2023-2024学年全国高中高二上数学人教A版月考试卷(含解析)

2023-2024学年全国高二上数学月考试卷
考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷I （选择题）
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 5 分 ，共计50分 ）
1. 下列直线与直线平行的是( )
A.B.C.D.
2. 准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A.B.C.D.
3. 已知：直线与直线平行，则成立的一个必要不充分条件是
( )
A.B.或C.D.
4. 设等差数列的前项和为，若，，则( )
A.x −2y +1=02x +y −1=0
x +2y −1=0
2x −y −1=0
x −2y −1=0
y =2=x 216y
=x 28y
=x 2−16y
=x 2−8y
P x +ay +1=0(a +2)x −ay −2=0P a <1
a =3a =0
a =−3
a >−2
{}a n n S n =8S 4=20S 8+++=a 13a 14a 15a 168
B.C.D.
5. 记为数列的前项和，若＝，则＝（ ）
A.B.C.D.
6. 已知是等差数列，为其前项和，若，为坐标原点，点，，则等于（ ）
A.B.C.D.
7. 已知为函数的导函数，且，若＝，则方程＝有且仅有一个根时，的取值范围是（ ）A.B.C.D.
8. 已知直线 经过双曲线 的一个焦点，且与其一条渐近
线平行，则双曲线的虚轴长为( )
A.12
16
20
S n {}a n n S n 2+1a n S 10−1024
−1023
1023
1024
{}a n S n n =S 21S 4000O P (1,)a n Q (2011,)a 2011⋅OP −→−OQ −→−2011
−2011
1
f'(x )f (x )f (x )=−f (0)x +f'(1)12x 2e x −1g (x )f (x )−+x 12x 2g (−x )−x x 2a
0a (0,1]
(−∞,1]
(−∞,0)∪{1}
[1,+∞)
l :x −2y =3C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2C 35–√5
6–√
B.C.D.
9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初，日织五尺，今一月织九匹三丈（匹尺，一丈尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按天算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为( )A.
B.
C.
D.
10. 设直线被圆所截弦的中点的轨迹为，则曲线与直线的位置关系为（ ）
A.相离
B.相切
C.相交
D.不确定
二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）
11. 若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中错误的是( )A.若，则为椭圆
B.若为椭圆，且焦点在轴上，则
C.曲线可能是圆
D.若为双曲线，则65–√5
85–√5
25
–√1=40=10531n a n ++⋯++a 1a 3a 29a 31++⋯++a 2a 4a 28a 30
165161516291631
kx −y +1=0O :+=4x 2y 2C C x +y −1=0+=1x 23−t y 2t −1
C 1<t <3C C y 2<t <3
C C t <1
12. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A.B.为的最小值
C.D.使得成立的的最大值为卷II （非选择题）
三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13. 若点在以为焦点的抛物线＝上，则等于________．
14. 已知双曲线的中心在原点，离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的渐近线方程是________.
15. 已知数列中，若，，则________.
16. 已知椭圆的右顶点为，右焦点为，以为圆心，为半径的圆与椭圆相交于，两点．若直线过点，则的值为________.
四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
17. 已知直线的方向向量，且直线与两坐标轴围成的三角形面积为，求直线的方程．
18. 双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程.
19. 已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
{}a n n =33n −S n n 2=34−2n
a n S 16S n ||+||+⋯+||=272
a 1a 2a 16>0S n n 33
P (m,2)F y 24x |PF |3–√C :=4x y 2{}a n =1a 1=a n +12n a n =a n +=1x 24y 23A F A R B C BC F R l =(1,−1)v →l 6l +=1x 227y 236
(,4)15−−√f (x )=+x −2x 3(1)y =f (x )(2,8)(2)l y =f (x )l (−1)
3
20. 设数列是等差数列，数列的前项和，满足且，.求数列和的通项公式；
设为数列的前项和，求.
21. 已知数列的前项和 .
求数列的通项公式；
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．
若________，求数列的前项和 .
22. 已知椭圆 ，圆心在坐标原点的单位圆在的内部，且与有且仅有两个公共点，直线 与只有一个公共点求的标准方程；
设不垂直于坐标轴的动直线过椭圆的左焦点，直线与交于，两点，且弦的中垂线交
轴于点，求的值{}a n {}b n n S n =(−1)S n 32
b n =a 2b 1=a 5b 2(1){}a n {}b n (2)T n {n }S n n T n {}a n n =S n n 2(1){}a n (2)=b n 8n (⋅)a n a n +12
=⋅b n a n 2n =⋅b n (−1)n S n {}b n n T n C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2O C C x +y =22–√C .
(1)C (2)l C F l C A B AB x P |PF ||AB |
.
参考答案与试题解析
2023-2024学年全国高二上数学月考试卷
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 5 分 ，共计50分 ）1.
【答案】
D
【考点】
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
【解析】
分别求出各条直线的斜率，然后利用平行直线的斜率关系即可求解.
【解答】
解：由题意，直线的斜率为，
直线的斜率为，故错误；
直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故正确.所以与平行的是.
故选.
2.
【答案】
D
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
利用抛物线的简单性质求解抛物线方程即可．
【解答】
解：准线方程为的抛物线的标准方程是：．故选．
3.
x −2y +1=0122x +y −1=0−2A x +2y −1=0−12B 2x −y −1=02C x −2y −1=012D x −2y +1=0x −2y −1=0D y =2=x 2−8y D
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
【解答】
解：当直线与直线平行时，
可得
，解得或，
由选项可知成立的一个必要不充分条件是.故选.
4.【答案】D
【考点】
等差数列的前n 项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由等差数列的性质知，，，仍然是等差数列，由已知条件知这些项分别为，，，，所以，，
所以.
故选.
5.
【答案】
B
【考点】
数列的求和
数列递推式
x +ay +1=0(a +2)x −ay −2=0=−a +2a 1a a =−30P a =−3C S 4−S 8S 4−S 12S 8−S 16S 12812−20S 12−S 16S 12−20=16S 12−=20S 16S 12+++=−=20a 13a 14a 15a 16S 16S 12D
本题先根据公式
＝代入进行计算即可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，然后根据等比数列的求和公式即可计算出的值．
【解答】
由题意，当＝时，＝＝，解得＝，当时，＝＝，化简整理，得
＝，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴＝＝．
6.【答案】
A
【考点】
等差数列的前n 项和
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由得，
由于，
所以，
从而，而．7.
【答案】
C
【考点】
导数的运算
【解析】
先根据导数的运算法则求出，再求出，根据方程＝
，转化为＝．利用数形结合的思想即可求出答案．a n {}a n −12S 10n 1a 1S 12+1a 1a 1−1n ≥2a n −S n S n −12+1−2−1a n a n −1a n 2a n −1{}a n −12S 10−1023=S 21S 4000++⋯+=0
a 22a 23a 4000+=+=⋯=2a 22a 4000a 23a 3999a 2011
++⋯
+=3979=0a 22a 23a 4000a 2011=0a 2011⋅=2011+=2011OP −→−OQ −→−
a 2011a n f (x )g (x )g (−x )−x x 2a 0−x x 2a ln x
解：∵，∴＝，
∴＝，
∴＝，∴＝，
∴＝＝，∴，∴＝＝，
∵＝，∴＝＝，∴＝．∴，分别画出和＝的图象，由图象可知，＝或，
故选
．8.
【答案】
B
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
f (x )=−f (0)x +f'(1)12x 2e x −1f (0)f'(1)e −1f'(x )x −f (0)+f'(1)e x −1f'(1)1−f'(1)+f'(1)e −1e 1−1f'(1)e f (0)f'(1)e −11f (x )=−x +12x 2e x
g (x )f (x )−+x =−x +−+x 12x 212x 2e x 12x 2e x g (−x )−x x 2a 0g (−x )x 2a x g (ln x )−x x 2a ln x =x +ln x x 2a y =x 2a y x +ln x a 1a <0C
解：∵直线与轴交于，
∴.
又直线与其一条渐近线平行，
∴，而，
∴解得，故虚轴长为.故选.
9.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n 项和
等差数列的性质
【解析】
由题意可得：每天织布的量组成了等差数列，设公差为（尺），运用等差数列的通项公式和的求和公式即可得出．
【解答】
解：由题意可知，每天织布数成了等差数列，且，，∵，
∴．故选.
10.【答案】C
【考点】l x (3,0)c =3l =b a 12
=+c 2a 2b 2b =35–√52b =65–√5
B {}a n d {}a n a 1=5S 31=9×40+30=390+=+a 1a 31a 2a 30=++⋯++a 1
a 3a 29a 31++⋯++a 2a 4a 28a 30
16(+)a 1a 31215(+)a 2a 302
=
=16(+)a 1a 3115(+)
a 2a 301615B
直线与圆相交的性质
直线与圆的位置关系
【解析】
设上任意一点的坐标为，由
，求出后代入直线求得曲线的方程，由圆心到直线的距离小于半径得到曲线与直线相交．【解答】
解：弦的中点的轨迹为，设上任意一点的坐标为，则由弦的性质得垂直于直线，
∴，即．又点还在直线上，∴，，故曲线表示以为圆心，以为半径的圆．∵圆心到直线的距离等于（半径），故曲线与直线相交，
故选．
二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）
11.
【答案】
A,D
【考点】
椭圆的定义
双曲线的定义
圆的标准方程
【解析】
本题考查了椭圆，双曲线，圆的标准方程，考查了分类讨论的思想方法，属于基础题．根据方程
，利用椭圆、双曲线、圆的定义，即可得出结论．【解答】
解：方程所表示的曲线为．，当，取时，方程为，
曲线表示圆，故错误，符合题意；
，若为椭圆，且焦点在轴上，
C A (x ,y )×k =−1y −0x −0k kx −y +1=0C (0,)12x +y −1=0C x +y −1=0C C A (x ,y )OA kx −y +1=0×k =−1y −0x −0k =−x y A (x ,y )kx −y +1=0⋅x −y +1=0−x y +(y −=x 212)214C (0,)1212(0,)12x +y −1=0=<|0+−1|122
–√2–√412C x +y −1=0C +=1x 23−t y 2t −1
+=1x 23−t y 2t −1C A 1<t <3t =2+=1x 2y 2C A B C y
则，即，故正确，不符合题意；
，当时，方程为表示圆，故正确，不符合题意；
，若为双曲线，则有 ，
解得或，故错误，符合题意.
故选．
12.
【答案】
A,C
【考点】
数列的求和
数列与不等式的综合
数列递推式
【解析】
无
【解答】
解：．，
，
对于也成立，所以，故正确；
．当时，，当时，，
当时，，∴只有最大值，没有最小值，故错误；
．因为当时，，
所以，故正确；
．因为，，解得，所以满足条件的的最大值为，故错误．
故选．
三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13.
【答案】
【考点】
抛物线的性质
【解析】
确定抛物线＝的准线方程，利用到焦点的距离等于到准线的距离，即可求得结论．
t −1>3−t >02<t <3B C t =2+=1x 2y 2C D C (3−t )(t −1)<0t >3t <1D AD A ==33−1=32a 1S 1=−=33n −−33(n −1)+a n S n S n −1n 2(n −1)2=34−2n (n ≥2)n =1=34−2n a n A B n <17>0a n n =17=0a n n >17<0a n S n B C n <17>0a n ||+||+⋯+||==33×16−=272a 1a 2a 16S 16162C D >0S n =>0S n n (32+34−2n )2n <33n 32D AC 4
y 24x P F P
【解答】
抛物线＝的准线方程为：＝，
∵到焦点的距离等于到准线的距离，点，可得＝，解得＝，，∴到焦点的距离是＝＝（4）
14.
【答案】
【考点】
双曲线的特性
【解析】
由题意可得抛物线的准线，进而可得双曲线的准线，设方程为，由题意
可得，解之可得，，进而可得值，可得渐近线方程．
【解答】
解：∵抛物线的准线方程为∴双曲线的准线方程为故可得设双曲线方程为由题意可得，解之可得，，
∴.故双曲线的渐近线方程为：.
故答案为：.15.
【答案】
【考点】
数列递推式
【解析】
评析：迭加法与迭乘法的关键都是对的分解，属于特殊的代数恒等变形．
【解答】
y 24x x −1P F P P (m,2)124m m 3P (3,2)P F |PF |3+1y =±x
2–√−=1(a >0,b >0)
x 2
a 2y 2
b 2 e ==
c a
3–
√=1
a 2c a c
b =4x y 2x =−1
x =−1
−=1(a >0,b >0)
x 2a 2y 2
b 2
e ==c a
3
–√=1
a 2c a =3–√c =3
b =6–√y =±x =±x b a 2–
√y =±x 2–√2n (n −1)2
a n ⇒=,(n ≥2)+1a n −1
解：由，所以，即，当时，上式也成立，所以.
故答案为：.
16.
【答案】【考点】
椭圆的定义和性质
圆锥曲线的综合问题
【解析】
由椭圆的方程可得，的坐标，由圆和椭圆的对称性可得垂直于轴，由的坐标可得，的横坐标，代入椭圆的方程可得的纵坐标的绝对值，再由圆的性质，垂直弦，平分的性质可得圆的半径，半个弦长和圆心到直线的距离构成直角三角形可得圆的半径的值．
【解答】
解：由椭圆的方程可得，，
由圆和椭圆的对称性可得垂直于轴，所以，
代入椭圆的方程为：，所以，因为到直线的距离，
，所以.故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
17.
【答案】
解：∵直线的方向向量，∴直线的斜率为，
故可设直线方程为，令可得，令可得，=⇒=,(n ≥2)a n +12n a n
a n a n −12n −1=a n a n a n −1×a n −1a n −2×⋯×a 2a 1×a 1=××2n −12n −2⋯×2×1==20+1+2+⋯+(n −1)
2n (n −1)2=a n 2
n (n −1)2n =1=a n 2n (n −1)22n (n −1)213
−−√2
A B BC x F B C B A (2,0)F (1,0)BC x ===1x B x C x F ||==y B b 2a 32|BF ==|2()32294
A BC d =|AF |=a −c =2−1=1=|AF +|BF =1+=R 2|2|294134R =13−−√213−−√2l =(1,−1)v →
l −1y =−x +b y =0x =b x =0y =b l
又∵直线与两坐标轴围成的三角形面积为，
∴，解得，
故直线的方程为，即．
【考点】
待定系数法求直线方程
【解析】
由题意可设直线方程为，由三角形的面积公式可得的方程，解方程可得．
【解答】
解：∵直线的方向向量，∴直线的斜率为，
故可设直线方程为，令可得，令可得，
又∵直线与两坐标轴围成的三角形面积为，
∴，解得，
故直线的方程为，即．18.
【答案】
解：由题意得：，．
∵，
∴．
∴椭圆的焦点，．
设双曲线方程为，∵点在曲线上，
代入双曲线的方程可得或（舍）．
∴双曲线的方程为．【考点】
椭圆的标准方程
双曲线的标准方程
【解析】
【解答】
解：由题意得：，．
∵，
∴．
∴椭圆的焦点，．
l 6×|b ||b |=612b =±23–√l y =−x ±23–√x +y ±2=03–√y =−x +b b l =(1,−1)v →l −1y =−x +b y =0x =b x =0y =b l 6×|b ||b |=612
b =±23–√l y =−x ±23–√x +y ±2=03–√=36a 2=27b 2=−=9
c 2a 2b 2c =3(0,−3)F 1(0,3)F 2−=1y 2m x 29−m (，4)15−−√m =4m =36−=1y 24x 25
=36a 2=27b 2=−=9c 2a 2b 2c =3(0,−3)F 1(0,3)F 2=1
22
设双曲线方程为，∵点在曲线上，
代入双曲线的方程可得或（舍）．
∴双曲线的方程为．19.
【答案】
解：∵函数的导数为，
∴曲线在处的斜率为，
则切线方程为，即.
设切点为，且，
∴切线方程为，
∵切线过原点，
∴，
∴，解得，
∴，
即所求切线方程为，
又，
∴切点为．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
Ⅰ求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程；
Ⅱ设切点为，求得切线的斜率，可得切线方程，代入原点，可得的值，即可得到切点和所求切线方程．
【解答】
解：∵函数的导数为，
∴曲线在处的斜率为，
则切线方程为，即.
设切点为，且，
∴切线方程为，
∵切线过原点，
∴，
∴，解得，
∴，
即所求切线方程为，
又，
∴切点为．
20.
【答案】
解：由得，−=1y 2m x 29−m (，4)15−−√m =4m =36−=1y 24x 25(1)f (x )=+x −2x 3(x )f ′=3+1x 2f (x )x =2(2)f ′=13y −8=13(x −2)13x −y −18=6(2)(m ,+m −2)m 3(m )f ′=3+1m 2y −(+m −2)m 3=(3+1)(x −m )m 2−(+m −2)m 3=(3+1)(−m )m 22m 3=−2m =−1(−1)f ′=4y =4x f (−1)=−4(−1,−4)()f (x )()(m,+m −2)m 3m (1)f (x )=+x −2x 3(x )f ′=3+1x 2f (x )x =2(2)f ′=13y −8=13(x −2)13x −y −18=6(2)(m ,+m −2)m 3(m )f ′=3+1m 2y −(+m −2)m 3=(3+1)(x −m )m 2−(+m −2)m 3=(3+1)(−m )m 22m 3=−2m =−1(−1)f ′=4y =4x f (−1)=−4(−1,−4)(1)=(−1)S n 32b n
=(−1)，=(−1)(n ≥2)
3−13−1
，
，即，故.设数列的公差为，
由已知得，
，
.由可得，
令，其前项和记为；令，其前项和记为，∴，
，
两式相减得：，
，，
.
【考点】
数列的求和
数列递推式
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由得，
，
，即，故.设数列的公差为，
由已知得，，
.由可得，
==(−1)，=(−1)(n ≥2)S 1b 132b 1S n −132b n −1∴=3，=−=(−)b 1b n S n S n −132
b n b n −1=3b n b n −1=(n ∈)b n 3n N ∗{}a n d ∴==3,==
9,
a 2
b 1a 5b 2∴=1，d ==2a 19−35−2∴=2n −1a n
(2)(1)=(−1)=(−1),
S n 32b n 323n ∴n =(n ⋅−n )
S n 323n =n ⋅c n 3n n P
n =n d n n Q
n =3+2⋅+3⋅+⋅⋅⋅+n ⋅P n 32333n 3=+2⋅+3⋅+…+n ⋅P n 3232343n +1−2=3+++⋯+−n ⋅P n 32333n 3n +1=⋅−−n ⋅123n +1323n +1
∴=(−)⋅+P n n 214
3n +134
=Q n n (n +1)2
∴=(−)T n 32P n Q n =(−)⋅−+3n 4383n +13n (n +1)498(1)=(−1)S n 32b n
==(−1)，=(−1)(n ≥2)S 1b 132b 1S n −132b n −1∴=3，=−=(−)b 1b n S n S n −132
b n b n −1=3b n b n −1=(n ∈)b n 3n N ∗{}a
n d ∴==3,==9,
a 2
b 1a 5b 2∴=1，d ==2
a 19−35−2∴=2
n −1a n (2)(1)=(−1)=(−1),
S n 32b n 32
3n ∴n =(n ⋅−n )S n 323n =n ⋅3n =n d Q
令，其前项和记为；令，其前项和记为，∴，
，
两式相减得：，，，.21.
【答案】
解：依题意，当时， ,
当时，
，
当时，也满足上式，
∴，.
选条件①：由可得： ，∴.选条件②：由可得 ，则, ,两式相减，可得：
，
∴.
选条件③：
由可得 .
当为偶数时，为奇数，
，当为奇数时，为偶数，
，综上所述，可得.=n ⋅c n 3n n P n =n d n n Q n =3+2⋅+3⋅+⋅⋅⋅+n ⋅P n 32333n 3=+2⋅+3⋅+…+n ⋅P n 3232343n +1−2=3+++⋯+−n ⋅P n 32333n 3n +1=
⋅−−n ⋅123n +1323n +1∴=(−)⋅+P n n 2143n +134=Q n n (n +1)2∴=(−)T n 32P n Q n =(−)⋅−+3n 4383n +13n (n +1)498(1)n =1==1a 1S 1n ≥2=−=−=2n −1a n S n S n −1n 2(n −1)2n =1=1a 1=2n −1a n n ∈N ∗(2)(1)=b n 8n (⋅)a n a n +12=8n (2n −1)2(2n +1)2
=−1(2n −1)21(2n +1)2=++⋯+T n b 1b 2b n =−+−+112132132152⋯+−1(2n −1)21(2n +1)2
=1−1(2n +1)2(1)=⋅=(2n −1)b n a n 2n 2n =1×2+3×+5×+T n 2223⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)⋅2n −12n 2=1×+3×+5×+T n 222324⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)2n 2n +1−=2+2×+2×+T n 2223⋯+2⋅2n −(2n −1)2n +1
=2+−(2n −1)⋅8−2n +21−22n +1=−6−(2n −3)⋅2n +1=6+(2n −3)⋅T n 2n +1(1)=⋅b n (−1)n =⋅S n (−1)n n 2(i )n n −1=++⋯+T n b 1b 2b n
=−+−+12223242⋯−+(n −1)2n 2
=(−)+(−)+⋯+[−]
22124232n 2(n −1)2=3+7+⋯+2n −1=(3+2n −1)n 22=n (n +1)2(ii )n n −1=−=−=T n T n −1n 2n (n −1)2n 2−n (n +1)2=⋅T n (−1)n n (n +1)2
【考点】
数列递推式
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
【解答】
解：依题意，当时， ,当时，
，当时，也满足上式，
∴，.
选条件①：由可得： ，∴.选条件②：由可得 ，则, ,两式相减，可得：
，
∴.
选条件③：
由可得 .
当为偶数时，为奇数，
，当为奇数时，为偶数，
，(1)n =1==1a 1S 1n ≥2=−=−=2n −1a n S n S n −1n 2(n −1)2n =1=1a 1=2n −1a n n ∈N ∗(2)(1)=b n 8n (⋅)a n a n +12=8n (2n −1)2(2n +1)2
=−1(2n −1)21(2n +1)2=++⋯+T n b 1b 2b n =−+−+112132132152⋯+−1(2n −1)21(2n +1)2
=1−1(2n +1)2(1)=⋅=(2n −1)b n a n 2n 2n =1×2+3×+5×+T n 2223⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)⋅2n −12n 2=1×+3×+5×+T n 222324⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)2n 2n +1−=2+2×+2×+T n 2223⋯+2⋅2n −(2n −1)2n +1
=2+−(2n −1)⋅8−2n +21−22n +1=−6−(2n −3)⋅2n +1=6+(2n −3)⋅T n 2n +1(1)=⋅b n (−1)n =⋅S n (−1)n n 2(i )n n −1=++⋯+T n b 1b 2b n
=−+−+12223242⋯−+(n −1)2n 2
=(−)+(−)+⋯+[−]22124232n 2(n −1)2=3+7+⋯+2n −1=(3+2n −1)n 22=n (n +1)2(ii )n n −1=−=−=T n T n −1n 2n (n −1)2n 2−n (n +1)2
⋅n (n +1)
综上所述，可得.22.
【答案】
解：依题意，得 .将 代入椭圆的方程，得 ，将 ，解得 ，
所以椭圆的标准方程为 .由可得左焦点 ，
由题意设直线的方程为 ，代入椭圆方程，得 ，
设， ，则 ,
所以 的中点为 ,设点 ，则 ，解得 ，所以 ,又,所以 .【考点】
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的标准方程
直线与圆的位置关系
【解析】=⋅
T n (−1)n n (n +1)2
(1)b =1x =2−y 2–√(+2)−4y +4−=0a 2y 22–√a 2Δ=32−4(+2)(4−)=0a 2a 2=2a 2+=1x 22
y 2(2)(1)F (−1,0)l x =my −1(m ≠0)(+2)−2my −1=0m 2y 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2+=,=y 1y 22m +2m 2y 1y 2−1+2m 2+=m (+)−2=
，x 1x 2y 1y 2−4+2m 2AB Q (,)−2+2m 2m +2m 2P (,0)x 0==−m k PQ −m 2+(+2)m 2x 0=x 0−1+2
m 2|PF |=|+1|=x 0+1m 2+2
m 2|AB |=|−|=1+m 2−−−−−−√y 1y 21+m 2−−−−−−√(+2m +2m 2)24+2m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−√=2(+1)2–√m 2+2
m 2=|PF ||AB |
2–√4
此题暂无解析
【解答】
解：依题意，得 .
将 代入椭圆的方程，得 ，将 ，解得 ，
所以椭圆的标准方程为 .由可得左焦点 ，
由题意设直线的方程为 ，代入椭圆方程，得 ，
设， ，则 ,
所以 的中点为 ,设点 ，则 ，解得 ，所以 ,又,所以 .(1)b =1x =2−y 2–√(+2)−4y +4−=0a 2y 22–√a 2Δ=32−4(+2)(4−)=0a 2a 2=2a 2+=1x 22
y 2(2)(1)F (−1,0)l x =my −1(m ≠0)(+2)−2my −1=0m 2y 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2+=,=y 1y 22m +2m 2y 1y 2−1+2m 2+=m (+)−2=
，x 1x 2y 1y 2−4+2m 2AB Q (,)−2+2m 2m +2m 2P (,0)x 0==−m k PQ −m 2+(+2)m 2x 0=x 0−1+2
m 2|PF |=|+1|=x 0+1m 2+2
m 2|AB |=|−|=1+m 2−−−−−−√y 1y 21+m 2−−−−−−√(+2m +2m 2)24+2m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−√=2(+1)2–√m 2+2
m 2=|PF ||AB |2–√4。