第二讲 中学几何证题思想之面积法与体积法

中学生辅助线添加如上。
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从 而 S BDF S DEF , S BDE 于 是 S BDF 1 5 S FDCE
1 2
S DCE
答 案 为 （ A） 。
注 ： C BA 72 是 多 余 条 件 。

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例 3 ( 4 6 届 匈 牙 利 数 奥 题 ）在 A B C 三 边 B C 、 C A、 A B 上 分 别 取 点 D 、 E 、 F 使 B D ＝ 3 D C ， C E ＝ 3 E A， A F ＝ 3 F B 。 连 A D 、 B E 、 C F 相 交 得 P Q R ， 已 知 S A B C ＝1 3 ， 求 S P Q R 。
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例 1 0（1 ） G 为 A B C 的 重 心 ， P 为 A B C 内 一 点 ， 直 线 PG与 直 线 BC、 CA、 AB分 别 交 于 A '、 B '、 C '。 A 'P B 'P C 'P 求证： ＋ ＋ ＝3. A 'G B 'G C 'G
S A G B BD 证 （1 ） ： ＝ ＝1 D 为 中 点 ， DC S A G C 其 余 类 似 ， 故 G为 ABC的 重 心 。
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例（中线、重心） 9 （ 2 ） 连 接 四 面 体 顶 点 A 与 对 底 B C D 之 重 心 A 1的 线 段 称 为 四 面 体 ABCD之 BCD面 上 的 中 线 。 证 明 ： 四 面 体 ABCD各 个 面 之 中 线 交 于 一 点 G （称为四面体的重心），且 V G B C D ＝ V G C D A ＝ V G D A B＝ V G A B C
注 ： 把 上 题 改 为 B D＝ kD C ， 为 1 9 5 2 年 波 兰 数 奥 题 ） 由
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例 4 ( 证 两 边 相 等 ）设 P 是 A B C 的 A 的 平 分 线 上 的 任 一 点 ， 过 C 引 C E //P B 交 A B 的 延 长 线 于 E ， 过 B 引 B F //P C 交 AC 的 延 长 线 于 F。 证 明 ： BE＝ C F。
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注：只画了两种常见情形，类比共边比例 定理可作出其余图形。
由共顶比例定理与共边比例定理可以证明： 若 Q在 四 面 体 P－ ABC内 部 ， 直 线 PQ交 平 面 ABC于 M ， 则 V Q － P A B： V Q － P B C ： V Q － P C A ＝ S M A B ： S M B C ： S M C A （ 证 明 ： V B － P Q C ： V A － P Q C＝ B N ： A N ＝ S M A C ： S M B C）
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证 （ 2 ） 取 C D 的 中 点 E ， 则 A A 1与 B B 1 ： 均 在 面 A B E 内 ， 故 A A 1与 B B 1交 于 G ， 则 AG GA1 B 1A ＝ S BB S BB BE
1A
＝
S BB S BB
1A
S BB S BB1E1A 11E
1A 1
证 ： 需 欲 证 EF＝ G H ， 只 只 须 证 S E F P S G H Q （这是因为这两三角形在 边 EF、 G H 上 的 高 相 等 ， 即 P O sin P O Q ＝ Q O sin P O Q ） .
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下 面 证 S E F P S G H Q . 因 为 B F //H O ， 故 S O P F S O P B， 进 而 SΔ PEF = SΔ BOE . 同 理 ， 因 B H //O E ， 所 以 SΔ BOE = SΔ OEH 同 理 可 证 ， SΔ QHG = SΔ HOE， 综 合 起 来 有 S P E F S Q H G ， 于 是 E F ＝ G H 。 证 毕 。
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例 6 (1 9 8 2 年 国 际 数 奥 题 ）设 正 六 边 形 A B C D E F 的 对 角 线 AC、 CE分 别 被 内 点 M 、 N分 成 的 比 为 AM AC

＝
CN CE
＝ r, 且 B 、 M 、 N 共 线 ， 求 r 。

解 ： BC N 中 用 张 角 公 式 ， BC A 30 ， 在 A C N 60 ， 设 正 六 边 形 边 长 为1， 则 AC CE
＝ AB 2
S ABC
1 AP AC＋ AQ AB 1 AC AB ＝ ＝ ＋ 2 AP AQ 2 AQ AP 证毕。
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例 8 (6 届 国 际 数 奥 题 ， S = rp 的 应 用 ）三 边 长 为 a,b ,c 的 ABC中 内 切 一 圆 ， 作 三 条 平 行 于 ABC三 边 的 圆 的 切 线 ， 从 ABC上 截 得 三 个 小 三 角 形 ， 求 这 四 个 三 角 形的内切圆的面积之和。
法 一 ： A B M＝ S A C M＝ S 故 S APN S ABC S AQN S ABC ＝ ＝ S APN 2 S ABM S AQN 2 S ACM ＝ ＝ 1 2 S ABC
AP AN 2AB AM
AN AQ 2AM AC
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上两式相加得 S APQ S ABC AN AP AQ ＝ ＋ 2 AM AB AC 1
2 3 ＝ ＝ ＝3 B 1E B A 1 1 2
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取 B D 的 中 点 F ， 同 理 C C 1与 A A 1同 在 面 A F C 内 ， 设 C C 1交 A A 1于 G ' ， 且 AG ' G 'A1 同 理 D D 1与 A A 1交 于 点 。 证毕。 ＝ 3 ， 故 G G '.
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定 理 （ 共 顶 比 例 定 理 ）设 三 棱 锥 P － A B C 与 2 P － A 'B 'C '有 相 同 的 顶 点 P 和 三 面 角 P － A B C ， 则 VP－ ABC V P － A 'B 'C ' PA PB PC PA' PB' PC'
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例 （ 重 心 ） 1） 在 ABC 内 任 取 一 点 G ， 9 （ 使 S A B G＝ S B C G＝ S A C G ， 则 G 是 A B C 的 重 心 。

3， C N

3 r， A M

3 r，
由
sin (3 0 + 6 0 ) CM

sin 3 0 CN
+
sin 6 0 BC

得 r
3 3
.
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例 7 (1 9 7 8 年 辽 宁 中 学 数 学 竞 赛 ）设 A M 是 A B C 的 中 线 ， 任 作 一 直 线 ， 分 别 交 AB、 AC、 AM 于 P、 Q、 N。 AB AM AC 求证： 、 、 成等差数列。 AP AN AQ
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例 5 ( 证 两 边 相 等 ）在 A B C D 内 取 一 点 ， 过 O 作 E F //A B , G H //B C 交 各 边 于 H 、 F 、 G 、 E ， 连 B E 、 H D ， 分 别 交 G H 、 EF于 P、 Q ， 若 PO ＝ Q O ， 则 ABC D 为 菱 形 。
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,
S CAO S CAB

OM BM
,
,
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上三式相加得：
1 OL AL AL R AL OM BM ON CN CN R CN
BM R BM
1 1 1 3 R AL BM CN

1 AL

1 BM

1 CN

2 R
证毕。
分 析 ： 欲 证 B E ＝ C F ， 只 须 证 S BEP S CFP 由 （ P为 角 平 分 线 上 的 点 ， 到 BE、 CF边 上 的距离相等） 又 P C //B F ， 故 S C F P S P C B， B P //C E ， 故 S P C B S B E P， 得 证 。
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二、基本公式和定理
5
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A
r
B C
7
8
9
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例 1 设 O 为 锐 角 A B C的 外 心 ， 若 A O , B O , C O 分 别 交 对 边 于 L、 M 、 N ， 设 R 为 O 的 半 径 。 求证： 1 AL 1 BM 1 CN 2 R
证明：
S BCO S BCA S ABO S ABC OL AL ON CN
故所求四圆面积之和为
(r rA rB rC ) = r [1 + (1
2 2 2 2 2
a p
) + (1
2 2
b p
) + (1
2
c p
) ]
2
=

p
3
(p a )(p b )(p c )(a + b + c )
2 2
注 ： S A B C rp
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例 2 (1 9 8 0 年 美 国 数 奥 题 ） A B C 中 ， C B A 7 2 ,E 是 A C 的 中 点 ， D 在 B C 上 且 2 B D＝ D C ， A D 与 B E 交 于 F ， B D F 与 四 边 形 F D C E 的面积比是（ ） 1 1 1 2 （ A） （ B） （ C） （ D） 5 4 3 5 （ E） 以 上 均 不 对 。
p pA

BC QF
)
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三、体积法
体积法实际上是通过类比，将面 积法移植到空间图形所得。最重要的 是共边比例定理和共顶比例定理移植 到空间得：
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定 理 （ 共 底 比 例 定 理 ）设 锥 体 P － S 与 Q － S 1 有相同的底（或两底在同一平面上且面积相等）， 直 线 PQ与 S所 在 平 面 相 交 于 M ， 则 VP－ S VQ－ S MP MQ
解 ： p= 设 1 2 内 切 圆 半 径 r为 r= S ABC p = ah a 2p = bh b 2p = ch c 2p (a + b + c ), 则 A B C 的
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A Q F 的 内 切 圆 半 径 rA 与 r 之 比 为 rA r = h a 2r ha =1 a p
p ( p a )( p b )( p c ) .
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S AQF S ABC

rA p A rp p pA Q F ( ha 2 r ) B C B C ha QF

rA r

S AQF S ABC

( ha 2 r ) ha
( S A B C S A Q F
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由于面积方法解题具有直观性、通用性和 推理的代数简洁性，已成为广大师生和几何爱 好者乐于采用的几何解题主要方法之一。
在我国，张景中运用面积法最为娴熟，采 用面积思想给出了中学几何的公理化体系。
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一、基本思想
在处理平面问题时，以面积作为思维的出 发点，利用面积关系来解题。关键在于用不同 的方法计算同一块面积，列出面积方程，得到 所需量的关系式，使问题获解。由于面积关系 比图形的全等和相似更具有普遍性，因而面积 法解题有很大的适用性，已成为解决几何问题 的一种重要方法。
整理得 AM 1 AB AC ＝ ＋ 证毕。 AN 2 AP AQ
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S P Q A＋ S P Q M AM AN＋ NM 法二： ＝ ＝ AN AN S PQA AP ＝ S APM＋ S AQM S PQA 1 S A B C＋ AP AQ AB AC AQ AC 1 2 S ABC
中学几何证题思想之
面积法与体积法
1
前言 人类认识面积，已有数千年历史。最
初是为了生产与生活的目的而估量和测算面 积。后来发展为把面积作为联系各种几何度 量和表明许多代数关系的一种直观工具。勾 股定理是几何学的基石，数以百计的形形色 色的证法中，最古老的证法是面积法，最简 洁而引人注目的证法也是面积法。