罐，再从乙罐中取出一球，则从乙罐中取出的球是白球的概率为________．[答案]2155[解析]设从甲罐中取出红球、白球、黑球的事件分别为A 1、A 2、A 3，设从乙罐中取出白球的事件为B ，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝15，P (A 3)＝310，所求概率P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝12×411＋15×511＋310×411＝2155.三、解答题10．(2013·海淀模拟)某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次．在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别为910或13.(1)如果选手甲以在A 、B 区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择在哪个区投篮？(2)求选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率．[解析](1)法一：设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则X ～B (2，910)，故E (X )＝2×910＝95， 则选手甲在A 区投篮得分的期望为2×95＝3.6.设选手甲在B 区投三次篮的进球数为Y ，则Y ～B (3，13)，故E (Y )＝3×13＝1，则选手甲在B 区投篮得分的期望为3×1＝3. ∵3.6>3，∴选手甲应该选择在A 区投篮．法二：设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0,2,4， P (ξ＝0)＝(1－910)2＝1100，P (ξ＝2)＝C 12×910×(1－910)＝18100， P (ξ＝4)＝(910)2＝81100.所以ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×1100＋2×18100＋4×81100＝3.6.同理，设选手甲在B 区域投篮的得分为η，则η的可能取值为0,3,6,9， P (η＝0)＝(1－13)3＝827，P (η＝3)＝C 13×13×(1－13)2＝49， P (η＝6)＝C 23×(13)2(1－13)＝29， P (η＝9)＝(13)3＝127.所以η的分布列为：∴E (η)＝0×827＋3×49＋6×29＋9×127＝3.∵E (ξ)>E (η)，∴选手甲应该选择在A 区投篮．(2)设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分、在B 区投篮得0分为事件C 1，甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得0分为事件C 2，甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得3分为事件C 3，则C ＝C 1∪C 2∪C 3，其中C 1，C 2，C 3为互斥事件．则：P (C )＝P (C 1∪C 2∪C 3)＝P (C 1)＋P (C 2)＋P (C 3)＝18100×827＋81100×827＋81100×49＝4975，故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975.能力拓展提升11.(2013·某某模拟)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ.(1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？[解析](1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P (ξ＝6)＝126200＝0.63，P (ξ＝2)＝50200＝0.25，P (ξ＝1)＝20200＝0.1，P (ξ＝－2)＝4200＝0.02.故ξ的分布列为(2)1件产品的平均利润为E (ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)． (3)设技术革新后三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为E (ξ)＝6×0.7＋2×(1－0.7－x －0.01)＋1×x ＋(－2)×0.01＝4.76－x .由E (ξ)≥4.73，得4.76－x ≥4.73， 解得x ≤0.03，所以三等品率最多为3%.12．(2012·某某理，20)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.7、0.9.求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．[分析] (1)利用概率的加法公式及对立事件求分布列，再求均值与方差．(2)利用条件概率公式求解．[解析](1)由已知条件和概率的加法公式有：P (X <300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X <900)＝P (X <900)－P (X <700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1.所以Y 的分布列为：Y 0 2 6 10 P0.30.40.20.1于是，E (Y )＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3； D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2 ×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7， 又P (300≤X <900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝P (300≤x <900)P (X ≥300)＝0.60.7＝67. 故在降水量X 至少是300mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.13．(2013·某某理，18)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)乙的频数统计表(部分)当n ＝2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．[解析](1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整中数随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)当n ＝2100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝C 03×(13)0×(23)3＝827， P (ξ＝1)＝C 13×(13)1×(23)2＝49， P (ξ＝2)＝C 23×(13)2×(23)1＝29， P (ξ＝3)＝C 33×(13)3×(23)0＝127， 故ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P8274929127所以，Eξ＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1.即ξ的数学期望为1.14．某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女学生；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法，从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．(1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数； (2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率； (3)记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．[解析](1)因为数学兴趣小组人数：英语兴趣小组人数＝105＝21，从数学兴趣小组和英语兴趣小组中抽取3人，则抽取数学小组的人数为2人，英语小组的人数为1人．(2)从数学兴趣小组中抽取2人恰有一名女生的概率P ＝C 16·C 14C 210＝815.(3)随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3. P (ξ＝0)＝C 24C 210·35＝225；P (ξ＝1)＝C 16·C 14C 210·35＋C 24C 210·25＝2875；P (ξ＝2)＝C 26C 210·35＋C 16·C 14C 210·25＝3175；P (ξ＝3)＝C 26C 210·25＝215，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P22528753175215E (ξ)＝0×225＋1×2875＋2×3175＋3×215＝85.考纲要求1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． 3．利用实际问题的直方图，了解正态分布的特点及曲线所表示的意义． 补充说明1．均值与方差的理解(1)均值E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均水平．(2)D (X )表示随机变量X 对E (X )的平均偏离程度，D (X )越小，X 的取值越集中，D (X )越大，X 的取值越分散．2．正态曲线与正态分布函数f (x )＝φμ，σ(x )＝12πσe －(x －μ)22σ2，x ∈R .其中实数μ和σ为参数，我们称f (x )的图象为正态曲线．服从正态分布的随机变量叫做正态变量．正态随机变量X 落在区间[a ，b ]内的概率为： P (a <X ≤b )≈⎠⎛ab f (x )dx .即由正态曲线，过点(a,0)和(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是随机变量X落在区间[a，b]的概率的近似值，如下图．正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布．如长度测量误差、正常生产条件下各种产品的质量指标等．一般地，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．化归思想将正态变量在任意区间上的概率化归为特殊区间的概率后求值．4．3σ原则服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．这就是正态分布的3σ原则．正态总体在三个特殊区间内取值的概率为P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.5．求解随机变量的的期望与方差的问题，先要弄清概率模型，其次弄清事件的关系．三要熟记相关公式．四是注意期望与方差的性质．备选习题1．(2013·某某模拟)某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一X写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为() A．0.9 B．0.8C．1.2 D．1.1[答案]A[解析]依题意得，得分之和X的可能取值分别是0,1,2，且P(X＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，P (X ＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，因此，这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.2．设一随机试验的结果只有A 和A －，且P (A )＝p ，令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (A 出现)，0 (A 不出现).则X的方差D (X )等于( )A ．pB ．2p (1－p )C ．－p (1－p )D ．p (1－p ) [答案]D[解析]X 服从两点分布，故D (X )＝p (1－p )．3．(2012·某某质检)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值X 围是( )A ．(0，712)B ．(712，1)C ．(0，12)D ．(12，1)[答案]C[解析]由已知条件可得P (X ＝1)＝p ， P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>1.75， 解得p >52或p <12，又由p ∈(0,1)，可得p ∈(0，12)，故应选C.4．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a －b |的取值”，则ξ的数学期望E (ξ)为( )A.89B.35C.25D.13 [答案]A[解析]∵对称轴在y 轴左侧，∴－b2a<0，∴ab >0，即a 与b 同号，∴满足条件的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条．ξ的取值为0、1、2，P (ξ＝0)＝6×7126＝13，P (ξ＝1)＝8×7126＝49，P (ξ＝2)＝4×7126＝29.∴E (ξ)＝13×0＋49×1＋29×2＝89.5．(2013·某某聊城一模)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时部分每小时的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)． [解析](1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.记“甲，乙两人所付的租车费用相同”为事件A ， 则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516，即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,2,4,6,8，且 P (ξ＝0)＝14×12＝18；P (ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516；P (ξ＝4)＝12×14＋14×12＋14×14＝516；P (ξ＝6)＝12×14＋14×14＝316；P (ξ＝8)＝14×14＝116.ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝72.6．有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：12天出发．(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A 和汽车B 应如何选择各自的路径．(2)若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元(其他费用忽略不计)，此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给生产商2万元．如果汽车A 、B 长期按(1)中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．(注：毛利润＝销售商支付给生产商的费用－一次性费用) [解析](1)频率分布表，如下：设A 1、A 2分别表示汽车A 在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；B 1、B 2分别表示汽车B 在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙．P (A 1)＝0.2＋0.4＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∴汽车A 应选择公路1.P (B 1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， ∴汽车B 应选择公路2.(2)设X表示汽车A选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则X＝42,40,38,36. X的分布列如下：E(X)＝42×0.2＋40×0.4＋38×0.2＋36×0.2＝39.2.∴汽车A选择公路1时的毛利润为39.2－3.2＝36.0(万元)设Y表示汽车B选择公路2时的毛利润，Y＝42.4，40.4，38.4,36.4.则分布列如下：E(Y)＝42.4×0.1＋40.4×0.4＋38.4×0.4＋36.4×0.1＝39.4，∴汽车B选择公路2时的毛利润为39.4万元，∵36.0<39.4，∴汽车B为生产商获得毛利润更大．。
高考数学一轮总复习 119二项分布与正态分布课后强化作业 北师大版
"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 11-9二项分布与正态分布课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题1．已知随机变量X 的分布列则DX ＝( ) A ．0.7 B ．0.61 C ．－0.3 D ．0.2 [答案] B[解析] EX ＝(－1)×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，DX ＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61.2．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的均值为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 本题以实际问题为背景，考查服从二项分布的事件的均值等．记“不发芽的种子数为X ”，则X ～B (1 000,0.1)，所以EX ＝1 000×0.1＝100，则E (2X )＝2EX ＝200，故选B.3．(2013·广东高考)已知离散型随机变量X 的分布列为( )则X 的数学期望EX ＝( A.32 B ．2 C.52 D ．3[答案] A[解析] EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝32.4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后乘余子弹的数目X 的均值为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4[答案] C[解析] X ＝0,1,2,3，此时P (X ＝0)＝0.43，P (X ＝1)＝0.6×0.42，P (X ＝2)＝0.6×0.4，P (X ＝3)＝0.6，EX ＝2.376.故选C.5．设随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，且二次方程x 2＋4x ＋X ＝0无实数根的概率为12，则μ等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．不能确定 [答案] C[解析] 因为方程x 2＋4x ＋X ＝0无实数根的概率为12，由Δ＝16－4X <0，得X >4， 即P (X >4)＝12＝1－P (X ≤4)，故P (X ≤4)＝12，∴μ＝4.6．已知随机变量X 的分布列为若EX ＝158，则DX 等于( )A.3364B.5564 C.732 D.932[答案] B[解析] 由分布列的性质得x ＋y ＝0.5，又EX ＝158，所以2x ＋3y ＝118，解得x ＝18，y ＝38，所以DX ＝⎝⎛⎭⎫1－1582×12＋⎝⎛⎭⎫2－1582×18＋⎝⎛⎭⎫3－1582×38＝5564. 二、填空题7．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次实验成功，则在10次实验中，成功次数X 的期望是________．[答案]509[解析] 由题意一次试验成功的概率为1－23×23＝59，10次试验为10次独立重复试验，则成功次数X ～B (10，59)，所以EX ＝509.8．已知随机变量X 的分布列为则EX ＝________[答案] 3 1.2[解析] EX ＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝0.1＋0.4＋1.2＋0.8＋0.5＝3. DX ＝(1－3)2×0.1＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.4＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.1＝1.2. 9．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则DX ＝________.[答案]916[解析] ∵X ～B (3，14)，∴DX ＝3×14×34＝916.三、解答题10．(2013·江西高考)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列和数学期望．[解析](1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28＝28种．X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝828＝2 7.(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1,0,1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：EX ＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.能力强化训练一、选择题1．已知随机变量X 的分布列为则下列式子中：①EX ＝－13；②DX ＝2327；③P (X ＝0)＝13.正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] EX ＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，故①正确；DX ＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59，故②不正确，③显然正确，应选C.2．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元．节后卖不出的鲜花以每束1.6元价格处理，根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是( )A.706元 C ．754元 D ．720元[答案] A[解析] 节日期间预售的量：EX ＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15 ＝40＋105＋120＋75＝340(束)． 则期望的利润：η＝5X ＋1.6(500－X )－500×2.5＝3.4X －450.∴Eη＝3.4EX －450＝3.4×340－450＝706(元)． ∴期望利润为706元． 二、填空题3．若p 为非负实数，随机变量X 的概率分布如下表，则EX 的最大值为________，DX 的最大值为________.[答案] 321[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧0≤12－p <10≤p <1∴p ∈[0，12]．∴EX ＝p ＋1≤32，DX ＝－p 2－p ＋1≤1.4．抛掷一枚硬币，正面向上记1分，反面向上记2分，若一共抛出硬币4次，且每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则总得分X 的均值EX ＝________.[答案] 6[解析] 抛掷4次可能出现的结果是四反、一正三反、二正二反、三正一反、四正 ，其中对应的分数分别为8、7、6、5、4所以X 的取值为4、5、6、7、8.设对应的概率的值分别为P 1、P 2、P 3、P 4、P 5，则P 1＝C 44⎝⎛⎭⎫124＝116，P 2＝C 34⎝⎛⎭⎫123·12＝14， P 3＝C 24⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫122＝38，P 4＝C 14⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫123＝14， P 5＝C 04⎝⎛⎭⎫124＝116，EX ＝4×116＋5×14＋6×38＋7×14＋8×116＝6.三、解答题5．(2013·陕西高考)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名，观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望． [解析] (1)由于观众甲必选1，不选2，则观众甲选中3号歌手的概率为C 11·C 12C 23＝23，观众乙未选中3号歌手的概率为C 34C 35＝25，甲乙选票彼此独立，故观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为23×25＝415.(2)X 的所有可能取值为0,1,2,3.由(1)知，观众甲选中3号歌手的概率为23观众乙选中3号歌手的概率为1－25＝35，则观众丙选中3号歌手的概率也为1－25＝35，则P (X ＝0)＝(1－23)×(1－35)2＝475P (X ＝1)＝23×(1－35)2＋(1－23)×2×35×(1－35)＝2075＝415P (X ＝2)＝23×2×35×(1－35)＋(1－23)×(35)2＝3375＝1125P (X ＝3)＝23×(35)2＝1875＝625则X 的分布列如下：EX ＝0×475＋1×415＋2×1125＋3×625＝2815.6．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 23，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分X 的分布列及均值EX . [解析] (1)P ＝34·(13)2＋14·C 12·13·23＝736；(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4,5P (X ＝0)＝14·(13)2＝136，P (X ＝1)＝34·(13)2＝112，P (X ＝2)＝14C 1213·23＝19，P (X ＝3)＝34C 12·13·23＝13，P (X ＝4)＝14·(23)2＝19，P (X ＝5)＝34·(23)2＝13.所以X 的分布列为：EX ＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112＝3512.。
新编高考数学(理科)一轮复习1010《正态分布》规范训练(含答
新编高考数学（理科）一轮复习1010《正态分布》规范训练（含答课时规范练(八十三)1．关于正态曲线性质的叙述：(1)曲线关于直线某＝μ对称，这个曲线在某轴上方；(2)曲线关于直线某＝σ对称，这个曲线只有当某∈(－3σ，3σ)时才在某轴上方；(3)曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；(4)曲线在某＝μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；(5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；(6)σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．上述说法正确的是()A．只有(1)(4)(5)(6)B．只有(2)(4)(5)C．只有(3)(4)(5)(6)答案A2．下列函数是正态密度函数的是()D．只有(1)(5)(6)答案B解析A中的函数值不是随着|某|的增大而无限接近于零．而C中的函数无对称轴，D中的函数图像在某轴下方，所以选B.3．设随机变量某～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(|某－μ|<3σ)将会()A．单调增加C．保持不变答案C解析P(|某－μ|<3σ)＝P(μ－3σ4．已知随机变量某服从正态分布N(0，σ2)，若P(某>2)＝0.023，则P(－2≤某≤2)B．单调减少D．增减不定＝()A．0.477C．0.954答案C解析由随机变量某服从正态分布N(0，σ2)可知正态密度曲线关于y 轴对称，而P(某>2)＝0.023，则P(某2)－P(某5．设随机变量ξ～M(μ，σ2)，且P(ξ≤C)＝P(ξ>C)＝p，则p的值为()A．01C.2答案C解析∵P(ξ≤C)＝P(ξ>C)＝p，∴C＝μ，且p＝2.6．(20某某·衡水调研卷)设随机变量某～N(1,52)，且P(某≤0)＝P(某>a－2)，则实数a的值为()A．4C．8答案A解析由正态分布的性质可知P(某≤0)＝P(某≥2)，所以a－2＝2，故a＝4，故A.7．(20某某·皖南十校联考)在某市1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？()A．1500C．4500答案A解析因为学生的数学成绩某～N(98,100)，所以P(某≥108)＝2[1－B．1700D．8000B．6D．10B．1D．不确定与σ无关B．0.625D．0.97711P(888．(20某某·南昌调研)某单位1000名青年职员的体重某(单位：kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布的密度曲线如图所示，若体重在58.5－62.5kg属于正常，则这1000名青年职员中体重属于正常的人数约是()A．683C．341答案A解析P(58.59．某市15000名考生在20某某年高考中的数学成绩(满分150分)某服从正态分布N(100,152)．据统计，分数在110分以上的考生共有5028人，则分数在90分以上的考生共有人．答案9972解析由正态分布图像的特点可以知道：对称轴某＝μ＝100，则平均分为100，从而分数在90分以下和在110分以上的概率相等(即可知道分数在90分以下的人数为5028)，从而分数在90分以上的人数为15000－5028＝9972.10．已知随机变量某～N(2，σ2)，若P(某＜a)＝0.32，则P(a≤某＜4－a)＝.B．841D．667答案0.36解析由正态分布图像的对称性，可得P(a≤某＜4－a)＝1－2P(某＜a)＝0.36.11.随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ<0)＝0.3，则P(ξ<2)＝.答案0.7解析由题意可知，正态分布的图像关于直线某＝1对称，所以P(ξ<2)＝P(ξ<0)＋P(012．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间1的人数约占总人数的3，则此次考试成绩不低于120分的学生约有人．答案100解析∵数学考试成绩ξ～N(100，σ2)，作出正态分布图像，可以看出，图1像关于直线某＝100对称．显然P(80≤ξ≤100)＝P(100≤ξ≤120)＝3；∴P(ξ≤80)＝P(ξ≥120)．又∵P(ξ≤80)＋P(ξ≥120)＝1－P(80≤ξ≤100)－P(100≤ξ≤120)＝1111，∴P(ξ≥120)＝32某3＝6.1∴成绩不低于120分的学生约为600某6＝100(人)．13．(20某某·沧州七校联考)中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有辆．答案180思路首先根据题意确定正态分布的对称轴，利用正态曲线的对称性即可求得ξ>9的概率，利用概率来估计样本中满足条件的汽车数量解析由题意可知ξ～N(8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P(7≤ξ≤9)＝0.7，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝0.7，所以P(8≤ξ≤9)＝0.35，而P(ξ≥8)＝0.5，所以P(ξ>9)＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1200某0.15＝180辆．14．已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝.82π1(1)求概率密度函数；(2)估计尺寸在72mm－88mm间的零件大约占总数的百分之几？答案(1)φμ，σ(某)＝1e82π(2)68.26%解析(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线某＝80对称，且在某＝80处取得最大值．因此得μ＝80，11＝，所以σ＝8.2π·σ82π.故密度函数解析式是φμ，σ(某)＝e82π(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.所以零件尺寸ξ位于区间(72,88)内的概率是0.6826.因此尺寸在72mm－88mm间的零件大约占总数的68.26%.15．(20某某·湖北)假设每天从甲地去乙地的旅客人数某是服从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值；(参考数据：若某～N(μ，σ2)，有P(μ－σ(2)某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？【答案】(1)0.9772(2)A型车5辆、B型车12辆解析(1)由于随机变量某服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700由正态分布的对称性，可得11p0＝P(某≤900)＝P(某≤800)＋P(8002.(2)设A型、B型车辆的数量分别为某，y辆，则相应的劳动成本为1600某＋2400y.依题意，某，y还需满足某＋y≤21，y≤某＋7，P(某≤36某＋60y)≥p0.由(1)知，p0＝P(某≤900)，故P(某≤36某＋60y)≥p0等价于36某＋60y≥900.y≤某＋7，于是问题等价于求满足约束条件36某＋60y≥900，某，y≥0，某，y∈N，且使目标函数z＝1600某＋2400y达到最小的某，y.某＋y≤21，作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．由图可知，当直线z＝1600某＋2400y经过可行域的点P时，直线z ＝1600某z＋2400y在y轴上截距2400最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆．2.(2)设A型、B型车辆的数量分别为某，y辆，则相应的劳动成本为1600某＋2400y.依题意，某，y还需满足某＋y≤21，y≤某＋7，P(某≤36某＋60y)≥p0.由(1)知，p0＝P(某≤900)，故P(某≤36某＋60y)≥p0等价于36某＋60y≥900.y≤某＋7，于是问题等价于求满足约束条件36某＋60y≥900，某，y≥0，某，y∈N，且使目标函数z＝1600某＋2400y达到最小的某，y.某＋y≤21，作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．由图可知，当直线z＝1600某＋2400y经过可行域的点P时，直线z ＝1600某z＋2400y在y轴上截距2400最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆．。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-2统计图表、数据的数字特征和用样本估计总体课后强化作
"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-2统计图表、数据的数字特征和用样本估计总体课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题1．某工厂生产滚珠，从某批产品中随机抽取8粒，量得直径分别为(单位：mm)：14.7,14.6,15.1,15.0,14.8,15.1,15.0,14.9，则估计该厂生产的滚珠直径的平均数为( )A ．14.8mmB ．14.9mmC ．15.0mmD ．15.1mm [答案]B[解析]平均数x ＝18(14.7＋14.6＋15.1＋15.0＋14.8＋15.1＋15.0＋14.9)＝14.9(mm)．2．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下： 组别 (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] 频数1213241516137则样本数据落在(10,40]上的频率为( ) A ．0.13 B ．0.39 C ．0.52 D ．0.64 [答案]C[解析]由列表可知样本数据落在 (10,40]上的频数为52，故其频率为0.52.3．(2013·某某高考)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45 [答案]D[解析]解法1：用样本估计总体．在区间[15,20)和[25,30)上的概率为0.04×5＋[1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5＝0.45.解法2：由图可知，抽得一等品的概率P 1＝0.06×5＝0.3；抽得三等品的概率为P 3＝(0.02＋0.03)×5＝0.25.故抽得二等品的概率为1－(0.3＋0.25)＝0.45.4．(2012·某某理，5)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 [答案]C[解析]本题考查了数理统计中的平均数、中位数、方差、极差及条形图等问题． x －甲＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，x －乙＝15(5×3＋6＋9)＝6，甲的成绩的方差为15(22×2＋12×2)＝2，乙的成绩的方差为15(12×3＋32×1)＝2.4.故选C.5．(文)若M 个数的平均数是X ，N 个数的平均数是Y ，则这M ＋N 个数的平均数是( ) A.X ＋Y 2 B.X ＋Y M ＋NC.MX ＋NY M ＋ND.MX ＋NY X ＋Y [答案]C[解析]该题考查平均数的概念及运算．共有M ＋N 个数，这M ＋N 个数的和为(MX ＋NY )，故这M ＋N 个数的平均数为MX ＋NY M ＋N.(理)期中考试后，班长算出了全班40名同学的数学成绩的平均分为M .如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M N 为( )A ．4041B ．1 1C ．4140D ．21[答案]B[解析]设40个人的成绩依次为a 1，a 2，…，a 40，则 M ＝a 1＋a 2＋…＋a 4040.当把该平均分M 当成一个人的分数时，41个分数的平均值为N ＝a 1＋a 2＋…＋a 40＋M41＝40M ＋M41＝M ， 故M N ＝11. 6．(2013·某某高考)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图如图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169B.367 C ．36 D.677[答案]B[解析]去掉最高最低分后的数据为87,90,90,91,91,94,90＋x ，由x －＝91＝87＋90＋90＋91＋91＋94＋(90＋x )7得x ＝4，则方差S 2＝[(87－91)2＋(90－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2＋(94－91)2]＝367.二、填空题7．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图所示)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为123，第2小组的频数为12，则报考飞行员的总人数是________．[答案]48[解析]据频率分布直方图可得第4小组及第5小组的频率之和为5×(0.013＋0.037)＝0.25，故前3个小组的频率为1－0.25＝0.75，第2小组的频率为0.75×21＋2＋3＝0.25，又其频数为12，故总人数为120.25＝48(人)．8．(2013·某某高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892[答案]2[解析]本题考查统计中方差的计算．x －甲＝90，且S 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，x －乙＝90，且S 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2. 由于S 2甲>S 2乙，所求方差为2.9．如图所示，是海尔电视机厂产值统计图，产值最少的是第________季度，产值最多的是第________季度．第四季度比第二季度增产________%.[答案]二 四 150[解析]折线图描述某种现象在时间上的发展趋势．图中折线表示了海尔电视机厂四个季度产值先减少后增多，且第二季度最少，第四季度最多．第四季度比第二季度增产15万元，增产150%.三、解答题10．(文)(2013·某某高考)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：分组(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 频数(个)5102015(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率． [解析](1)苹果的重量在[90,95)的频率为2050＝0.4.(2)重量在[80,85)的有4·55＋15＝1个．(3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1，[95,100)分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)共6种；设任取2个，重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有(1,2)(1,3)(1,4)共3种，所以P (A )＝36＝12.(理)(2013·某某高考)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率． [解析](1)样本均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝1326＝22(2)由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．(3)设事件A ：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P (A )＝C 14C 18C 212＝1633. 能力强化训练一、选择题1．小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )A．30% B．10%C．3% D．不能确定[答案]C[解析]本题考查了扇形图，条形图．由图2知小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元．占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.2．甲、乙两名同学在五次考试中数学成绩统计用茎叶图表示如图所示，则下列说法正确的是()A.甲的平均成绩比乙的平均成绩高B．甲的平均成绩比乙的平均成绩低C．甲成绩的方差比乙成绩的方差大D．甲成绩的方差比乙成绩的方差小[答案]C[解析]本题考查茎叶图知识及样本数据中的均值与方差的求解及其意义．可以求得两人的平均成绩相同，均为107，又S2甲＝12＋(99＋107)2＋(105－107)2＋(115－107)25[(98－107)＋(118－107)2]＝66.8，而S2乙＝12＋(106－107)2＋(108－107)2＋(112－107)2＋(1145[(95－107)－107)2]＝44，故选C.二、填空题3．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．[答案]0.030 3[解析]由所有小矩形面积为1不难得到a＝0.030，而三组身高区间的人数比为321，由分层抽样的原理不难得到[140,150]区间内的人数为3人．4．下图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.(注：方差s 2＝1n [(x 1－x －)2－(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，其中x －为x 1，x 2，…，x n 的平均数)[答案]6.8[解析]本题考查茎叶图、方差的概念． 由茎叶图知x －＝8＋9＋10＋13＋155＝11，∴s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.三、解答题5．若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过．．．1mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：(1)(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．[解析](1)4(2)由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70.(3)设这批产品中的合格品数为x 件， 依题意有505 000＝20x ＋20，解得x ＝5 000×2050－20＝1 980.所以该批产品的合格品件数估计是1 980件．6．(2013·某某高考)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x 1，x 2，估计x 1－x 2的值．[解析](1)设甲校高三年级学生总人数为n ， 由题意知，30n＝0.05，即n ＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1－530＝56.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x ′1、x ′2根据样本茎叶图可知． 30(x ′1－x ′2)＝30x ′1－30x ′2＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92 ＝2＋49－53－77＋2＋92 ＝15.因此x ′1－x ′2＝0.5，故x 1－x 2的估计值为0.5分．。
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2
B．8.12 D. 3.56
1
[解析] 由 0.4＋0.1＋x＝1 得 x＝0.5，
∴E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，
∴D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56.
3．已知随机变量 ξ，η 满足 ξ＝2η－1，且 ξ～B(10，p)，若 E(ξ)
＝8，则 D(η)＝( )
A．0.5
C．0.2
[答案] D
[解析] ∵E(ξ)＝10p＝8，∴p＝0.8，∴D(ξ)＝10p(1－p)
＝10×0.8×0.2＝1.6，又 D(ξ)＝D(2η－1)＝4D(η)，∴D(η)＝0.4.
－A 4．(2011·湘潭模拟)设一随机试验的结果只有 A 和 ，且 P(A)
1
8．甲罐中有 5 个红球、2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红
球、4 个白球和 2 个黑球，先从甲罐中任意取出一球放入乙罐，再
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-9随机变量的数字特征与正态分布课后强化作业 新人教B
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-9随机变量的数字特征与正态分布课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(2013·某某一模)已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (η)，D (η)分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6 [答案]B[解析]∵X ～B (10,0.6)，∴E (X )＝10×0.6＝6，D (X )＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4， ∴E (η)＝8－E (X )＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝2.4.2．(2013·白山联考)设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 [答案]A[解析]∵X ～N (1,52)，P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)， ∴(a －2)＋02＝1，∴a ＝4.3．某人射击一次击中的概率为35，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )A.81125B.54125C.36125D.27125 [答案]A[解析]该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是 P 1＝C 23·(35)2·25，三次全部击中目标的概率是P 2＝C 33·(35)3， 所以此人至少有两次击中目标的概率是 P ＝P 1＋P 2＝C 23·(35)2·25＋C 33·(35)3＝81125. 4．(2013·某某调研)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16 [答案]B[解析]P ＝23×⎝⎛⎭⎫1－34＋⎝⎛⎭⎫1－23×34＝512 5．(2013·某某模拟)某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一X 写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )A ．0.9B ．0.8C ．1.2D ．1.1 [答案]A[解析]依题意得，得分之和X 的可能取值分别是0,1,2，且P (X ＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，P (X ＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，因此，这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.6．(2012·某某质检)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值X 围是( )A ．(0，712)B ．(712，1)C ．(0，12)D ．(12，1)[答案]C[解析]由已知条件可得P (X ＝1)＝p ， P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>1.75， 解得p >52或p <12，又由p ∈(0,1)，可得p ∈(0，12)，故应选C.二、填空题7．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的件数，则E (ξ)＝________.[答案]34[解析]分布列如下：∴E (ξ)＝0×C 312C 316＋1×C 4C 12C 316＋2×C 4C 12C 316＋3×C 4C 316＝34.8．如果ξ～B (100，12)，当P (ξ＝k )取得最大值时，k ＝________.[答案]50[解析]P (ξ＝k )＝C k 100⎝⎛⎭⎫12k ·⎝⎛⎭⎫12100－k ＝C k 100⎝⎛⎭⎫12100，由组合数的性质知，当k ＝50时取到最大值． 9．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E (ξ)＝________.[答案]1[解析]P (ξ＝0)＝C 23C 24＝12，P (ξ＝2)＝C 13·C 11C 24＝12，∴E (ξ)＝0×12＋2×12＝1.三、解答题10．(2013·某某理，19)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3：0,3：1,3：2胜利的概率；(2)若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X 的分布列及数学期望．[解析](1)依次将事件“甲队以3：0胜利”、“甲队以3：1胜利”、“甲队以3：2胜利”记作A 1、A 2、A 3，由题意各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝(23)3＝827，P (A 2)＝C 23·(23)2·(1－23)×23＝827， P (A 3)＝C 24(23)2·(1－23)2×12＝427.所以甲队以3：0胜利、以3：1胜利的概率都为827，以3：2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3：2胜利”为事件A 4，则由题意知 P (A 4)＝C 24(1－23)2·(23)2×(1－12)＝427. 由题意，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3， 由事件的互斥性得，P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627，P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327，或P (X ＝3)＝(1－23)3＋C 23(1－23)2×23×13＝327. ∴X 的分布列为∴E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.能力拓展提升一、解答题11．(2013·某某聊城一模)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时部分每小时的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)． [解析](1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.记“甲，乙两人所付的租车费用相同”为事件A ，则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516，即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,2,4,6,8，且 P (ξ＝0)＝14×12＝18；P (ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516；P (ξ＝4)＝12×14＋14×12＋14×14＝516；P (ξ＝6)＝12×14＋14×14＝316；P (ξ＝8)＝14×14＝116.ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝72.12．(2012·某某理，17)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．[分析] (1)“甲获胜”的含义是：第一次甲中，或者第一次甲、乙都不中、第二次甲中，或者第一、二次甲、乙都不中，第三次甲中．(2)“甲投球次数”ξ的取值为1、2、3，ξ＝1表示第一次甲中；ξ＝2表示第一次甲、乙都未中，第二次甲中；ξ＝3表示第一、二次甲、乙都不中，第三次甲中．[解析]设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则 P (A k )＝13，P (B k )＝12，(k ＝1,2,3)．(1)记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1)＋P (A1B 1A 2)＋P (A1B1A2B 2A 3)＝P (A 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3) ＝13＋23×12×13＋(23)2×(12)2×13 ＝1327. (2)ξ的所有可能值为1,2,3. 由独立性知P (ξ＝1)＝P (A 1)＋P (A 1B 1)＝13＋23×12＝23，P (ξ＝2)＝P (A1B 1A 2)＋P (A1B1A 2B 2)＝23×12×13＋(23)2(12)2＝29， P (ξ＝3)＝P (A1B1A2B 2)＝(23)2×(12)2＝19. 综上知，ξ的分布列为：从而，E (ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139(次)．13．(2013·某某某某一中月考)某种鲜花进价每束2.5元，售价每束5元，若卖不出，则以每束1.6元的价格处理掉．某节日这种鲜花的需求量X (单位：束)的分布列为(1)若进鲜花400(2)试问：进多少束花可使利润Y 的均值最大？ [解析](1)销售量S (单位：束)的分布列为所以E (S )＝200×0.20＋而Y ＝(5－2.5)S ＋(400－S )×(1.6－2.5)＝3.4S －360，所以E (Y )＝3.4E (S )－360＝3.4×325－360＝745.(2)设进n (n ≤500)束花，当400<n ≤500时，销售量S (单位：束)的分布列为可得E (S )＝0.15n ＋Y ＝3.4S －0.9n ，E (Y )＝3.4E (S )－0.9n ＝－0.39n ＋901； 同理可对其它区间讨论后得，E (Y )＝⎩⎪⎨⎪⎧2.5n (n ≤200)，1.82n ＋136(200<n ≤300)，0.63n ＋493(300<n ≤400)，－0.39n ＋901(400<n ≤500).易知，n ＝400时，E (Y )取最大值745. 因此进400束花可使利润y 的均值最大．14．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．(1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格品的概率；(2)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格．按合同规定该商家从中任取2件进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及数学期望E (ξ)，并求该商家拒收这批产品的概率．[解析](1)记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A ，有 P (A )＝1－P (A )＝1－0.24＝0.9984. (2)ξ可能的取值为0、1、2. P (ξ＝0)＝C 217C 220＝6895；P (ξ＝1)＝C 13C 117C 220＝51190；P (ξ＝2)＝C 23C 220＝3190.P6895511903190E (ξ)＝0×6895＋1×51190＋2×3190＝310.记“商家任取2件产品检验都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率P ＝1－P (B )＝1－P (ξ＝0)＝2795.所以商家拒收这批产品的概率为2795.考纲要求1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． 3．利用实际问题的直方图，了解正态分布的特点及曲线所表示的意义． 补充材料1．正态曲线与正态分布函数f (x )＝φμ，σ(x )＝12πσe －(x －μ)22σ2 ，x ∈R .其中实数μ和σ为参数，我们称f (x )的图象为正态曲线．服从正态分布的随机变量叫做正态变量．正态随机变量X 落在区间[a ，b ]内的概率为： P (a <X ≤b )≈⎠⎛ab f (x )dx .即由正态曲线，过点(a,0)和(b,0)的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，就是随机变量X 落在区间[a ，b ]的概率的近似值，如下图．正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布．如长度测量误差、正常生产条件下各种产品的质量指标等．一般地，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．化归思想将正态变量在任意区间上的概率化归为特殊区间的概率后求值． 2．3σ原则服从于正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．这就是正态分布的3σ原则．正态总体在三个特殊区间内取值的概率为 P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826， P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544， P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.3．求解随机变量的的期望与方差的问题，先要弄清概率模型，其次弄清事件的关系．三要熟记相关公式．四是注意期望与方差的性质．备选习题1．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ<0)＝( ) A.12＋p B.12－p C ．1－2p D ．1－p [答案]B[解析]∵ξ～N (0,1)， ∴P (ξ<－1)＝P (ξ>1)＝p ，∴P (－1<ξ<0)＝12[1－2p (ξ>1)]＝12－p .2．甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都是23，则面试结束后通过的人数X 的数学期望是( )A.43B.119 C ．1 D.89 [答案]A[解析]依题意，X 的取值为0、1、2. 且P (X ＝0)＝(1－23)×(1－23)＝19，P (X ＝1)＝23×(1－23)＋(1－23)×23＝49，P (X ＝2)＝23×23＝49.故X 的数学期望E (X )＝0×19＋1×49＋2×49＝129＝43，选A.3．已知随机变量X ～N (3,22)，若X ＝2η＋3，则D (η)等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 [答案]B[解析]由X ＝2η＋3，得D (X )＝4D (η)，而D (X )＝22＝4，∴D (η)＝1.4．设两球队A 、B 进行友谊比赛，在每局比赛中A 队获胜的概率都是p (0≤p ≤1)． (1)若比赛6局，且p ＝23，求其中A 队至多获胜4局的概率是多少？(2)若比赛6局，求A 队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？(3)若采用“五局三胜”制，求A 队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望． [解析](1)设“比赛6局，A 队至多获胜4局”为事件A ， 则P (A )＝1－[P 6(5)＋P 6(6)]＝1－⎣⎡⎦⎤C 56⎝⎛⎭⎫235⎝⎛⎭⎫1－23＋C 66⎝⎛⎭⎫236＝1－256729＝473729. ∴A 队至多获胜4局的概率为473729.(2)设“若比赛6局，A 队恰好获胜3局”为事件B ，则P (B )＝C 36p 3(1－p )3.当p ＝0或p ＝1时，显然有P (B )＝0.当0<p <1时，P (B )＝C 36p 3(1－p )3＝20·[p (1－p )]3≤20·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1－p 223＝20·⎝⎛⎭⎫126＝516， 当且仅当p ＝1－p ，即p ＝12时取等号．故A 队恰好获胜3局的概率的最大值是516.(3)若采用“五局三胜”制，A 队获胜时的比赛局数ξ＝3,4,5. P (ξ＝3)＝p 3；P (ξ＝4)＝C 23p 3(1－p )＝3p 3(1－p )； P (ξ＝5)＝C 24p 3(1－p )2＝6p 3(1－p )2，所以ξ的分布列为：E (ξ)＝3p 3(10p 2－[点评] 本题第(3)问容易出错，“五局三胜制”不一定比满五局，不是“五局中胜三局”．A 队获胜包括：比赛三局，A 队全胜；比赛四局，A 队前三局中胜两局，第四局胜；比赛五局，前四局中胜两局，第五局胜，共三种情况．5．(2013·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、某某中学一模)某某市某省级示X 高中为了了解学校食堂的服务质量情况，对在校就餐的1400名学生按5%比例进行问卷调查，把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级：1级(很不满意)；2级(不满意)；3级(一般)；4级(满意)；5级(很满意)，其统计结果如下表所示(服务满意度为x ，价格满意度为y )．(1)作出“价格满意度”的频率分布直方图； (2)为改进食堂服务质量，现从满足“x ≤5且y <3”的人中随机选取2人参加座谈会，记其中满足“x <3且y ＝1”的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．[解析](1)“价格满意度”的频率分布直方图如图所示：(2)满足“x ≤5且y <3”的人数共21人，满足“x <3且y ＝1”的人数共3人，∴X 取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 218C 221＝5170，P (X ＝1)＝C 118·C 13C 221＝935，P (X ＝2)＝C 23C 221＝170，故X 的分布列为： E (X )＝0×5170＋1×935＋2×170＝27，所以X 的数学期望为27.。
高三数学一轮复习课时作业2：随机变量的数字特征与正态分布
课后作业(七十) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、选择题1．设随机变量ξ服从正态分布N (2，9)，若P (ξ＞c ＋1)＝P (ξ＜c －1)，则c ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．已知X 的分布列为则在下列式子中：①E (X )＝－13；②D (X )＝2327；③P (X ＝0)＝13.正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (η)，D (η)分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.64．(2013·徐州调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．4005．(2013·济南模拟)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0，2)内取值的概率为0.8，则ξ在(0，1)内取值的概率为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.4D ．0.86．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( )A ．(0，712)B ．(712，1)C ．(0，12)D ．(12，1)二、填空题7．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝______．8．已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋1，则Y 9．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：三、解答题10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所有取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b ，Eη＝1，Dη＝11，试求a ，b 的值．11．(2013·山东名校联考)2014年男足世界杯将在巴西举行，为了争夺最后一个小组赛参赛名额，甲、乙、丙三支国家队要进行比赛，规则如下：任两支队伍进行比赛，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为15，甲队获得第一名的概率为16，乙队获得第一名的概率为115.(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P 1和P 2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．12．(2012·湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．(1)确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)解析及答案一、选择题 1．『解析』 因为ξ～N (2，9)，正态密度曲线关于x ＝2对称，又概率表示它与x 轴所围成的面积． ∴（c ＋1）＋（c －1）2＝2，∴c ＝2.『答案』 B2．『解析』 E (X )＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D (X )＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确．『答案』 C3．『解析』 若两个随机变量η，X 满足一次关系式η＝aX ＋b (a ，b 为常数)，当已知E (X )、D (X )时，则有E (η)＝aE (X )＋b ，D (η)＝a 2D (X )．由已知随机变量X ＋η＝8，所以有η＝8－X .因此，求得E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2， D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.『答案』 B4．『解析』 记不发芽的种子数为ξ，则ξ～B (1000，0.1)∴E (ξ)＝1000×0.1＝100.又X ＝2ξ，∴E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200.『答案』 B5．『解析』 正态曲线关于直线x ＝1对称，ξ在(0，1)，(1，2)内的概率相等，故结果为12×0.8＝0.4. 『答案』 C6．『解析』 X 的可能取值为1，2，3，∵P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2， ∴E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，由E (X )＞1.75，即p 2－3p ＋3＞1.75，得p ＜12或p ＞52(舍)，∴0＜p ＜12.『答案』 C二、填空题7．『解析』 由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12. 随机变量X 的分布列为：E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.『答案』 53 8．『解析』 由分布列的性质，a ＝1－12－16＝13， ∴E (X )＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16，因此E (Y )＝E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝23.『答案』 23 9．『解析』 由题意知，一年后获利6 000元的概率为0.96，获利－25 000元的概率为0.04，故一年后收益的期望是6 000×0.96＋(－25 000)×0.04＝4 760(元)．『答案』 4 760三、解答题 10．『解』 (1)ξ的分布列为∴Eξ＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.Dξ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由Dη＝a 2Dξ，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2.又Eη＝aEξ＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝4即为所求． 11．『解』 (1)根据题意知，若甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队， ∴甲队获得第一名的概率为P 1×P 2＝16，①若乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队， ∴乙队获得第一名的概率为(1－P 1)×15＝115，②解②得P 1＝23，代入①得P 2＝14.∴甲队胜乙队的概率为23，甲队胜丙队的概率为14.(2)由题意知ξ可能的取值为0，3，6，ξ＝0时，甲队两场比赛皆输，其概率为P (ξ＝0)＝(1－23)×(1－14)＝14；ξ＝3时，甲队两场只胜一场，其概率为P (ξ＝3)＝23×(1－14)＋14×(1－23)＝712；ξ＝6时，甲队两场皆胜，其概率为P (ξ＝6)＝23×14＝16.∴ξ的分布列为∴Eξ＝0×14＋3×712＋6×16＝114.12．『解』 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P (X ＝1)＝15100＝320，P (X ＝1.5)＝30100＝310，P (X ＝2)＝25100＝14，P (X ＝2.5)＝20100＝15，P (X＝3)＝10100＝110.X 的分布列为X E (X )＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.(2)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X i (i ＝1，2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则P (A )＝P (X 1＝1且X 2＝1)＋P (X 1＝1且X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5且X 2＝1)． 由于各顾客的结算相互独立，且X 1，X 2的分布列都与X 的分布列相同，所以 P (A )＝P (X 1＝1)×P (X 2＝1)＋P (X 1＝1)×P (X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5)×P (X 2＝1)＝320×320＋320×310＋310×320＝980. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.。
【步步高】2015届高考数学总复习 第十一章 11.2统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体强化训
§11.2 统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体1．统计图表统计图表是表达和分析数据的重要工具，常用的统计图表有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、茎叶图等． 2．数据的数字特征(1)众数、中位数、平均数众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数．平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )． 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．(2)样本方差、标准差标准差s ＝ 1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]， 其中x n 是样本数据的第n 项，n 是样本容量，x 是平均数．标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．3．用样本估计总体(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的频率分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征．(2)在频率分布直方图中，纵轴表示频率组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1.(3)在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，称之为频率折线图．(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它没有信息的缺失，而且可以随时记录，方便表示与比较．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( √ )(2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．( × )(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．( √ )(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( × )2．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.答案 3.2解析 x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，∴s 2＝15[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝165＝3.2. 3．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，x ；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70)，2；则x ＝________；根据样本的频率分布估计，数据落在[10,50)的概率约为________．答案 4 0.7解析 x ＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4，P ＝2＋3＋4＋520＝0.7或P ＝1－4＋220＝0.7. 4．(2012·某某)如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为______．答案 6.8解析 依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为8＋9＋10＋13＋155＝11. 由方差公式得s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝15(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.5．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．答案600解析由直方图易得数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，所以所求分数小于60分的学生数为3 000×0.2＝600.题型一频率分布直方图的绘制与应用例1某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均分．思维启迪利用各小长方形的面积和等于1求分数在[70,80)内的频率，再补齐频率分布直方图．解(1)设分数在[70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，有(0.010＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，可得x＝0.3，所以频率分布直方图如图所示．(2)平均分：45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分)．思维升华频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布，从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布．根据频率分布直方图估计样本(或者总体)的平均值时，一般是采取组中值乘以各组的频率的方法．(2013·某某)对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为()A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.45答案 D解析设区间[25,30)对应矩形的另一边长为x，则所有矩形面积之和为1，即(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x)×5＝1，解得x＝0.05.产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45. 题型二茎叶图的应用例2如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1、a2，则一定有()A．a1>a2B．a2>a1C．a1＝a2D．a1，a2的大小与m的值有关思维启迪去掉的最低分和最高分就是第一行和第三行的数据，剩下的数我们只要计算其叶上数字之和，即可对问题作出结论．答案 B解析去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a2>a1.故选B.思维升华由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表试题时，就要充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断，这类试题往往伴随着对数据组的平均值或者是方差的计算等． (2013·某某)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( )A.1169B.367C ．36 D.677答案 B解析 由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4.所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367. 题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征例3甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．思维启迪 (1)先通过图像统计出甲、乙二人的成绩；(2)利用公式求出平均数、方差，再分析两人的成绩，作出评价．解 (1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分．x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13，x 乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13， s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s 2甲>s 2乙可知乙的成绩较稳定． 从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．思维升华 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．(1)(2012·某某)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差(2)甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)： 甲10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9．答案 (1)D (2)甲解析 (1)对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．(2)x 甲＝x 乙＝9环，s 2甲＝15[(10－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25， s 2乙＝15[(10－9)2＋(10－9)2＋(7－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s 2甲，故甲更稳定，故填甲．高考中频率分布直方图的应用典例：(5分)为了研究大学生就业后的收入问题，一个研究机构调查了在2009年已经就业且工作满两年的10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图所示)．为了分析其收入与学历、职业、性别等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出200人作进一步调查，其中月收入低于1 500元的称为低收入者，高于3 000元的称为高收入者，则应在低收入者和高收入者中分别抽取的人数是()A．1 000,2 000 B．40,80C．20,40 D．10,20思维启迪根据频率分布直方图的意义，分别计算出低收入者和高收入者的频率即可，为方便直接计算，这个频率分布直方图也可以看作是200个样本的频率分布直方图．解析低收入者的频率是0.000 2×500＝0.1，故从低收入者中抽取200×0.1＝20人；高收入者的频率是(0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2，故从高收入者中抽取200×0.2＝40人．故选C.答案 C温馨提醒本题的难点是对频率分布直方图意义的理解以及利用这个图提供的数据对所提问题的计算，频率分布直方图中纵轴上的数据是频率除以组距，组距越大该数据越小，在解答这类问题时要特别注意．方法与技巧1．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．2．茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的．茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作．3．若取值x1，x2，…，x n的频率分别为p1，p2，…，p n，则其平均值为x1p1＋x2p2＋…＋x n p n；若x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的平均数为a x＋b，方差为a2s2.失误与防X频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误．A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1．(2013·某某)下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为()B．0.4 C．0.5 D．0.6答案 B解析10个数据落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29共4个，因此，所求的频率为410＝0.4.故选B.2．(2013·某某)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A．45 B．50 C．55 D．60答案 B解析由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n ＝150.3＝50. 3．(2012·某某)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,53答案 A解析 由题意知各数为12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68，中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，极差为68－12＝56.4．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m o ，平均值为x ，则( )A ．m e ＝m o ＝xB ．m e ＝m o ＜xC ．m e ＜m o ＜xD ．m o ＜m e ＜x答案 D解析 30个数中第15个数是5，第16个数是6，所以中位数m e ＝5＋62＝5.5，众数m o ＝5，平均值x ＝3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×230＝17930. 5．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x ，方差为s 2，则( )A.x ＝5，s 2<2B.x ＝5，s 2>2C.x >5，s 2<2D.x >5，s 2>2答案 A解析 考查样本数据的平均数及方差．∵18(x1＋x2＋…＋x8)＝5，∴19(x1＋x2＋…＋x8＋5)＝5，∴x＝5，由方差定义及意义可知加入新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，∴s2<2，故选A.二、填空题6．(2013·某某)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：(1)平均命中环数为________；(2)命中环数的标准差为________．答案(1)7(2)2解析(1)x＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7010＝7.(2)s2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴命中环数的标准差为2.7．(2012·某某)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的X围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5，22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为______．答案9解析结合直方图和样本数据的特点求解．最左边两个矩形面积之和为0.10×1＋0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右边矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9.8．将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝________.答案60解析∵第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，∴前三组频数和为2＋3＋420·n＝27，故n＝60.三、解答题9．(2012·某某)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：(1)(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．解(1)如下表所示频率分布表.(2)由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70.(3)设这批产品中的合格品数为x件，依题意505 000＝20x＋20，解得x＝5 000×2050－20＝1 980.所以该批产品的合格品件数大约是1 980件．10．(2012·某某)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x ∶y1∶12∶13∶44∶5解 (1)由频率分布直方图知(2a ＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a ＝0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20. 由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×12＝20,30×43＝40,20×54＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1．(2013·某某)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )答案 A解析由于频率分布直方图的组距为5，排除C、D，又[0,5)，[5,10)两组各一人，排除B，应选A.2．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图所示．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为()A．0.27,78 B．0.27,83C．2.7,78 D．2.7,83答案 A解析由题意，知4.5到4.6之间的频率为0.09,4.6到4.7之间的频率为0.27，后6组的频数成等差数列，设公差为d，则有6×0.27＋15d＝1－0.01－0.03－0.09，解得d＝－0.05，从而求得b＝78.3．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实得80分，却记了50分，乙实得70分，却记了100分，更正后平均分和方差分别是()A．70,75 B．70,50C．75,1.04 D．62,2.35答案 B解析 因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s 2， 则由题意可得：s 2＝148[(x 1－70)2＋(x 2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x 48－70)2]，而更正前有75＝148[(x 1－70)2＋(x 2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x 48－70)2]，化简整理得s 2＝50.4．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列{a n }，已知a 2＝2a 1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为______． 答案 160解析 ∵小长方形的面积由小到大构成等比数列{a n }，且a 2＝2a 1， ∴样本的频率构成一个等比数列，且公比为2， ∴a 1＋2a 1＋4a 1＋8a 1＝15a 1＝300，∴a 1＝20， ∴小长方形面积最大的一组的频数为8a 1＝160.5．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a ＝____________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．答案 0.030 3解析 ∵小矩形的面积等于频率，∴除[120,130)外的频率和为0.700，∴a ＝1－0.70010＝0.030.由题意知，身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]内的学生分别为30人，20人，10人，∴由分层抽样可知抽样比为1860＝310，∴在[140,150]中选取的学生应为3人．6．某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示.组号 分组 频数 频率 第1组 [160,165) 5 0.050 第2组 [165,170) ① 0.350 第3组 [170,175) 30 ② 第4组 [175,180) 20 0.200 第5组 [180,185]10 0.100 合计1001.00(1)请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再完成下列频率分布直方图；(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率． 解 (1)由题意可知，第2组的频数为0.35×100＝35， 第3组的频率为30100＝0.300，频率分布直方图如图所示：(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为第3组：3060×6＝3人，第4组：2060×6＝2人，第5组：1060×6＝1人．所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．(3)设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)9种可能，所以第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为915＝3 5.。
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【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-9随机变量的数字特征与正态分布课后强化作业 新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．(2013·湖州模拟)一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n 把钥匙依次分给n 名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为( )A ．1B ．n C.n ＋12D.n －12[答案] C[解析] 这把可以打工柜门的钥匙排在任何一个位置都是等可能的，概率为1n ，设试开次数为ξ，则E (ξ)＝(1＋2＋…＋n )·1n ＝n ＋12.2．(2013·广州一模)已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (η)，D (η)分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6 [答案] B[解析] ∵X ～B (10,0.6)，∴E (X )＝10×0.6＝6，D (X )＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4， ∴E (η)＝8－E (X )＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝2.4.3．(2013·白山联考)设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 [答案] A[解析] ∵X ～N (1,52)，P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)， ∴(a －2)＋02＝1，∴a ＝4. 4．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( )A ．39元B ．37元C ．20元 D.1003元[答案] B[解析] ξ的分布列为∴E (ξ)＝50×0.6＋30×0.35．已知随机变量ξ，η满足ξ＝2η－1，且ξ～B (10，p )，若E (ξ)＝8，则D (η)＝( ) A ．0.5 B ．0.8 C ．0.2 D ．0.4 [答案] D[解析] ∵E (ξ)＝10p ＝8，∴p ＝0.8，∴D (ξ)＝10p (1－p )＝10×0.8×0.2＝1.6，又D (ξ)＝D (2η－1)＝4D (η)，∴D (η)＝0.4.6．(2013·深圳调研)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16[答案] B[解析] P ＝23×⎝⎛⎭⎫1－34＋⎝⎛⎭⎫1－23×34＝512 二、填空题7．抛掷一枚均匀的正方体骰子，观察出现的点数，如果出现了5点或6点，则称“抛掷高效”，若“抛掷高效”则得1分，否则得0分，则抛掷一次得分的期望为________．[答案] 13[解析] 由题意P (ξ＝0)＝23，P (ξ＝1)＝13，∴E (ξ)＝0×23＋1×13＝13.8．如果随机变量ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，且D (ξ)＝2，则E (pξ－D (ξ))＝________. [答案] 0[解析] ∵ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，∴np ＝4， 又∵D (ξ)＝2，∴np (1－p )＝2，∴p ＝12，∴E (pξ－D (ξ))＝E (12ξ－2)＝12E (ξ)－2＝0.9．甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、4个白球和2个黑球，先从甲罐中任意取出一球放入乙罐，再从乙罐中取出一球，则从乙罐中取出的球是白球的概率为________．[答案]2155[解析] 设从甲罐中取出红球、白球、黑球的事件分别为A 1、A 2、A 3，设从乙罐中取出白球的事件为B ，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝15，P (A 3)＝310，所求概率P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝12×411＋15×511＋310×411＝2155.三、解答题10．(2013·海淀模拟)某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次．在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别为910或13.(1)如果选手甲以在A 、B 区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择在哪个区投篮？(2)求选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率．[解析] (1)法一：设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则X ～B (2，910)，故E (X )＝2×910＝95， 则选手甲在A 区投篮得分的期望为2×95＝3.6.设选手甲在B 区投三次篮的进球数为Y ，则Y ～B (3，13)，故E (Y )＝3×13＝1，则选手甲在B 区投篮得分的期望为3×1＝3. ∵3.6>3，∴选手甲应该选择在A 区投篮．法二：设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0,2,4， P (ξ＝0)＝(1－910)2＝1100，P (ξ＝2)＝C 12×910×(1－910)＝18100， P (ξ＝4)＝(910)2＝81100.所以ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×1100＋2×18100＋4×81100＝3.6.同理，设选手甲在B 区域投篮的得分为η，则η的可能取值为0,3,6,9， P (η＝0)＝(1－13)3＝827，P (η＝3)＝C 13×13×(1－13)2＝49， P (η＝6)＝C 23×(13)2(1－13)＝29， P (η＝9)＝(13)3＝127.所以η的分布列为：∴E (η)＝0×827＋3×49＋6×29＋9×127＝3.∵E (ξ)>E (η)，∴选手甲应该选择在A 区投篮．(2)设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分、在B 区投篮得0分为事件C 1，甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得0分为事件C 2，甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得3分为事件C 3，则C ＝C 1∪C 2∪C 3，其中C 1，C 2，C 3为互斥事件．则：P (C )＝P (C 1∪C 2∪C 3)＝P (C 1)＋P (C 2)＋P (C 3)＝18100×827＋81100×827＋81100×49＝4975，故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975. 能力拓展提升11.(2013·福州模拟)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ.(1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？[解析] (1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P (ξ＝6)＝126200＝0.63，P (ξ＝2)＝50200＝0.25，P (ξ＝1)＝20200＝0.1，P (ξ＝－2)＝4200＝0.02.故ξ的分布列为(2)12)×0.02＝4.34(万元)． (3)设技术革新后三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为E (ξ)＝6×0.7＋2×(1－0.7－x －0.01)＋1×x ＋(－2)×0.01＝4.76－x .由E (ξ)≥4.73，得4.76－x ≥4.73， 解得x ≤0.03，所以三等品率最多为3%.12．(2012·湖北理，20)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：、0.9.求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．[分析] (1)利用概率的加法公式及对立事件求分布列，再求均值与方差．(2)利用条件概率公式求解．[解析] (1)由已知条件和概率的加法公式有：P (X <300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X <900)＝P (X <900)－P (X <700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y 的分布列为：于是，E (Y )＝0×0.3＋2D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2 ×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7， 又P (300≤X <900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝P (300≤x <900)P (X ≥300)＝0.60.7＝67. 故在降水量X 至少是300mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.13．(2013·四川理，18)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)乙的频数统计表(部分)当n ＝2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．[解析] (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整中数随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝C 03×(13)0×(23)3＝827， P (ξ＝1)＝C 13×(13)1×(23)2＝49， P (ξ＝2)＝C 23×(13)2×(23)1＝29， P (ξ＝3)＝C 33×(13)3×(23)0＝127， 故ξ的分布列为所以，Eξ＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1.即ξ的数学期望为1.14．某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女学生；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法，从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．(1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数； (2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率； (3)记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望． [解析] (1)因为数学兴趣小组人数：英语兴趣小组人数＝＝，从数学兴趣小组和英语兴趣小组中抽取3人，则抽取数学小组的人数为2人，英语小组的人数为1人．(2)从数学兴趣小组中抽取2人恰有一名女生的概率 P ＝C 16·C 14C 210＝815.(3)随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3. P (ξ＝0)＝C 24C 210·35＝225；P (ξ＝1)＝C 16·C 14C 210·35＋C 24C 210·25＝2875；P (ξ＝2)＝C 26C 210·35＋C 16·C 14C 210·25＝3175；P (ξ＝3)＝C 26C 210·25＝215，所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×225＋1×2875＋2×3175＋3×215＝85.考纲要求1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． 3．利用实际问题的直方图，了解正态分布的特点及曲线所表示的意义． 补充说明1．均值与方差的理解(1)均值E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均水平．(2)D (X )表示随机变量X 对E (X )的平均偏离程度，D (X )越小，X 的取值越集中，D (X )越大，X 的取值越分散．2．正态曲线与正态分布函数f (x )＝φμ，σ(x )＝12πσe －(x －μ)22σ2，x ∈R .其中实数μ和σ为参数，我们称f (x )的图象为正态曲线．服从正态分布的随机变量叫做正态变量．正态随机变量X 落在区间[a ，b ]内的概率为： P (a <X ≤b )≈⎠⎛ab f (x )dx .即由正态曲线，过点(a,0)和(b,0)的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，就是随机变量X 落在区间[a ，b ]的概率的近似值，如下图．正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布．如长度测量误差、正常生产条件下各种产品的质量指标等．一般地，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．化归思想将正态变量在任意区间上的概率化归为特殊区间的概率后求值． 4．3σ原则服从于正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．这就是正态分布的3σ原则．正态总体在三个特殊区间内取值的概率为 P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826， P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544， P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.5．求解随机变量的的期望与方差的问题，先要弄清概率模型，其次弄清事件的关系．三要熟记相关公式．四是注意期望与方差的性质．备选习题1．(2013·山西模拟)某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )A ．0.9B ．0.8C ．1.2D ．1.1 [答案] A[解析] 依题意得，得分之和X 的可能取值分别是0,1,2，且P (X ＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，P (X ＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，因此，这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.2．设一随机试验的结果只有A 和A －，且P (A )＝p ，令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (A 出现)，0 (A 不出现).则X的方差D (X )等于( )A ．pB ．2p (1－p )C ．－p (1－p )D ．p (1－p ) [答案] D[解析] X 服从两点分布，故D (X )＝p (1－p )．3．(2012·杭州质检)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A ．(0，712)B ．(712，1)C ．(0，12)D ．(12，1)[答案] C[解析] 由已知条件可得P (X ＝1)＝p ， P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>1.75， 解得p >52或p <12，又由p ∈(0,1)，可得p ∈(0，12)，故应选C.4．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a －b |的取值”，则ξ的数学期望E (ξ)为( )A.89B.35 C.25 D.13 [答案] A[解析] ∵对称轴在y 轴左侧， ∴－b2a<0，∴ab >0，即a 与b 同号，∴满足条件的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条．ξ的取值为0、1、2，P (ξ＝0)＝6×7126＝13，P (ξ＝1)＝8×7126＝49，P (ξ＝2)＝4×7126＝29.∴E (ξ)＝13×0＋49×1＋29×2＝89.5．(2013·山东聊城一模)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时部分每小时的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)． [解析] (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.记“甲，乙两人所付的租车费用相同”为事件A ， 则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516，即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,2,4,6,8，且 P (ξ＝0)＝14×12＝18；P (ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516；P (ξ＝4)＝12×14＋14×12＋14×14＝516；P (ξ＝6)＝12×14＋14×14＝316；P (ξ＝8)＝14×14＝116.ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝72.6．有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：假设汽车12天出发．(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A 和汽车B 应如何选择各自的路径．(2)若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元(其他费用忽略不计)，此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给生产商2万元．如果汽车A 、B 长期按(1)中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．(注：毛利润＝销售商支付给生产商的费用－一次性费用) [解析] (1)频率分布表，如下：设A 12B 1、B 2分别表示汽车B在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙．P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∴汽车A应选择公路1.P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∴汽车B应选择公路2.(2)设X表示汽车A选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则X＝42,40,38,36.X的分布列如下：E(X)＝42×0.2＋40×0.4∴汽车A选择公路1时的毛利润为39.2－3.2＝36.0(万元)设Y表示汽车B选择公路2时的毛利润，Y＝42.4，40.4，38.4,36.4.则分布列如下：E(Y)＝42.4×0.1＋∴汽车B选择公路2时的毛利润为39.4万元，∵36.0<39.4，∴汽车B为生产商获得毛利润更大．。