苏教版高中数学必修五第一学期期中考试

江苏省赣榆高级中学2015-2016学年度第一学期期中考试
高二数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．
置上．．． 1．12+与12-两数的等比中项为▲________．
2．在△ABC ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1
2b ，且a >b ，
则∠B ＝▲________．
3．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且245,,a a a 成等比数列，则
1
a d
=▲________． 4．已知(2,1),(3,2)A B -两点分别在直线210x ay -+=的两侧，则实数a 的取值范围为▲________
． 5．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π
4，则△ABC 的面
积为▲________．
6．已知0,0x y >>且满足23
1x y
+=，则x y +的最小值为▲________．
7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2
2,sin sin sin a b c A B C =+=，则
ABC ∆的形状是 ▲ 三角形．（填“等腰、等边、直角”） 8．已知数列{}n a 中，a 1=
53
，121
n n n a a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为▲________．
9．若实数,x y 满足约束条件22,1,1,x y x y x y -⎧⎪
--⎨⎪+⎩
≤≥≥则目标函数2z x y =+的最小值为▲________．
10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足214n S n n =-，令12n n T a a a =+++L ，则
n T =▲________
． 11．如图，△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC
边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于▲________．
12．数列{}n a 的构成法则如下：1a =1；如果n a －2为自然数且之前未出现过，则用递推
公式12n n a a +=-，否则用递推公式13n n a a +=．则6a =▲________． 13．设a ＋b ＝8，b >0，则当a ＝▲________时，12|a |＋|a |
b 取得最小值．
14．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22
n n n n n
a a a a a n n n +++===
-=++L ．
若201422015m a >+，则正整数m 的最小值为▲________．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b ． (1)求角A 的大小；
(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．
16．(本小题满分14分）
已知不等式2
210mx x m --+<．
(1)是否存在m 对所有的实数x ，不等式恒成立，若存在，求出m 的取值范围，若不存
在，请说明理由; （2）设不等式对于满足2m …的一切m 的值都成立，求符合题意的x 的取值集合．
17．（本小题满分14分）
已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55,a 2+a 7＝16． (1)求数列{}n a 的通项公式：
（2）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式：n
n n b b b b a 2
(22233)
221++++=(n 为正整数) ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
18．（本小题满分16分）
如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为
120,,AB AC ︒的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆．
（1）若围墙AP ,AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？
（2）已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1．5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
19．（本小题满分16分）
已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5)，且()f x 在区间[1,4]-上的最大值是12． (1)求()f x 的解析式；
(2)解关于x 的不等式
2(2)5 1 (0)()
a x x
a f x +-><．
A
P
Q
B
C
20．（本小题满分16分）
设不等式组003x y y nx n
，，
≤ì>ïïï
ï>íïï?+ïî所表示的平面区域为n D ，记n D 内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f (n )（n ∈*N ）． （1）求f (1)，f (2)的值及()f n 的表达式； （2）记()(1)
2
n n
f n f n T ?=
，若对于一切正整数n ，总有n T m ≤成立，求实数m 的取值范围；
（3）设n S 为数列{n b }的前n 项和，其中()2f n n b =，问是否存在正整数n ，t ，使111
16
n n n n S tb S tb ++-<
-成立？若存在，求出正整数n ，t ；若不存在，说明理由．
江苏省赣榆高级中学2015-2016学年度第一学期高二年级期中考试
数学试题答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．1±2．π63．-54．7
(3,)2-5．3＋16
．5+．等边8．a n =1
63-n 9．1
10．22141498n n n T n n ⎧-+⎪=⎨-+⎪⎩(7)(7)
n n ≤>11．212．1513．8
3-14．4031
二、解答题：本大题共6小题，共90分．
15．解：(1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝3
2
．
因为A 是锐角，所以A ＝π
3．------------------7分
(2)由余弦定理a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，得b 2
＋c 2
－bc ＝36． 又b ＋c ＝8，所以bc ＝28
3
．
由三角形面积公式S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为73
3
．-------------14分
16．解(1)不等式2
210mx x m --+<恒成立．即函数2
()21f x mx x m =--+的图象全部
在x 轴的下方．
当0m =时，()21f x x =-+，不满足()0f x <恒成立；
当0m ≠时，2
()21f x mx x m =--+要使()0f x <恒成立，需0,
44(1)0,m m m <⎧⎨
∆=--<⎩则m 无解；
综上可知，不存在这样的m ．---------7分
（2）设2
()(1)(12)f m m x x =-+-，则()f m 为一个以m 为自变量的一次函数，其图
象是直线；由题意知，当22m -剟
时，()f m 的图象为在x 轴下方的线段， ∴(2)0,(2)0,f f -<⎧⎨
<⎩即2
22230,
(1)2210,
(2)
x x x x ⎧--+<⎪⎨--<⎪⎩---------10分
解(1)得
x <
x >(2)x <<．
由(1)(2)x <
所以x 的取值集合是x ⎧⎪<⎨⎪⎪⎩⎭．---------14
分
17．解（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题设d>0
由a 2+a 7＝16．得12716a d +=①
由3655,a a ⋅=得11(2)(5)55a d a d ++=②……4分
由①得12167a d =-将其代入②得(163)(163)220d d -+=．即2
2569220d -=
24,0,2,11(1)221
n d d d a n n ∴=>∴==∴=+-⋅=-1又代入得a ①…………7分
（2）令121121,,2n
n n n n n n
b c a c c c a c c c +-=
=+++=+++K K 则有 两式相减得
111111111
,(1)1,2
2,2(2),22222,(1)2(2)
n n n n n n n n n n n a a c a a a c c n n b b a n b n ++++++-==-=∴==≥≥====⎧∴=⎨≥⎩由得即当时，又当n=1时，
…………12分
于是341
1232222n n n S b b b b +=+++=++++K K
=2341
22222
n ++++++K -4=
1222(21)
426,2621
n n n n S +++--=-=--即…14分
18．解析：设AP x =米，AQ y =米． （1）则200x y +=，APQ ∆的面积
1sin1202
4
S xy xy =
︒=
．………………………3分
∴
S 2()42
x y +
≤
=． 当且仅当100x y ==时取“=”．………………6分 （注：不写“＝”成立条件扣1分）
（2）由题意得100(1 1.5)20000x y ⨯⋅+⋅=，即 1.5200x y +=．……………8分 要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以
2222cos120PQ x y xy =+-︒22x y xy =++22(200 1.5)(200 1.5)y y y y =-++-
21.7540040000y y =-+（400
03
y <<
）……………………12分 当8007y =
时，PQ
有最小值7
，此时2007x =．………14分 答：（1）当100AP AQ ==米时，三角形地块APQ
的面积最大为
（2）当2007AP =
米800
,7
AQ =米时，可使竹篱笆用料最省．…………………16分 19．解：解析：(1)Q ()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5)，
可设()(5)f x Ax x =-，0A >∴()f x 的对称轴为5
2
x =
且开口向上，………2分 ∴()f x 在区间[1,4]-上的最大值是(1)612f A -==，∴2A =． ∴2()2(5)210f x x x x x =-=-；……………6分
(2)由已知得
2(2)5 1 ()a x x f x +->⇒22(2)5 1 210a x x x x +->-⇒222(2)5(210)
0 210a x x x x x x
+--->-
⇒
5
05
ax x +>-…………………8分 ∴(5)(5)0ax x +->又0a <，5
(5)()0x x a
-+<
若1a =-，则x 为∅；
若10a -<<，则55a <-，所以5
5x a
-<<；
若1a <-，则55a -<，所以5
5x a
-<<；…………14分
综上，可知当1a =-时，不等式的解集为∅；当10a -<<时，不等式的解集为5{5}x x a <<-；当1a <-时，不等式的解集为5
{5}x x a
-<<．…16分
20．（1）由题意，作图易得f (1)=3，f (2)=6．………………………2分
一般地，由00x y >>，,3y nx n -+≤，得03x <<． 又x *ÎN ，∴12x x ==，．
∴D n 内的整点在直线1x =和2x =上．…………………3分
记直线3y nx n =-+为l ,l 与直线1x =和2x =的交点的纵坐标分别为1y ，2y ， 则132y n n n =-+=，223y n n n =-+=．
∴()3()f n n n *=?N ．……………………………5分 （2）由（Ⅰ），得9(1)
2n n
n n T +=，…………………………6分 ∴111
9(1)(2)9(1)9(1)(2)
222n n n n n n n n n n n T T +++++++--=
-=
． ∴当n ≥3时,1n n T T +<，且12327
92
T T T =<==．………………8分 于是32,T T 是n T 的最大项，故m ≥227
2
T =
．…………………………10分 （3）假设存在正整数n ，t 使得上面的不等式成立，
由（Ⅰ），有8n
n b =，∴8(81)
7
n n S -=．…………………11分
不等式111
16
n n n n S tb S tb ++-<
-，即118(81)7818(81)7816n n n n t t ++--?<--?， 解得18(87)15n t <-<．
∴n=t=1．……………………………15分 即存在正整数n=1，t=1，使
111
16
n n n n S tb S tb ++-<
-成立．…16分。