2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章-第三章同步测试题

2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章-第三章同步测试题
(时间：120分钟，满分：150分)
A 卷(共100分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
1.剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是( )
2．老师在黑板上写了下列式子：①x －1≥1；②－2＜0；③x ≠3；④x ＋2；⑤x －12
y ＝0；⑥x ＋2y ≤0，其中不等式有( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
3．在平面直角坐标系中，将点A(1，－2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A ′，则点A ′的坐标是( )
A ．(－1，1)
B ．(－1，－2)
C ．(－1，2)
D ．(1，2)
4．用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时应假设( )
A ．三角形中最少有一个角是直角或钝角
B ．三角形中有两个角是直角或钝角
C ．三角形中最少有两个角是直角或钝角
D ．三角形中最多有两个角是直角或钝角
5．从下列不等式中选择一个与x ＋1≥2组成不等式组，使该不等式组的解集为x ≥1，那么这个不等式可以是( )
A ．x ＞－1
B ．x ＞2
C ．x ＜－1
D ．x ＜2
6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，以B 为圆心，BC 的长为半径画圆弧，交AC 于点D ，连接BD ，则∠ABD ＝( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
7．如图的四个图形中，由基础图形通过平移、旋转或轴对称这三种变换都能得到的是
( )
8．如图，函数y 1＝－2x 与y 2＝ax ＋3的图象相交于点A(m ，2)，则关于x 的不等式－2x ＞ax ＋3的解集是( )
A ．x ＞2
B ．x ＜2
C ．x ＞－1
D ．x ＜－1
9．如图，AB 的垂直平分线CP 交AB 于点P ，且AC ＝2CP.甲、乙两人想在AB 上取D ，E 两点，使得AD ＝DC ＝CE ＝EB ，其作法如下：甲作∠ACP ，∠BCP 的平分线，分别交AB 于D ，E 两点，则D ，E 即为所求；乙作AC ，BC 的垂直平分线，分别交AB 于D ，E 两点，则D ，E 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列正确的是( )
A ．两人都正确
B ．两人都错误
C ．甲正确，乙错误
D ．甲错误，乙正确
10．如图，在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，连接ED.若BC ＝5，BD ＝4，则下列结论错误的是( )
A ．AE ∥BC
B ．∠ADE ＝∠BD
C C ．△BDE 是等边三角形
D ．△AD
E 的周长是9
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)
11．如图，x 和5分别是天平上两边的砝码，请你用“＞”或“＜”填空：x_____5.
12．已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝60°，则∠A ＝______．
13．一次生活常识竞赛一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣2分，小明有2题没答，竞赛成绩要超过74分，则小明至多答错_____道题．
14．在△ABC 中，AB ＝13 cm ，AC ＝20 cm ，BC 边上的高为12 cm ，则△ABC 的面积为_____.
三、解答题(本大题共6个小题，共54分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(8分)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6≤3x ＋4，①1＋2x 3
>x －1，②并把解集在数轴上表示出来．
16．(8分)如图，AD ∥BC ，∠A ＝90°，E 是AB 上的一点，且AD ＝BE ，∠1＝∠2，求证：
Rt△ADE≌Rt△BEC.
17．(8分)两个城镇A，B与两条公路l1，l2的位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)
解：①作出线段AB的垂直平分线；
②作出l1，l2夹角的平分线(2条)．
它们的交点即为所求作的点C1，C2(2个)．
18．(10分)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．
(1)以点C为旋转中心将△ABC旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，4)，画出平移后对应的△A2B2C2；
(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
19．(10分)2020年是全国脱贫攻坚决战决胜年，为了发展村集体经济，某村发动群众组成村民合作社，并建成了一个黑山羊养殖场和一个牛类养殖场，这两个养殖场共有60只努比亚黑山羊和15头西门塔尔牛，每天用草料330 kg ，一周后，合作社为了扩大规模，又购进了25只努比亚黑山羊和5头西门塔尔牛，这时每天用草料455 kg.
(1)每只努比亚黑山羊和每头西门塔尔牛每天各需草料多少？
(2)若草料供应发生变化，每天供应的草料至多390 kg ，村民合作社计划卖出努比亚黑山羊和西门塔尔牛共10只(头)，问至少卖出多少头牛才能保证每天草料够用．
20．(10分)在等边△ABC 中，点E 是AB 上的动点，点E 与点A ，B 不重合，点D 在CB 的延长线上，且EC ＝ED.
(1)如图1，若点E 是AB 的中点，求证：BD ＝AE ；
(2)如图2，若点E 不是AB 的中点时，(1)中的结论“BD ＝AE ”能否成立？若不成立，请直接写出BD 与AE 数量关系；若成立，请给予证明．
B 卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
21．在等腰△ABC 中，AB 为腰，AD 为中线，AB ＝5，AD ＝3，则△ABD 的周长为_____．
22．若不等式⎩⎪⎨⎪⎧12x ＞a ，3（x －1）＞2x ＋2
的解集是x ＞5，则a 的取值范围为_____．
23．如图，△ABC 中，∠BCA ＝90°，点D 在AC 上，AD ＝3，CD ＝2，连接BD ，把线段BD 绕点D 逆时针旋转90°到DE 的位置，连接AE ，CE ，则△ACE 的面积为_____．
24．如图，已知△ABC 是等边三角形，点O 是BC 上任意一点，OE ，OF 分别与两边垂直，等边三角形的高为5，则OE ＋OF 的值为_____．
25．如图，已知Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，∠B ＝30°，AB ＝1，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，
垂足为C 2，…，这样一直作下去，得到了一组线段A 1C 1，A 2C 2，…，A 1C 1＝38
；则A n C n ＝_____．
二、解答题(本大题共3个小题，共30分)
26．(8分)某校为表彰在美术展览活动中获奖的同学，决定购买一些水笔和颜料盒作为奖品，请你根据图中所给的信息，解答下列问题：
(1)求每个颜料盒、每支水笔各多少元？
(2)若学校计划购买颜料盒和水笔共20件，所用费用不超过340元，则颜料盒至多购买多少个？
(3)恰逢商店举行优惠促销活动，具体规则如下：颜料盒按七折优惠，水笔10支以上超出部分按八折优惠．若学校决定购买同种数量的同一奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你帮助分析，购买颜料盒合算还是购买水笔合算．
27．(10分)已知：△ABC 为等边三角形．
(1)如图1，若D为△ABC外一点，满足∠CDB＝30°.求证：DC2＋DB2＝DA2；
(2)如图2，若D为△ABC内一点，DC＝3，DB＝4，DA＝5，求∠CDB的度数；
(3)如图3，若D为△ABC内一点，DA＝4，DB＝23，DC＝27，则AB直接写出答案)．
28．(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为边在其右侧作等边△APQ.
(1)求点B的坐标；
(2)在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如果不改变，求出其大小，如果改变，请说明理由；
(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．
参考答案
2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章-第三章同步测试题
(时间：120分钟，满分：150分)
A 卷(共100分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
1.剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是(B)
2．老师在黑板上写了下列式子：①x －1≥1；②－2＜0；③x ≠3；④x ＋2；⑤x －12
y ＝0；⑥x ＋2y ≤0，其中不等式有(C)
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
3．在平面直角坐标系中，将点A(1，－2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A ′，则点A ′的坐标是(A)
A ．(－1，1)
B ．(－1，－2)
C ．(－1，2)
D ．(1，2)
4．用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时应假设(C)
A ．三角形中最少有一个角是直角或钝角
B ．三角形中有两个角是直角或钝角
C ．三角形中最少有两个角是直角或钝角
D ．三角形中最多有两个角是直角或钝角
5．从下列不等式中选择一个与x ＋1≥2组成不等式组，使该不等式组的解集为x ≥1，那么这个不等式可以是(A)
A ．x ＞－1
B ．x ＞2
C ．x ＜－1
D ．x ＜2
6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，以B 为圆心，BC 的长为半径画圆弧，交AC 于点D ，连接BD ，则∠ABD ＝(B)
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
7．如图的四个图形中，由基础图形通过平移、旋转或轴对称这三种变换都能得到的是(B)
8．如图，函数y1＝－2x与y2＝ax＋3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式－2x＞ax＋3的解集是(D)
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞－1 D．x＜－1
9．如图，AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AC＝2CP.甲、乙两人想在AB上取D，E 两点，使得AD＝DC＝CE＝EB，其作法如下：甲作∠ACP，∠BCP的平分线，分别交AB于D，E两点，则D，E即为所求；乙作AC，BC的垂直平分线，分别交AB于D，E两点，则D，E 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列正确的是(A)
A．两人都正确 B．两人都错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
10．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED.若BC＝5，BD＝4，则下列结论错误的是(B)
A．AE∥BC B．∠ADE＝∠BDC C．△BDE是等边三角形D．△ADE的周长是9
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)
11．如图，x和5分别是天平上两边的砝码，请你用“＞”或“＜”填空：x＜5.
12．已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝60°．
13．一次生活常识竞赛一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣2分，小明有2题没答，竞赛成绩要超过74分，则小明至多答错2道题．
14．在△ABC中，AB＝13 cm，AC＝20 cm，BC边上的高为12 cm，则△ABC的面积为66或126cm2.
三、解答题(本大题共6个小题，共54分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(8分)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6≤3x ＋4，①1＋2x 3
>x －1，②并把解集在数轴上表示出来． 解：解不等式①，得x ≥1.解不等式②，得x<4.
∴原不等式组的解集为1≤x<4.
在数轴上表示其解集如图：
16．(8分)如图，AD ∥BC ，∠A ＝90°，E 是AB 上的一点，且AD ＝BE ，∠1＝∠2，求证：Rt △ADE ≌Rt △BEC.
证明：∵∠1＝∠2，∴DE ＝CE.
∵AD ∥BC ，∠A ＝90°，∴∠B ＝90°.
在Rt △ADE 和Rt △BEC 中，
⎩
⎪⎨⎪⎧DE ＝EC ，AD ＝BE ， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC(HL)．
17．(8分)两个城镇A ，B 与两条公路l 1，l 2的位置如图所示，电信部门需在C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A ，B 的距离必须相等，到两条公路l 1，l 2的距离也必须相等，那么点C 应选在何处？请在图中用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)
解：①作出线段AB 的垂直平分线；
②作出l 1，l 2夹角的平分线(2条)．
它们的交点即为所求作的点C 1，C 2(2个)．
18．(10分)如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，
4)，C(0，2)．
(1)以点C 为旋转中心将△ABC 旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C ；平移△ABC ，若点A 的对应点A 2的坐标为(0，4)，画出平移后对应的△A 2B 2C 2；
(2)若将△A 1B 1C 绕某一点旋转可以得到△A 2B 2C 2，请直接写出旋转中心的坐标． 解：(1)△A 1B 1C ，△A 2B 2C 2如图所示．
(2)旋转中心的坐标为(1.5，3)．
19．(10分)2020年是全国脱贫攻坚决战决胜年，为了发展村集体经济，某村发动群众组成村民合作社，并建成了一个黑山羊养殖场和一个牛类养殖场，这两个养殖场共有60只努比亚黑山羊和15头西门塔尔牛，每天用草料330 kg ，一周后，合作社为了扩大规模，又购进了25只努比亚黑山羊和5头西门塔尔牛，这时每天用草料455 kg.
(1)每只努比亚黑山羊和每头西门塔尔牛每天各需草料多少？
(2)若草料供应发生变化，每天供应的草料至多390 kg ，村民合作社计划卖出努比亚黑山羊和西门塔尔牛共10只(头)，问至少卖出多少头牛才能保证每天草料够用．
解：(1)设每只努比亚黑山羊每天需要草料x kg ，每头西门塔尔牛每天需要草料y kg.根据题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋15y ＝330，（25＋60）x ＋（15＋5）y ＝455，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝10， 答：每只努比亚黑山羊每天需要草料3 kg ，每头西门塔尔牛每天需要草料10 kg.
(2)设卖出了a 头牛．根据题意，得
10(20－a)＋3(85－10＋a)≤390，解得a ≥5.
答：至少卖出5头牛才能保证每天草料够用．
20．(10分)在等边△ABC 中，点E 是AB 上的动点，点E 与点A ，B 不重合，点D 在CB 的延长线上，且EC ＝ED.
(1)如图1，若点E 是AB 的中点，求证：BD ＝AE ；
(2)如图2，若点E 不是AB 的中点时，(1)中的结论“BD ＝AE ”能否成立？若不成立，请直接写出BD 与AE 数量关系；若成立，请给予证明．
解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°.
∵点E 是AB 的中点，
∴CE 平分∠ACB ，AE ＝BE.
∴∠BCE ＝30°.
∵ED ＝EC ，
∴∠D ＝∠BCE ＝30°.
∵∠ABC ＝∠D ＋∠BED ，∴∠BED ＝30°.
∴∠D ＝∠BED.
∴BD ＝BE.∴DB ＝AE.
(2)AE ＝DB.
理由：过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，
∴∠AEF ＝∠ABC ，∠AFE ＝∠ACB.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠A ＝60°，AB ＝AC ＝BC.
∴∠AEF ＝∠ABC ＝60°，∠AFE ＝∠ACB ＝60°，即∠AEF ＝∠AFE ＝∠A ＝60°.
∴△AEF 是等边三角形．
∴∠DBE ＝∠EFC ＝120°，∠D ＋∠BED ＝∠FCE ＋∠ECD ＝60°.
∵DE ＝EC ，
∴∠D ＝∠ECD.
∴∠BED ＝∠FCE.
在△DEB 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DEB ＝∠ECF ，∠DBE ＝∠EFC ，DE ＝EC ，
∴△DEB ≌△ECF(AAS)．∴DB ＝EF.
∴AE ＝BD.
B 卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
21．在等腰△ABC 中，AB 为腰，AD 为中线，AB ＝5，AD ＝3，则△ABD 的周长为12或10.5．
22．若不等式⎩⎪⎨⎪⎧12x ＞a ，3（x －1）＞2x ＋2
的解集是x ＞5，则a 的取值范围为a ≤52． 23．如图，△ABC 中，∠BCA ＝90°，点D 在AC 上，AD ＝3，CD ＝2，连接BD ，把线段BD 绕点D 逆时针旋转90°到DE 的位置，连接AE ，CE ，则△ACE 的面积为5．
24．如图，已知△ABC 是等边三角形，点O 是BC 上任意一点，OE ，OF 分别与两边垂直，等边三角形的高为5，则OE ＋OF 的值为5．
25．如图，已知Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，∠B ＝30°，AB ＝1，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，
垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，
垂足为C 2，…，这样一直作下去，得到了一组线段A 1C 1，A 2C 2，…，A 1C 1＝38；则A n C n ＝12×(2)2n ．
二、解答题(本大题共3个小题，共30分)
26．(8分)某校为表彰在美术展览活动中获奖的同学，决定购买一些水笔和颜料盒作为奖品，请你根据图中所给的信息，解答下列问题：
(1)求每个颜料盒、每支水笔各多少元？
(2)若学校计划购买颜料盒和水笔共20件，所用费用不超过340元，则颜料盒至多购买多少个？
(3)恰逢商店举行优惠促销活动，具体规则如下：颜料盒按七折优惠，水笔10支以上超出部分按八折优惠．若学校决定购买同种数量的同一奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你帮助分析，购买颜料盒合算还是购买水笔合算．
解：(1)设每个颜料盒为x 元，每支水笔为y 元．根据题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝81，5x ＋2y ＝120，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝15. 答：每个颜料盒为18元，每支水笔为15元．
(2)设购买颜料盒a 个，则购买水笔(20－a)支．由题意，得
18a ＋15(20－a)≤340，解得a ≤1313
. 所以颜料盒至多购买13个．
(3)设购买的数量为m(m ＞10)件．由题意知，
购买颜料盒的费用y 1＝18×70%m ，即y 1＝12.6m ，
购买水笔的费用y 2＝15×10＋15×(m －10)×80%，即y 2＝12m ＋30.
当y 1＝y 2时，即12.6m ＝12m ＋30，解得m ＝50；
当y 1＞y 2时，即12.6m ＞12m ＋30，解得m ＞50；
当y 1＜y 2时，即12.6m ＜12m ＋30，解得m ＜50.
综上所述，当购买奖品的数量超过10件但少于50件时，买颜料盒合算；当购买奖品的数量等于50件时，买水笔和颜料盒钱数相同；当购买奖品的数量超过50件时，买水笔合算．
27．(10分)已知：△ABC 为等边三角形．
(1)如图1，若D 为△ABC 外一点，满足∠CDB ＝30°.求证：DC 2＋DB 2＝DA 2；
(2)如图2，若D 为△ABC 内一点，DC ＝3，DB ＝4，DA ＝5，求∠CDB 的度数；
(3)如图3，若D 为△ABC 内一点，DA ＝4，DB ＝23，DC ＝27，则AB 直接写出答案)．
解：(1)证明：以BD 为边作等边△BDQ ，连接CQ ，
在△ABD 和△CBQ 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABD ＝∠CBQ ，BD ＝BQ ，
∴△ABD ≌△CBQ(SAS)．
∴AD ＝CQ.
∵∠CDQ ＝30°＋60°＝90°，
∴DC 2＋DQ 2＝CQ 2，
即DC 2＋DB 2＝DA 2.
(2)以CD 为边作等边△CDM ，
在△CAD 和△CBM 中，
⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CM ，∠ACD ＝∠BCM ，AC ＝BC ，
∴△CAD ≌△CBM(SAS)．
∴AD ＝BM.
∵DC ＝3，DB ＝4，DA ＝5，
∴DM ＝CM ＝3，BM ＝AD ＝5.
由DM 2＋DB 2＝BM 2，可得∠BDM ＝90°，
∴∠CDB ＝60°＋90°＝150°.
28．(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB 为等边三角形，P 是x 轴上一个动点(不与原点O 重合)，以线段AP 为边在其右侧作等边△APQ.
(1)求点B 的坐标；
(2)在点P 的运动过程中，∠ABQ 的大小是否发生改变？如果不改变，求出其大小，如果改变，请说明理由；
(3)连接OQ ，当OQ ∥AB 时，求P 点的坐标．
解：(1)过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，
∵△AOB 为等边三角形，且OA ＝2，
∴∠AOB ＝60°，OB ＝OA ＝2.
∴∠BOC ＝30°，而∠OCB ＝90°.
∴BC ＝12
OB ＝1，OC ＝ 3. ∴点B 的坐标为(3，1)．
(2)∠ABQ ＝90°，始终不变．理由如下：
∵△APQ ，△AOB 均为等边三角形，
∴AP ＝AQ ，AO ＝AB ，∠PAQ ＝∠OAB.
∴∠PAO ＝∠QAB.
在△APO 和△AQB 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AQ ，∠PAO ＝∠QAB ，AO ＝AB ，
∴△APO ≌△AQB(SAS)．
∴∠ABQ ＝∠AOP ＝90°.
(3)当点P 在x 轴负半轴上时，点Q 在点B 的下方，
∵AB ∥OQ ，∠ABQ ＝90°，
∴∠BQO ＝180°－∠ABQ ＝90°.
又∵∠BOQ ＝∠ABO ＝60°，OB ＝OA ＝2，
∴∠OBQ ＝30°，BQ ＝ 3.
由(2)可知，△APO ≌△AQB ，
∴OP ＝BQ ＝ 3.
∴此时P 的坐标为(－3，0)．
当点P 在x 轴正半轴时，点Q 必在第一象限，OQ 和AB 不可能平行．。