数论第03讲_整除综合问题(学生版)A4(1)

数论第03
讲_整除综合问题
结合整除特性的尾数分析、数字求和、求差等，逐步解决综合性问题．
重难点：综合考虑整除特性与极端分析，合理优化解决问题的顺序，进而得到问题的
解答．
题模一：尾数、求和、求差综合
例1.1.1小高写了一个五位数，用方格盖住了两个数字后变成365□□，并告诉墨莫说这个
五位数既是7的倍数，又是125的倍数．那么小高写的五位数可能是__________．
例1.1.2（1）七位数1994A BC 能被9、5和8整除，试确定数字A 、B 和C 的值．
（2）一个三位数能被9整除，去掉它的末位数后，所得到的两位数是17的倍数．这样的
三位数中，最大的是几？
例1.1.3有一个2012位的数A 能被9整除，它的各位数字之和为a ，a 的各位数字之和为b ，b 的各位数字之和为c ，c =_______．
例1.1.4冬冬在一张纸条上依次写下2，3，4，5，6，7这6个数字，形成一个六位数．阿
奇把这张纸条撕成了三节．这三节纸条上的数加起来得到的和能被55整除．请问：阿奇可
能是在什么位置撕断的这张纸条？（例如：按照图2-1，三节纸条上的和为++=）
234567486
234567
图2-1
题模二：分解判别法、乘积的整除性
例1.2.1求满足下面条件的整数a、b：
（1）8|375a a；（2）9|12345
a a a a；（3）11|12345
a b；（5）
a a a a；（4）72|761
⨯．
99|14758
a b
例1.2.2已知六位数2017是72的倍数，那么这个六位数是多少？
例1.2.3牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上．但是记账的那张纸被香
□”，其中方框表示被烧出的洞．牛叔叔记得每名工烟烧了两个洞，上面只剩下“678□
人的工资都一样，并且都是整数元．请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？
x y能被63整除，则这个五位数是__________．
例1.2.4一个五位数236
题模三：整除中的最值
例1.3.1一个各位数字互不相同的四位数能被9整除，把它的个位去掉后剩下一个三位数，这个三位数能被4整除，那么这个四位数最大是_____________．
例1.3.2由1、3、4、5、7、8这六个数字组成的六位数中能被11整除的最大的数是多少？
例1.3.3各位数字互不相同，数字和为17，且能被11整除，这样的五位数ABCDE最小是几？
例1.3.4对于自然数N，如果在1~9这9个自然数中至少有六个数可以整除N，则称N是一个“六合数”，则在大于2000的自然数中，最小的“六合数”是__________．
例1.3.5在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三位数，那么这个七位数最大是（）．
A．9981733B．9884737C．9978137D．9871773
例1.3.6多位数32
3232321n 个能被11整除，满足条件的n 最小是多少？例1.3.7能被99
整除且各位数字均不相同的最大自然数是__________．
随练1.1在 内填上合适的数字，使得679能同时被8、9整除．
随练1.2五位数691A B 能被55整除，写出符合题意的所有五位数．
随练1.3一个四位数92既是2的倍数又是3的倍数，同时能被5整除．这个四位数最大
是多少？
作业1（1）一个六位数2356□□是88的倍数，这个数除以88所得的商是________或
________．（2）在□内填上适当的数字，使五位数236□□既能被3整除又能被5整除．
作业2求最大的十位数，它由0、1、2、3、……、9这十个不同的数字组成，并且能被11
整除．
作业3六位数4273A B 能被72整除，这个六位数是多少？
作业4若六位数2016a b 能被12整除，则这样的六位数有__________个．
作业5从1至9这9个数中选出8个不同的数字，组成能被24整除的八位数．试问：在这
样的八位数中，最大的是________，最小的是________．
作业6如果 8
48884n 个是9的倍数，那么n 最小是________．作业7一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数是4的倍数，这样的四位数
中最小的是_________．
作业8各位数字互不相同，数字和为10，且能被11整除，这样的五位数ABCDE 最小是
几？
作业9在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？。