高中数学 2.4 向量的应用同步课件 新人教B版必修4
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第七页，共49页。
4．速度向量 一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量 可以用 有向线段 表示.
第八页，共49页。
思考探究 向量可以解决哪些常见的几何问题？ 提示 (1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三 线共点等位置关系． (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题.
第三十六页，共49页。
＝(4，－5)·(－13，－15) ＝4×(－13)＋(－5)×(－15) ＝23(J)． (2)解法 1：F1、F2 的合力为 F1＋F2＝(1,2)＋(4，－5)＝(5，－3)． 设 F1、F2 的合力对质点所做的功为 W，则： W＝(F1＋F2)·A→B
第三十七页，共49页。
第二十页，共49页。
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
第二十一页，共49页。
典例剖析 例 1 如图所示，点 O 是平行四边形 ABCD 的中心，E，F 分别在边 CD，AB 上，且ECDE＝FABF＝12，求证：点 E，O，F 在同 一直线上．
第二十二页，共49页。
剖析 要证点 E，O，F 共线，只需证F→O＝mO→E(m∈R)， 可选用基底A→B，A→D来表示F→O及O→E，进而可使问题得到解决．
自学导航 1.直线与向量平行的条件 (1)直线的斜率与向量的关系： 设直线 l 的倾斜角为 α，斜率为 k，A(x1，y1)∈l，P(x，y) ∈l，若向量 a＝(a1，a2)平行于 l，则可得 k＝yx－－yx11＝aa21＝tanα. (2)平行条件： 如果知道直线 l 的斜率 k＝aa21，那么向量(a1，a2)一定与该直 线平行．
＋
→ AC →
·B→C＝0，
|AB| |AC|
则△ABC 是等腰三角形．
AB 与 AC 是△ABC 的两腰．
→→
∵
AC·BC →→
＝
22，∴∠BCA＝45°.
|AC|·|BC|
∴该三角形是等腰直角三角形．
答案 D
第十八页，共49页。
名师点拨 1.向量有着丰富的物理背景 向量的物理背景是位移、力、速度等，向量数量积的物理 背景是力所做的功．因此利用向量可以解决一些物理问题． 向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问 题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果 解释物理现象．
剖析 在所求直线上任取一点 P(x，y)，则A→P∥a，利用向 量共线的条件可写出方程．
第二十九页，共49页。
解析 设 P(x，y)是所求直线上任意一点，则A→P＝(x＋2，y ＋1)，∵A→P∥a，∴2(x＋2)－3(y＋1)＝0，
即 2x－3y＋1＝0， ∴所求直线方程为 2x－3y＋1＝0.
第四十三页，共49页。
解析 如图所示，(1)设此人游泳的速度为O→B，水流的速度 为O→A，以 OA、OB 为邻边作▱OACB.则此人的实际速度为O→A＋ O→B＝O→C.据勾股定理知|O→C|＝8.且在 Rt△AOC 中，∠COA＝60°， 故此人沿与河岸夹角 60°顺着水流的方向前进，速度大小为 8 公里/小时．
第四十四页，共49页。
(2)设此人的实际速度为O→B，水流速度为O→A，因此游速A→B＝ O→B－O→A，在 Rt△AOB 中，|A→B|＝4 3，|O→A|＝4，|O→B|＝4 2， ∴∠BAO＝arccos 33，即此人应沿与河岸夹角为 arccos 33，逆 着水流方向前进，实际前进的速度为 4 2公里/小时．
第二十七页，共49页。
因为A→F＝(－4,3)，B→E＝(2，－6)，
所以
cos〈A→F，B→E〉＝
→→ AF·BE →→
|AF||BE|
＝－1530 10.
即两直角边中线所成钝角的余弦值为－1530 10.
第二十八页，共49页。
例 2 求通过 A(－2，－1)，且平行向量 a＝(3,2)的直线方 程．
第三十九页，共49页。
变式训练 3 在重 300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳 子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为 30°和 60°，求重物 平衡时，两根绳子拉力是多少？
第四十页，共49页。
解析 作▱OACB，使∠AOC＝30°， ∠BOC＝60°. 在△OAC 中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°， |O→A|＝|O→C|cos30°＝150 3 N，
第十九页，共49页。
2．用向量解答物理问题的模式 ①建模，把物理问题转化成数学问题． ②解模，解答得到的数学问题． ③回答，利用解得的数学答案解释物理现象． 3．用向量方法解决几何问题，一般分如下三步 ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的 几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算， 研究几何元素之间的关系；③把运算结果还原为几何关系.
第三十五页，共49页。
解析 (1)由已知得 F1＝(1,2)，F2＝(4，－5)． 设 F1、F2 对质点所做的功分别为 W1、W2. ∵A→B＝(7－20,0－15)＝(－13，－15)， ∴W1＝F1·A→B ＝(1,2)·(－13，－15) ＝1×(－13)＋2×(－15) ＝－43(J)， W2＝F2·A→B
第十三页，共49页。
解析 小船的实际速度大小为 102＋22＝ 104＝2 26 m/s.
答案 B
第十四页，共49页。
3．过点(－1,3)且与向量 a＝(2,1)垂直的直线方程为( ) A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
第十五页，共49页。
解析 设所求直线方程为 2x＋y＋C＝0， ∵该直线过(－1,3)，∴C＝－1. ∴所求直线方程为 2x＋y－1＝0. 答案 A
＝(5，－3)·(－13，－15) ＝5×(－13)＋(－3)×(－15) ＝－20(J)． 解法 2：W＝(F1＋F2)·A→B ＝F1·A→B＋F2·A→B ＝W1＋W2＝－43＋23 ＝－20(J)．
第三十八页，共49页。
规律技巧 在解题过程中要注意两方面的问题，一方面是 如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系 抽象成数学模型，另一方面是如何利用建立起来的数学模型解 释和回答相关的物理现象．
第三十页，共49页。
规律技巧 若直线的斜率 k＝aa12，则向量(a1，a2)一定与该 直线平行，反之也成立．由此可知，在本题中设直线的斜率为23， 再用点斜式写出直线方程．
第三十一页，共49页。
变式训练 2 求过 P(3，－1)，且与 a＝(2,3)垂直的直线方 程．
第三十二页，共49页。
解析 解法 1：设与所求直线平行的向量 b＝(1，k)，则 a ⊥b.
第二十四页，共49页。
规律技巧 要证明三点共线，只需要证明包含这三个点的 两个向量共线，从而把点共线问题转化成向量共线问题．
第二十五页，共49页。
变式训练 1 已知直角三角形的两直角边长为 4 和 6，求两 直角边中线所成钝角的余弦值．
第二十六页，共49页。
解析 以直角三角形的顶点为坐标原点，两直角边所在的 直线为 x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则 A(4,0)，B(0,6)， 设 AF、BE 为直角边 OB、OA 的中线，则 E(2,0)，F(0,3)．
第四十五页，共49页。
规律技巧 本题运用了向量合成与分解的知识．
第四十六页，共49页。
变式训练 4 一只小船以 10 km/h 的速度沿垂直于河对岸 的方向航行，小船实际行驶的方向与水流方向成 60°角，求水 流速度与小船的实际速度的大小．
第四十七页，共49页。
解析 如图，O→M表示小船垂直于河对岸行驶的速度，O→N表 示水流速度，O→P表示小船的实际速度．由题意知∠NOP＝60°， |O→M|＝10.∵四边形 OMPN 是矩形，
第四十八页，共49页。
∴|O→M|＝|O→P|sin60°＝10，
∴|O→P|＝sin1600°＝203 3，
∴|O→N|＝|O→P|cos60°＝203
3×12＝103
3 .
∴水流速度的大小为103 3 km/h，小船的实际速度的大小
为203 3 km/h.
第四十九页，共49页。
第二十三页，共49页。
证明 设A→B＝a，A→D＝b，由 E，F 分别为对应边的三等分 点，得
F→O＝F→A＋A→O＝－13a＋12A→C ＝－13a＋12(a＋b)＝16a＋12b， O→E＝O→C＋C→E＝12A→C＋13C→D ＝12(a＋b)－13a＝16a＋12b. ∴F→O＝O→E，又 O 为其公共点，故 E，O，F 在同一直线上．
例 3 已知两恒力 F1＝i＋2j，F2＝4i－5j(其中 i、j 分别是 x 轴、y 轴上的单位向量)作用于同一质点，使之由点 A(20,15) 移动到点 B(7,0)，试求：
(1)F1、F2 分别对质点所做的功； (2)F1、F2 的合力对质点所做的功． (力的单位为 N，位移单位为 m) 剖析 要求力做的功，即求力与位移的数量积．
∴1×2＋3k＝0，∴k＝－23. ∴所求直线方程为：y＋1＝－23(x－3)， 即 2x＋3y－3＝0.
第三十三页，共49页。
解法 2：∵a 与所求直线垂直， ∴设所求直线方程为 2x＋3y＋c＝0. 又∵该直线过(3，－1)， ∴c＝－3. ∴所求直线方程为 2x＋3y－3＝0.
第三十四页，共49页。
第二章 平面向量
第一页，共49页。
2．4 向量的应用
课前预习目标
课堂互动探究
第二页，共49页。
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
第三页，共49页。
学习目标 1.能用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2．初步掌握向量在解析几何中的简单应用． 3．能利用向量方法解决力向量、速度向量等物理问题.
第四页，共49页。
第九页，共49页。
自测自评
1.用两条成 60°的绳索拉船，每条绳索上的拉力是 12 N，则
合力为(精确到 0.1 N)( )
A．20.6 N
B．18.8 N
C．20.8 N
D．36.8 N
第十页，共49页。
解析 用绳索拉船的力的示意图如图所示．
由题意可知|O→F1|＝|O→F2|＝12， ∴四边形 OF1FF2 为菱形．
第五页，共49页。
(3)法向量： 如果表示向量的基线与一条直线 垂直 ，那么称这个向量 垂直 该直线．这个向量称为这条直线的法向量．
第六页，共49页。
2．特殊向量 设直线 l 的一般方程 Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线 l 垂直 ，向量(－B，A)与 l 平行． 3．力向量 力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点 三个 要素，在不考虑 作用点 的情况下，可利用向量运算法则进行 计算．
第四十一页，共49页。
|A→C|＝|O→C|sin30°＝150 N， |O→B|＝|A→C|＝150 N. ∴与铅垂线成 30°角的绳子的拉力是 150 3N，与铅垂线成 60°角的绳子的拉力是 150 N.
第四十二页，共49页。
例 4 某人在静水中游泳，速度为 4 3公里/小时， (1)如果他径直游向河对岸，水流的速度为 4 公里/小时，他 实际沿什么方向前进？速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？ 实际前进的速度大小为多少？ 剖析 速度就是一种向量，因此，本题可以用向量的方法 解答．
第十六页，共49页。
4．已知非零向量A→B、A→C和B→C满足(
→ AB →
＋
→ AC →
)·B→C＝0，且
|AB| |AC|
→→
AC·BC →→
＝
22，则△ABC
为(
)
|AC||BC|
A．等边三角形 B．等腰非直角三角形
C．非等腰三角形 D．等腰直角三角形
第十七页，共49页。
解析
由
→ AB →
第十一页，共49页。
∵∠F1OF2＝60°， ∴|O→F|＝12 3≈20.8，故选 C. 答案 C
第十二页，共49页。
2．河水的流速为 2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的实际速度大小为( )
A．10 m/s B．2 26 m/s C．4 6 m/s D．12 m/s
4．速度向量 一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量 可以用 有向线段 表示.
第八页，共49页。
思考探究 向量可以解决哪些常见的几何问题？ 提示 (1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三 线共点等位置关系． (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题.
第三十六页，共49页。
＝(4，－5)·(－13，－15) ＝4×(－13)＋(－5)×(－15) ＝23(J)． (2)解法 1：F1、F2 的合力为 F1＋F2＝(1,2)＋(4，－5)＝(5，－3)． 设 F1、F2 的合力对质点所做的功为 W，则： W＝(F1＋F2)·A→B
第三十七页，共49页。
第二十页，共49页。
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
第二十一页，共49页。
典例剖析 例 1 如图所示，点 O 是平行四边形 ABCD 的中心，E，F 分别在边 CD，AB 上，且ECDE＝FABF＝12，求证：点 E，O，F 在同 一直线上．
第二十二页，共49页。
剖析 要证点 E，O，F 共线，只需证F→O＝mO→E(m∈R)， 可选用基底A→B，A→D来表示F→O及O→E，进而可使问题得到解决．
自学导航 1.直线与向量平行的条件 (1)直线的斜率与向量的关系： 设直线 l 的倾斜角为 α，斜率为 k，A(x1，y1)∈l，P(x，y) ∈l，若向量 a＝(a1，a2)平行于 l，则可得 k＝yx－－yx11＝aa21＝tanα. (2)平行条件： 如果知道直线 l 的斜率 k＝aa21，那么向量(a1，a2)一定与该直 线平行．
＋
→ AC →
·B→C＝0，
|AB| |AC|
则△ABC 是等腰三角形．
AB 与 AC 是△ABC 的两腰．
→→
∵
AC·BC →→
＝
22，∴∠BCA＝45°.
|AC|·|BC|
∴该三角形是等腰直角三角形．
答案 D
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名师点拨 1.向量有着丰富的物理背景 向量的物理背景是位移、力、速度等，向量数量积的物理 背景是力所做的功．因此利用向量可以解决一些物理问题． 向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问 题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果 解释物理现象．
剖析 在所求直线上任取一点 P(x，y)，则A→P∥a，利用向 量共线的条件可写出方程．
第二十九页，共49页。
解析 设 P(x，y)是所求直线上任意一点，则A→P＝(x＋2，y ＋1)，∵A→P∥a，∴2(x＋2)－3(y＋1)＝0，
即 2x－3y＋1＝0， ∴所求直线方程为 2x－3y＋1＝0.
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解析 如图所示，(1)设此人游泳的速度为O→B，水流的速度 为O→A，以 OA、OB 为邻边作▱OACB.则此人的实际速度为O→A＋ O→B＝O→C.据勾股定理知|O→C|＝8.且在 Rt△AOC 中，∠COA＝60°， 故此人沿与河岸夹角 60°顺着水流的方向前进，速度大小为 8 公里/小时．
第四十四页，共49页。
(2)设此人的实际速度为O→B，水流速度为O→A，因此游速A→B＝ O→B－O→A，在 Rt△AOB 中，|A→B|＝4 3，|O→A|＝4，|O→B|＝4 2， ∴∠BAO＝arccos 33，即此人应沿与河岸夹角为 arccos 33，逆 着水流方向前进，实际前进的速度为 4 2公里/小时．
第二十七页，共49页。
因为A→F＝(－4,3)，B→E＝(2，－6)，
所以
cos〈A→F，B→E〉＝
→→ AF·BE →→
|AF||BE|
＝－1530 10.
即两直角边中线所成钝角的余弦值为－1530 10.
第二十八页，共49页。
例 2 求通过 A(－2，－1)，且平行向量 a＝(3,2)的直线方 程．
第三十九页，共49页。
变式训练 3 在重 300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳 子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为 30°和 60°，求重物 平衡时，两根绳子拉力是多少？
第四十页，共49页。
解析 作▱OACB，使∠AOC＝30°， ∠BOC＝60°. 在△OAC 中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°， |O→A|＝|O→C|cos30°＝150 3 N，
第十九页，共49页。
2．用向量解答物理问题的模式 ①建模，把物理问题转化成数学问题． ②解模，解答得到的数学问题． ③回答，利用解得的数学答案解释物理现象． 3．用向量方法解决几何问题，一般分如下三步 ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的 几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算， 研究几何元素之间的关系；③把运算结果还原为几何关系.
第三十五页，共49页。
解析 (1)由已知得 F1＝(1,2)，F2＝(4，－5)． 设 F1、F2 对质点所做的功分别为 W1、W2. ∵A→B＝(7－20,0－15)＝(－13，－15)， ∴W1＝F1·A→B ＝(1,2)·(－13，－15) ＝1×(－13)＋2×(－15) ＝－43(J)， W2＝F2·A→B
第十三页，共49页。
解析 小船的实际速度大小为 102＋22＝ 104＝2 26 m/s.
答案 B
第十四页，共49页。
3．过点(－1,3)且与向量 a＝(2,1)垂直的直线方程为( ) A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
第十五页，共49页。
解析 设所求直线方程为 2x＋y＋C＝0， ∵该直线过(－1,3)，∴C＝－1. ∴所求直线方程为 2x＋y－1＝0. 答案 A
＝(5，－3)·(－13，－15) ＝5×(－13)＋(－3)×(－15) ＝－20(J)． 解法 2：W＝(F1＋F2)·A→B ＝F1·A→B＋F2·A→B ＝W1＋W2＝－43＋23 ＝－20(J)．
第三十八页，共49页。
规律技巧 在解题过程中要注意两方面的问题，一方面是 如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系 抽象成数学模型，另一方面是如何利用建立起来的数学模型解 释和回答相关的物理现象．
第三十页，共49页。
规律技巧 若直线的斜率 k＝aa12，则向量(a1，a2)一定与该 直线平行，反之也成立．由此可知，在本题中设直线的斜率为23， 再用点斜式写出直线方程．
第三十一页，共49页。
变式训练 2 求过 P(3，－1)，且与 a＝(2,3)垂直的直线方 程．
第三十二页，共49页。
解析 解法 1：设与所求直线平行的向量 b＝(1，k)，则 a ⊥b.
第二十四页，共49页。
规律技巧 要证明三点共线，只需要证明包含这三个点的 两个向量共线，从而把点共线问题转化成向量共线问题．
第二十五页，共49页。
变式训练 1 已知直角三角形的两直角边长为 4 和 6，求两 直角边中线所成钝角的余弦值．
第二十六页，共49页。
解析 以直角三角形的顶点为坐标原点，两直角边所在的 直线为 x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则 A(4,0)，B(0,6)， 设 AF、BE 为直角边 OB、OA 的中线，则 E(2,0)，F(0,3)．
第四十五页，共49页。
规律技巧 本题运用了向量合成与分解的知识．
第四十六页，共49页。
变式训练 4 一只小船以 10 km/h 的速度沿垂直于河对岸 的方向航行，小船实际行驶的方向与水流方向成 60°角，求水 流速度与小船的实际速度的大小．
第四十七页，共49页。
解析 如图，O→M表示小船垂直于河对岸行驶的速度，O→N表 示水流速度，O→P表示小船的实际速度．由题意知∠NOP＝60°， |O→M|＝10.∵四边形 OMPN 是矩形，
第四十八页，共49页。
∴|O→M|＝|O→P|sin60°＝10，
∴|O→P|＝sin1600°＝203 3，
∴|O→N|＝|O→P|cos60°＝203
3×12＝103
3 .
∴水流速度的大小为103 3 km/h，小船的实际速度的大小
为203 3 km/h.
第四十九页，共49页。
第二十三页，共49页。
证明 设A→B＝a，A→D＝b，由 E，F 分别为对应边的三等分 点，得
F→O＝F→A＋A→O＝－13a＋12A→C ＝－13a＋12(a＋b)＝16a＋12b， O→E＝O→C＋C→E＝12A→C＋13C→D ＝12(a＋b)－13a＝16a＋12b. ∴F→O＝O→E，又 O 为其公共点，故 E，O，F 在同一直线上．
例 3 已知两恒力 F1＝i＋2j，F2＝4i－5j(其中 i、j 分别是 x 轴、y 轴上的单位向量)作用于同一质点，使之由点 A(20,15) 移动到点 B(7,0)，试求：
(1)F1、F2 分别对质点所做的功； (2)F1、F2 的合力对质点所做的功． (力的单位为 N，位移单位为 m) 剖析 要求力做的功，即求力与位移的数量积．
∴1×2＋3k＝0，∴k＝－23. ∴所求直线方程为：y＋1＝－23(x－3)， 即 2x＋3y－3＝0.
第三十三页，共49页。
解法 2：∵a 与所求直线垂直， ∴设所求直线方程为 2x＋3y＋c＝0. 又∵该直线过(3，－1)， ∴c＝－3. ∴所求直线方程为 2x＋3y－3＝0.
第三十四页，共49页。
第二章 平面向量
第一页，共49页。
2．4 向量的应用
课前预习目标
课堂互动探究
第二页，共49页。
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
第三页，共49页。
学习目标 1.能用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2．初步掌握向量在解析几何中的简单应用． 3．能利用向量方法解决力向量、速度向量等物理问题.
第四页，共49页。
第九页，共49页。
自测自评
1.用两条成 60°的绳索拉船，每条绳索上的拉力是 12 N，则
合力为(精确到 0.1 N)( )
A．20.6 N
B．18.8 N
C．20.8 N
D．36.8 N
第十页，共49页。
解析 用绳索拉船的力的示意图如图所示．
由题意可知|O→F1|＝|O→F2|＝12， ∴四边形 OF1FF2 为菱形．
第五页，共49页。
(3)法向量： 如果表示向量的基线与一条直线 垂直 ，那么称这个向量 垂直 该直线．这个向量称为这条直线的法向量．
第六页，共49页。
2．特殊向量 设直线 l 的一般方程 Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线 l 垂直 ，向量(－B，A)与 l 平行． 3．力向量 力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点 三个 要素，在不考虑 作用点 的情况下，可利用向量运算法则进行 计算．
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|A→C|＝|O→C|sin30°＝150 N， |O→B|＝|A→C|＝150 N. ∴与铅垂线成 30°角的绳子的拉力是 150 3N，与铅垂线成 60°角的绳子的拉力是 150 N.
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例 4 某人在静水中游泳，速度为 4 3公里/小时， (1)如果他径直游向河对岸，水流的速度为 4 公里/小时，他 实际沿什么方向前进？速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？ 实际前进的速度大小为多少？ 剖析 速度就是一种向量，因此，本题可以用向量的方法 解答．
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4．已知非零向量A→B、A→C和B→C满足(
→ AB →
＋
→ AC →
)·B→C＝0，且
|AB| |AC|
→→
AC·BC →→
＝
22，则△ABC
为(
)
|AC||BC|
A．等边三角形 B．等腰非直角三角形
C．非等腰三角形 D．等腰直角三角形
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解析
由
→ AB →
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∵∠F1OF2＝60°， ∴|O→F|＝12 3≈20.8，故选 C. 答案 C
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2．河水的流速为 2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的实际速度大小为( )
A．10 m/s B．2 26 m/s C．4 6 m/s D．12 m/s