2017-2018学年广东省深圳市龙华区八年级(下)期末数学试卷

2017-2018学年广东省深圳市龙华区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）不等式2x …的解集在数轴上表示为( ) A ． B ．
C ．
D ．
2．（3分）若分式21
x
x +有意义，则x 的取值范围是( ) A ．1x ≠-
B ．0x ≠
C ．1x >-
D ．1x <-
3．（3分）下列各式从左到右的变形为分解因式的是( ) A ．2()x x y x xy -=- B ．221(2)1x xy x x y ++=++ C ．2(1)(1)1y y y -+=-
D ．(3)3(3)(3)(3)x x x x x -+-=+-
4．（3分）下列四个著名数学图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（3分）若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是( ) A ．三角形 B ．四边形 C ．五边形 D ．六边形
6．（3分）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为AB的中点，将ADE
∆绕点D 沿逆时针方向旋转后得到DCF
∆，连接EF，则EF的长为()
A．23B．25C．26D．210
7．（3分）已知边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积4，则22
ab a b
+的值为() A．10B．20C．40D．80
8．（3分）如图，已知ABC
∆，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于1
2
BC的
长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若
30
B
∠=︒，55
A
∠=︒，则ACD
∠的度数为()
A．65︒B．60︒C．55︒D．45︒
9．（3分）如图，
1
l反映了某公司销售一种医疗器械的销售收入（万元）与销售量（台)之
间的关系，
2
l反映了该公司销售该种医疗器械的销售成本（万元）与销售量（台)之间的关系．当销售收入大于销售成本时，该医疗器械才开始赢利．根据图象，则下列判断中错误的是()
A．当销售量为4台时，该公司赢利4万元
B．当销售量多于4台时，该公司才开始赢利
C．当销售量为2台时，该公司亏本1万元
D．当销售量为6台时，该公司赢利1万元
10．（3分）下列命题是真命题的是()
A ．将点(2,3)A -向上平移3个单位后得到的点的坐标为(1,3)
B ．三角形的三条角平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等
C ．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等
D ．平行四边形的对角线相等
11．（3分）龙华地铁4号线北延计划如期开工，由清湖站开始，到达观澜的牛湖站，长约10.770公里，其中需修建的高架线长1700m ．在修建完400m 后，为了更快更好服务市民，采用新技术，工效比原来提升了25%．结果比原计划提前4天完成高架线的修建任务．设原计划每天修建xm ，依题意列方程得( ) A ．170017004(125%)x x -=+ B ．17004001700400
4(125%)x x ---=+
C ．
170017004004(125%)
x x --=+ D ．
17004001700400
4(125%)
x x ---=+ 12．（3分）如图，已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点D 是边BC 上的一点，且1BD =，以AD 为边作等边ADE ∆，过点E 作//EF BC ，交AC 于点F ，连接BF ，则下列结论中①ABD BCF ∆≅∆；②四边形BDEF 是平行四边形；③3
2
BDEF S =四边形；④3AEF S ∆=．其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式244xy xy x ++= ．
14．（3分）如图，ABC ∆中，已知M 、N 分别为AB 、BC 的中点，且3MN =，则AC 的长为 ．
15．（3分）“端午节”前，商场为促销定价为10元每袋的蜜枣粽子，采取如下方式优惠销
售：若一次性购买不超过2袋，则按原价销售；若一次性购买2袋以上，则超过部分按原价的七折付款．张阿姨现有50
元钱，那么她最多能买蜜枣粽子
袋．
16．（3分）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，分别过点A 作//AE BC ，过点B 作//BE AD ，AE 与BE 相交于点E ．若2CD =，则四边形ADBE 的面积是 ．
三、解答题（本题共8小题，共52分.）
17．（5分）解不等式组：2(1)42
1142
x x x x -<+⎧⎪
⎨+-⎪⎩…，并在数轴上表示出它的解集．
18．（5分）先化简，再求值：2
3()224
x x x
x x x -÷-+-，在2-，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
19．（5分）解方程：11
222x x x
-=---．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系内，已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(1,3)A 、(4,2)B 、
(3,4)C ．
（1）将ABC ∆沿水平方向向左平移4个单位得△111A B C ，请画出△111A B C ； （2）画出ABC ∆关于原点O 成中心对称的△222A B C ；
（3）若△111A B C 与△222A B C 关于点P 成中心对称，则点P 的坐标是
21．（6分）已知深港两地的高铁站深圳北、九龙西两站相距约40km ．现高铁与地铁冋时从深圳北出发驶向九龙西，高铁的平均速度比地铁快70/km h ，当高铁到达九龙西站时，地铁恰好到达距离深圳北站12km 处的福田站，求高铁的平均速度．（不考虑换乘时间）．
22．（6分）如图，已知平行四边形ABCD 中，ABC ∠的平分线与边CD 的延长线交于点E ，与AD 交于点F ，且AF DF =．
①求证：AB DE =；
②若3AB =，5BF =，求BCE ∆的周长．
23．（8分）阅读下列材料，并解答其后的问题：
我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦g 秦九韶公式”，该公式是：设ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，ABC ∆的面积为()()()()
a b c a b c a c b b c a S +++-+-+-=
．
（1）【举例应用】已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，且4a =，5b =，7c =，则ABC ∆的面积为 ；
（2）【实际应用】有一块四边形的草地如图所示，现测得(2642)AB m =+，5BC m =，7CD m =，46AD m =，60A ∠=︒，求该块草地的面积．
24．（9分）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E ．求
证：AD CE =，CD BE =．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M 的坐标为(1,3)，求点N 的坐标．
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线33y x =-+与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．
2017-2018学年广东省深圳市龙华区八年级（下）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）不等式2x …的解集在数轴上表示为( ) A ． B ．
C ．
D ．
【解答】解：不等式2x …
，在数轴上的2处用实心点表示，向右画线． 故选：C ． 2．（3分）若分式21
x
x +有意义，则x 的取值范围是( ) A ．1x ≠-
B ．0x ≠
C ．1x >-
D ．1x <-
【解答】解：由题意可知：10x +≠， 1x ∴≠-
故选：A ．
3．（3分）下列各式从左到右的变形为分解因式的是( ) A ．2()x x y x xy -=- B ．221(2)1x xy x x y ++=++ C ．2(1)(1)1y y y -+=-
D ．(3)3(3)(3)(3)x x x x x -+-=+-
【解答】解：A 、没把一个多项式转化成几个整式积， 故A 错误；
B 、没把一个多项式转化成几个整式积， 故B 错误；
C 、是整式的乘法， 故C 错误；
D 、把一个多项式转化成几个整式积， 故D 正确；
故选：D ．
4．（3分）下列四个著名数学图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称的图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
5．（3分）若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是() A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得
g，
n-︒=︒
(2)180360
解得4
n=．
故这个多边形是四边形．
故选：B．
6．（3分）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为AB的中点，将ADE
∆绕点D 沿逆时针方向旋转后得到DCF
∆，连接EF，则EF的长为()
A．23B．25C．26D．210
【解答】解：Q四边形ABCD为正方形，
∴∠=∠=︒，
A ADC
90
ADE EDC
∴∠+∠=︒，
90
Q绕点D沿逆时针方向旋转后得到DCF
∆
ADE
∆，
ADE CDF ∴∠=∠，DE DF =， 90CDF EDC ∴∠+∠=︒，
DEF ∴∆为等腰直角三角形， E Q 为AB 的中点，4AB =， 2AE ∴=
2225DE AE AD ∴=+= 2210EF DE ∴==，
故选：D ．
7．（3分）已知边长分别为a 、b 的长方形的周长为10，面积4，则22ab a b +的值为( ) A ．10
B ．20
C ．40
D ．80
【解答】解：Q 边长分别为a 、b 的长方形的周长为10，面积4， 2()10a b ∴+=，4ab =，
则5a b +=，
故22()ab a b ab b a +=+ 45=⨯ 20=．
故选：B ．
8．（3分）如图，已知ABC ∆，按以下步骤作图：①分别以B 、C 为圆心，以大于12
BC 的
长为半径作弧，两弧相交于两点M 、N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．若30B ∠=︒，55A ∠=︒，则ACD ∠的度数为( )
A ．65︒
B ．60︒
C ．55︒
D ．45︒
【解答】解：Q 根据题意得出MN 是线段BC 的垂直平分线， CD BD ∴=，
30B BCD ∴∠=∠=︒． 30B ∠=︒Q ，55A ∠=︒， 18095ACB A B ∴∠=︒-∠-∠=︒， 65ACD ACB BCD ∴∠=∠-∠=︒，
故选：A ．
9．（3分）如图，1l 反映了某公司销售一种医疗器械的销售收入（万元）与销售量（台)之间的关系，2l 反映了该公司销售该种医疗器械的销售成本（万元）与销售量（台)之间的关系．当销售收入大于销售成本时，该医疗器械才开始赢利．根据图象，则下列判断中错误的是( )
A ．当销售量为4台时，该公司赢利4万元
B ．当销售量多于4台时，该公司才开始赢利
C ．当销售量为2台时，该公司亏本1万元
D ．当销售量为6台时，该公司赢利1万元
【解答】解：A 、当销售量为4台时，该公司赢利0万元，错误；
B 、当销售量多于4台时，该公司才开始赢利，正确；
C 、当销售量为2台时，该公司亏本1万元，正确；
D 、当销售量为6台时，该公司赢利1万元，正确；
故选：A ．
10．（3分）下列命题是真命题的是( )
A ．将点(2,3)A -向上平移3个单位后得到的点的坐标为(1,3)
B ．三角形的三条角平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等
C ．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等
D ．平行四边形的对角线相等
【解答】解：A、将点(2,3)
A-向上平移3个单位后得到的点的坐标为(2,6)
-，是假命题；
B、三角形的三条角平分线的交点到三角形的三条边的距离相等，是假命题；
C、三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，是真命题；
D、平行四边形的对角线互相平分，是假命题；
故选：C．
11．（3分）龙华地铁4号线北延计划如期开工，由清湖站开始，到达观澜的牛湖站，长约
10.770公里，其中需修建的高架线长1700m．在修建完400m后，为了更快更好服务市民，
采用新技术，工效比原来提升了25%．结果比原计划提前4天完成高架线的修建任务．设原计划每天修建xm，依题意列方程得()
A．17001700
4
(125%)
x x
-=
+
B．17004001700400
4 (125%)
x x
--
-= +
C．17001700400
4
(125%)
x x
-
-=
+
D．17004001700400
4
(125%)
x x
--
-=
+
【解答】解：设原计划每天修建xm，则实际每天修建(125%)xm
+，
由题意得，17004001700400
4
(125%)
x x
--
-=
+
．
故选：C．
12．（3分）如图，已知ABC
∆是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且1
BD=，以AD为边作等边ADE
∆，过点E作//
EF BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中
①ABD BCF
∆≅∆；②四边形BDEF是平行四边形；③
3
BDEF
S=
四边形
；④3
AEF
S
∆
=．其
中正确的有()
A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：连接EC，作CH EF
⊥于H．
ABC
∆
Q，ADE
∆都是等边三角形，
AB AC ∴=，AD AE =，60BAC DAE ABC ACB ∠=∠=∠=∠=︒， BAD CAE ∴∠=∠， BAD CAE ∴∆≅∆，
1BD EC ∴==，60ACE ABD ∠=∠=︒， //EF BC Q ，
60EFC ACB ∴∠=∠=︒， EFC ∴∆是等边三角形，3CH =
， EF EC BD ∴==，//EF BD Q ，
∴四边形BDEF 是平行四边形，故②正确，
1BD CF ==Q ，BA BC =，ABD BCF ∠=∠， ABD BCF ∴∆≅∆，故①正确， 3BDEF S BD CH =⋅=
Q 平行四边形， 故③正确， 223
33AEF AEC ABD S S S ∆∆∆=
==
g 故④错误， 故选：C ．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式244xy xy x ++= 2(2)x y + ． 【解答】解：原式22(44)(2)x y y x y =++=+， 故答案为：2(2)x y +
14．（3分）如图，ABC ∆中，已知M 、N 分别为AB 、BC 的中点，且3MN =，则AC 的长为 6 ．
【解答】解：M
Q、N分别为AB、BC的中点，
MN
∴是ABC
∆的中位线，
2236
AC MN
∴==⨯=．
故答案为：6．
15．（3分）“端午节”前，商场为促销定价为10元每袋的蜜枣粽子，采取如下方式优惠销售：若一次性购买不超过2袋，则按原价销售；若一次性购买2袋以上，则超过部分按原价的七折付款．张阿姨现有50元钱，那么她最多能买蜜枣粽子6袋．
【解答】解：设可以购买(x x为整数）袋蜜枣粽子．
210(2)100.750
x
⨯+-⨯⨯…，
解得：
2
6
7 x…，
则她最多能买蜜枣粽子是6袋．
故答案为：6．
16．（3分）如图，Rt ABC
∆中，90
C
∠=︒，AC BC
=，BAC
∠的平分线AD交BC于点D，分别过点A作//
AE BC，过点B作//
BE AD，AE与BE相交于点E．若2
CD=，则四边形ADBE的面积是1062
+．
【解答】解：如图，过D作DF AB
⊥于F，
AD
Q平分BAC
∠，90
C
∠=︒，
2
DF CD
∴==．
Rt ABC
∆
Q中，90
C
∠=︒，AC BC
=，
45
ABC
∴∠=︒，
BDF
∴∆是等腰直角三角形，
2 BF DF
∴==，
222 BD DF
==，22
2
BC CD BD
∴=+=+，
222
AC BC
∴==+．
//
AE BC
Q，//
BE AD，
∴四边形ADBE是平行四边形，
22
AE BD
∴==，
∴梯形ADBE的面积
1
()
2
AE BC AC
=+g
1
(22222)(222)
2
=+++
1
(422)(222)
2
=++
1062
=+．
故答案为1062
+．
三、解答题（本题共8小题，共52分.）
17．（5分）解不等式组：
2(1)42
11
42
x x
x x
-<+
⎧
⎪
⎨+-
⎪⎩…
，并在数轴上表示出它的解集．【解答】解：
()
2142
11
42
x x
x x
-<+
⎧
⎪
⎨+-
⎪⎩
①
②
…
，
解不等式①得：2
x>-，
解不等式②得：3
x…，
所以不等式组的解集为23
x
-<…，
在同一数轴上分别表示出它们的解集得
18．（5分）先化简，再求值：2
3()224
x x x
x x x -÷-+-，在2-，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值． 【解答】解：原式3(2)(2)(2)(2)
(2)(2)x x x x x x x x x
+--+-=+-g
28x =+，
当1x =时，原式2810=+=． 19．（5分）解方程：
11
222x x x
-=---． 【解答】解：方程两边同乘(2)x -得： 112(2)x x -=---，
解得：2x =，
检验：当2x =时，20x -=，故此方程无实数根．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系内，已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(1,3)A 、(4,2)B 、(3,4)C ．
（1）将ABC ∆沿水平方向向左平移4个单位得△111A B C ，请画出△111A B C ； （2）画出ABC ∆关于原点O 成中心对称的△222A B C ；
（3）若△111A B C 与△222A B C 关于点P 成中心对称，则点P 的坐标是 (2,0)-
【解答】解：（1）如图，△111A B C 即为所求； （2）如图，△222A B C 即为所求；
（3）如图，点P 的坐标是(2,0)-． 故答案为：(2,0)-．
21．（6分）已知深港两地的高铁站深圳北、九龙西两站相距约40km ．现高铁与地铁冋时从深圳北出发驶向九龙西，高铁的平均速度比地铁快70/km h ，当高铁到达九龙西站时，地铁恰好到达距离深圳北站12km 处的福田站，求高铁的平均速度．（不考虑换乘时间）． 【解答】解：设高铁的平均速度为/xkm h ，依题意得 4012
70
x x =
- 解得100x =，
经检验，100x =是原方程的解， 答：高铁的平均速度为100/km h ．
22．（6分）如图，已知平行四边形ABCD 中，ABC ∠的平分线与边CD 的延长线交于点E ，与AD 交于点F ，且AF DF =． ①求证：AB DE =；
②若3AB =，5BF =，求BCE ∆的周长．
【解答】解：①Q 四边形ABCD 是平行四边形， //AB CD ∴，AB CD =，
A FDE ∴∠=∠，ABF E ∠=∠， AF DF =Q ， ABF DEF ∴∆≅∆， A
B DE ∴=；
②BE Q 平分ABC ∠， ABF CBF ∴∠=∠， //AD BC Q ， CBF AFB ∴∠=∠，
ABF AFB ∴∠=∠，
3AF AB ∴==， 26AD AF ∴==
Q 四边形ABCD 是平行四边形，
6BC AD ∴==，3CD AB ==，
ABF DEF ∆≅∆Q ，
3DE AB ∴==，5EF BF ==， 6CE ∴=，10BE EF BF =+=，
BCE ∴∆的周长106622BC CE BE =++=++=．
23．（8分）阅读下列材料，并解答其后的问题：
我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦g 秦九韶公式”，该公式是：设ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，ABC ∆的面积为()()()()
a b c a b c a c b b c a S +++-+-+-=
（1）【举例应用】已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，且4a =，5b =，
7c =，则ABC ∆的面积为 46 ；
（2）【实际应用】有一块四边形的草地如图所示，现测得(2642)AB m =+，5BC m =，7CD m =，46AD m =，60A ∠=︒，求该块草地的面积．
【解答】（1）解：ABC ∆的面积为
()()()()(457)(457)(475)(574)
46
a b c a b c a c b b c a S +++-+-+-+++-+-+-=
==．
故答案是：46
（2）解：过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连接BD （如图所示） 在Rt ADE ∆中， 60A ∠=︒Q ， 30ADE ∴∠=︒，
1
262
AE AD ∴=
= 26422642BE AB AE ∴=-==
2222(46)(26)62DE AD AE =--=2222(42)(62)226BD BE DE ∴+=+1
(57226)(57226)(22675)(22657)5104
BCD S ∆∴=+++-+-+-11
(2642)621232422
ABD S AB DE ∆=
=⨯⨯=Q g 1232410BCD ABD ABCD S S S ∆∆∴=+=+四边形
答：该块草地的面积为2(12324510)m +．
24．（9分）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E ．求证：AD CE =，CD BE =．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M 的坐标为(1,3)，求点N 的坐标．
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线33y x =-+与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．
【解答】（1）证明：90ACB ∠=︒Q ，AD l ⊥
ACB ADC ∴∠=∠
ACE ADC CAD ∠=∠+∠Q ，ACE ACB BCE ∠=∠+∠ CAD BCE ∴∠=∠，
90ADC CEB ∠=∠=︒Q ，AC BC = ACD CBE ∴∆≅∆， AD CE ∴=，CD BE =，
（2）解：如图2，过点M 作MF y ⊥轴，垂足为F ，过点N 作NG MF ⊥，交FM 的延长线于G ，
由已知得OM ON =，且90OMN ∠=︒
∴由（1）得MF NG =，OF MG =，
(1,3)M Q 1MF ∴=，3OF =
21
3MG ∴=，1NG =134FG MF MG ∴=+=+=， 312OF NG ∴-=-=，∴点N 的坐标为(4,2)，
（3）如图3，过点Q 作QS PQ ⊥，交PR 于S ，过点S 作SH x ⊥轴于H ， 对于直线33y x =-+，由0x =得3y =
(0,3)P ∴，
3OP ∴=
由0y =得1x =，
(1,0)Q ∴，1OQ =，
45QPR ∠=︒Q
45PSQ QPS ∴∠=︒=∠
PQ SQ ∴=
∴由（1）得SH OQ =，QH OP =
314OH OQ QH OQ OP ∴=+=+=+=，1SH OQ == (4,1)S ∴，
设直线PR 为y kx b =+，则341b k b =⎧⎨+=⎩，解得12
3
k b
⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线PR 为132
y x =-+ 由0y =得，6x =
(6,0)R ∴．。