2020年上海华东师范大学第二附属中学高一数学文下学期期末试卷含解析

2020年上海华东师范大学第二附属中学高一数学文下
学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）
A．，； B．，；C．，； D．，。

参考答案：
C
略
2. 化简式子的结果为（）
A．1 B．﹣1 C．tanαD．﹣tanα
参考答案：
D
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】根据诱导公式化简可得答案．
【解答】解：由=．
故选：D．
3. 如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()
A．AC B．BD C．A1D D．A1D1
参考答案：
B
4. 定义在R上的偶函数在上是增函数，在上是减函数，，则
（）
A、在上是增函数，且最大值是6；
B、在上是减函数，且最大值是6；
C、在上是增函数，且最小值是6；
D、在上是减函数，且最小值是6；参考答案：
B
5. 若，则
（A）1 （B）（C）（D）-1
参考答案：
D
略
6. 的值为（）
A． B. C. D.
参考答案：
B
7. 360和504的最大公约数
是（）
A 24
B 72
C 144 D以上都不对
参考答案：
B
8. 函数的最小正周期是（）
参考答案：
C
9. 设数列中，，数列满足,则数列
的前项和为（）
A. B. C.
D.
参考答案：
A
10. 已知，，则的值是（）
A .
B . C.
D.
参考答案：
A
由已知，，又，故，所以
,选A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 满足条件的集合有__________个．
参考答案：
3
满足条件的集合有：，，，
故共有个．
12. 观察下列一组等式：
①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=，
②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=，
③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=，…，
那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：．
参考答案：
sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°﹣x）+cos2（30°﹣x）=
【考点】F3：类比推理．
【分析】观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°，
3sin215°+cos245°+sin15°cos45°…规律应该是sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2
（30°+x），右边的式子：，写出结果．
【解答】解：观察下列一组等式：
①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=，
②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=，
③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=，…，
照此规律，可以得到的一般结果应该是
sin2x+sinx）cos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：，
∴sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=．
证明：sin2x+sinx（）+（）2
=sin2x+﹣+﹣+
==．
故答案为：sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=．
13. 已知下列各组函数：
（1）f（x）=x，g（x）=（）2；（2）f（x）=，g（x）=x+3
（3）f（x）=πx2（x＞0），圆面积S关于圆半径r的函数；（4）f（x）
=，g（t）=（）2．
其中表示同一函数的是第组．
参考答案：
（3）（4）
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】判断函数的定义域以及函数的对应法则，推出结果即可．
【解答】解：（1）f（x）=x，g（x）=（）2；函数的定义域不相同，不是相同函数．
（2）f（x）=，g（x）=x+3；函数的定义域不相同，不是相同函数．
（3）f（x）=πx2（x＞0），圆面积S关于圆半径r的函数；函数的定义域相同，对应法则相同，是相同函数；
（4）f（x）=，g（t）=（）2．函数的定义域相同，对应法则相同，是相同函数；
故答案为：（3）（4）．
【点评】本题考查函数的定义，相同函数的判断，是基础题．
14. 幂函数的图象经过点（4，），则f()=．
参考答案：
2
15. 二次函数f ( x )的二次项系数是负数，对任何x∈R，都有f ( x– 3 ) = f ( 1 –x )，设M = f ( arcsin ( sin 4 ) )，N = f ( arccos ( cos 4 ) )，则M和N的大小关系是。

参考答案：
M > N
16. 已知，，则= ．
参考答案：
1
17. 函数的定义域为.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知中，角的对边分别为，且．
（1）求角；
（2）若，求的取值范围．
参考答案：
(1)；(2).
试题分析：(1)借助题设条件运用正弦定理余弦定理求解；(2)借助题设运用三角变换公式及正弦函数的图象和性质求解.
试题解析：
即的取值范围是
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：正弦定理余弦定理及三角变换公式等有关知识的综合运用.
19. 函数（，）的图象与y轴交于点，周期是π．（1）求函数解析式，并写出函数图象的对称轴方程和对称中心；
（2）已知点，点P是该函数图象上一点，点是PA的中点，当
，时，求的值．
参考答案：
（1）由题意，周期是π，即
．………1分
由图象与y轴交于点（0，)，∴，可得，…2分
∵0≤φ≤，
，
………4分
得函数解析式．
由，可得对称轴方程为，
（k∈Z）
由，可得对称中心坐标为（，0），（k∈Z）……7分
（2）点Q是PA的中点，A，∴P的坐标为，…9分
由，可得P的坐标为，
又∵点P是该函数图象上一点，
∴，
整理可得：
，………12分
∵x0∈，
∴，………13分
故或，
解得或
．
………15分
20. 据环保部通报，2016年10月24日起，京津冀周边雾霾又起，为此，环保部及时提出防控建议，推动应对工作由过去“大水漫灌式”的减排方式转变为实现精确打击．某燃煤企业为提高应急联动的同步性，新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对大气环境的污染，已知过滤后废气的污染物数量N（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：小时）间的关系为N（t）=N0e﹣λt（N0，λ均为非零常数，e为自然
对数的底数）其中N0为t=0时的污染物数量，若经过5小时过滤后污染物数量为N0．（1）求常数λ的值；
（2）试计算污染物减少到最初的10%至少需要多少时间？（精确到1小时）
参考数据：ln3≈1.10，ln5≈1.61，ln10≈2.30．
参考答案：
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）由题意， N0=N0e﹣5λ；从而解得λ；
（2）由（1）知，N（t）=N0，N0≤N010%，解出t≥12，从而得到最小值．
【解答】解：（1）由题意，N（0）=N0；N（5）=N0；
∴N0=N0e﹣5λ，
解得，λ=；
（2）由（1）知，N（t）=N0，
N0≤N010%，
解得，t≥12，
故污染物减少到10%至少需要12小时．
21. 一个有穷等比数列的首项为，项数为偶数，如果其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数。

参考答案：
解：设此数列的公比为，项数为，
则
∴项数为
略
22. 已知全集，集合，集合
.
试求集合中元素之和；（2）求.
参考答案：
略。