初三数学总复习学案

初三数学总复习
实数的概念
一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】
1.实数的有关概念
(1)有理数: 和 统称为有理数。

(2)有理数分类
①按定义分: ②按符号分:
有理数(
)
()0()()()(
)⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨
⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
；有理数(
)()()
()()(
)
⎧⎧⎨⎪⎩⎪
⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
（3）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。

若a 、b 互为相反数，
则 。

（4）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。

（5）倒数：乘积 的两个数互为倒数。

若a （a ≠0）的倒数为1
a
.则 。

（6）绝对值：
（7）无理数： 小数叫做无理数。

（8）实数： 和 统称为实数。

（9）实数和 的点一一对应。

2.实数的分类:实数
()()()()()
()()()()()()
(
)⎧⎫⎧⎧⎪⎪⎪
⎪
⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪
⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎭
⎪
⎪
⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭
⎩
零
3.科学记数法、近似数和有效数字
（1）科学记数法：把一个数记成±a ×10n
的形式（其中1≤a<10，n 是整数）
（2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。

取近似数的原则是“四舍五入”。

（3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，
都叫做这个数字的有效数字。

（二）：【课前练习】 1．|－22
|的值是（ ）
A ．－2 B.2 C ．4 D ．－4 2．下列说法不正确的是（ ）
A ．没有最大的有理数
B ．没有最小的有理数
C ．有最大的负数
D ．有绝对值最小的有理数
3．在(0
022sin 4500.2020020002273
π
⋅⋅⋅、、、、这七个数中，
无理数有（ ） A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个 4．下列命题中正确的是（ ）
A ．有限小数是有理数
B ．数轴上的点与有理数一一对应
C ．无限小数是无理数
D ．数轴上的点与实数一一对应
5．近似数0.030万精确到 位，有 个有效数字，用科学记数法表示为 万
二：【经典考题剖析】
1．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青
少年宫在学校东300m 处，商场在学校西200m 处，医院在学校东500m 处．若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m ．（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．：
2．下列各数中：-1，0，169，2π
，1.1010016
.0, ,12-, 45cos ,- 60cos , 722,2,π
-7
22
.
有理数集合{ …}； 正数集合{ …}； 整数集合{ …}； 自然数集合{ …}； 分数集合{ …}； 无理数集合{ …}； 绝对值最小的数的集合{ …}；
3. 已知(x-2)2
=0，求xyz 的值．．
4．已知a 与 b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是2求32
122()2()m m
a b cd m -+-÷ 的值
5. a 、b 在数轴上的位置如图所示，且a ＞b ，化简a a b b a -+--
三：【课后训练】
2、一个数的倒数的相反数是115
,则这个数是（）
A ．65
B ．56
C ．-65
D ．－56
3、一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ） A ．非负数 B ．非正数 C ．负数 D ．正数
4. 数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数
是 2 ”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ） A ．代人法B ．换元法C ．数形结合D ．分类讨论
5. 若a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，则a ＋b=___________．
6.已知x y y x -=-，4,3x y ==，则()3
x y += 7.光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500000000000km ，用科学计数法表 示 (保留三个有效数字
)
0b
a
8.当a 为何值时有：①23a -=；②20a -=；③23a -=-
9. 已知a 与 b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2的相反数的负倒数，y 不能作除数，求2002200120001
2()2()a b cd y x
+-++的值．
10. （1）阅读下面材料：点 A 、B 在数轴上分别表示实数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表
示为|AB|，当A 上两点 中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1－2－4所示，|AB|=|BO|=|b|=|a －b|；当A 、B 两点都不在原点时，①如图1－2－5所示，点A 、B 都在原点的右边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=b －a=|a －b|； ②如图1－2－6所示，点A 、B 都在原点的左边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=－b －(－a)=|a －b|；③如图1－2－7所示，点A 、B 在原点的两边多边，|AB|=|BO|+|OA|=|b|+|a|=a+(－b)=|a －b|
综上，数轴上 A 、B 两点之间的距离|AB|=|a －b| （2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示－2和－5的两点之间
的距离是____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______.
②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是________，如果 |AB|=2，那么x
为_________．
③当代数式|x+1|+|x －2|=2 取最小值时，相应的x 的取值范围是_________.
四：【课后小结】
初三数学总复习
实数的运算
一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】
1. 有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则
(1)有理数加法法则：
①同号两数相加，取________的符号，并把__________
②绝对值不相等的异号两数相加，取________________的符号，并用 ____________________。

互为相反数的两个数相加得____。

③一个数同0相加，__________________。

(2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上____________。

(3)有理数乘法法则：
①两数相乘，同号_____，异号_____，并把_________。

任何数同0相乘，
都得________。

②几个不等于0的数相乘，积的符号由____________决定。

当______________，
积为负，当_____________，积为正。

③几个数相乘，有一个因数为0，积就为__________. (4)有理数除法法则：
①除以一个数，等于_______________________.__________不能作除数。

②两数相除，同号_____，异号_____，并把_________。

0除以任何一个
____________________的数，都得0
(5)幂的运算法则：正数的任何次幂都是___________； 负数的__________是负数， 负数的__________是正数 (6)有理数混合运算法则：
先算________，再算__________，最后算___________。

如果有括号，就_______________________________。

2.实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、 ，然后 ，最后 ．有括号时，先算 里面，再算括号外。

同级运算从左到右，按顺序进行。

3.运算律
（1）加法交换律：_____________。

（2）加法结合律：____________。

（3）乘法交换律：_____________。

（4）乘法结合律：____________。

（5）乘法分配律：_________________________。

4.实数的大小比较 （1）差值比较法：
a b -＞0a ⇔＞b ，a b -=0a b ⇔=，a b -＜0a ⇔＜ b （2）商值比较法：
若a b 、为两正数，则a
b
＞1a ⇔＞b ；1;a a b b =⇔=a b ＜1a ⇔＜b
（3）绝对值比较法：
若a b 、为两负数，则a ＞b a ⇔＜b a b a b a =⇔=；；＜b a ⇔＞b
（4
5.三个重要的非负数：
（二）：【课前练习】
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A ．|m|与—m 互为相反数
B 11互为倒数
C ．1998．8用科学计数法表示为1．9988×102
D ．0．4949用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为0．50
2. 在函数
y =
中，自变量x 的取值范围是（ ）
A ．x ＞1
B ．x ＜1
C ．x ≤1
D ．x ≥1
3. ＝，结果是 。

______ 5.计算
(1) 32
÷(－3)2
+|－
1
6
|×(－；
(2) 2
二：【经典考题剖析】
1.已知x 、y 是实数，2
690,3,.y y axy x y a -+=-=若求实数的值
2.请在下列6个实数中,计算有理数的和与无理数的积的差:24042,1)
2π--
3.比较大小:3与
4.探索规律:31=3，个位数字是3；32=9，个位数字是9；33=27，个位数字是7；34
=81，
个位数字是1；35=243，个位数字是3；36=729，个位数字是9；…那么37
的个位数
字是 ；320
的个位数字是 ； 5.计算：
（1
）
3422
1(2)(1)()20.25413(2)⎡⎤
-⨯--⎢⎥
⎣⎦⎡⎤⨯+-⨯-⎣⎦
；
（2
）10022()(2001tan 30)(2)3--++-
三：【课后训练】
1.某公司员工分别住在A 、B 、C 三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人，
三个住宅区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间设一个停靠站，为使所有员工步行到停靠站的路程之和最小， 那么停靠站的位置应设在（ ）
A ．A 区；
B ．B 区；
C ．C 区；
D ．A 、B 两区之间
2.根据国家税务总局发布的信息，2004年全国税收收入完成25718亿元，比上年增长
25.7%，占2004年国内生产总值（GDP ）的19%。

根据以上信息，下列说法：①2003
年全国税收收入约为25718×（1-25.7%）亿元；②2003年全国税收收入约为
25718
1+25.7%
亿元；③若按相同的增长率计算，预计2005年全国税收收入约为25718×（1+25.7%）亿元；④2004年国内生产总值（GDP ）约为
25718
19%
亿元。

其中正确的有（ ） A ．①④；B ．①③④；C ．②③；D ．②③④
3.当0＜x ＜1时，21
,,x x x
的大小顺序是（ ）
200m 100m A C B
A．1
x
＜x＜2x；B．
1
x
＜2x＜x；C．2x＜x＜
1
x
；D．x＜2x＜
1
x
4.设是大于1的实数，若
221
,,
33
a a
a
++
在数轴上对应的点分别记作A、B、C，则A、B、
C三点在数轴上自左至右的顺序是（）
A．C 、B 、A；B．B 、C 、A ；C．A、B、 C ；D．C、 A、 B
5.现规定一种新的运算“※”：a※b=a b，如3※2=32=9，则1
2
※3=（）
A．1
8
；B．8；C．
1
6
；D．
3
2
6.火车票上的车次号有两种意义。

一是数字越小表示车速越快：1～98次为特快列车；
101～198次为直快列车；301～398次为普快列车；401～498次为普客列车。

二是单、双数表示不同的行驶方向，比如单数表示从北京开出，则双数表示开往北京。

根据以上规定，杭州开往北京的某一趟直快列车的车次号可能是（）
A．20；B．119；C．120；D．319
7.计算：
（1）
2；⑵)
（40
；（5）222334
1111
0.5+(-)--2-4-(-1)()(-)
2232 -⨯÷
8. 已知：
3
2
x
x
+
=
+
35
2
242
x
x
x x
-⎛⎫
÷--
⎪
--
⎝⎭
的值
9. 观察下列等式：9-1=8，16-4=12，25-9=16，36-16=20，……这些等式反映出自然数
间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来
10.小王上周五买进某公司股票1000股，每股25元，在接下来的一周交易日内，小王
根据表格回答问题
（1）星期二收盘时，该股票每股多少元？
（2）本周内该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？
（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费。

若小王在本周五以收盘价将传全部股票卖出，他的收益情况如何？
四：【课后小结】
初三数学总复习
数的开方和二次根式
一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】
1.平方根与立方根
(1)如果x 2
=a ，那么x 叫做a 的 。

一个正数有 个平方根，它们互为 ； 零的平方根是 ； 没有平方根。

（2）如果x 3
=a ，那么x 叫做a 的 。

一个正数有一个 的立方根；一个负数
有一个 的立方根；零的立方根是 ；
2.二次根式
（1） （2）
（3）
（4）二次根式的性质
①2
0,a ≥=若则 ；③= (0,0)a b ≥≥
(
)
(
)
a a a ⎧==⎨
-⎩0,0)a b =≥
（5）二次根式的运算
①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式；
0,0)a b =
≥≥；
0,0)a b
=≥
④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。

（二）：【课前练习】
1.填空题
2. 判断题
3.那么x取值范围是（）
A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞2
4.下列各式属于最简二次根式的是（）
A
5.）
A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．③和④
二：【经典考题剖析】
1. 已知△ABC的三边长分别为a、b、c, 且a、b、c满足a2－|5|0
c-=，试判断△ABC的形状．
2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义
（1； （2
（3
3.找出下列二次根式中的最简二次根式：
2
22
x y
+
4.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式：
0),3b b
-
5. 化简与计算
2)x
7
)2
m -
⑤2
2
-；⑥(
三：【课后训练】
1. 当x ≤2时，下列等式一定成立的是（ ）
A 2x =-
B 3x =-
C 、=
D
2. 那么x 取值范围是（）
A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2
3. 当a 则实数a 在数轴上的对应点在（ ）
A ．原点的右侧
B ．原点的左侧
C ．原点或原点的右侧
D ．原点或原点的左侧
4. 有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；③
17的平方根，其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
5. 所得结果是______．
6. 当a ≥0=
7.计算
（1） （2）
、))
2
0032
（3）、(2
； （4）
8. 已知：x y
、为实数，3x+4y 的值。

9. 实数P 10. 阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：
其中a=9时”，得出了不同的答案，小明的解答：
原式= a+(1－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a －1)=2a －1=2×9－1=17 ⑴___________是错误的；
⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：________
四：【课后小结】
初三数学总复习
代数式的初步知识
一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】
1. 代数式的分类:
2. 代数式的有关概念
(1)代数式: 用 (加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字
母连结而成的式子叫代数式。

单独的一个数或者一个字母也是代数式．
（2）有理式： 和 统称有理式。

（3）无理式：
3.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。

求代数式的值可以直接代入、计算。

如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。

（二）：【课前练习】
1. a ，b 两数的平方和用代数式表示为（ ）
A.2
2
a b + B.2
()a b + C.2a b + D.2
a b + 2. 当x=-2时，代数式-2
x +2x-1的值等于（ ）
A.9
B.6
C.1
D.-1
3. 当代数式a+b 的值为3时，代数式2a+2b+1的值是（ ） A.5 B.6 C.7 D.8
4. 一种商品进价为每件a 元，按进价增加25％出售， 后因库存积压降价，按售价
的九折出售，每件还盈利（ ）
A.0.125a 元
B.0.15a 元
C.0.25a 元
D.1.25a 元
5.如图所示，四个图形中，图①是长方形，图②、③、 ④是正方形，把图①、②、
③三个图形拼在一起（不重合），其面积为S ，则S ＝______________；图④的面积P 为_____________，则P_____s 。

代数式
有理式 无理式 a+b a
b 2a ④
③②
①
二：【经典考题剖析】
1. 判别下列各式哪些是代数式，哪些不是代数式。

（1）a 2-ab+b 2
；（2）S=12
（a+b ）h ；（3）2a+3b ≥0；（4）y ；（5）0；（6）c=2πR 。

2. 抗“非典”期间，个别商贩将原来每桶价格a 元的过氧乙酸消毒液提价20％后出售，市政府及时采取措施，使每桶的价格在涨价一下降15％，那么现在每桶的价格是_____________元。

3.一根绳子弯曲成如图⑴所示的形状，当用剪刀像图⑵那样沿虚线把绳子剪断时，绳子被剪成5段；当用剪刀像图⑶那样沿虚线b （b ∥a ）把绳子再剪一次时，绳子就被剪成9段，若用剪刀在虚线ab 之间把绳子再剪(n-2)次(剪刀的方向与a 平行）这样一
共剪n 次时绳子的段数是（ ）
A.4n+1
B.4n+2
C.4n+3
D.4n+5
4. 有这样一道题，“当a= 0.35，b=-0.28时，求代数式 7a 2－6a 3b+3a 3＋6a 3b －3a 2
b －
10a 3+3 a 2b －2的值”．小明同学说题目中给出的条件a=0.35，b=-0.28是多余的，你觉得他的说法对吗？试说明理由．
5. 按下列程序计算，把答案填在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个
规律？
x x x x →→+→÷→-→平方答案
（1
（2）发现的规律是：____________________。

（3）用简要的过程证明你发现的规律。

⑵ ⑴
⑶ a a b
三：【课后训练】
1. 下列各式不是代数式的是（ ）
A ．0
B ．4x 2
－3x+1 C ．a ＋b= b+a D 、
2
y
2. 两个数的和是25，其中一个数用字母x 表示，那么x 与另一个数之积用代数式表示
为（ ）
A ．x （x ＋25）
B ．x （x —25）
C ．25x
D ．x （25－x ）
3. 若ab x 与a y b 2
是同类项，下列结论正确的是（ ）
A ．X ＝2，y=1；
B ．X=0，y=0；
C ．X ＝2，y=0；
D ．X=1，y=1 4. 小卫搭积木块，开始时用2块积木搭拼（第1步），
然后用更多的积木块完全包围原来的积木块（第 2步），如图反映的是前3步的图案，当第１0步结 束后，组成图案的积木块数为 （ ）
A ．306
B ．361
C ．380
D ．420
5. 科学发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一
个奇特的数列——著名的裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……仔细观察以上数列，则它的第11个数应该是 .
6. 22
x=-2,3x -x+2x +3x=若则 ；
7. 一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一
部分如图所示，则这串珠子被盒子遮住的部分有_____颗．
8. 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：
⑴ 第4个图案中有白色地面砖 块； ⑵ 第n 个图案中有白色地面砖 块． 9. 下面是一个有规律排列的数表：
上面数表中第9行，第7列的数是_________．
第1步 第2步 第3步
10. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： ⑴在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
⑵通过猜想写出与第n 个点阵相对应的等式.
四：【课后小结】
……
……
①1=12； ②1+3=22； ③1+2+5=32；
④ ；
⑤ ；
初三数学总复习
整式
一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】
1.整式有关概念 （1）单项式：只含有 的积的代数式叫做单项式。

单项式中____________
叫做这个单项式的系数；单项式中____________叫做这个单项式的次数；
（2）多项式：几个 的和，叫做多项式。

____________ 叫做常数项。

多项式中____________的次数，就是这个多项式的次数。

多项式中____________
的个数，就是这个多项式的项数。

2.同类项、合并同类项 （1）同类项：________________________________ 叫做同类项； （2）合并同类项：________________________________ 叫做合并同类项； （3）合并同类项法则： 。

（4）去括号法则：括号前是“＋”号，________________________________ 括号前是“－”号，________________________________ （5）添括号法则：添括号后，括号前是“+”号，插到括号里的各项的符号都 ；
括号前是“－”号，括到括号里的各项的符号都 。

3.整式的运算
（1）整式的加减法：运算实质上就是合并同类项，遇到括号要先去括号。

（2）整式的乘除法： ①幂的运算：
0;;();()11,(0,)
m n m n m n m n m n mn n n n
p
p a a a a a a a a ab a b a a a p a
+--⋅=÷=====≠为整数 ②整式的乘法法则：单项式乘以单项式： 。

单项式乘以多项式：()m a b += 。

单项式乘以多项式：()()m n a b ++= 。

③乘法公式：
平方差： 。

完全平方公式： 。

2()()()a b x a x b x a b x ab ++=+++、型公式：
④整式的除法：单项式相除：把它们的系数、相同字母分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，相同字母相除要用到同底数幂的运算性质。

多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
（二）：【课前练习】
1. 代数式－22314x y +xy -1___2
有项，每项系数分别是 __________.
2. 若代数式－2x a y b+2
与3x 5y 2-b
是同类项，则代数式3a －b=_______ 3. 合并同类项：22224-abc-4bc-6ac+3abc+5ac+4bc;(2)-7x 53x y xy xy --+⑴ 4. 下列计算中，正确的是（ ）
A ．2a+3b=5ab ；
B ．a ·a 3=a 3 ；
C ．a 6÷a 2=a 3 ；
D ．（－ab ）2=a 2b 2
5. 下列两个多项式相乘，可用平方差公式（ ）． ①（2a －3b ）（3b －2a ）；②（－2a ＋3b ）（2a+3b ） ③（－2a +3b ）（－2a －3b ）；④（2a+3b ）（－2a －3b ）．
A ．①②；
B ．②③
；C ．③④ ；D ．①④
二：【经典考题剖析】
1.计算：－7a 2
b+3ab 2
－｛[4a 2
b-(2ab 2
-3ab)]-4ab-(11ab 2
b-31ab －6ab 2
｝
2. 若3m 3n x =4,y =5,求(x 2m )3
+(y n
)3－x 2m
·y n
的值．
3. 已知：A=2x 2+3ax －2x －1, B=－x 2
+ax －1，且3A+6B 的值与 x 无关，求a 的值．
4. 如图所示是杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b ）2
（其中
n 为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b ）4
展开式中的系数：
(a+b)1
=a +b ；
(a+b)2=a 2+2ab+b 2
(a+b)3=a 3 +3a 2 b+3ab 2+b 3
则(a+b)4=____a 4+____a 3 b+___ a 2 b 2
+_____
5. 阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来
表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：(2a ＋b)(a+b)=2a
2
＋3ab+ b 2
就可以用图l －l －l 或图l －l －2等图形的面积表示．
（1）请写出图l －1－3所表示的代数恒等式： （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：
（a+b ）（a+3b ）＝a 2＋4ab 十3b 2
．
（3）请仿照上述方法另写一下个含有a 、b 的代数恒
等式，并画出与之对应的几何图形．
三：【课后训练】
1. 下列计算错误的个数是（ ）
3
3
3+3
6
6
6
3
5
035
82432439x +x =x m m =2m a a a =a =a ; (-1)(-1)(-1)=(-1)=(-1)++++⋅⋅⋅⑴；
⑵；⑶⑷
A ．l 个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2. 计算：22(3a -2a+1)-(2a +3a-5)的结果是（ ）
A ．a 2
－5a+6; B ．a 2
－5a －4; C ．a 2
+a －4; D. a 2
+a+6 3. 若223x +ax=(x+)+b 2
，则a 、b 的值是（ ） 9
993A. a=3,b=; B.a=3,b=-; C.a=0, b=-; D.a=3, b=-4
4
4
2
4. 下列各题计算正确的是（ ）
A 、x 8÷x 4÷x 3=1
B 、a 8÷a -8=1 C. 3100÷399=3 D.510÷55÷5-2=54
5. 若3n m 43a b -5a b 所得的差是 单项式．则m=___．n=_____，这个单项式是____________．
6. －
23
ab c 2
π的系数是______，次数是______．
7. 求值：（1－
212）（1－213）（1－214）…（1－219）（1－2
1
10） 8. 化学课上老师用硫酸溶液做试验，第一次实验用去了a 2
毫升硫酸，第二次实验用去
了b 2
毫升硫酸，第三次用去了2ab 毫升硫酸，若a=3．6，b=l ．4．则化学老师做
9.⑴观察下列各式：
⑵由此可以猜想：(b
a
)n =____(n为正整数，且a≠0)
⑶证明你的结论：
10.阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+4+5+…
+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+4+5+…+n=1
2
n(n+1)，其中n是
正整数．现在我们来研究一个类似的问题：观察下面三个特殊的等式：
1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=?
1×2=1
3
(1×2×3－0×1×2)
2×3=1
3
(2×3×4－1×2×3)
3×4=1
3
(3×4×5－2×3×4)
将这三个等式的两边分别相加，可以得到1×+2×3 3×4=1
3
×3×4×5=20
读完这段材料，请你思考后回答：
⑴1×2+2×3+3×4+…+100×101=_________.
⑵1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=___________.
⑶1×2×3+2×3×4+……+n(n+1)(n+2)=______-.
（只需写出结果，不必写中间的过程）
四：【课后小结】
初三数学总复习
因式分解
一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】
1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解
因式．
2．分解困式的方法：
⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提
出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ；
3．分解因式的步骤：
（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．
（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。

4．分解因式时常见的思维误区：
提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等
（二）：【课前练习】
1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ）
A ．3x －2与 6x 2－4x B.3（a －b ）2与11（b －a ）3
C ．mx —my 与 ny —nx
D ．ab —ac 与 ab —bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ） 3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（）
2222
2222
.949 .949.949 .(949)A x y B x y C x y D x y ---+-+
4. 分解因式：x 2+2xy+y 2
－4 =_____
5. 分解因式：（1）(
)22
9=n ；(
)222=a
（2）2
2
x y -= ；（3）2
2
259x y -= ； （4）2
2
()4()a b a b +--；（5）以上三题用了 公式
222222
.1(1)(1) ;.14(12)(12)
.8164(98)(98);.(2)(2)(2)A x x x B y y y C x y x y x y D y x y x y x -=+--=+--=+---=-+-
二：【经典考题剖析】
1. 分解因式：
（1）3
3
x y xy -；（2）3231827x x x -+；（3）()211x x ---；
（4）()()23
42x y y x --- 分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。

提公因式时，不仅注意
数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。

②当某项完全提出后，该项应为“1” ③注意()
()22n
n a b b a -=-，()
()
21
21
n n a b b a ++-=--
④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。

2. 分解因式：
（1）22310x xy y --；（2）3
2
2
3
2212x y x y xy +-；（3）()
2
2
24
16x x +-
分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。

首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。

（3）题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。

3. 计算：（1）⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-
22221011911311211 （2）2
2
2
2
2
2
2
1219981999200020012002-+⋅⋅⋅-+-+- 分析：（1）此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。

（2）分解后，便有规可循，再求1到2002的和。

4. 分解因式：（1）2
2
2
44z y xy x -+-；（2）b a b a a 2
322-+-
分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法， 5. （1）在实数范围内分解因式：44
-x ；
（2）已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足2
2
2
a b c ab bc ac ++=++，
求证：△ABC 为等边三角形。

分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证a b c ==， 从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式()()()2220a b b c c a -+-+-=， 即可得证，将原式两边同乘以2即可。

略证：2
2
2
0a b c ab bc ac ++---=
022*******=---++ac bc ab c b a
()()()0222=-+-+-a c c b b a
∴c b a ==
即△ABC 为等边三角形。

三：【课后训练】
1. 若2
2
916x mxy y ++是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）
A ．24
B ．12
C ．±12
D ．±24
2. 把多项式1ab a b -+-因式分解的结果是（ ）
A ．()()11a b ++
B ．()()11a b --
C ．()()11a b +-
D ．()()11a b -+ 3. 如果二次三项式2
1x ax +-可分解为()()2x x b -+，则a b +的值为（ ）
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2 4. 已知48
21-可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ） A ．61、63 B ．61、65 C ．61、67 D ．63、65 5. 计算：1998×2002＝ ，2
2
27462723-⨯+＝ 。

6. 若2
10a a ++=，那么2001
20001999a
a a ++＝ 。

7. m 、n 满足20m +=，分解因式()
()22x y mxy n +-+＝ 。

8. 因式分解： （1）(
)
()2
2
23238x x
x x +-+-；
（2）22
2221a b ab b a +--++ （3）()()()()12341x x x x +++++；（4）()()
22114a b ab --- 9. 观察下列等式： 2
311=
2
33321=+
2
3336321=++
23333104321=+++……
想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系？猜一猜可引出什么规
律？用等式将其规律表示出来： 。

10. 已知a b c 、、是△ABC 的三边，且满足4
22
4
22
a b c b a c +=+，试判断△ABC 的形
状。

阅读下面解题过程： 解：由4
22
4
22
a b c b a c +=+得： 4
4
22
22
a b a c b c -=- ① ()()()22
2
2222a b a
b c a b +-=- ②
即22
2
a b c += ③
∴△ABC 为Rt △。

④
试问：以上解题过程是否正确： ；若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） ；错误原因是 ；本题 的结论应为 。

四：【课后小结】
初三数学总复习
分式
一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】
1．分式有关概念
（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。

对于一个分式来说：
①当____________时分式有意义。

②当____________时分式没有意义。

③只有在同时满足____________，且____________这两个条件时，分式的值才是零。

（2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。

（3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。

将
一个分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的_________。

（4）通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分
式叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个分式的___________ 。

（5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项式时，一般应先 ；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的 作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。

2．分式性质：
（1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式
的值 ．即：
(0)A A M A M M B B M B M
⨯÷==≠⨯÷其中 （2）符号法则：____ 、____ 与__________的符号， 改变其中任何两个，分式的
值不变。

即：
a a a a
b b b b
--==-=-
-- 3.分式的运算： 注意：为运算简便，运用分式 的基本性质及分式的符号法 则： ①若分式的分子与分母的各项 系数是分数或小数时，一般要化为整数。

②若分式的分子与分母的最高次项系数是负数时，一般要化为正数。

（1）分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减， ，把分子相加减；（2）
()n
n
a b a b c c a c ad bc d bd a c ac d bd a c a d ad d b c bc a a n b ⎧±⎧
±=⎪⎪⎪⎪⎨
±⎪⎪±=
⎪⎪⎩⎪
⎧⎪⋅=⎪⎪⎪⎨⎨
⎪⎪÷=⋅=
⎪⎪⎩
⎪⎪=⎪⎪
⎪⎩
n 同分母c 加减异分母b 乘b 分式运算乘除除b 乘方()为整数b
异分母的分式相加减，先 ，化为 的分式，然后再按 进行计算
（2）分式的乘除法法则：分式乘以分式，用_________做积的分子，___________做积的分母，公式：_________________________；分式除以分式，把除式的分子、分母__________后，与被除式相乘，公式： ； （3）分式乘方是____________________，公式_________________。

4．分式的混合运算顺序，先 ，再算 ，最后算 ，有括号先算括号内。

5．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．
（二）：【课前练习】 1. 判断对错：
①如果一个分式的值为0，则该分式没有意义（ ） ②只要分子的值是0，分式的值就是0（ ） ③当a ≠0时，分式
1a ＝0有意义（ ）； ④当a ＝0时，分式1
a
＝0无意义（ ）
2. 在22
21123,0,
,,,,323x y x x x x x x y π
+-中，整式和分式的个数分别为（ ） A ．5，3 B ．7，1 C ．6，2 D ．5，2 3. 若将分式
a b
ab
+ (a 、b 均为正数）中的字母a 、b 的值分别扩大为原来的2倍，则 分式的值为（ ）
A ．扩大为原来的2倍 ；
B ．缩小为原来的
12；C ．不变；D ．缩小为原来的14
4.分式2
2969
x x x --+约分的结果是 。

5. 分式
,,7(2)4()(2)6()(2)
x y
y x y y y x y +-+-+的最简公分母是 。

二：【经典考题剖析】
1. 已知分式
25,45
x x x ---当x ≠______时，
分式有意 义；当x=______时，分式的值为0． 2. 若分式22
1
x x x --+的值为0，则x 的值为（ ）
A ．x=－1或x=2
B 、x=0
C ．x=2
D ．x=－1
3.（1） 先化简，再求值：231
()11x x x x x x
---+，其中2x =. （2）先将
221
(1)1x x x x
-⋅++化简，然后请你自选一个合理的x 值，求原式的值。

（3）已知0346
x y z
==≠，求
x y z x y z +--+的值 4.计算
（1）()241222a a a a -÷-⨯+-；（2）222x x x ---；（3）2
214
122x x x x x x
++⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭ （4）x y
x y x x y x y x x -÷⎥⎦⎤⎢
⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-3232；（5）4
214121111x x x x ++++++- 分析：（1）题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再进行约分，有乘方的要先算乘方，若分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式；（2）题把()2x -+当作整体进行计算较为简便；（3）题是分式的混合运算，须按运算顺序进行，结果要
化为最简分式或整式。

对于特殊题型，可根据题目特点，选择适当的方法，使问题简化。

（4）题可以将y x --看作一个整体()y x +-，然后用分配律进行计算；（5）题可采用逐步通分的方法，即先算x x ++-1111，用其结果再与2
2
1x
+相加，依次类推。

5. 阅读下面题目的计算过程：
2
3211x x x ---+＝()()()()()
213
1111x x x x x x ---+-+- ① ＝()()321x x --- ②
＝322x x --+ ③ ＝1x -- ④
（1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 。

（2）错误原因是 。

（3）本题的正确结论是 。

三：【课后训练】
1. 当x 取何值时，分式（1）
3
21
x -；（2）3221x x -+；（3）24x -有意义。

2. 当x 取何时，分式（1）
23
35
x x +-；（2）33x x -+的值为零。

3. 分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。

（1）22()23(2)n m m =++；（2）22()ab b a b
ab b ++=+ 4. 若7;12a b ab +==，则22
a b ab
+＝ 。

5. 已知
113x y -=。

则分式2322x xy y x xy y
+---的值为 。

6. 先化简代数式222222()()()a b a b ab
a b a b
a b a b +--÷
+--+然后请你自取一组a 、b 的值代入求值． 7. 已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，222a b c ++ =ab bc ac ++，试判定三角形的形状．
8. 计算：
（1）22211
1()121a a a a a a -+--÷--+；（2）⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+÷--25223x x x x
（3）421
444122++--+-x x x x x ；（4）1222222-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+--n mn n m n mn n
mn m n m 9. 先阅读下列一段文字，然后解答问题：
已知：方程121111x =2,x 22x x -==-的解是； 方程12121
2x =3,x 33x x -==-的解是；
方程121313x =4,x 44x x -==-的解是； 方程12141
4x =5,x 55
x x -==-的解是；
问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x －10 =1010
11
的解，并写出检验． 10. 阅读下面的解题过程，然后解题： 已知
x y z
a b b c c a ==
---()a b c 、、互相不相等，求x+y+z 的值 解：设
x y z
a b b c c a
==
---=k, ();(),();x+y+z=()00x k a b y k b c z k c a k a b b c c a k =-=-=--+-+-=∙=则于是 仿照上述方法解答下列问题：已知：(0),y z z x x y x y z
x y z x y z x y z
++++-==++≠++求的值。

四：【课后小结】
初三数学总复习
一次方程
一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】
1.方程的分类
2.方程的有关概念
（1）方程：含有 的等式叫方程。

（2）有理方程：_________________________________________统称为有理方程。

（3）无理方程：__________ 叫做无理方程。

（4）整式方程：___________________________________________叫做整式方程。

（5）分式方程：___________________________________________叫做分式方程。

（6）方程的解： 叫做方程的解。

（7）解方程： _叫做解方程。

（8）一元一次方程：___________________________________叫做一元一次方程。

（9）二元一次方程：___________________________________叫做二元一次方程 3．①解方程的理论根据是：_________________________
②解方程（组）的基本思想是：多元方程要_________,高次方程要__________. ③在解_____方程，必须验根.要把所求得的解代入______进行检验；
5. 二元一次方程组的解法．
⎧⎧⎨⎪⎨⎩⎪
⎩整式方程
有理方程方程分式方程
无理方程。