山西省太原市小店区北格镇第一中学2018-2019学年高三数学理联考试题含解析

山西省太原市小店区北格镇第一中学2018-2019学年高
三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. ．已知函数（其中），函数．下列关于函数的零点个数的判断，正确的是
（A）当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有2个零点；当a＝0时，有无数个零点
（B）当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有3个零点；当a＝0时，有2个零点
（C）当a＞0时，有2个零点；当a≤0时，有1个零点
（D）当a≠0时，有2个零点；当a＝0时，有1个零点
参考答案：
A
略
2. 如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有升水．平放在地面,则水面正好过圆锥的顶点，若将容器倒置如图2，水面也恰过点．以下命题正确的是( )．
圆锥的高等于圆柱高的；圆锥的高等于圆柱高的
；
将容器一条母线贴地，水面也恰过点；将容器任意摆放，当水面静止时都过点．
参考答案：
C
3. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g
（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）
A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位
参考答案：
A
略
4. 若集合A1、A2满足A1∪A2=A，则称(A1，A2)为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当
A1=A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2，a3}的不同分拆种数是( ▲ )．
(A)8 (B)9 (C)26
(D)27
参考答案：
D
5. 已知集合，则=（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
6. 已知实数x、y满足条件，若目标函数z=3x+y的最小值为5，则a的值为（）
A．﹣17 B．﹣2 C．2 D．17
参考答案：
B
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=3x+y的最小值为5，建立条件关系即可求出a的值即可．
【解答】解：目标函数z=3x+y的最小值为5，
∴y=﹣3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为5，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则目标函数经过点B截距最小，
由，解得，
即B（2，﹣1），同时B也在直线ax+y+5=0，
即2a﹣1+5=0，
解得a=﹣2，
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数z=3x+y的最小值为5，确定平面区域的位置，利用数形结合是解决本题的关键．
7. 如图所示程序框图中，输出S=（）
A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66
参考答案：
B
【考点】循环结构．
【专题】计算题；简易逻辑．
【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1?n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．
【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2?12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；
第二次运行T=（﹣1）3?22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；
第三次运行T=（﹣1）4?32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；
…
直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10?92，
S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．
故选：B．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，判断算法的功能是解答本题的关键．
8. 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。

若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）
A． 4 B． 5
C．6 D．7
参考答案：
C
9. 已知，则的值为（）
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
C
10. 某校在一年一度的“校园十佳歌手”比赛中，9位评委为参赛选手A给出的分数的茎叶图如图所示.在去掉一个最高分和一个最低分后，得出选手A得分的中位数是
(A)93 (B)92
(C)91 (D) 90
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (几何证明选讲选做题)如右图:切于点，,过圆心,且与圆相交于、两点，，则的半径
为．
参考答案：
3
是切线,则
即设圆的半径为,由切割线定理
得,.解出
12. 若非零向量，，满足|+|=||，⊥（+λ），则λ= ．
参考答案：
2
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用数量积的性质、向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵非零向量，，满足|+|=||，⊥（+λ），
∴=， =0．
∴=0， =0．
∴λ=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了数量积的性质、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
13. 设M是△ABC边BC上的任意一点， =，若=λ+μ，则λ+μ= ．参考答案：
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】设=t，根据向量的加减的几何意义，表示出，即可找到λ和μ的关系，从而求出λ+μ的值．
【解答】解：设=t（0≤t≤1），=，
所以==（+）=+t=+t（﹣）=（﹣t）+t，因为=λ+μ，
所以λ+μ=﹣t+t=，
故答案为：．
14. (几何证明选做题)如图所示，、是半径为的圆的两条弦，它们相交
于的中点，，，则 ___.
参考答案：
15. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，则异面直线A1E与AF
所成角的余弦值为．
参考答案：
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角．
【分析】以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与AF所成角的余弦值．
【解答】解：以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，
E，F分别是棱BB1，CC上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，
∴A1（4，0，6），E（2，2，3），F（0，0，4），A（4，0，0），
=（﹣2，2，﹣3），=（﹣4，0，4），
设异面直线A1E与AF所成角所成角为θ，
则cosθ=|=．
∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为；
故答案为：．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
16. 已知函数(a＜b)在R上单调递增，则的最小值为______.
参考答案：
3
略
17. 设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则=________．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18.
（12分）已知函数的前项a1=1，其前n项和为S n，且对任意正整数n，有n，成等差数列。

（1）求证：数列成等比数列；
（2）求数列的通项公式。

参考答案：
解析：（1）为等差数列
…………………………2分
又
…………………………4分
即
…………………………6分
即
成等比数列……………………8分
（2）由（1）知是以为首项，2为公比的等比数列。

…………………………10分
又
………………………………12分
19. 已知数列和中，数列的前项和记为. 若点在函数
的图象上，点在函数的图象上。

（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和。

参考答案：
20. 已知矩阵A＝的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝．（1）求矩阵A；
（2）若A＝，求x，y的值．
参考答案：
21. （本小题满分14分）设
的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知
⑴求
的周长； ⑵求
的值 参考答案： 解：⑴
的周长为
⑵
，故A为锐角
略
22. （本小题满分12分）
已知椭圆C l的方程为，椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为。

(I)求椭圆C2的方程；
(Ⅱ)如图，M、N分别为直线l与椭圆C l、C2的一个交点，P为椭圆C2与y轴的交点，△PON面积为△POM面积的2倍，若直线l的方程为y= kx(k>0)，求k的值，
参考答案：。