湖南省永州市(4校联考)2021届新高考模拟化学试题含解析

湖南省永州市(4校联考）2021届新高考模拟化学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图若输入1
2
n =
，则输出的n 的值为（ ）
A ．
32
B ．2
C ．
52
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
由程序语言依次计算，直到a b <时输出即可 【详解】 程序的运行过程为
n
12
1
32 2
52
a
52
2 32
1
12
b
1ln 2
3ln 2
ln 2
5ln 2
当n=2时，51ln 22n >=；时，15
ln 22<，此时输出2
n =. 故选：C 【点睛】
本题考查由程序框图计算输出结果，属于基础题 2．已知集合2{|1}A x x =<，{|ln 1}B x x =<，则
A ．{|0e}A
B x x =<<I B ．{|e}A B x x =<I
C ．{|0e}A B x x =<<U
D ．{|1e}A B x x =-<<U
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<，{|ln 1}{|0e}B x x x x =<=<<， 所以{|01}A B x x =<<I ，{|1e}A B x x =-<<U ，故选D ． 3．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则V
v
=（ ） A ．4 B ．8
C ．9
D ．27
【答案】D 【解析】 【分析】
设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ，作正四面体的高为PM ，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在Rt AMN ∆中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解. 【详解】
设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ， 作正四面体的高为PM ，
则323
3AD AM AD =
==
， 226
PM PA AM ∴=-=
， 1362
34312
P ABC V -∴=⨯⨯=
，
设内切球的半径为r ，内切球的球心为O ，
则14434
P ABC O ABC V V r --==⨯⨯
，
解得：r =
； 设外接球的半径为R ，外接球的球心为N ， 则MN PM R =-或R PM -，AN R =， 在Rt AMN ∆中，由勾股定理得：
222AM MN AN +=，
2
2
133R R ⎛⎫∴+-= ⎪ ⎪⎝⎭
，解得R =， 3R
r
∴
=， 3
327V R v r
∴== 故选：D 【点睛】
本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题.
4．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ） A ．
12π
B ．
3π
C ．
2π
D ．
1π
【答案】D 【解析】 【分析】
根据统计数据，求出频率，用以估计概率. 【详解】
7041
2212π
≈. 故选:D. 【点睛】
本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.
5．函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2
ϕπ
<
，)x R ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）
A ．4sin()84
y x π
π
=-+ B ．4sin(
)84y x π
π
=-
C ．4sin()84
y x π
π
=--
D ．4sin(
)84
y x ππ
=+ 【答案】A 【解析】 【分析】
根据图像的最值求出A ，由周期求出ω，可得4sin()8
y x π
ϕ=+，再代入特殊点求出ϕ，化简即得所求.
【详解】 由图像知4A =，
6(2)82T =--=，216T πω==，解得8
π
ω=， 因为函数4sin(
)8y x π
ϕ=+过点(2,4)-，所以4sin(2)48
π
ϕ⨯+=-， sin(2)18πϕ⨯+=-，即22()82
k k Z ππ
ϕ=-π⨯++∈，
解得32()4
k k Z πϕπ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以54πϕ=，
54sin()4sin()8484
y x x ππππ
=+=-+.
故选：A 【点睛】
本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.
6．设1F ，2F 分别是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，
且120AF AF ⋅=u u u v u u u u v ，222AF F B =u u u u v u u u u v
，则椭圆E 的离心率为( )
A ．
23
B ．
34
C ．
53
D ．
74
【答案】C 【解析】 【分析】
根据222AF F B =u u u u r u u u r
表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出,a c 关系，
求出离心率. 【详解】
222AF F B =u u u u r u u u u r Q
设2BF x =，则22AF x =
由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-
120AF AF ⋅=u u u r u u u u r
Q ,12AF AF ∴⊥
在1Rt AF B V 中，有()()()2
2
2
2232a x x a x -+=-，解得3
a x =
2124,33
a a AF AF ∴=
= 在12Rt AF F △中，有()2
2
242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
整理得225=9c a ，c e a ∴==
故选C 项. 【点睛】
本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 关系，得到离心率.属于中档题.
7．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1
()(2)2
f x f x =
+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不
等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[)0,+∞ B ．1,32⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
C ．3,64⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
D ．7,64⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知先求出1
max ()2
n f x -=，即12n n a -=，进一步可得21n
n S =-，再将所求问题转化为29
2
n
n k -≥
对于任意正整数n 恒成立，设n c =29
2n
n -，只需找到数列{}n c 的最大值即可. 【详解】
当222n x n -≤<时，则0222x n ≤+-<，(22)(22)(2)f x n x n x n +-=-+--， 所以，1
1()2
[2(1)]2n n f x f x n --=--=-(22)(2)x n x n +--，显然当21x n =-时，
1
max ()2
n f x -=，故1
2
n n a -=，1(12)
2112
n n n S ⨯-=
=--，若对于任意正整数n 不等式 ()129n k S n +≥-恒成立，即229n k n ≥-对于任意正整数n 恒成立，即29
2n
n k -≥
对于任 意正整数n 恒成立，设n c =292n n -，111122n n
n n c c ++--=，令111202n n +->，解得11
2
n <， 令1
11202n n +-<，解得11
2
n >，考虑到*n N ∈，故有当5n ≤时，{}n c 单调递增， 当6n ≥时，有{}n c 单调递减，故数列{}n c 的最大值为6633
264
c ==，
所以364
k ≥. 故选：C. 【点睛】
本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前n 项和、数列单调性的判断等知识，是一道较为综合的数列题.
8．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A ．正三角形 B ．正方形
C ．正五边形
D ．正六边形
【答案】C 【解析】
试题分析：画出截面图形如图
显然A 正三角形，B 正方形：D 正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选C ． 考点：平面的基本性质及推论．
9．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2
π
ϕ<
）的图象如图，则此函数表达式为（ ）
A ．()3sin 24f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．()1
3sin 2
4f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
C ．()3sin 24f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
D ．()1
3sin 2
4πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
由图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，通过图象经过点3,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
，求出ϕ，从而得出函数解析式. 【详解】
解：由图象知3A =，53442
2T πππ⎛⎫
=-=
⎪⎝⎭
，则2142ωπ=
=π， 图中的点3,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
应对应正弦曲线中的点(,0)π， 所以
1322
πϕπ⨯+=，解得4πϕ=，
故函数表达式为()1
3sin 2
4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．
故选：B. 【点睛】
本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.
10．命题“(0,1),ln x x e x -∀∈>”的否定是（ ） A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤ B ．0
00(0,1),ln x x e x -∃∈> C ．0
00(0,1),ln x x e x -∃∈<
D ．0
00(0,1),ln x x e
x -∃∈≤
【答案】D 【解析】 【分析】
根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可. 【详解】
全称命题的否定是特称命题，所以命题“(0,1)x ∀∈,ln x e x ->”的否定是：0(0,1)x ∃∈，0
0ln x e x -≤．
故选D ． 【点睛】
本题考查全称命题的否定,难度容易.
11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A ．24π
B ．28π
C ．32π
D ．36π
【答案】C 【解析】 【分析】
由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形，侧棱长为4，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积. 【详解】 由三视图可知，
几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形， 侧棱长为4，如图：
由底面边长可知，底面三角形的顶角为120o ，
由正弦定理可得23
24sin120
AD =
=o
，解得2AD =， 三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心， 所以222222OA =
+=
该几何体外接球的表面积为：(2
4232S ππ=⋅=.
故选：C 【点睛】
本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属
于基础题.
12．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．-1
C ．0
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值. 【详解】
复数()()1z a i i R =+-∈， 由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++-，
所以由复数定义可知10a -=， 解得1a =， 故选：A. 【点睛】
本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且2311
3,
,42
a a a 成等差数列，则234245()()log a a log a a +-+=__________．
【答案】2- 【解析】 【分析】
根据等差中项性质，结合等比数列通项公式即可求得公比；代入表达式，结合对数式的化简即可求解. 【详解】
等比数列{}n a 的各项都是正数，且2311
3,,42
a a a 成等差数列， 则32134a a a =+，
由等比数列通项公式可知1112
34a a q q a =+， 所以2
340q q --=， 解得4q =或1q =-（舍）， 所以由对数式运算性质可得
234245()()log a a log a a +-+
34
2
45
a a log a a +=+
2311341212
1q a a q q q lo q g log a a +==+ 2
1
24
log ==-， 故答案为：2-. 【点睛】
本题考查了等差数列通项公式的简单应用，等比数列通项公式的用法，对数式的化简运算，属于中档题. 14．已知集合{1,2,4}A =，{
}
2
|20B x x x =-<，则A B =I __________． 【答案】{1} 【解析】 【分析】
解一元二次不等式化简集合B ，再进行集合的交运算，即可得到答案. 【详解】
Q {|02}B x x =<<，{1,2,4}A =，
∴{1}A B ⋂=.
故答案为：{1}. 【点睛】
本题考查一元二次不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.
15．已知复数()()12z i a i =++,其中i 是虚数单位．若z 的实部与虚部相等,则实数a 的值为__________． 【答案】3- 【解析】 【分析】
直接由复数代数形式的乘法运算化简,结合已知条件即可求出实数a 的值. 【详解】
解：()()()()12212z i a i a a i =++=-++的实部与虚部相等, 所以122a a -=+,计算得出3a =-. 故答案为:3- 【点睛】
本题考查复数的乘法运算和复数的概念,属于基础题.
16．三棱柱111ABC A B C -中， AB BC AC ==，侧棱1AA ⊥底面ABC ，且三棱柱的侧面积为33.若
该三棱柱的顶点都在同一个球O 的表面上，则球O 的表面积的最小值为_____． 【答案】4π 【解析】 【分析】
分析题意可知，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，所以三棱柱的中心即为外接球的球心O ，
设棱柱的底面边长为a ，高为h ，则三棱柱的侧面积为333a h ⋅=，球的半径表示为22
23a h R ⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，
再由重要不等式即可得球O 表面积的最小值 【详解】 如下图，
∵三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱 ∴设11A C a =，1BB h = ∴三棱柱的侧面积为333a h ⋅= ∴3a h ⋅=
又外接球半径22
212233a h a h R ⎛⎫⎛⎫
=+≥⋅⋅≥ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭ ∴外接球表面积244S R ππ=≥. 故答案为：4π
【点睛】
考查学生对几何体的正确认识，能通过题意了解到题目传达的意思，培养学生空间想象力，能够利用题目
条件，画出图形，寻找外接球的球心以及半径，属于中档题
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，AD AB CD DAB 1
,602
==
∠=︒，点,E F 分别为CD AP ,的中点.
（1）证明：PC ∥面BEF ；
（2）若PA PD ⊥，且PA PD =，面PAD ⊥面ABCD ，求二面角F BE A --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）239
13
【解析】 【分析】
（1）根据题意，连接AC 交BE 于H ，连接FH ，利用三角形全等得//FH PC ，进而可得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量求得平面的法向量，进而可得二面角F BE A --的余弦值. 【详解】
（1）证明：连接AC 交BE 于H ，连接FH ，
,,AB CE HAB HCE =∠=∠Q BHA CHA ∠=∠，
ABH ∴∆≌CEH ∆，
AH CH ∴=且//FH PC ，
FH ⊂Q 面,FBE PC ⊄面FBE ，
//PC ∴面FBE ，
（2）取AD 中点O ，连PO ，OB .由PA PD =，PO AD ∴⊥
Q 面PAD ⊥面ABCD
PO ∴⊥面ABCD ，又由60DAB ∠=o ，AD AB = OB AD ∴⊥
以,,OA OB OP 分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，
设2AD =，则(1,0,0)A ，3,0)B ，(1,0,0)D -，11(0,0,1),(,0,)22
P F ，
(2,0,0)EB DA ==u u u r u u u r ，11
(,3,)22
BF =-u u u r ，
1(0,0,1)n =u r
为面BEA 的一个法向量，
设面FBE 的法向量为2000(,,)n x y z =u u r
，
依题意，2200EB n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u v u u u v u u v 即00002011302
2x x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令03y =06z =，00x =
所以，平面FBE 的法向量23,6)n =u u r
，
121212
,239cos ,39n n n n n n ===⋅u r u u r
u r u u r u r u u r ，
又因二面角为锐角，
故二面角F BE A --的余弦值为239
13
. 【点睛】
本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意中位线和向量法的合理运用，属于基础题.
18．已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的右焦点为2F ，过2F 作x 轴的垂线交椭圆E 于点A （点A 在x
轴上方），斜率为()0k k <的直线交椭圆E 于,A B 两点，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且
AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D .
（1）设椭圆E 的离心率为e ，当点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,3b a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，求e 的值.
（2）若椭圆E 的方程为2212x y +=，且2
2
k <-，是否存在k 2AB AC =成立？如果存在，求
出k 的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）1
2
e =；（2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）写出2,b A c a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，根据AD AB ⊥，斜率乘积为-1，建立等量关系求解离心率；
（2）写出直线AB 的方程，根据韦达定理求出点B 的坐标，计算出弦长AB ，根据垂直关系同理可得AC ，
AC =即可得解. 【详解】
（1）由题可得2,b A c a ⎛⎫
⎪⎝⎭，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D .
点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,3b a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
AB AC ⊥即AD AB ⊥，
1AD AB
k k =-，222
131
0b b b a a a a c c a
--⋅=---
化简得：22230c ac a -+=， 即22310e e -+=，解得1
2
e =或1e =（舍去）， 所以12
e =
； （2）椭圆E 的方程为2
212
x y +=，
由（1
）可得1,,:22A AB y kx k ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
，2k <-
联立2212
x y y kx k +⎧=-+⎪⎪⎨=⎪⎪⎩得：(
)(
222
2212210k k x x k k +-+--=，
设B 的横坐标B x
，根据韦达定理22
21211B k k
x --+⨯=，
即22
2112B k x k --=+
，2
k <-，
所以2
122
1B A B k +=+-，
同理可得2
12
1
2
1
k
AC
k
⎫
-+
⎪
⎝⎭
==
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
+
若存在k
AC
=成立，
则=，
20
k
+=，∆<0，此方程无解，
所以不存在k
AB AC
=成立.
【点睛】
此题考查求椭圆离心率，根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题，关键在于熟练掌握解析几何常用方法，尤其是韦达定理在解决解析几何问题中的应用.
19．已知数列{}n a中，a1=1，其前n项和为n S，且满足()(
21)
n n
S n a n
+
=+∈N．
（1）求数列{}n a的通项公式；
（2）记2
3n
n n
b a
λ
=-，若数列{}n b为递增数列，求λ的取值范围．
【答案】（1）()
n
a n n
+
=∈N（2）(),2
-∞
【解析】
【分析】
（1）项和转换可得()
1
1
n n
na n a
+
=+，继而得到111
11
n n
a a a
n n
-
====
-
L，可得解；
（2）代入可得2
3n
n
b n
λ
=-，由数列{}n b为递增数列可得，23
21
n
n
λ
⋅
<
+
，令
23
21
n
n
c
n
⋅
=
+
，可证明{}n c为递增数列，即1c
λ<，即得解
【详解】
（1）∵()
21
n n
S n a
=+，
∴()
11
22
n n
S n a
++
=+，
∴()()
11
221
n n n
a n a n a
++
=+-+，
即()
1
1
n n
na n a
+
=+，∴1
1
n n
a a
n n
+=
+
，
∴111
11
n n
a a a
n n
-
====
-
L，
∴()n a n n +=∈N ．
（2）2
3n n b n λ=-．
()()2
121313n n n n b b n n λλ++-=-+--=2·3n -λ（2n+1）
． ∵数列{}n b 为递增数列，
∴()23210n
n λ⋅-+>，即2321
n n λ⋅<+．
令2321
n
n c n ⋅=+，
即11232163
1232323
n n n n c n n c n n ++⋅++=⋅=>+⋅+． ∴{}n c 为递增数列，∴12c λ<=， 即λ的取值范围为(),2-∞． 【点睛】
本题考查了数列综合问题，考查了项和转换，数列的单调性，最值等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
20．传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表：
（1）能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？
（2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.
附：()()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
【答案】（1）有99.9%的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关. （2）
80
243
【解析】 【分析】
(1) 根据列联表和独立性检验的公式计算出观测值2K ,从而由参考数据作出判断.
(2) 因为样本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年轻人有10人,用样本估计总体,则出行不戴口罩的年轻人的概率为13
，是老年人的概率为2
3.根据独立重复事件的概率公式即可求得结果.
【详解】
（1）由题意可知()2
21005020201080012.69810.8286040703063
K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，
∴有99.9%的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.
（2）由样本估计总体，出行不戴口罩的年轻人的概率为
13
，是老年人的概率为2
3.
5∴人未戴口罩，恰有2人是青年人的概率2
3
251280
33243
P C ⎛⎫== ⎪
⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查独立性检验及独立重复事件的概率求法,难度一般.
21．已知()ln f x x x =与y a =有两个不同的交点A B ，，其横坐标分别为12x x ，（12x x <）. （1）求实数a 的取值范围；
（2）求证：3
213212a e ae x x -+++<-<
. 【答案】（1）10e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，；（2）见解析
【解析】 【分析】
（1）利用导数研究()ln f x x x =的单调性，分析函数性质，数形结合，即得解；
（2）构造函数ln g x x x x =--（
），1
1ln 1
h x x x x e =---（）（）可证得：ln x x x ->，()111ln 11x x x x e e ⎛⎫⎛⎫->∈ ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝
⎭，，分析直线y x =-，()111y x e =--与y a = 从左到右交点的横坐标，f x （）在3x e -=，1x =处的切线即得解.
【详解】
（1）设函数()ln f x x x =，
()'1ln f x x =+，
令()1'0,f x x e >>
，令()1'0,0f x x e
<<< 故()f x 在1(0,)e
单调递减，在1
(,)e
+∞单调递增， ∴()11min f x f e e
⎛⎫==-
⎪⎝⎭
， ∵0x +→时()0f x →；()10f =；x →+∞时()f x →+∞
10a e ⎛⎫⇒∈- ⎪⎝⎭
，.
（2）①过点()00，
，11e e ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，的直线为y x =-， 则令()ln g x x x x =--，10x e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，
()2ln g x x '=--
()
2max ()g x g e -⇒=，min 1()min 00g x g e ⎧⎫
⎛⎫>=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩
⎭，
1ln 0x x x x e ⎛⎫
⎛⎫⇒->∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.
②过点()10
，，11e e ⎛⎫- ⎪
⎝⎭，的直线为()1
11
y x e =--， 则()()111ln 11h x x x x x e e ⎛⎫
⎛⎫=
--∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝
⎭，
， ()1ln 101h x x h x e =
--'>⇒-（）在11e ⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调递增 ()()11101ln 11h x h x x x x e e e ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⇒>=⇒->∈ ⎪ ⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，.
③设直线y x =-，()1
11
y x e =
--与y a = 从左到右交点的横坐标依次为3x a =-，411x a e =-+（
）， 由图知21431x x x x ae ->-=+.
④f x （）在3x e -=，1x =处的切线分别为32y x e -=--，1y x =-，同理可以证得
11ln 1x x x x e ⎛⎫⎛⎫-<∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，312ln 0,x e x x x e -⎛⎫
⎛⎫--<∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
记直线y a =与两切线和h x （）
从左到右交点的横坐标依次为5126x x x x ，，，， 33
216532122
a e a e x x x x a ----+--<-=+-=
（）. 【点睛】
本题考查了函数与导数综合，考查了学生数形结合，综合分析，转化划归，逻辑推理，数学运算的能力，属于较难题.
22．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知()2
2a b c ab -=-. （1）求角C ； （2）若4cos sin 02c A b C π⎛
⎫
++= ⎪⎝
⎭
，1a =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3
π
（2【解析】 【分析】
（1）利用余弦定理可求cos C ，从而得到C 的值.
（2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得4b a =，得到b 值后利用面积公式可求ABC S ∆. 【详解】
（1）由()2
2a b c ab -=-，得222a b c ab +-=.
所以由余弦定理，得222cos 1
22
a b c C ab +-==.
又因为()0,C π∈，所以3
C π
=.
（2）由4cos sin 02c A b C π⎛
⎫
+
+= ⎪⎝
⎭
，得4sin sin 0c A b C -+=. 由正弦定理，得4ca bc =，因为0c ≠，所以4b a =.
又因1a =，所以4b =. 所以ABC ∆
的面积11sin 14222
S ab C ==⨯⨯⨯=. 【点睛】
在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式. 23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21(*)n n S a n N =-∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：2
1143n
k k
a =<∑
． 【答案】（Ⅰ）1
2n n a -=，*n N ∈．（Ⅱ）见解析
【解析】 【分析】
（1）由11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，分1n =和2n ≥两种情况，即可求得数列{}n a 的通项公式；
（2）由题，得1
2
1211111()(2)44
n n n n a ---===，利用等比数列求和公式，即可得到本题答案. 【详解】
（Ⅰ）解：由题，得
当1n =时，11121a S a ==-，得11a =；
当2n …
时，112121n n n n n a S S a a --=-=--+，整理，得12n n a a -=． ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，
11122n n n a --∴==g ，n *∈N ；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，1
2
1211111()(2)44
n n n n a ---===， 故22221121111
n
k k
n a a a a ==++⋯+∑
121111
1()()()444
n -=+++⋯+
11()4114
n
-=-
4414()3343n =-<g ． 故得证．
【点睛】
本题主要考查根据,n n a S 的关系式求通项公式以及利用等比数列的前n 项和公式求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.。