高考物理一轮复习 第5章 天体运动 第19课时 万有引力

第19课时 万有引力定律及其应用
考点1 开普勒行星运动定律
开普勒行星运动三大定律
[例1] (2013·江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A ．太阳位于木星运行轨道的中心
B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 解析 本题考查开普勒行星运动定律，意在考查考生对开普勒三大定律的理解。

由于火星和木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，A 错误；由于火星和木星在不同的轨道上运行，且是椭圆轨道，速度大小变化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，
B 错误；由开普勒第三定律可知，R 3火T 2火＝R 3木T 2木＝k ，得T 2火T 2木＝R 3火
R 3木
，C 正确；由于火星和木星在不同
的轨道上，因此D 错误。

答案 C
在利用开普勒第三定律解题时，应注意a 3
T
2＝k 中的k 是一个与行星质量无关的常量，但
不是恒量。

在不同的星系中，k 值不相同，k 值是由中心天体决定的。

在以后的计算中，我
们都把行星的轨道近似看成圆，把卫星的运行轨道也近似看成圆，这样表达式R 3
T
2＝k 中的R
则是轨道圆的半径。

1．(2016·全国卷Ⅲ)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 答案 B
解析 开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，A 错误、B 正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，C 错误；牛顿发现了万有引力定律，D 错误。

2．(2017·全国卷Ⅱ)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0。

若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过程中( )
A ．从P 到M 所用的时间等于T 0
4
B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大
C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小
D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 答案 CD
解析 由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等，A
错误；从Q 到N 阶段，机械能守恒，B 错误；从P 到Q 阶段，万有引力做负功，动能减小，速率逐渐变小，C 正确；从M 到N 阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D 正确。

3．(人教版必修2 P36·T 4改编)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。

天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。

哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。

哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律估算，该星下次飞经地球是哪一年？
答案 2062年
解析 将地球的公转轨道看成圆轨道，其周期T 1＝1年，半径为r 1；设哈雷彗星的周期为T 2，轨道半长轴为a 2，
则根据开普勒第三定律a 3T 2＝k ，有：r 31T 21＝a 32
T 22。

因为a 2＝18r 1，所以可知哈雷彗星的周期为
T 2＝a 32·
T 1
r 31
≈76.4年，则下次为2062年。

考点2 万有引力定律的理解和应用
1．万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与两物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比。

(2)表达式：F ＝G
m 1m 2r
2，其中G 为引力常量，G ＝6.67×10
－11 N·m 2/kg 2。

卡文迪许第一个通过实验精确测量出G 值。

(3)适用条件：严格地说，公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。

质量分布均匀的球体可视为质点，其中r 是两球心间的距离。

对于一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的万有引力，r 为球心到质点的距离。

2．万有引力理论的主要成就：(1)发现未知天体，(2)计算天体质量。

[例2] 理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。

现假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的实心球体，O 为球心，以O 为原点建立坐标轴Ox ，如图所示。

一个质量一定的质点(假设它能够在地球内部移动)在x 轴上各位置受到的引力大小用F 表示，则F 随x 的变化关系图正确的是( )
解析 根据题意，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，当质点在地球的球内离球心x 处时，受到地球的万有引力即为半径等于x 的球体对质点的万有引力，所以F ＝G ρ·4πx 3
3·m
x 2
＝G 4πρm
3x 。

当质点在地球球面或球面以外，离球心x 处时，受到地球的万有引力，地球可以看成质量集中于球心的质点，对质点的万有引力F ＝G Mm x
2。

当x <R 时，F 与x 成正比，当x ≥R 后，F 与x 的平方成反比。

所以A 正确。

答案 A
(1)在匀质球层的空腔内任意位置处，质点受到球壳万有引力的合力为零。

(2)在匀质球体内部距球心r 外，质点受到的万有引力就等于半径为r 的球体的引力。

(3)万有引力定律的表达式F ＝G
m 1m 2
r 2
适用于计算质点或匀质球体间的万有引力。

当物体间的作用力不符合万有引力公式的适用条件时，可以把物体分成若干部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后求它们的合力。

这是“分割求和”的思想方法，此处的“和”是矢量和。

1．对于万有引力定律的数学表达式F ＝G
m 1m 2
r 2
，下列说法中正确的是( ) A ．牛顿发现了万有引力定律， 并第一个通过实验精确测量出引力常量G 的大小 B ．r 趋近于0时，万有引力趋于无穷大 C ．m 1、m 2受到的万有引力总是大小相等
D ．m 1、m 2受到的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力 答案 C
解析 牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许第一个通过实验精确测量出引力常量G 的大小，A 错误；万有引力定律的表达式F ＝G
m
1m 2
r 2
，适用于两个质点之间的计算。

当r →0时，两个物体都不能看成质点，上式不再成立，B 错误；两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等，方向相反，作用在两个物体上，C 正确、D 错误。

2．(人教版必修2 P41·T3改编)两艘轮船，质量都是1.0×104
t ，相距10 km 它们之间的引力是多大，这个力与轮船所受重力的比值是多少？(g 取值为10 N/kg)
答案 6.67×10－5
N 6.67×10－13
解析 轮船之间的引力F ＝G
m 1m 2r
2＝6.67×10
－11
×1.0×107
×1.0×107
(10×103)2
N ＝6.67×10－5 N 轮船重力G ＝mg ＝1.0×108
N 引力与重力的比值F G
＝6.67×10
－13。

3．如图所示，在半径为R 的铅球中挖出一个球形空穴，空穴直径为R 且与铅球相切，并通过铅球的球心。

在未挖出空穴前铅球质量为M 。

求挖出空穴后的铅球与距铅球球心距离为d 、质量为m 的小球(可视为质点)间的万有引力。

答案 GMm (7d 2－8dR ＋2R 2)8d 2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫d －R 22
解析 可以用“补偿法”进行等效计算。

设挖出空穴前铅球与小球间的万有引力为F 1，挖出的球形实体质量为M ′，与小球间的万有引力为F 2，铅球剩余部分与小球间的万有引力为F ，则有F 1＝F ＋F 2。

设挖出空穴前铅球的体积为V ，挖出的球形实体体积为V ′，则M ′＝V ′V M ＝43π⎝ ⎛⎭⎪
⎫R 23
43πR 3M ＝M 8，根据万有引力定律可得F 1＝G Mm d 2，F 2＝GM ′m ⎝ ⎛⎭⎪⎫d －R 22＝G Mm 8⎝ ⎛⎭
⎪⎫d －R 22，故挖出空穴后的铅球与小球间的万有引力F ＝F 1－F 2＝G Mm d 2－G Mm 8⎝ ⎛⎭⎪⎫d －R 22＝GMm (7d 2－8dR ＋2R 2)8d 2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫d －R 22。

考点3 计算天体质量与密度
1．万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题。

天体运动遵循与地面上物体相同的动力学规律。

行星(或卫星)的运动可视为匀速圆周运动，由恒星对其行星(或行星对其卫星)的万有引力提供向心力。

运用万有引力定
律不仅可以计算太阳和地球的质量，还可以计算其他天体的质量，根据不同的已知条件可以选用不同的公式计算中心天体的质量。

2．根据质量与密度的关系M ＝ρ·43πR 3
可知，在已知天体半径R 和天体质量M 的条件
下，可以计算天体的密度。

3．下表列出了我们常见的计算天体质量和密度的方法
[例3] (2013·大纲卷)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127 min。

已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km。

利用以上数据估算月球的质量约为( ) A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg
解析由G Mm
r2
＝m·
4π2
T2
·r得M＝
4π2r3
GT2
，又r＝R月＋h，代入数据得月球质量
M≈7.4×1022 kg，D正确。

答案 D
1．天体半径和卫星的轨道半径
通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径。

卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。

卫星的轨道半径大于等于天体的半径。

2．自转周期和公转周期
自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星(或行星)绕中心天体做圆周运动一周所用的时间。

自转周期与公转周期一般不相等。

(人教版必修2 P43·T3改编)经测定月地距离为3.84×108m，月球绕地球运动的周期为2.36×106 s，试计算地球质量。

(G＝6.67×10－11N·m2/kg2)
答案 6.01×1024 kg
解析月球与地球间的万有引力提供月球绕地球运动的向心力
F ＝
G M 地m r 2，F ＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2r G M 地m r 2＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2r ，M 地＝4π2r 3
GT 2≈6.01×1024 kg 。

考点4 天体表面的重力加速度问题
1．物体的重力是地球对物体万有引力的一个分力
在地球表面上的物体所受的万有引力F 可以分解成物体所受的重力G 和随地球自转而做圆周运动的向心力F ′，如图所示。

其中F ＝G Mm
R
2，而F ′＝mω2
r 。

除赤道和两极点外，重力与万有引力的大小、方向皆不同。

(1)物体在赤道上时，F 、G 、F ′三力同向，此时F ′达最大值，重力达最小值，则：
G min ＝F －F ′＝G Mm
R
2－mω2R 。

(2)物体在两极的极点时，F ′＝0，F ＝G ，此时重力等于万有引力，重力达到最大值，此最大值为G max ＝G Mm R
2。

2．不考虑地球自转时，重力等于万有引力 (1)设在地球表面附近的重力加速度为g ，则
mg ＝G Mm R 2，得g ＝GM R
2。

(2)设在地球上空距离地面高度为h 处的重力加速度为g ′，则
mg ′＝
GMm (R ＋h )2，得g ′＝GM
(R ＋h )
2 所以g g ′＝(R ＋h )2
R 2。

[例4] 设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看成质量分布均匀的球体，半径为
R 。

宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测
力计的读数为F 1＝F 0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为F 2＝F 0
2。

假设第三次在赤道平
面内深度为R
2的隧道底部，示数为F 3；第四次在距行星表面高度为R 处绕行星做匀速圆周运
动的人造卫星中，示数为F 4。

已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是( )
A ．F 3＝F 04、F 4＝F 0
4
B ．F 3＝F 0
4、F 4＝0
C ．F 3＝15F 0
4
、F 4＝0
D ．F 3＝4F 0、F 4＝F 0
4
解析 设该行星的质量为M ，则质量为m 的物体在极点处受到的万有引力：F 1＝GMm
R 2
＝F 0。

在赤道处，弹簧测力计的读数为F 2＝F 0
2
，则：
F n2＝F 1－F 2＝12
F 0＝mω2·R 。

由于球体的体积公式为：V ＝4πr
3
3
所以半径R
2
以内的部分的质量为：
M ′＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫R 23R 3
·M ＝18
M 物体在R
2
处受到的万有引力： F 3′＝GM ′m ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫R 22＝12
F 1＝12F 0
物体需要的向心力：F n3＝mω2
·R 2＝12mω2R ＝14
F 0，
所以在赤道平面内深度为R
2
的隧道底部，示数为： F 3＝F 3′－F n3＝12F 0－14F 0＝14
F 0。

第四次在距行星表面高度为R 处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时，物体受到的万有引力恰好提供向心力，所以弹簧测力计的示数为0，故B 正确。

答案 B
(1)F 1和F 2不同时需考虑行星的自转，F ＝mg ，m 不变，g 不同。

(2)F 2，F 3不同是因R 不同，g 不同。

(3)F 4和F 1、F 2、F 3不同是其物体所受万有引力全部提供向心力。

1．(多选)假如地球自转速度增大，关于物体所受的重力，下列说法正确的是( ) A ．放在赤道地面上物体的万有引力不变 B ．放在两极地面上的物体的重力不变 C ．放在赤道地面上物体的重力减小 D ．放在两极地面上物体的重力增加 答案 ABC
解析 地球自转角速度增大，物体受到的万有引力不变，A 正确；在两极，物体受到的万有引力等于其重力，则其重力不变，B 正确、D 错误；而对于放在赤道地面上的物体，F 万＝G 重＋mω2
R ，由于ω增大，则G 重减小，C 正确。

2．(2015·重庆高考)宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。

若飞船质量为m ，距地面高度为h ，地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A ．0 B.GM (R ＋h )2 C.GMm (R ＋h )2 D.GM
h 2
答案 B
解析 飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即G Mm
(R ＋h )2
＝mg ，得g ＝GM
(R ＋h )
2，B 正确。

3．(2015·海南高考)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7。

已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R 。

由此可知，该行星的半径约为( )
A.12R
B.72R C ．2R D.7
2R 答案 C
解析 平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即x ＝v 0t ，在竖直方向上做自由落体运动，即h ＝12
gt 2
，所以x ＝v 0
2h g ，两种情况下，抛出的速度相同，高度相同，所以g 行g 地＝x 2
地
x 2
行
＝74，根据公式G Mm R 2＝mg 可得g ＝GM R 2，故g 行g 地＝M 行R 2
行M 地R 2地
＝7
4
，解得R 行＝2R ，故C 正确。

1．(2018·重庆永川中学月考)(多选)下列说法正确的是( )
A ．关于公式r 3
T
2＝k 中的常量k ，它是一个与中心天体有关的常量
B ．开普勒定律只适用于太阳系，对其他恒星系不适用
C ．已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，则可判定金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离
D ．发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是开普勒、伽利略 答案 AC
解析 公式r 3
T
2＝k 中的k 是一个与中心天体有关的常量，A 正确；开普勒定律不仅适用
于太阳系，对其他恒星系也适用，B 错误；已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转
的周期，由r 3
T
2＝k 可知金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离，C 正确；发现万有引力定
律和测出引力常量的科学家分别是牛顿和卡文迪许，D 错误。

2．(2017·西安模拟)(多选)欧洲航天局的第一枚月球探测器——“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，用m 表示它的质量，h 表示它近月点的高度，ω表示它在近月点的角速度，a 表示它在近月点的加速度，R 表示月球的半径，g 表示月球表面处的重力加速度。

忽略其他星球对“智能1号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于( )
A ．ma
B ．m R 2g
(R ＋h )2
C ．m (R ＋h )ω2
D ．m R 2ω2
R ＋h
答案 AB
解析 “智能1号”在近月点所受月球对它的万有引力，即为它所受的合力，由牛顿第二定律得F ＝ma ，A 正确；由万有引力定律得F ＝G Mm (R ＋h )2，又月球表面上，G Mm
R
2＝mg ，解得F ＝m R 2g (R ＋h )
2，B 正确；由于“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，曲率圆半径不是R ＋h ，C 、D 错误。

3．(2017·南通质检)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为h 的圆形轨道上运行，运行周期为T 。

已知引力常量为G ，月球的半径为R 。

利用以上数据估算月球质量的表达式为( )
A.4π2R
3
GT 2
B.4π2
(R ＋h )GT
2
C.4π2
(R ＋h )
2
GT 2
D.
4π2(R ＋h )
3
GT 2
答案 D
解析 “嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得G Mm (R ＋h )2＝m 4π2
(R ＋h )
T 2
，解得月球的质量为M ＝4π2(R ＋h )3
GT
2
，D 正确。

4.对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r 与周期T 的关系作出如图所示图象，则可求得地球质量为(已知引力常量为G )( )
A.4π2
a G
b B.4π2
b Ga C.Ga 4π2b D.Gb
4π2a
答案 A
解析 由GMm r 2＝m 4π2T 2·r 可得r 3T 2＝GM 4π2，结合题图图线可得，a b ＝GM 4π2，故M ＝4π2
a
Gb
，A
正确。

5．(2017·湖北黄冈中学模考)假定太阳系一颗质量均匀、可看成球体的小行星开始时不自转，若该星球某时刻开始自转，角速度为ω时，该星球表面的“赤道”上物体对星球的压力减为原来的2
3。

已知引力常量为G ，则该星球密度ρ为( )
A.9ω2
8πG B.3ω2
2πG C.9ω2
4πG D.ω2
3πG 答案 C
解析 星球不自转时万有引力等于重力，即G Mm R 2＝mg ；自转角速度为ω时F 向＝G Mm R 2－
23
mg ＝mω2
R ，星球的密度ρ＝M V ＝M 43
πR
3，联立解得ρ＝9ω
2
4πG
，C 正确。

6．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v 。

假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N 。

已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( )
A.mv 2GN
B.mv 4GN
C.Nv 2Gm
D.Nv 4
Gm
答案 B
解析 设行星的质量为M 、半径为R ，行星表面的重力加速度为g ，卫星的质量为m ′，
由万有引力提供向心力，得G
Mm ′
R 2
＝ m ′v 2
R
；
在行星表面万有引力等于重力，即G Mm ′
R 2
＝m ′g ； 由已知条件N ＝mg 得g ＝N m
；
联立以上三式可得R ＝mv 2N ，M ＝mv 4
GN
，故B 正确。

7．(2017·文登模拟)如图所示，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t 通过的弧长为l ，该弧长对应的圆心角为θ弧度。

已知万有引力常量为G ，则月球的质量是( )
A.l 2Gθ3t
B.θ3Gl 2t
C.l 3Gθt 2
D.t 2
Gθl 3
答案 C
解析 因为每经过时间t 通过的弧长为l ，故“嫦娥三号”的线速度为v ＝l
t
，角速度为
ω＝θt ，“嫦娥三号”的运行半径为R ＝v ω＝l θ，则根据万有引力提供向心力得：GMm R 2＝mv 2
R ，
则月球的质量M ＝Rv 2G ＝l 3
Gθt 2
，C 正确。

8．(2017·商丘模拟)地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域。

进一步探测发现在地面P 点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示。

假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计。

如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g ；由于空腔的存在，现测得P 点处的重力加速度大小为kg (k <1)。

已知引力常量为G ，球形空腔的球心深度为d ，则此球形空腔的体积是( )
A.kgd
Gρ
B.
kgd2
Gρ
C.
(1－k)gd
Gρ
D.
(1－k)gd2
Gρ
答案 D
解析分析可得如果将该球形空腔填满密度为ρ的岩石，则地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时重力是kmg，故空腔填满后增加的引力为(1－k)mg；由万有引力定律，有：(1－k)mg＝G
ρVm
d2
，解得：V＝
(1－k)gd2
Gρ
，D正确。

9．(2015·江苏高考)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。

“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的
1
20。

该中心恒星与太阳的质量比约为( )
A.
1
10
B．1 C．5 D．10
答案 B
解析行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故有G
Mm
r2
＝m
4π2
T2
r可得M＝
4π2r3
GT2
，则
M1
M2
＝
⎝
⎛
⎭⎪
⎫r1
r2
3×
⎝
⎛
⎭⎪
⎫T2
T1
2＝
⎝
⎛
⎭⎪
⎫1
20
3×
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
365
4
2≈1，B正确。

10．(2017·安徽安庆统测)“嫦娥四号”探测器由轨道器、返回器和着陆器等多个部分组成。

探测器预计在2018年发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2 kg月球样品。

某同学从网上得到地球和月球的半径之比为4∶1、地球表面和月球表面的重力加速度之比为6∶1，则可判断地球和月球的密度之比为( ) A．2∶3 B．3∶2 C．4∶1 D．6∶1
答案 B
解析在地球表面，重力等于万有引力，故mg＝G
Mm
R2
，解得M＝
gR2
G
，故密度ρ＝
M
V
＝
gR2
G
4
3
πR3
＝
3g 4πGR ，同理，月球的密度ρ0＝3g 04πGR 0，故地球和月球的密度之比ρρ0＝gR 0g 0R ＝6×14＝3
2，B 正确。

11．(2017·河南商丘二模)(多选)“雪龙号”南极考察船在由我国驶向南极的过程中，
经过赤道时测得某物体的重力是G 1；在南极附近测得该物体的重力为G 2。

已知地球自转的周期为T ，引力常量为G ，假设地球可视为质量分布均匀的球体，由此可知( )
A ．地球的密度为3πG 1
GT 2
(G 2－G 1)
B ．地球的密度为
3πG 2
GT 2
(G 2－G 1)
C ．当地球的自转周期为 G 2－G 1
G 2T 时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力 D ．当地球的自转周期为 G 2－G 1
G 1
T 时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力 答案 BC
解析 在两极物体受到的重力等于地球对其的引力，故有G Mm R
2＝G 2①，在赤道引力与支
持力的合力提供向心力，故有G Mm R 2－G 1＝m 4π2
T 2R ②，地球的密度ρ＝M V ＝M
43
πR
3
③，联立以上
三式解得ρ＝
3πG 2
GT 2
(G 2－G 1)
，故A 错误、B 正确；在赤道上万有引力完全充当向心力时，放在
地球赤道地面上的物体不再对地面有压力，即G Mm R 2＝m 4π2
T 21R ，联立①、②式解得T 1＝
G 2－G 1
G 2
T ，故C 正确，D 错误。

12．(2017·贵州遵义中学模拟)(多选)若宇航员在月球表面附近自高h 处以初速度v 0
水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L 。

已知月球半径为R ，万有引力常量为G 。

则下列说法正确的是( )
A ．月球表面的重力加速度g 月＝2hv 2
L
2
B ．月球的平均密度ρ＝3hv 2
2πGL 2R
C ．月球的第一宇宙速度v ＝
v 0
L
2h D ．月球的质量M 月＝hR 2v 20
GL
2
答案 AB
解析 平抛运动的时间t ＝L v 0，再根据h ＝12g 月t 2
，得g 月＝2h t 2＝2hv 2
0L 2，故A 正确；在月
球表面G M 月m R 2＝mg 月，得M 月＝g 月R 2G ＝2hR 2v 20
GL 2，
月球的体积V 月＝4πR 3
3，月球的平均密度ρ＝M 月V 月
＝3hv 2
2πGL 2R ，故B 正确、D 错误；月球的第一宇宙速度v 1＝g 月R ＝ 2hv 2
0R
L
2
＝
v 0
L
2hR ，故C 错误。

13．(2017·宁夏银川一中模拟)万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。

(1)用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同结果。

已知地球质量为M 、自转周期为T ，引力常量为G 。

将地球视为半径为R 、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响。

设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F 0。

①若在北极上空高出地面h 处称量，弹簧测力计读数为F 1，求比值F 1
F 0
的表达式，并就h ＝1.0%R 的情形算出具体数值(结果保留两位有效数字)；
②若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F 2，求比值F 2F 0
的表达式。

(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r 、太阳半径为R S 和地球的半径R 三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变。

仅考虑太阳与地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，则“设想地球”的1年将变为多长？
答案 (1)①F 1F 0＝R 2(R ＋h )2 0.98 ②F 2F 0＝1－4π2R
3
GMT 2
(2)“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同 解析 (1)设物体的质量为m ，
①在北极地面F 0＝GMm R 2，在北极上空高出地面h 处F 1＝GMm (R ＋h )2，所以F 1F 0＝
R 2
(R ＋h )2
，当h ＝1.0%R 时，F 1F 0＝
1
(1＋0.01)2
≈0.98。

②在赤道表面，物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧测力计的拉力，
则有G Mm R 2－F 2＝m 4π2T 2R ，联立F 0＝GMm R 2可得F 2F 0＝1－4π2R 3
GMT 2。

(2)地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力。

设太阳的质量为M S ，太阳的半
径为R S ，太阳的密度为ρ，地球质量为M ，地球公转周期为T E ，则G M S M r 2＝M 4π2T 2E r ，M S ＝ρ·
43
πR 3
S
，联立解得T E ＝
4π2r
3
GM S
＝
3πGρ⎝ ⎛⎭
⎪⎫r R S 3
，其中，ρ为太阳的密度。

由上式可知，地球
公转周期T E 仅与太阳的密度、地球公转轨道半径和太阳半径之比有关，分析可得，“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同。