最新-2021学年高中数学人教A版选修11课件：311312变化率问题 导数的概念 精品

=
1
6+3
=
19
.
3
反思 求平均变化率时要紧扣定义,看在哪一点附近的平均变化率
大.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 求函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均
变化率,并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值.
解:函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为
=
x
− a(a+x).
y
x
1
1
∴
=−
· =−
.
x
a(a + x) x
a(a + x)
∴y'|x=a= x→0
1
(+Δ)
=−
1
.
2
Δ
Δ
=
2Δ+(Δ)2
Δ
=
题型一
题型二
题型三
题型四
反思 用导数的定义求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的步骤:
(1)求函数的增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
0
y
lim
Δ→0 x
=
(0 +Δ)-(0 )
.
Δ
x→0

Δ
名师点拨 1.函数 f(x)在 x0 处可导,是指当 Δx→0时, Δ 有极限,
若不存在极限,则函数在点 x0 处不可导或说无导数.
2.Δx 是自变量 x 的改变量,Δx 无限接近于 0 但不等于 0,而 Δy
可以为 0.
(2+Δ)2 +2-22 -2
Δ
= 4 + Δ;
在 x=3 附近的平均变化率为
(3+Δ)-(3)
(3+Δ)2 +2-32 -2
k3=
=
= 6 + Δ.
Δ
Δ
1
1
7
1
13
若 Δx= 3 , 则k1=2+ 3 = 3 , 2 = 4 + 3 = 3 , 3
由于 k1<k2<k3,
故在 x=3 附近的平均变化率最大.
第三章
导数及其应用
3 .1
变化率与导数
3.1.1
3.1.2
变化率问题
导数的概念
1.了解导数概念的实际背景.
2.会求函数在某一点附近的平均变化率.
3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
1
2
3
1.平均变化率
我们把式子
(2 )-(1 )
称为函数()从1
2 -1
到2 的平均变化率.
s
lim
Δ→0 t
=
题型一
题型二
题型三
题型四
题型三
用定义求函数的导数
【例 3】 根据导数的定义求下列函数的导数:
(1)求函数 y=x2+3 在 x=1 处的导数;
1
(2)求函数 y= 在 = (≠0)处的导数.
分析由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数可分为
三步:①求 Δy=f(x0+Δx)-f(x0);②求
习惯上用Δx表示x2-x1,即Δx=x2-x1,可把Δx看作是相对于x1的一个
“增量”,可用x1+Δx代替x2.类似地,Δy=f(x2)-f(x1).于是,平均变化率可
Δ
表示为 .
Δ
名师点拨 1.变化率问题来源于现实生活中的实际问题.平均变化
率是一个比值,它是表示一个量随另一个量变化快慢的重要指标,
为:①2; ②1; ③0.1; ④0.01.
(2)思考:当|Δx|越来越小时,函数f(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化
率有怎样的变化趋势?
1
2
3
解:(1)∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2-12=(Δx)2+2Δx,
2
Δ (Δ) + 2Δ
∴
=
= Δ + 2.
Δ
Δ
Δ
f(x0 -3x)-f(x0 )
x
Δ→0
【例 4】设 f(x)在 x=x0 处可导,且 lim
等于(
)
A.1
B.-1
(0 -3Δ)-(0 )
Δ
x→0
1
f'(x0)= 3 , 故选D.
错解因为
所以
= 1, 则′(0)
答案:D
1
1
C.− 3 D. 3
(0 -3Δ)-(0 )
=
= lim (2Δ + 5) = 5.
Δ→0
t→0
Δ
答案:5
1
2
3
3.导数的概念
y
Δ→0 x
一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim
(0 +Δ)-(0 )
, 我们称它为函数
Δ
x→0

=
= ()在 = 0 处的导数
(derivative), 记作′(0)或′|= , 即′(0) =
3.导数的定义式也可以写成 f'(x0)=
f(x)-f(x0 )
lim
.
→ 0 x-x0
1
2
3
【做一做 3】 求函数 y= 在 = 1 处的导数.
解:因为 Δy= 1 + Δ − 1,
Δ
1 + Δ-1
1
=
=
,
Δ
Δ
1 + Δ + 1
1
1
1
所以 lim 1+x+1 = 2 , 即y'|x=1= 2.
逐渐变小,并接近 2.
1
2
3
2.瞬时变化率
函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是函数 f(x)从 x0 到 x0+Δx 的
f(x0 +x)-f(x0 )
x
Δ→0
平均变化率在 Δx→0 时的极限,即 lim
Δ
= Δ.
x→0
名师点拨 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,平均变化
(2 )-(1 )
2 -1
=
(1 +Δ)-(1 )
中,当 x1 取定值,Δx
Δ
取
不同的数值时,函数的平均变化率是不同的;当 Δx 取定值,x1 取不同
的数值时,函数的平均变化率也是不同的.特别地,当函数 f(x)为常数
Δ
函数时,Δy=0,则 Δ = 0.
(5)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点
−20·(Δx)-(Δx)2+3Δx,
Δ -20 ·(Δ)-(Δ)2 + 3Δ
∴
=
Δ
Δ
=-2x0-Δx+3.
由导数的定义知
f'(x0)= lim
ห้องสมุดไป่ตู้
y
Δ→0 x
= (−20 − Δ + 3) = 3 − 20.
x→0
题型一
题型二
题型三
题型四
题型四
易错辨析
易错点 用错导数的概念而致错
当 t=4 时,s(t)=29+3(t-3)2,
Δs=s(t+Δt)-s(t)=29+3(4+Δt-3)2-29-3(4-3)2=3(Δt)2+6Δt,
∴v=
Δ
lim
Δ→0 Δ
=
3(Δ)2 +6Δ
lim
Δ
Δ→0
= lim (3Δ + 6) = 6.
Δ→0
∴物体在 t=1 和 t=4 时的瞬时速度都是 6.
率趋近的值,它刻画了函数在某一点处变化的快慢.瞬时变化率可
反映运动物体的瞬时速度、切线的斜率等.
1
2
3
【做一做2】 已知某物体位移s与时间t的关系为s(t)=2t2+t-1,则
该物体在t=1时刻的瞬时速度为
.
解析:该物体在 t=1 时的瞬时速度为
s(1 + t)-s(1)
lim
Δ→0
t
2(1 + Δ)2 + 1 + Δ-1-2
可得出所求的导数.
Δ
Δ
; ③求当Δx→0时, 的极限,即
Δ
Δ
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)∵Δy=[(1+Δx)2+3]-(12+3)=2Δx+(Δx)2,∴
2 + Δ.
∴y'|x=1= lim (2 + Δ) = 2.
Δ→0
(2)∵Δy=
1
1
−
a+x a
=
a-(a+x)
a(a+x)
lim 求得.
Δ→0 t
题型一
题型二
题型三
题型四
解:当 t=1 时,s(t)=3t2+2,
Δs=s(t+Δt)-s(t)=3(1+Δt)2+2-(3+2)
=6Δt+3(Δt)2,
∴v=
Δ

t→0 Δ
=
6Δ+3(Δ)2
lim
Δ
Δ→0
= lim (6 + 3Δ) = 6.
Δ→0
1
都为 , 在哪一点附近平均变化率最大?
3
分析利用平均变化率的定义,代入定义式即可求得.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:在 x=1 附近的平均变化率为
k1=
(1+Δ)-(1)
Δ
=
(1+Δ)2 +2-1-2
Δ
= 2 + Δ;
在 x=2 附近的平均变化率为
k2=
(2+Δ)-(2)
Δ
=
-(
+Δ)-(
Δ
Δ(20 +Δ)-Δ
0
0
0 -0 )
2
如 s(t)=t -t,则 Δ =
=
= 20 + Δ −
Δ
Δ
Δ
1, 可以看出此时 Δ 与Δt 有关,故答案选 D.
答案:D
1
2
3
【做一做1-2】 已知函数y=f(x)=x2.
(1)计算函数y=f(x)=x2从x=1到x=1+Δx的平均变化率,其中Δx的值
Δ
(0 +Δ)-(0 )
;
Δ
y
f'(x0)= lim x.
Δ→0
(2)求平均变化率 Δ =
(3)取极限,得导数
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 利用导数的定义求函数y=f(x)=-x2+3x在x=x0处
的导数.
解:∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=-(x0+Δx)2+3(x0+Δx)+02 − 30 =
(0 +Δ)-(0 )
(0 +Δ)-0
=
2
[3(0 +Δ) +2]-(320 +2)
Δ
=
60 ·Δ+3(Δ)2
Δ
= 60 + 3Δ.
当x0=2,Δx=0.1时,函数y=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率为
6×2+3×0.1=12.3.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
求瞬时速度
3 2 + 2,0 ≤ < 3,
【例 2】 若一物体的运动方程为 s(t)=
29 + 3(-3)2 , ≥ 3,
求此物体在 = 1 和 = 4 时的瞬时速度.
分析当 t=1 时,s=3t2+2;当 t=4 时,s=29+3(t-3)2,分别求出 Δs,再由
v=
s
时间单位:s),若该质点在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s,求常数a的值.
解:因为 Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a·22-1=4aΔt+a(Δt)2,
Δ
所以 Δ
= 4 + Δ, 故在t=2 s 时,瞬时速度为 s'(2)=
4(m/s).
由题意知,4a=8,则 a=2.
下列说法错误的是(
)
A.Δs=s(t0+Δt)-s(t0)叫做位移增量
Δ
B. Δ =
Δ
(0 +Δ)-(0 )
叫做这段时间内物体的平均速度
Δ
C. Δ 不一定与 Δ无关
Δ
D. Δ 一定与 Δ无关
Δ
解析:当物体做匀速运动时, Δ 与Δt 无关,当物体做变速运动时,
2
2
(
+Δ)
P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))所在直线的斜率.
(6)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在
(2 )-(1 )
.
时间段[t1,t2]上的平均速度,即 = -
2 1
2.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
剖析平均变化率
Δ (0 + Δ)-(0 )
=
, 当Δx趋于0时,它所趋于的一
Δ
Δ
个常数就是函数在x0处的瞬时变化率,即求函数的瞬时变化率是利
用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.另外,它们都是用来刻画函数
变化快慢的,它们的绝对值越大,函数变化得越快.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
求平均变化率
【例 1】 求函数 f(x)=x2+2 在 x=1,2,3 附近的平均变化率,取 Δx
题型一
题型二
题型三
题型四
反思 求瞬时速度的步骤:
(1)设非匀速运动的规律 s=s(t);
(2)求时间改变量 Δt,位移改变量 Δs=s(t0+Δt)-s(t0);
(3)平均速度 =
Δ
;
Δ
Δ
(4)瞬时速度:当 Δt→0时, Δ →v(常数).
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 一质点按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m,
如物体运动的平均速度、气球的平均膨胀率等.函数的平均变化率
就是从这些实际问题中抽象出来的一个重要数学概念.
2.Δx≠0,但可正可负;要注意Δx是一个整体符号,而不是Δ与x相乘.
3.改变量的对应:若Δx=x2-x1,则Δy=f(x2)-f(x1),而不是Δy=f(x1)-f(x2).
1
2
3
【做一做1-1】 已知物体位移公式s=s(t),从t0到t0+Δt这段时间内,
①当 Δx=2时, = Δ + 2 = 4;
Δ
Δ
②当 Δx=1时, Δ = Δ + 2 = 3;
Δ
③当 Δx=0.1时, Δ = Δ + 2 = 2.1;
Δ
④当 Δx=0.01时, Δ = Δ + 2 = 2.01.
(2)当|Δx|越来越小时,函数 f(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化率
Δ→0
1.对平均变化率的理解