2019年北京东城区第六十五中学高二数学文月考试卷含解析

2019年北京东城区第六十五中学高二数学文月考试卷
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
参考答案：
B
【考点】正弦定理．
【分析】由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公
式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．
【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，
即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，
故选B．
2. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）
A．2017×22015 B．2017×22014 C．2016×22015 D．2016×22014
参考答案：
B
【考点】归纳推理．
【分析】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论
【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，
且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，
故第1行的第一个数为：2×2﹣1，
第2行的第一个数为：3×20，
第3行的第一个数为：4×21，
…
第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，
第2016行只有M，
则M=（1+2016）?22014=2017×22014
故选：B．
3. 向量,,且,则等于
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
4. 数列满足:,则其前10项的和（）
A.100
B.101
C.110
D.111
参考答案：
C
5. 抛物线的准线方程为
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
C
6. “因为e=2.71828…是无限不循环小数，所以e是无理数”，以上推理的大前提是
（）
A．实数分为有理数和无理数B．e不是有理数
C．无限不循环小数都是无理数D．无理数都是无限不循环小数
参考答案：
C
7. 以（2，﹣1）为圆心且与直线x﹣y+1=0相切的圆的方程为（）
A．（x﹣2）2+（y+1）2=8 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+2）2+（y﹣1）2=8 D．（x+2）2+（y﹣1）2=4
参考答案：
A
【考点】圆的标准方程．
【分析】直线与圆相切，则圆心到直线的距离即为圆的半径．利用点到直线的距离公式求出半径即可得到圆的方程．
【解答】解：圆心（2，﹣1）到直线x﹣y+1=0的距离为d==2，
∵圆与直线直线x﹣y+1=0相切，
∴半径r=2．
∴所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=8．
故选A．
8. 设x，y满足约束条件，目标函数，则（）
A．z的最大值为3 B．z的最大值为2
C. z的最小值为3 D．z的最小值为2
参考答案：
D
9. 若点P(3，－1)为圆(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为
（A）x＋y－2＝0 （B）2x－y－7＝0
（C）2x＋y－5＝0 （D）x－y－4＝0
参考答案：
D
10. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），则直线l的斜率为（）
A．B．C．D．1
参考答案：
C
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面
积为12，列出方程组求出a=2，b=，从而得到椭圆方程为，再由直线l 与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），利用点差法能求出直线l的斜率．
【解答】解：∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，
∴，解得a=2，b=，
∴椭圆方程为，
∵直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），
∴设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣4，y1+y2=2，
又，两式相减，得：（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2）=0，
∴﹣（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，
∴直线l的斜率k==．
故选：C．
【点评】本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、点差法的合理运用．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知直线l的极坐标方程为，点A的极坐标为，则点A 到直线l的距离为____．
参考答案：
直线的直角坐标方程为，点的直角坐标为，所以点到直线的距
离为.
12. 如图所示的数阵中，第21行第2个数字是________。

参考答案：
【分析】
根据题中所给数据，找到每一行第二个数的分母对应的规律，即可求出结果.
【详解】由题中数据可得：
第2行第2个数的分母为，
第3行第2个数的分母为，
第4行第2个数的分母为，
第5行第2个数的分母为，
….
归纳可得：第n行第2个数的分母为，
因此，第21行第2个数字的分母为.
故答案为
【点睛】本题主要考查归纳推理，只需由题中数据找出规律即可，属于常考题型.
13. 函数的最小值是．
参考答案：
6
14. 设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于________.
参考答案：
2
略
15. 已知集合，且下列三个关系：①；②；③有且只有一个正确，则等于__________．
参考答案：
201
【分析】
根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．
【详解】已知集合{a，b，c}={1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一个正确，
若①正确，则c=1，a=2，b=2不成立，若②正确，则b=3，c=1，a=3不成立，
若③正确，则a=3，b=1，c=2，即有100a+10b+c=312．
故答案为：312．
【点睛】题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏，是基础题．
16. 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A．B两点，且△OAB （O为坐标原点）的面积为，则= .
参考答案：
2
17. 抛物线的焦点为，在抛物线上，且，弦
的中点在其准线上的射影为，则的最大值为_____________.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=x2+ax+6．
（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；
（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．
【分析】（1）首先把一元二次不等式变为x2+5x+6＜0，然后运用因式分解即可解得不等式的解集；
（2）要使一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，只需△＜0，求出实数a的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵当a=5时，不等式f（x）＜0即
x2+5x+6＜0，
∴（x+2）（x+3）＜0，
∴﹣3＜x＜﹣2．
∴不等式f（x）＜0的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}
（2）不等式f（x）＞0的解集为R，
∴x的一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，
∴△=a2﹣4×6＜0?﹣2＜a＜2
∴实数a的取值范围是（﹣2，2）
19. 已知椭圆E： +=1（a＞b＞0），其短轴为2，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的右焦点为F，过点G（2，0）作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两
点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
参考答案：
【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的性质2b=2，离心率e===，求得a，求得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k1+k2的值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2b=2，b=1，
椭圆的离心率e===，
则a=，
∴椭圆的标准方程：；
（Ⅱ）设直线MN的方程为y=k（x﹣2）（k≠0）．
，消去y整理得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．设M（x1，y1），N（x2，
y2），
则x1+x2=，x1x2=，
k1+k2=+=+=k
=k=0
∴k1+k2=0为定值．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．
20. 过点（0，4），斜率为﹣1的直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A、B，且弦|AB|的长度为4．
（1）求p的值；
（2）求证：OA⊥OB（O为原点）．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，计算弦|AB|的长度，即可求p的值；
（2）证明x1x2+y1y2=0，即可得到OA⊥OB．
【解答】（1）解：直线方程为y=﹣x+4，联立方程消去y得，x2﹣2（p+4）
x+16=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），得x1+x2=2（p+4），x1x2=16，△=4（p+2）2﹣64＞0．
所以|AB|=|x1﹣x2|==4，所以p=2．
（2）证明：由（1）知，x1+x2=2（p+4）=12，x1x2=16，
∴y1y2=（﹣x1+4）（﹣x2+4）=﹣8p=﹣16
∴x1x2+y1y2=0，∴OA⊥OB．
21. (本小题满分12分)
已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=9,S n=n2a n-n2(n-1),设b n=
(1)求证：b n-b n-1=n (n≥2，n∈N).
(2)求的最小值.
参考答案：
解：（1）
--------------（6分）
（2）个式子相加得
又
当时，最小，值为--------------------（12分）
略
22. 把复数z的共轭复数记作，已知，求z及．
参考答案：
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】设复数z=x+yi（x，y∈R），这里必须强调x，y∈R，则，于是
，按照复数乘法进行运算，然后根据复数相等的充要条件列方程组，求出x，y的值，得到z及，进而根据可以求出的值．
【解答】解：设z=x+yi（x∈R，y∈R），则，
，
则，解得，
∴z=2+i，，∴．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。