2022-2023学年浙江省湖州中学高二上学期期中数学试题(解析版)

2022-2023学年浙江省湖州中学高二上学期期中数学试题
一、单选题
1．抛物线24x y =-的焦点坐标是（ ） A ．()0,2- B ．()1,0- C ．()0,2 D ．()0,1-
【答案】D
【分析】根据抛物线的相关知识即可求得焦点坐标.
【详解】由已知24x y =-可得2p =，且抛物线的开口向下， 故焦点坐标为0,2p ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，
故焦点坐标为()0,1-， 故选：D
2．直线3210x y +-=的一个方向向量是（ ） A ．()2,3- B ．()2,3 C ．()3,2- D ．()3,2
【答案】A
【解析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线3210x y +-=的斜率为32-，所以直线的一个方向向量为31,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，
又因为()2,3-与31,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭共线，所以3210x y +-=的一个方向向量可以是()2,3-，
故选：A.
3．已知F 为双曲线22:3(0)C x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）
A
B ．3
C
D ．3m
【答案】A
【分析】求出双曲线的标准方程后可求基本量，从而可求渐近线方程，利用公式可求焦点到渐近线的距离.
【详解】由已知得，双曲线C 的标准方程为
22
133
x y m -=，则233c m =+，c =
设一个焦点F ，而一条渐近线l 的方程为
y =，
即0x =，所以焦点F 到渐近线l 的距离为d = 故选：A ．
4．直线sin 20x y θ-+=的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[)0,π B ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
【答案】B
【分析】先由直线方程得到直线斜率，确定斜率的范围，再由斜率的定义，即可得出倾斜角的范围. 【详解】设α为直线的倾斜角，当sin 0θ=时，直线的斜率不存在，直线的倾斜角π2
α=
， 当sin 0θ≠时，直线的斜率tan k α=＝1
sin θ
(][),11,∈-∞-+∞，
所以直线的倾斜角的取值范围是πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤
⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦.
综上所述，π3π,44α⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
.
故选：B.
5．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2
222x y -+=上，则ABP 面积
的取值范围是
A ．[]26，
B ．[]48，
C ．
D ．⎡⎣
【答案】A
【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点
()()
A 2,0,
B 0,2∴--,则AB =点P 在圆
2
2x 22y -+=（）上
∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d =
=
故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为
则[]221
2,62
ABP
S
AB d =
∈ 故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．
6．已知椭圆2
2x a ＋22y b
＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的
中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 A ．245x ＋2
36y ＝1
B ．2
36x ＋227y ＝1
C ．227x ＋2
18
y ＝1
D ．2
18x ＋29
y ＝1
【答案】D
【详解】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，所以22
22
221122221
1x y a
x y a b b ⎧+=⎪+⎨=⎪⎪⎪⎩，运用点差法，所以直线AB 的斜率为22b
k a =，设直线方程为2
2(3)b y x a
=-，联立直线与椭圆的方程222224()690a b x b x b a +-+-=，所以
2
1222
62b x x a b
+==+；又因为229a b -=，解得229,18b a ==. 【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力. 7．设空间两个单位向量()(),,0,0,,OA m n OB n p ==与向量()1,1,1OC =的夹角都等于
4
π
，则cos AOB ∠=（ ） A
B
C
D
【答案】C
【分析】首先根据OA 为单位向量得到221+=m n ，再利用OA 与OC 的夹角等于4
π
，得m n +=联立方程求解出m 与n 的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可.
【详解】空间两个单位向量(),,0OA m n =，()0,,OB n p =与向量()1,1,1OC =的夹角都等于4
π， 4
AOC BOC π
∴∠=∠=
，3OC =，
cos OA OC OA OC AOC ⋅=⋅⋅∠
， 又OA OC m n ⋅=+，m n ∴+=
， 又OA
为单位向量，221m n ∴+=，
联立221
m n m
n ⎧+=⎪
⎨⎪+=⎩，得22m n ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩或22
m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， (),,0OA m n =，()0,,OB n p =，
2cos AOB n ∴∠=故选：C.
8．设B 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离
心率的取值范围是（ ）
A ．⎫
⎪⎪⎣⎭
B ．1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C ．⎛ ⎝⎦
D ．10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】C
【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出 PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200
221x y a b
+=，222a b c =+，所以
()
()2
2
23422
2
22
2200
00022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
因为0b y b -≤≤，当32b b c
-≤-，即 22b c ≥时，2
2max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22
b c ≥
可得222a c ≥，即 0e <≤
当32b b c ->-，即22
b c <时， 42222max b PB a b c
=++，即422224b a b b c ++≤，化简得， ()
2
22
0c b -≤，
显然该不等式不成立． 故选：C ．
【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A ．直线10x +=的倾斜角为150
B ．直线13y x +=在y 轴上的截距为1
C ．直线24y ax a =-+恒过定点
D ．过点()2,4并在两坐标轴上截距相等的直线方程为60x y +-= 【答案】AC
【分析】根据直线方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系可知A 正确；将直线方程化为斜截式，即可确定在y 轴上的截距，知B 错误；根据直线过定点的求法可知C 正确；可将所求直线分为经过原点和不经过原点两类，由此可得D 错误.
【详解】对于A ，由10x +=得：y =k =
∴直线10x +=的倾斜角为150，A 正确；
对于B ，由13y x +=得：31y x =-，则其在y 轴上的截距为1-，B 错误； 对于C ，由()2424y ax a a x =-+=-+知：直线恒过定点()2,4，C 正确； 对于D ，当直线过坐标原点，即直线为2y x =时，其在两坐标轴上截距相等；
当直线不过坐标原点，可设其方程为：x y a +=，6a ∴=，则其方程为：60x y +-=； ∴过点()2,4并在两坐标轴上截距相等的直线方程为：2y x =和60x y +-=，D 错误.
故选：AC.
10．已知曲线C 方程为()22
2101x y m m m
-=≠+，则下列说法正确的是（ ）
A ．若0m >，则C 为焦点在y 轴上的双曲线
B ．曲线
C 不可能为一个圆
C ．若C 为椭圆，则其长轴长为
D ．当1m =时，其渐近线方程为1
2
y x =±
【答案】BC
【分析】根据圆、椭圆、双曲线的方程和性质，逐项分析判断即可得解. 【详解】对A ，由0m >，210m +>， 方程()22
2
101x y m m m
-=≠+满足双曲线方程， 但焦点在x 轴上，故 A 错误；
对B ，若要曲线C 为一个圆，则21m m +=-， 而210m m ++=无解，故B 正确； 对C ，若C 为椭圆，则0m ->，0m <， 又210m m ++>，所以21m m +>-，
所以221a m =+，故长轴为2a =C 正确；
对D,由1m =，可得2
212
x y -=，
令2202x y -=，可得渐近线方程为22
y x =±，故D 错误. 故选：BC
11．已知椭圆221:14x C y +=过双曲线22222:1(,0)x y C a b a b -=>的焦点，1C 的焦点恰为2C 的顶点，1C 与
2C 的交点按逆时针方向分别为A ，B ，C ，D ，O 为坐标原点，则（ ）
A ．2C 的离心率为
23
3
B ．1
C 的右焦点到2C 的一条渐近线的距离为3 C ．点A 到2C 的两顶点的距离之和等于4
D ．四边形ABCD 的面积为86
7
【答案】ACD
【分析】根据条件先求解出双曲线方程中,,a b c 的值，由此可求双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式即可判断选项A 和选项B ；根据椭圆的定义判断选项C ；计算出椭圆和双曲线的交点坐标，由此可求四边形ABCD 的面积.
【详解】如下图所示，设双曲线的焦距为2c ，
由题意可知：2c =，413a =-=2C 的离心率为233
c e a =
==A 正确； 1C 的右焦点
)
3,0，2C 方程中221,3b c a a -=2C 的渐近线方程为3y x =，
不妨取渐近线3y x =，所以()
3,0到3
y x =103
1
13
-=+B 错误； 根据椭圆定义可知：214AF AF +=，故C 正确；
联立2222141
3x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以2224
7
17x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以22ABCD S ⎛== ⎝四边形D 正确； 故选：ACD.
12．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，π
,3
ABC PA ∠=⊥平面ABCD ，2,PA AB E ==为线段
PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，则（ ）
A ．平面AEF ⊥平面PBC
B ．三棱锥
C PE
D -
C ．EF 与平面ABC
D 所成角的最小值为
6
π D ．AE 与PC 所成角的余弦值为1
4
【答案】BCD
【分析】根据特殊位置的点F ,即可排除A,根据等体积法求三棱锥的体积可求解B ，根据线面角的几何法即可找到角，然后在三角形中求解最小值即可判断C ，根据平移，用几何法找线线角，即可用三角形的余弦定理求解D .
【详解】对于D ;取BC 中点N ,连接,AN EN , 则//PC EN ,故AEN ∠或其补角为AE 与PC 所成角，
由于ABC 为边长为2
的等边三角形，则2AN AC ==,
因此PB PC ==
故11
22
EN PC AN PB =
===在AEN △
中，由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
1cos 24
AE EN AN AEN AE EN
+-+-∠==
⋅,故AE 与PC 所成角的余弦值为1
4
，D 正确；
对于A;由于F 为线段BC 上的动点，若F 移动到点B 时，此时考虑平面PAB 与平面PBC 是否垂直，若两平面垂直，则其交线为PB ,由于AE PB ⊥,AE ⊂平面PAB ，则⊥AE 平面PBC ，EN ⊂平面PBC ，故AE EN ⊥,这显然与D 选项矛盾，故平面PAB 与平面PBC 不垂直，A 错误，
对于B ;取PA 中点为H ，则//,//,EH AB AB CD 所以//,EH CD CD ⊂平面,PCD EH ⊄平面PCD ,故
//EH 平面PCD ,因此点E 到平面PCD 的距离与点H 到平面PCD 的距离相等，故
11112223C PED E PCD H PCD C PHD C PAD P C CAD AD
V V V V V V S
PA ------======⨯⨯⋅,因此
1
1122sin 606
62D CA C E D
P V S PA -=
⋅=⨯⨯⨯⨯⨯，故B 正确；
对于C ;取AB 中点为M ,连接,EM MF ,则//EM PA ,所以EM ⊥平面ABCD ,故EFM ∠为EF 与平面
ABCD 所成角，在直角三角形EFM 中，1
12
EM PA =
=,故当MF 长度最大时，EFM ∠最小，故当F 运动到与C 重合时，MF 最大值为3，此时EFM ∠最小为30，故C 正确； 故选：BCD
三、填空题
13．若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p =____． 【答案】22
【详解】试题分析：由题设可得双曲线的一个焦点是,故
,故应填22【解析】抛物线和双曲线的几何性质及运用．
14．圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________. 【答案】10【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦长即可.
【详解】 两圆方程分别为：2210100x y x y +--= ①， 2262400x y x y +-+-=②，
由②- ①可得：412400x y +-= ，即3100x y +-=， ∴ 两圆的公共弦所在的直线方程为：3100x y +-=，
2210100x y x y +--=的圆心坐标为()5,5 ，半径为52，
∴圆心到公共弦的距离为：51510
1010
d +-=
=，
∴公共弦长为：
=.
综上所述，公共弦长为： 故答案为：15．一个圆经过椭圆22
1164
x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为
___________.
【答案】22
325()24
x y -+=
【详解】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则222(4)2a a -=+，解得3
2
a =，故圆的方程为22325
()24
x y -+=.
【解析】椭圆的几何性质；圆的标准方程
16．过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上的任意一点P ，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点
,M N ，若21
4
OM ON b ⋅≥，则双曲线离心率的取值范围是___________.
【答案】 【分析】设点00(,)P x y ，分别联立两组直线方程，求出,M N 的坐标，然后利用向量的数量积，推出离心率的范围即可.
【详解】因为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线方程为：0bx ay ±=，
即b y x a =±
，设点00(,)P x y ，可得：00()b
y y x x a
-=±-， 联立方程组00()b y y x x a
b y x a ⎧
-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，解得：0
000(,)22bx ay bx ay M b a ++， 同理可得：0000
(
,)22bx ay bx ay N b a
---， 所以22222222
000022
44b x a y b x a y OM ON b a --=-，
因为2200221x y a b -=，所以222222
00b x a y a b -=，
所以224a b OM ON -=，由题意可得：
222
44
a b b -≥
， 所以2212b a ≤，故离心率c e a =1e >，
所以双曲线离心率的取值范围为，
故答案为：.
四、解答题
17．已知圆22:240C x y y +--=，直线:10l mx y m -+-=. (1)写出圆C 的圆心坐标和半径，并判断直线l 与圆C 的位置关系；
(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点,A B ，且AB =l 的方程.
【答案】(1)圆心坐标为()0,1l 与圆C 相交 (2)0x y -=或20x y +-=
【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，求出直线所过的定点，判断出定点在圆内，从而得到直线与圆相交；
（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列出方程，求出1m =±，求出直线方程. 【详解】（1）22:240C x y y +--=整理得：()2
215x y +-=，
故圆C 的圆心坐标为()0,1
直线:10l mx y m -+-=变形为()11y m x -=-，故直线l 过定点()1,1M ， 因为()2
21115+-<，故()1,1M 在圆内，所以直线l 与圆C 相交；
（2）圆心()0,1到:10l mx y m -+-=的距离为d =
=
由垂径定理得：2
252AB d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，
解得：1m =±，
故直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=.
18．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面,1ABCD PD DC ==，M 为BC 的中点，且
PB AM ⊥.
(1)求BC ；
(2)求直线AB 与平面PAM 所成角的正弦值. 【答案】(1)2 (2)7
7
【分析】（1）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2BC a =，由已知条件得出0PB AM ⋅=，求出a 的值，即可得出BC 的长；
（2）求出平面PAM 的法向量，及直线AB 的方向向量，然后利用空间向量的夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，不妨以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，
设2BC a =，则()0,0,0D 、()0,0,1P 、()2,1,0B a 、(),1,0M a 、()2,0,0A a ， 则()2,1,1PB a =-，(),1,0AM a =-，
PB AM ⊥，则2210PB AM a ⋅=-+=，解得2a =
故22BC a ==； （2）由（1）可知，)2,0,0A
，2M ⎫
⎪⎪⎝⎭
，()0,0,1P ，(
)
2,1,0B ，
设平面PAM 的法向量为()111,,x n y z =，则2
,1,02AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，()
2,0,1AP =-，
由11112
0220
n AM x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩
，取12x =，可得(
)
2,1,2n =
，
()0,1,0AB =，设直线AB 与平面PAM 所成角为θ，
则
()
2
22222
021102
17
sin cos ,77212010AB n θ⨯+⨯+⨯==
==++⋅++，
故设直线AB 与平面PAM 所成角的正弦值为
77
. 19．如图，某海面上有O ，A ，B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛402千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处．以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C 经过O ，A ，B 三点．
(1)求圆C 的方程；
(2)若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险? 【答案】(1)2220600x y x y +--=； (2)该船有触礁的危险．
【分析】（1）根据给定条件，求出点A ，B 的坐标，设出圆C 的一般方程，利用待定系数法求解作答.
（2）求出船D 的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答.
【详解】（1）依题意，因A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛2()40,40A ， 又B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处，则()20,0B ， 设过O ，A ，B 三点的圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，
则22
2040404040020200
F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得20600D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，
所以圆C 的方程为2220600x y x y +--=．
（2）因船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，则()
20,203D --，
而船D 沿着北偏东45°方向行驶，则船D 的航线所在直线l 的斜率为1，直线l 的方程为
202030x y -+-=，
由（1）知，圆C 的圆心为()10,30C ，半径1010r =，
则圆心C 到直线l 的距离103020203
1062
d -+-==，则d r <，
所以该船有触礁的危险.
20．已知直三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥
（1）证明：BF DE ⊥；
（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）证明见解析；（2）112
B D =
【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；
（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；
【详解】（1）[方法一]：几何法
因为1111,//BF A B A B AB ⊥，所以BF AB ⊥．
又因为1AB BB ⊥，1BF BB B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．又因为2AB BC ==，构造正方体1111ABCG A B C G -，如图所示，
过E 作AB 的平行线分别与AG BC ，交于其中点,M N ，连接11,A M B N ， 因为E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，所以N 是BC 的中点， 易证1Rt Rt BCF B BN ≅，则1CBF BB N ∠=∠．
又因为1190BB N B NB ∠+∠=︒，所以1190CBF B NB BF B N ∠+∠=︒⊥，． 又因为111111,BF
A B B N A B B ⊥=，所以BF ⊥平面11A MNB ．
又因为ED ⊂平面11A MNB ，所以BF DE ⊥． [方法二] 【最优解】：向量法
因为三棱柱111ABC A B C 是直三棱柱，1BB ∴⊥底面ABC ，1BB AB ∴⊥
11//A B AB ，11BF A B ⊥，BF AB ∴⊥，又1BB BF B ⋂=，AB ∴⊥平面11BCC B ．所以1,,BA BC BB 两
两垂直．
以B 为坐标原点，分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图．
()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,B A C ∴()()()1110,0,2,2,0,2,0,2,2B A C ，()()1,1,0,0,2,1E F ．
由题设(),0,2D a （02a ≤≤）．
因为()()0,2,1,1,1,2BF DE a ==--，
所以()()0121120BF DE a ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，所以BF DE ⊥．
[方法三]：因为11BF A B ⊥，11//A B AB ，所以BF AB ⊥，故110BF A B ⋅=，0BF AB ⋅=，所以()11BF ED BF EB BB B D ⋅=⋅++()
11=BF B D BF EB BB ⋅+⋅+1
BF EB BF BB =⋅+⋅11122BF BA BC BF BB ⎛⎫
=--+⋅ ⎪⎝⎭
11122BF BA BF BC BF BB =-⋅-⋅+⋅1
12BF BC BF BB =-⋅+⋅111
cos cos 2
BF
BC FBC BF BB FBB
=-⋅∠+⋅
∠1=2202-+=，所以BF ED ⊥． （2）[方法一]【最优解】：向量法 设平面DFE 的法向量为(),,m x y z =， 因为()()1,1,1,1,1,2EF DE a =-=--，
所以00m EF m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()0
120x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩．
令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-
因为平面11BCC B 的法向量为()2,0,0BA =， 设平面11BCC B 与平面DEF 的二面角的平面角为θ，
则cos m BA m BA
θ⋅=
⋅=
=
当12a
=
时，2224
a a -+取最小值为27
2
， 此时cos θ
．
所以()min
sin θ=1
12B D =． [方法二] ：几何法
如图所示，延长EF 交11A C 的延长线于点S ，联结DS 交11B C 于点T ，则平面DFE
平面11BB C C FT =．
作1B H
FT ⊥，垂足为H ，因为1DB ⊥平面11BB C C ，联结DH ，则1DHB ∠为平面11BB C C 与平面DFE
所成二面角的平面角．
设1,B D t =[0,2],t ∈1B T s =，过1C 作111//C G A B 交DS 于点G ．
由111113C S C G SA A D ==得11
(2)3
C G t =-． 又1111B
D B T C G C T
=，即12(2)3
t s s t =--，所以31t
s t =+．
又111B H B T
C F FT =，即1211(2)B H s =+-12
1(2)B H s +-
所以2
2
11DH B H B D +22
21(2)s t s =++-222
9225
t t t t =+-+ 则11sin B D DHB DH
∠=
2
2
2
9225
t t t t +-+2
9119222
t =
+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
所以，当12t =
时，()1min 3sin DHB ∠= [方法三]：投影法 如图，联结1,FB FN ，
DEF 在平面11BB C C 的投影为1B NF ，记面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的平面角为θ，则
1cos B NF DEF
S S
θ=
．
设1(02)B D t t =≤≤，在1Rt DB F 中，222115DF B D B F t ++
在Rt ECF 中，223EF EC FC +=D 作1B N 的平行线交EN 于点Q ． 在Rt DEQ △中，2225(1)DE QD EQ t =+=+-
在DEF 中，由余弦定理得222cos 2DF EF DE DFE DF EF
+-∠=⋅()2
315(1)
t t ++=()222214
sin 35t t DFE t -+∠=+1sin 2DFE
S
DF EF DFE =
⋅∠2122142
t t =-+13
,2
B NF
S = 1cos B NF DFE
S S
θ=
22214
t t =
-+，()
29
sin 127t t θ=-
-+
当12t =
，即112B D =，面11BB C C 与面DFE 3 【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.
第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面DFE 在面11BB C C 上的投影三角形的面积与DFE △面积之比即为面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正
弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．
21．已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)
F 是椭圆E 的右焦点，直线
AF
O 为坐标原点. (1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程. 【答案】（1）2214x y += （2
）2y x =-
【详解】试题分析：设出F ，由直线AF
c ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求.
试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF
()0,2A -
所以2c =
c =
又
222c b a c a ==- 解得2,1a b ==，
所以椭圆E 的方程为2
214
x y +=.
（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y
由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，
联立2
21{42,
x y y kx +==-，消去y 得()
22
1416120k x kx +-+=，
当()216430k ∆=->，所以2
34k >
，即k <
或k > 1212
22
1612
,1414k x x x x k k +=
=++. 所以
PQ =
=
=
点O 到直线l 的距离
d =
所以12OPQ
S d PQ ∆==
0t >，则2243k t =+，
2441
44OPQ t S t t t
∆=
==++，
当且仅当2t =2=，
解得k =时取等号， 满足2
34
k >
所以OPQ ∆的面积最大时直线l 的方程为：2y =
-或2y =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.
22．已知双曲线22
2:1(0)4
x y E a a -=>的中心为原点O ，左右焦点分别是12,F F ，点P 是
直线2
3
a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF ⋅=.
(1)求实数a 的值；
(2)求证：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值，并求出此定值；
(3)点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点,M N ，在线段MN 上取异于点,M N 的点H ，满足PM MH PN
HN
=
，试问：点H 是否恒在一条定直线上，若是，请求出这条定直线，
否则，请说明理由
【答案】(1)a =(2)45
(3)是，43120x y --=
【分析】（1）根据双曲线,,a b c 关系即可. （2）根据已知条件表示出斜率化简整理即可.
（3）设出H 的坐标，根据向量共线进行表示，解方程组即可得到点H 的横纵坐标所满足的线性关系. 【详解】（1
）解：由已知离心率c e a ==，又因为2b = 所以224c a =+
，解得a =（2）证明：由（1）可知，25
33
a x =
=，()23,0F 设5,3P t ⎛⎫
⎪⎝⎭，()00,Q x y ，因为220PF QF ⋅=
所以()0053,3,03t x y ⎛⎫
----= ⎪⎝⎭ 所以()00433ty x =-
Q 在双曲线E 上，所以()222200004:
15545
x y E y x -=⇒=- 20000
20000
5533
PQ OQ
y t y y ty k k x x x x --⋅=⋅=
-- ()()20020044
53453553
x x x x ---==-
所以PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值为4
5
（3）过点(),H x y 过点5,13P ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线与双曲线右支交于不同的两点,M N
设()11,M x y ，()22,N x y ，因为,M N 在双曲线上.
所以22114520x y -=，22
224520x y -=
故()2
211455y x =
-，()22224
55
y x =- 设
PM MH
PN
HN λ=
=，则PM PN
MH HN λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩
()()112
2112255,1,133,,x y x y x x y y x x y y λλ⎧⎛⎫⎛⎫
--=--⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎨⎪--=--⎩
得()()()121212125113121314x x y y x x x y y y λλλλλλλλ⎧
-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+=+⎪
+=+⎪⎩（）（）（）（
） 由⨯（1）（3），⨯（2）（4）得
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222212222212515316x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩（）（） 将()2211455y x =-，()2222455y x =-代入6（） 得2221224451x x y λλ
-=--（7）， 将5（）带入（7）得443y x =- H 恒在定直线43120x y --=上.
【点睛】（1）圆锥曲线第一问通常是涉及,,a b c 基本量的计算.
（2）定值问题首先根据题意将等量关系进行表示后在化简，必要时借助于直曲联立，通过韦达定理减少计算量.
（3）定点过定直线通常设出定点后找到定点的横纵坐标所满足的线性关系，一般计算量较大.。