2018.5北京161中高二期中数学(文)答案

（说明：没注意定义域扣 3 分）
3
0 极大值
17.
解：（Ⅰ） f (x) (ax2 bx c)ex ，定义域： R
f (x) (2ax b)ex (ax2 bx c)ex [ax2 (2a b)x b c]ex ……3 分
(3, 0)
0
(0, )

c 1
则
3

0


2a a
b
，

(3) 0

bc a
………9 分
a 1
解得

b
1
，
c 1
……11 分
所以 f (x) (x2 x 1)ex ，
高二数学（文科） 第 1 页 共 3 页
北京市第一六一中学 2017/2018 学年度第二学期期中测试
16.
解：（Ⅰ）根据题意得：

f f
(1) (2)

log3 (a log3 (a 2
b) b)
0
1
………………1 分
a b 1
即
a
2

b

3
………………3 分
解得
a b

2 ,
1
a 1 b 2
（舍）
………………5 分
2 （Ⅱ） g(x) 1 x2
令 f (x) 0 ，则 x 3 和 x 0 ，由 ex 0 ，a 0 ，

0

则
↘
极小值
↗
则 f (x) 的单调增区间是 (, 3) ， (0, ) ，单调减区间是 (3, 0) ， ………6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， f (x)极小值 f (0) c ， 3 和 0 是 ax2 (2a b)x b c 0 的根，
所以，当 x 2 时， G(x) 在[0，+) 上取得最小值，即 G(2)=0 ……………….11 分
因为 a G(x) ，所以 a 0
……………….12 分
法二：令 F(x) f (x) g(x) ，则 F (x) x3 (3 a)x2 4 ，
F ' (x) 3x2 2(3 a)x ，由 F ' (x) 0 ，可得 x 0 或 x 2(3 a) ………………6 分 3
(1,+∞) 它 的 真 k≥1
子集即
可
三、解答题：共:6 小题，共 80 分．
15.
解：设运营的年平均利润为 f(x)，则
f(x) y x 12 20
x
x
……………4 分
……………
因为 x 20 2 20 ，当且仅当 x 20 ，即 x 2 5
x
x
时等式成立………………8 分
……………….9 分 由（Ⅱ）结论可知，函数 f (x) 在 x 1处取得极大值 f (1) 1 ，
所以，方程 f (x) a 有两个不同的实根 x1, x2 时，必有 0 a 1 ，且 e1 x1 1 x2 ， ……………….10 分
法
1：所以
f
(1) a

a(1 ln a)
………3 分
因为 x1

x2 ，所以 x2
(x1) 0 ，由已知有
f
(x2 ) f (x1) x2 (x1)
0,
………5 分
∵ x2 (x1) x2 x1 0 ，∴ f (x2 ) f (x1) 0 ，即 f (x2 ) f (x1) ，
所以函数 f (x) 在[1,1]上是增函数.
②当 x

0 时，由
f
(x)

g(x)
，得
a

x

4 x2
3 ，………………7 分
令 G(x) x 4 3， G(x) 1 8
x2
x3
………………8 分
由 G' (x) 0 ，得 x 2 ，
………………9 分
当 0 x 2 时， G' (x) 0 ，当 x 2 时， G(x) 0 ，
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高二文科期中试题参考答案
一.选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 B
A
D
C
D
B
D
B
二、填空题：共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
题号
9
10
11
12
13
14
答案
3
2
(0,1)∪ (0,1)； k=0 或 ③④
3
f '(x)
0
－
2(3 a) 3
0
( 2(3 a) ，+) 3
＋
f (x)
减
增
所以，当 x 2(3 a) 时， F(x) 取得最小值， 3
………………9 分
若要满足 f (x) g(x) ，则 F ( 2(3 a)) 0 3
F( 2(3 a)) [ 2(3 a)]3 (3 a)[ 2(3 a)]2 4 4 (3 a)3 4
3
3
3
27
由 4 (3 a)3 4 0 ，得 a 0 ， ……………….10 分 27
所以 3 a 0
……………….11 分
由①②可得 a 的取值范围是 a 0
……………….12 分
（Ⅲ）函数 f (x) 的图象是中心对称图形，其对称中心是 (1， 2) ……………….14 分
x
x
当 0 a 1 时，由 g x 0 得 x 1 ，
a
所以 g(x), g '(x) 在区间 (0, ) 上的情况如下：
x
g '(x)
g(x)
所以
x1

1 a
，
x2

1 a
,
所以
x2

x1

1 a
1.
(0, 1 ) a
Z
1
( 1 , )
a
a
0

极小
]
……………….14 分
x

x2
ln x x2
，
………………3 分
所以
f


1 e


e2
，
……………….4 分
所以曲线
y

f
(x)
在函数
f
(x) 零点处的切线方程为
y

0

e2

x

1 e

，
即 y e2x e .
……………….5 分
（Ⅱ）由函数 f (x) ln x 1 得定义域为 (0, ) . x
令 f (x) 0 ，得 x 1.
……………….6 分
所以，在区间 (0,1) 上， f '(x) 0 ；在区间 (1, ) 上， f '(x) 0 .
故函数 f (x) 的单调递增区间是 0，1 ，单调递减区间是 1， .
……………….8 分 （Ⅲ）由（Ⅰ）可知 f (x) 在 (0,e1) 上 f (x) 0 ，在 (e1, ) 上 f (x) 0 .

a

f
(x2 ) ，
由
f
(x)
在 (1, )
上单调递减可知
x2

1 a
，
所以
x2

x1


1 a
1.
……………….14 分
法 2：由 f x a 可得 ln x 1 ax ，两个方程同解.
设 g(x) ln x 1 ax ，则 g(x) 1 a 1 ax ，
……………6 分
定义域x | x 1且x 1
g(x) 4x (1 x 2 )2
令 g(x) 0 ， x 0
……………7 分 …………9 分 …………10 分
X
(-∞,-1) (-1,0) 0
(0,1)
(1,+∞)
g’(x)
-
-
0
+
+
g(x)
↘
↘
↗
↗
所以 f (x) 增区间为(0,1),(1,+∞)，减区间为(-∞,-1), (-1,0) …………13 分
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北京市第一六一中学 2017/2018 学年度第二学期期中测试
20.
解：（Ⅰ）令 f x 0 ，得 x 1 .
e
所以，函数 f (x) 零点为 1 . e
……………….2 分
由
f (x) ln x 1 得 x
f x
1 x ln x 1
………………2 分
f '(x)，f (x)随x变化情况如下表：
x
(，0)
0
(0，2)
2
(2，+)
f '(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
增
极大值
减
极小值
增
所以， f (x) 有极大值点 0，有极小值点 2
………………4 分 ………………5 分
（Ⅱ）法一：①当 x 0 时， 0 4 适合
………………6 分
① 当 2(3 a) 0 ，即 a 3 时， F ' (x) 0 在[0，+) 上恒成立， 3
所以，此时 F(0) 4 为最小值，所以 F(x) 0 恒成立，即 f (x) g(x)
………………8 分
②当 2(3 a) 0 ，即 a 3 时， 3
x
0 (0，2(3 a))
………7 分
（Ⅱ）由不等式
f
(x
1) 2
f
(1
x)
得
1 1

x 1 1 2
1 x 1
，
x

1
1
x
2
解得 0 x 1 4
………13 分
………10 分
19.
解：（Ⅰ） f ' (x) 3x2 6x ，
……………….1 分
由 f ' (x) 0 ，可得 x 0 或 x 2
又由（Ⅰ）知，
f
( x)极大值

f
(3) (9 3 1)e3

5 e3
………13 分
18.
解：（Ⅰ）证明：设任意 x1, x2 [1,1] 且 x1 x2 ，
………1 分
由于 f (x) 是定义在[1,1]上的奇函数，∴ f (x2 ) f (x1) f (x2 ) f (x1)
x f '( x) f (x)
(, 3)
↗
又因为 x N * ，当 x=4 或 x=5 时， x 20 有最小值 9，………………10 分 x
所以 f(x)有最大值 3，………………11 分
综上，每辆客车营运 4 年或 5 年，其运营的年平均利润最大，最大值为 30 万元. …………13 分