高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆学案 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数学学案

2．2椭圆
2．2.1 椭圆的标准方程
在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，D (0，－2)．
问题1：若动点P 满足PA ＋PB ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足的关系式是什么？ 提示：由两点间距离公式得
x ＋2
2
＋y 2
＋
x －2
2
＋y 2
＝6，
化简得x 29＋y 2
5
＝1.
问题2：若动点P 满足PC ＋PD ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x 、y 满足什么关系？ 提示：由两点间距离公式得
x 2＋y －2
2
＋x 2＋y ＋2
2
＝6，
化简得y 29＋x 2
5＝1.
椭圆的标准方程
焦点在x 轴上 焦点在y 轴上
标准方程 x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0) 焦点坐标
(±c,0)
(0，±c )
a 、
b 、
c 的关系
c 2＝a 2－b 2
1．标准方程中的两个参数a 和b ，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a ，b ，
c 三者之间a 最大，b ，c 大小不确定，且满足a 2＝b 2＋c 2.
2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x 轴上时，含x 项的分母大；当椭圆焦点在y 轴上时，含y 项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a >b >0这个条件．
[对应学生用书P20]
待定系数法求椭圆标准方程
[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，
142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 2
9
＝1有相同的焦点．
[思路点拨] (1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax 2
＋By 2
＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )，直接求A ，B .(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(3，－5)代入，即可求出a ，b ，则标准方程易得．
[精解详析] (1)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a >b >0)． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2
＋2b 2
＝1，
1a 2
＋14
4b 2
＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＝1
8，1b 2
＝1
4.
所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 2
4＝1.
若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为
y 2a 2＋x 2
b 2
＝1(a >b >0)． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧
4b 2
＋2a 2
＝1，
1b 2
＋14
4a 2
＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
1b 2＝1
8，1a 2
＝1
4.
即a 2
＝4，b 2
＝8，则a 2
<b 2
，与题设中a >b >0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 2
4
＝1.
法二：设椭圆的一般方程为Ax 2
＋By 2
＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，142代入，
得⎩
⎪⎨⎪
⎧
4A ＋2B ＝1，
A ＋14
4B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
A ＝18
，B ＝1
4，
所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 2
4
＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 2
9＝1的焦点相同，
所以其焦点在y 轴上，且c 2
＝25－9＝16.
设它的标准方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)．
因为c 2
＝16，且c 2
＝a 2
－b 2
，故a 2
－b 2
＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以()
－52
a 2
＋
3
2
b 2
＝1，
即5a 2＋3
b
2＝1.②
由①②得b 2＝4，a 2
＝20， 所以所求椭圆的标准方程为
y 2
20
＋x 2
4
＝1. [一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为：
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12. 解：(1)由已知得：c ＝4，a ＝5.
b 2＝a 2－
c 2＝25－16＝9.
故所求椭圆方程为x 225＋y 2
9
＝1.
(2)设椭圆方程为Ax 2
＋By 2
＝1.(A >0，B >0，A ≠B ) 由已知得， ⎩⎪⎨⎪⎧
19A ＋19B ＝1，14B ＝1，
解得：⎩
⎪⎨
⎪⎧
B ＝4，
A ＝5，
故所求椭圆方程为y 214＋x 2
15＝1.
2．求适合下列条件的椭圆的方程．
(1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；
(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.
解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，
所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)．
∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
2
2
a 2
＋0
b 2
＝1，0a 2
＋1b 2
＝1，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝4，
b 2
＝1，
故所求椭圆的标准方程为x 2
4
＋y 2
＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)．
∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10. 又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8， ∴b 2
＝a 2
－c 2
＝36， ∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 2
36
＝1.
[例2] 已知方程x 2
·sin α－y 2
·cos α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆． (1)若椭圆的焦点在x 轴上，求α的取值范围． (2)若椭圆的焦点在y 轴上，求α的取值范围．
[思路点拨] (1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．
(2)对于椭圆方程x 2m ＋y 2
n
＝1(m >0，n >0，m ≠n )可由m ，n 的大小确定椭圆焦点的位置，列
出三角不等式后求α的范围．
[精解详析] 将椭圆方程x 2
·sin α－y 2
·cos α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为x 21sin α＋y 2
1－cos α
＝1(0≤α≤2π)． (1)若方程表示焦点在x 轴上的椭圆，
则1sin α>－1
cos α
>0，即⎩⎪⎨
⎪⎧ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α>－1，
所以34π<α<π.即α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，2π.
(2)若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，
则－1cos α>1
sin α
>0，即⎩⎪⎨
⎪⎧
α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α<－1，
所以π2<α<3π4.即α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，3π4.
[一点通] 对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题，一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置，结合对应的标准方程应满足的条件，建立一个含参数的不等式组，通过求解不等式组得到参数的取值范围．
3．如果方程x 2a 2＋y 2
a ＋6
＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．
解析：由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
>a ＋6，
a ＋6>0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＋2
a －3>0
a >－6.解得a >3
或－6<a <－2.
答案：(3，＋∞)∪(－6，－2) 4．已知方程x 2
k －5＋
y 23－k
＝－1表示椭圆，求k 的取值范围．
解：方程x 2k －5
＋
y 2
3－k
＝－1可化为
x 2
5－k
＋
y 2k －3
＝1，由椭圆的标准方程可得
⎩⎪⎨⎪
⎧
5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，
得3<k <5，且k ≠4.
所以满足条件的k 的取值范围是{k |3<k <5，且k ≠4}.
椭圆的定义及标准方程的应用
[例3] 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝1，若点P 在第
二象
限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．
[思路点拨] 根据椭圆的标准方程知PF 1＋PF 2＝4，结合面积公式和余弦定理找到PF 1和
PF 2的关系求解．
[精解详析] 由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2
－b 2
＝4－3＝1，
F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，
由余弦定理，得
PF 22＝PF 21＋F 1F 2
2－2PF 1·F 1F 2cos 120°，
即PF 22＝PF 2
1＋4＋2PF 1.① 由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4， 即PF 2＝4－PF 1.② ②代入①解得PF 1＝65
.
∴S △PF 1F 2＝1
2PF 1·F 1F 2·sin 120°
＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是3 35
.
[一点通] 在椭圆中，由三条线段PF 1，PF 2，F 1F 2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出PF 1＋PF 2＝2a ，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．
5．已知两定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．
解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴F 1F 2＝2. ∵F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项， ∴2F 1F 2＝PF 1＋PF 2， 即PF 1＋PF 2＝4，
∴点P 在以F 1，F 2为焦点的椭圆上， ∵2a ＝4，a ＝2，c ＝1，∴b 2
＝3. ∴椭圆的方程是x 24＋y 2
3＝1.
答案：x 24＋y 2
3
＝1
6．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 2
4
＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，则△F 1PF 2
的面积等于________．
解析：由x 29＋y 2
4＝1，得a ＝3，b ＝2，
∴c 2
＝a 2
－b 2
＝5.∴c ＝ 5.∴F 1F 2＝2 5.
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
PF 1＋PF 2＝6，PF 1∶PF 2＝2∶1，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
PF 1＝4，
PF 2＝2.
∴PF 21＋PF 22＝F 1F 2
2. ∴△F 1PF 2为直角三角形． ∴S △F 1PF 2＝1
2PF 1·PF 2＝4.
答案：4
7．如图，已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 2
36
＝1的两个焦点．
(1)若椭圆上一点P 到焦点F 1的距离等于15，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是多少？ (2)过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，试求△ABF 2的周长． 解：由椭圆的标准方程可知a 2
＝100，所以a ＝10.
(1)由椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝20，又PF 1＝15，所以PF 2＝20－15＝5，即点P 到焦点
F 2的距离为5.
(2)△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋BF 1)＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)． 由椭圆的定义可知AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，故AB ＋AF 2＋BF 2＝4a ＝40.
用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2
＋By 2
＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．
[对应课时跟踪训练(八)]
1．若椭圆x 2
25
＋y 2
9
＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为________．
解析：由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.
答案：5
2．椭圆25x 2＋16y 2
＝1的焦点坐标是________．
解析：椭圆的标准方程为x 2125＋y 2
116
＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝116，b 2＝125，所以c 2
＝
a 2－
b 2＝116
－125＝
9400，故c ＝320.所以该椭圆的焦点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫0，±320. 答案：⎝
⎛⎭⎪⎫0，±320
3．已知方程(k 2
－1)x 2
＋3y 2
＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________． 解析：方程(k 2
－1)x 2
＋3y 2
＝1可化为
x 2
1
k 2
－1
＋y 2
13
＝1. 由椭圆焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪
⎧
k 2
－1>0，1k 2
－1<1
3
.
解之得k >2或k <－2.
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
4．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 2
9＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.
解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由
a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.
答案：8
5．已知P 为椭圆x 2
25＋4y
2
75＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的
面积为________．
解析：在△F 1PF 2中，
F 1F 22＝PF 21＋PF 2
2－2PF 1·PF 2cos 60°，
即25＝PF 21＋PF 2
2－PF 1·PF 2.① 由椭圆的定义，得 10＝PF 1＋PF 2.②
由①②，得PF 1·PF 2＝25，
∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin 60°＝25 34.
答案：25 3
4
6．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； (2)以椭圆9x 2
＋5y 2
＝45的焦点为焦点，且经过M (2，6)． 解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，
∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)．
∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5. ∴b 2
＝a 2
－c 2
＝144. ∴所求椭圆的标准方程为
y 2169＋x 2
144
＝1. (2)法一：由9x 2
＋5y 2
＝45， 得y 29＋x 2
5
＝1，c 2
＝9－5＝4， 所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)．
设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)．
由点M (2，6)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2＝2a ， 即2a ＝
2－0
2
＋6－2
2
＋2－0
2
＋6＋2
2
＝43，
所以a ＝23，
又c ＝2，所以b 2
＝a 2
－c 2
＝8， 所以所求椭圆的标准方程为
y 2
12
＋x 2
8
＝1. 法二：由法一知，椭圆9x 2
＋5y 2
＝45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)，
则设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2
λ
＝1(λ＞0)，
将M (2，6)代入，得
6λ＋4＋4
λ
＝1(λ＞0)， 解得λ＝8或λ＝－2(舍去)． 所以所求椭圆的标准方程为y 2
12
＋x 2
8
＝1.
7．如图，设点P 是圆x 2
＋y 2
＝25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝4
5
PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程．
解：设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )，
由已知易得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x P ＝x ，y P ＝5
4y .
∵P 在圆上，∴x 2
＋(54y )2＝25.
即轨迹C 的方程为x 2
25＋y 2
16
＝1.
8．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2
＋y 2
＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．
解：设动圆M 的半径为r ， 则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ， ∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，
∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8， ∴a ＝4，c ＝3， ∴b 2
＝a 2
－c 2
＝16－9＝7.
∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 2
7＝1.
2．2.2 椭圆的几何性质
建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质．
以方程x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)为例，试着完成下列问题：
问题1：方程中对x ，y 有限制的范围吗？
提示：由y 2b 2＝1－x 2
a
2≥0，得－a ≤x ≤a .
同理－b ≤y ≤b .
问题2：在方程中，用－x 代x ，－y 代y ，方程的形式是否发生了变化？ 提示：不变．
问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？ 提示：令x ＝0，得y ＝±b ；
令y ＝0，得x ＝±a ；
与x 轴的交点为(a,0)，(－a,0)， 与y 轴的交点为(0，b )，(0，－b )．
椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程 x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0) 范围 －a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b －a ≤y ≤a ，－b ≤x ≤b 顶点 (±a,0)，(0，±b )
(0，±a )，(±b,0)
轴长 短轴长＝2b ，长轴长＝2a
焦点 (±c,0)
(0，±c )
焦距 F 1F 2＝2c
对称性 对称轴x 轴，y 轴，对称中心(0,0)
离心率 e ＝c
a
∈(0,1)
1．椭圆的对称性
椭圆的图像关于x 轴成轴对称，关于y 轴成轴对称，关于原点成中心对称． 2．椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系
(1)0<e <1，e 越趋近于1，越扁，越趋近于0，越圆(可以根据字体1很扁、0很圆进行记忆)．
(2)当e →0，c →0时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e ＝0时的特例．
(3)当e →1，c →a ，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F 1F 2，此时也可认为F 1F 2为椭圆在e ＝1时的特例．
[对应学生用书P23]
[例1] 求椭圆81x 2＋y 2
＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率． [思路点拨] 本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出a ，b ，c ，再根据焦点位置写出相应的几何性质．
[精解详析] 椭圆的方程可化为
x 2
＋y 2
81
＝1，∴a ＝9，b ＝1，
∴c ＝81－1＝80＝4 5， ∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2. ∵椭圆的焦点在y 轴上，
故其焦点坐标为F 1(0，－4 5)，F 2(0,4 5)， 顶点坐标为A 1(0，－9)，A 2(0,9)，
B 1(－1,0)，B 2(1,0)，e ＝c a ＝4 5
9
.
[一点通] 求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a ，b 的值，进而求出c ，写出椭圆的几何性质参数．
1．若椭圆x 2m ＋y 24＝1的离心率为1
3
，则m 的值为________．
解析：当m >4时，由c 2
＝a 2
－b 2
＝m －4， 得
m －4m
＝13.解得m ＝92. 当m <4时，由c 2
＝a 2
－b 2
＝4－m ， 得
4－m 2＝13，解得m ＝329
. 答案：92或329
2．求椭圆4x 2
＋9y 2
＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解：椭圆方程变形为x 29＋y 2
4＝1，
∴a ＝3，b ＝2，
∴c ＝a 2
－b 2＝9－4＝ 5.
∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25，
焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，
顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)，离心率e ＝c a ＝53
.
由椭圆的几何性质求标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为20，离心率等于4
5
；
(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．
[思路点拨] 先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再利用待定系数法求出a 、b 、c ，得到椭圆的标准方程．
[精解详析] (1)∵2a ＝20，e ＝c a ＝4
5
，
∴a ＝10，c ＝8，b 2
＝a 2
－c 2
＝36.
由于椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 2
36
＝1或y 2100＋x 2
36
＝1.
(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)．
由已知a ＝2b ，①
且椭圆过点(2，－6)，从而有 2
2
a 2
＋
－6
2
b 2
＝1或
－6
2
a 2
＋2
2
b
2＝1.②
由①②得a 2
＝148，b 2
＝37或a 2
＝52，b 2
＝13. 故所求椭圆的标准方程为
x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 2
13
＝1. [一点通] 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴．
3．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为3
2
，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．
解析：由题意得2a ＝12，c a ＝3
2
，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3. 故椭圆方程为x 236＋y 2
9＝1.
答案：x 236＋y 2
9
＝1
4．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)； (2)离心率为5
13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
解：(1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)． 由椭圆的定义知， 2a ＝32
＋2＋2
2
＋32＋2－2
2
＝8，
所以a ＝4，所以b 2
＝a 2
－c 2
＝16－4＝12.
又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 2
12＝1.
(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，
又e ＝c a ＝5
13
，所以c ＝5，
所以b 2
＝a 2
－c 2
＝132
－52
＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2
144＝1.
与椭圆离心率有关的问题
[例3] 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.P 是椭圆M 上的任一
点，且PF 1·PF 2的最大值的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12c 2，3c 2，其中c 2＝a 2－b 2
，求椭圆的离心率的取值范
围．
[思路点拨] 由P 是椭圆上一点，知PF 1＋PF 2＝2a ，进而设法求出PF 1·PF 2的最大值，再由已知的范围求出离心率e 的范围．
[精解详析] ∵P 是椭圆上一点， ∴PF 1＋PF 2＝2a ，
∴2a ＝PF 1＋PF 2≥2 PF 1·PF 2，
即PF 1·PF 2≤a 2
，
当且仅当PF 1＝PF 2时取等号． ∴12c 2≤a 2≤3c 2
，∴13≤c 2
a 2≤2， ∴13≤e 2
≤2，∴33≤e ≤ 2. ∵0<e <1，∴
3
3
≤e <1， ∴椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
33，1. [一点通]
(1)椭圆的离心率的求法：
①直接求a ，c 后求e ，或利用e ＝
1－b 2a 2，求出b
a
后求e .
②将条件转化为关于a ，b ，c 的关系式，利用b 2
＝a 2
－c 2
消去b .等式两边同除以a 2
或a 4
构造关于c
a
(e )的方程求e .
(2)求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．
5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
解析：设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则由已知得2a ＋2c ＝4b . 即a ＋c ＝2b ， 又a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得a ＝54b ，c ＝34b ，e ＝3
5.
答案：3
5
6．椭圆M ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且1PF ·2
PF 的最大值的取值范围是[c 2,
3c 2
]，其中c ＝a 2
－b 2
，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________．
解析：设P (x ，y )、F 1(－c,0)、F 2(c,0)， 则1PF ＝(－c －x ，－y )，2PF ＝(c －x ，－y )，
1PF ·2PF ＝x 2＋y 2－c 2，
又x 2
＋y 2
可看作P (x ，y )到原点的距离的平方， 所以(x 2
＋y 2
)max ＝a 2
，(1PF ·2PF )max ＝b 2
， 所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2
，即14≤e 2≤12，
所以12≤e ≤2
2.
答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1
2，22
与椭圆相关的应用问题
[例4] 某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R ，若其近地点、远地点离地面的距离分别大约是115R 、1
3
R ，求此宇宙飞船运行的轨道方程．
[思路点拨] 根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨道方程．
[精解详析] 如图所示，以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为x 轴建立坐标系，且令地心F 2为椭圆的右焦点，则轨道方程为焦点
在x 轴上的椭圆的标准方程，不妨设为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，则地心F 2的
坐标为(c,0)，其中a 2
＝b 2
＋c 2
，
则⎩⎪⎨⎪⎧
a －c ＝R ＋R
15，a ＋c ＝R ＋R
3
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝6
5R ，c ＝2
15R .
∴b 2＝a 2－c 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫215R 2＝6445
R 2.
∴此宇宙飞船运行的轨道方程为
x 2
3625
R 2
＋
y 2
6445
R 2
＝1. [一点通] 解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为a ，b ，c 的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题．注意：①椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；②最后要将数学模型还原回实际问题作答．
7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200
km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．
解析：可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得 2a ＝1 700＋2×1 800＋200， ∴a ＝2 750.
又a ＋2c ＝1 700＋1 800，∴c ＝375.
∴e ＝c a ＝3752 750＝322
.
答案：3
22
8．已知某荒漠上F 1、F 2两点相距2 km ，现准备在荒漠上开垦出一片以F 1、F 2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园．按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km.
(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程； (2)问农艺园的最大面积能达到多少？
解：(1)以F 1F 2所在直线为x 轴，F 1F 2的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设平行四边形的另两个顶点为P (x ，y )，Q (x ′，y ′)，
则由已知得PF 1＋PF 2＝4.
由椭圆定义知点P 在以F 1、F 2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a ＝2，c ＝1，则b ＝ 3.
∴P 点的轨迹方程为x 24＋y 2
3＝1(y ≠0)，
同理Q 点轨迹方程同上．
(2)S ▱PF 1QF 2＝F 1F 2·|y P |≤2c ·b ＝23(km 2
)，
所以当P 为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为2 3 km 2
.
1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置．
2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状．
3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x
轴上、y 轴上进行讨论．
[对应课时跟踪训练(九)]
1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是
C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．
解析：法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e
＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33
. 法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2
a ，所以|PF 2|
＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a
，变形可得3(a 2－c 2
)＝2ac ，等式两边同除以a 2
，得3(1－e 2
)＝2e ，解得e ＝
3
3
或e ＝－3(舍去)． 答案：
3
3
2．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1
2，则C 的
方程是__________________．
解析：依题意，设椭圆方程为x 2
a 2
＋y
2
b
2
＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧
c ＝1，c a ＝12，
c 2
＝a 2
－b 2
，
解得a 2
＝4，
b 2＝3.
答案：x 24＋y 23
＝1
3．曲线x 2
25＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 2
9－k ＝1(k <9)的________相等．(填“长轴长”或“短
轴长”或“离心率”或“焦距”)
解析：c 2
＝25－k －(9－k )＝16，c ＝4. 故两条曲线有相同的焦距． 答案：焦距
4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是6
3
，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆
于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________．
解析：设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，
则y 2
＝b 2
－b 2x 2a 2，y 21＝b 2－b 2x 21
a
2.
所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 21
x 2－x 21
＝－b 2a 2＝c 2a 2－1
＝e 2
－1＝－13，
即k 1·k 2的值为－1
3.
答案：－1
3
5．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a
2
上一点，△F 2PF 1
是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率是________．
解析：设直线x ＝3a
2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°.
由题意知，F 1F 2＝PF 2＝2c ，F 2M ＝3a
2－c .
在Rt △PF 2M 中，F 2M ＝12PF 2，即3a
2
－c ＝c .
∴e ＝c a ＝3
4
.
答案：34
6．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率e ＝35，经过点A (5 3
2，－2)，求椭圆的标准方程．
解：设椭圆的标准方程为
x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则754a 2＋4
b
2＝1.① 由已知e ＝35，∴c a ＝35，∴c ＝35a .
∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－(35a )2，即b 2
＝1625a 2.②
把②代入①，得
754a 2＋4×2516a
2＝1，
解得a 2＝25，∴b 2
＝16，∴所求方程为x 225＋y 2
16＝1.
7．已知椭圆x 2
＋(m ＋3)y 2
＝m (m >0)的离心率e ＝3
2
，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2
m
m ＋3
＝1，
由m >0，易知m >m
m ＋3
，
∴a 2
＝m ，b 2
＝
m
m ＋3
.
∴c ＝a 2
－b 2
＝m m ＋2
m ＋3
.
由e ＝
3
2
，得 m ＋2m ＋3＝3
2
，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2
＋y 2
14＝1.
∴a ＝1，b ＝12，c ＝3
2
.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛
⎭⎪⎫－
32，0，F 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，0， 顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12.
8．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．
解：令x ＝－c ，代入x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，
得y 2
＝b 2
(1－c 2a 2)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2
a
.
设P (－c ，b 2
a )，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，
b )．
∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－b
a
，
∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22
. 又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5， ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 25＝1.。