高中数学 章末综合测评(二)北师大版必修1

章末综合测评(二) 函数
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A ＝{－1,3,5}，若f ：x →2x －1是集合A 到集合B 的映射，则集合B 可以是( )
A ．{0,2,3}
B ．{1,2,3}
C ．{－3,5}
D ．{－3,5,9}
【解析】 将x ＝－1,3,5代入f ：x →2x －1得－3,5,9，故B ＝{－3,5,9}． 【答案】 D
2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋1， x ≤1，
x 2
＋3， x >1，
则f (3)＝( ) A ．7 B ．2 C ．10
D ．12
【解析】 ∵3>1，∴f (3)＝32
＋3＝9＋3＝12. 【答案】 D
3．(2016·湖北高一月考)已知函数f (x )＝|x |，则下列哪个函数与y ＝f (x )表示同一个函数( )
A ．g (x )＝(x )2
B ．h (x )＝x 2
C ．s (x )＝x
D ．y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ，x ＞0
－x ，x ＜0
【解析】 由二次根式的性质可知h (x )＝x 2
＝|x |.故选B. 【答案】 B
4．幂函数f (x )过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，12，则f (x )的单调递减区间是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，0)
C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D ．(－∞，0)，(0，＋∞)
【解析】 设幂函数f (x )＝x α，则f (2)＝12，即2α
＝12，
∴α＝－1，故f (x )＝x －1
＝1x
.
∴函数f (x )的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)． 【答案】 D
5．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则
g (1)等于( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【解析】 ∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数． ∴－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4， ∴2g (1)＝6，∴g (1)＝3. 【答案】 B
6．已知函数f (x )＝x 2
－4x ，x ∈[1,5]，则函数f (x )的值域是( ) A ．[－4，＋∞) B ．[－3,5] C ．[－4,5]
D ．(－4,5]
【解析】 f (x )＝x 2
－4x ＝(x －2)2
－4， 当x ＝2时，f (x )取到最小值－4； 当x ＝5时，f (x )取得最大值5， 故函数f (x )的值域为[－4,5]． 【答案】 C
7．(2016·河南郑州外国语学校高一月考)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,3]，则函数g (x )＝
f x ＋x －2
的定义域是( )
A ．[－1,2)
B ．[0,2)
C ．[－1,2]
D ．[0,2)∪(2,3]
【解析】 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
0≤x ＋1≤3，
x －2≠0，解得－1≤x ＜2，故选A.
【答案】 A
8．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1
x 2－x 1
<0，则( )
A ．f (3)<f (－2)<f (1)
B ．f (1)<f (－2)<f (3)
C ．f (－2)<f (1)<f (3)
D ．f (3)<f (1)<f (－2)
【解析】 ∵对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1
x 2－x 1
<0，
∴f (x )在[0，＋∞)上是减少的，
∵1<2<3，且f (x )为偶函数，∴f (3)<f (2)<f (1)， ∵f (－2)＝f (2)，∴f (3)<f (－2)<f (1)．
【答案】 A
9．用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的较小值，设f (x )＝min ⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
2x －1，1x (x >0)，则f (x )
的最大值为( )
A ．－1
B ．1
C ．0
D ．不存在
【解析】 作出f (x )＝min ⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
2x －1，1x (x >0)的图像，
如图所示：
所以f (x )的最大值为1. 【答案】 B
10．函数f (x )＝x 5
＋ax 3
＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)＝( ) A ．－26 B ．26
C ．18
D ．－18
【解析】 f (－2)＝(－2)5
＋a (－2)3
＋b (－2)－8＝－25
－a ·23
－2b －8＝10， ∴25
＋a ·23
＋2b ＝－18，
∴f (2)＝25
＋a ·23
＋2b －8＝－18－8＝－26. 【答案】 A
11．(2016·辽宁沈阳铁路实验中学高一月考)若函数f (x )＝x －b
x －a
在区间(－∞，4)上是增函数，则有( )
A ．a ＞b ≥4
B ．a ≥4＞b
C ．4≤a ＜b
D ．a ≤4＜b
【解析】 ∵f (x )＝
x －b x －a ＝x －a ＋a －b x －a ＝1＋a －b
x －a
，如果a ＞b ，则f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上也单调递减；如果a ＜b ，则f (x )在(－∞，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上也单调递增．因为f (x )在区间(－∞，4)上是增函数，所以a ＜b ，且(－∞，4)为(－∞，a )的一个子区间，所以a ≥4，所以4≤a ＜b .
【答案】 C
12．已知x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2
－ax ＋a
2>0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) 【导
学号：04100038】
A ．(0,2)
B ．(2，＋∞)
C ．(0，＋∞)
D ．(0,4)
【解析】 由题意知二次函数f (x )＝x 2
－ax ＋a 2的图像开口向上，对称轴方程为x ＝a
2
，
x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2－ax ＋a
2
>0恒成立，即f (x )最小值>0.
当a 2≤－1，即a ≤－2时，f (x )最小值＝f (－1)＝1＋a ＋a 2>0，解得a >－23
，与a ≤－2矛盾； 当a 2≥1，即a ≥2时，f (x )最小值＝f (1)＝1－a ＋a
2>0，解得a <2，与a ≥2矛盾； 当－1<a
2<1，即－2<a <2时，f (x )最小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2，要使f (x )最小值>0，则Δ＝(－a )2
－4·a
2<0，
解得0<a <2.
综上，实数a 的取值范围(0,2)，选A. 【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．将二次函数y ＝x 2
＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是________．
【解析】 y ＝(x ＋2)2
＋1－3＝(x ＋2)2
－2＝x 2
＋4x ＋2. 【答案】 y ＝x 2
＋4x ＋2
14．(2016·河南南阳市五校高一联考)函数f (x )＝4－2x ＋1
x ＋1
的定义域是________．(要求用区间表示)
【解析】 要使原函数有意义，需要：⎩
⎪⎨
⎪⎧
4－2x ≥0，x ＋1≠0，解得x ＜－1或－1＜x ≤2，
所以原函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,2]． 【答案】 (－∞，－1)∪(－1,2] 15．设函数f (x )＝x ＋
x ＋a x
为奇函数，则a ＝________.
【解析】 f (－x )＝
－x
a －x
－x
，又f (x )为奇函数，故f (x )＝－f (－x )，即
x ＋
x ＋a
x
＝
－x a －x x ，所以
x 2＋a ＋x ＋a x ＝
x 2－a ＋
x ＋a
x
，从而
有a ＋1＝－(a ＋1)，即a ＝－1.
【答案】 －1
16．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 由已知f (x )在[0，＋∞)上为增函数，且f (a )＝f (|a |)，∴f (a )≥f (2)⇒
f (|a |)≥f (2)，∴|a |≥2，即a ≥2或a ≤－2.
【答案】 {a |a ≥2或a ≤－2}
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
3－x 2
， x ∈[－1，2]，
x －3， x ∈
，5].
(1)在如图1给定的直角坐标系内画出f (x )的草图；(不用列表描点)
图1
(2)根据图像写出f (x )的单调区间； (3)根据图像求f (x )的最小值． 【解】 (1)
(2)单调增区间为[－1,0)，(2,5]，单调减区间为[0,2]． (3)最小值为－1.
18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2
－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a ，b 的值；
(2)若b ＜1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上为单调函数，求实数m 的取值范围． 【解】 (1)f (x )＝a (x －1)2
＋2＋b －a ，
①当a ＞0时，f (x )在区间[2,3]是增函数，故⎩⎪⎨
⎪⎧
f
＝2，f ＝5，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
4a －4a ＋2＋b ＝2，
9a －6a ＋2＋b ＝5，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝0.
②当a ＜0时，f (x )在区间[2,3]是减函数， 故⎩⎪⎨
⎪⎧ f ＝5，f
＝2，
可得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝3.
所以：⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝0
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝3.
(2)∵b ＜1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2
－2x ＋2，g (x )＝x 2
－(m ＋2)x ＋2 由题意知
m ＋2
2
≤2或
m ＋2
2
≥4，可得m ≤2或m ≥6.
故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
19．(本小题满分12分)对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x ＞0时，f (x )＞1，f (3)＝4.
(1)求证：f (x )是R 上的增函数；
(2)求函数f (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 【解】 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2， 则x 2－x 1＞0， ∴f (x 2－x 1)＞1.
f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)
＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)－1＞0.
∴f (x 1)＜f (x 2)，即f (x )是R 上的增函数．
(2)令x ＝y ＝1，则f (2)＝2f (1)－1，f (3)＝f (2)＋f (1)－1＝3f (1)－2. 又∵f (3)＝4，∴3f (1)－2＝4， ∴f (1)＝2，f (2)＝2f (1)－1＝3， 由(1)知f (x )是R 上的增函数， ∴f (x )在[1,2]上是增函数，
∴f (x )的最小值为f (1)＝2，最大值为f (2)＝3.
20．(本小题满分12分)(2016·河南联考)已知函数f (x )＝ax －1
x ＋1
. (1)若a ＝－2，试证：f (x )在(－∞，－2)上单调递减； (2)函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，求实数a 的取值范围．
【解】 (1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1－1x 1＋1－－2x 2－1
x 2＋1
＝－
x 1－x 2
x 1＋x 2＋
.
∵(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， ∴f (x 1)＞f (x 2)，
∴f (x )在(－∞，－2)上单调递减． (2)f (x )＝
ax －1x ＋1＝a －a ＋1
x ＋1
. 设x 1＜x 2＜－1， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝
⎛
⎭⎪⎫a －a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a －a ＋1x 2＋1 ＝
a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝a ＋
x 1－x 2
x 1＋
x 2＋
.
又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数， 所以f (x 1)－f (x 2)＞0. 由于x 1＜x 2＜－1，
∴x 1－x 2＜0，x 1＋1＜0，x 2＋1＜0， ∴a ＋1＜0，即a ＜－1.
故a 的取值范围是(－∞，－1)．
21．(本小题满分12分)f (x )＝x
1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数．
(1)用定义证明f (x )在(－1,1)上是增加的； (2)解不等式f (t －1)＋f (t )<0.
【解】 (1)证明：任取x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1<x 2， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 2
1＋x 22
＝x 1＋x 1x 22－x 2－x 2x 2
1＋x 21＋x 2
2
＝
x 1－x 2＋x 1x 2x 2－x 1＋x 21＋x 22＝x 1－x 2
－x 1x 2
＋x 2
1＋x 2
2
. ∵x 1，x 2∈(－1,1)，x 1<x 2，
∴x 1－x 2<0，－1<x 1x 2<1，∴1－x 1·x 2>0. 又(1＋x 2
1)(1＋x 2
2)>0，
∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，
∴f (x )在(－1,1)上是增加的．
(2)不等式需满足定义域⎩⎪⎨
⎪⎧
－1<t －1<1，
－1<t <1，
∴0<t <1，
∵f (t －1)＋f (t )<0，∴f (t －1)<－f (t )， ∵f (x )为奇函数，∴f (t －1)<f (－t )． ∵f (x )在(0,1)上是增加的， ∴t －1<－t ，即t <1
2.
综上可知不等式的解为0<t <1
2
.
22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 2
＋mx －m . (1)若函数f (x )为偶函数，求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在[－1,0]上是减少的，求实数m 的取值范围；
(3)是否存在实数m ，使得f (x )在[2,3]上的值域恰好是[2,3]？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)∵函数f (x )为偶函数，
∴f (－x )＝f (x )，即－x 2
－mx －m ＝－x 2
＋mx －m ， 则2mx ＝0，且对任意x ∈R 恒成立，故m ＝0.
(2)因函数f (x )图像的对称轴是x ＝m 2，要使f (x )在[－1,0]上是减少的，应满足m
2≤－1，
解得m ≤－2.
(3)当m
2≤2，即m ≤4时，f (x )在[2,3]上是减少的．
若存在实数m ，使f (x )在[2,3]上的值域是[2,3]，
则有⎩
⎪⎨
⎪⎧ f ＝3，f ＝2，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧ －4＋2m －m ＝3，
－9＋3m －m ＝2，无解；
当m
2
≥3，即m ≥6时，f (x )在[2,3]上是增加的，
则有⎩
⎪⎨
⎪⎧
f ＝2，f ＝3，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
－4＋2m －m ＝2，
－9＋3m －m ＝3，解得m ＝6；
当2<m 2<3，即4<m <6时，f (x )在[2,3]上先增加再减少，所以f (x )在x ＝m
2处取最大值．
则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22
＋m ·m
2－m ＝3，
解得m ＝－2(舍去)或6(舍去)．
综上，存在实数m ＝6，使f (x )在[2,3]上的值域恰好是[2,3]．。