成都市第十一中学八年级数学上册第二单元《全等三角形》检测(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，AD 与CE 交于点F ．请你添加一个适当的条件，使AEF ≌CEB △．下列添加的条件不正确的是（ ）
A ．EF E
B = B ．EA E
C = C ．AF CB =
D ．AF
E B ∠=∠ 2．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠A ＝105°，∠D ＝25°，则∠ABE 等于（ ）
A ．65°
B ．60°
C ．55°
D ．50°
3．如图，AB AC =，AD AE =，55A ︒∠=，35C ︒∠=，则DOE ∠的度数是（ ）
A ．105︒
B ．115︒
C ．125︒
D ．130︒
4．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是边AB 上一点，若6CD =，则DE 的长可以是（ ）
A ．1
B ．3
C ．5
D ．7
5．下列说法不正确的是（ ）
A ．三边分别相等的两个三角形全等
B ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C ．有两角及一边对应相等的两个三角形全等
D ．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
6．下列各命题中，假命题是（ ）
A ．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
B ．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等
C ．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等
D ．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等
7．如图，点D 在线段BC 上，若1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒，且BC DE =，AC DC =，AB EC =，则下列角中，大小为x ︒的角是( )
A ．EFC ∠
B ．AB
C ∠ C ．FDC ∠
D ．DFC ∠ 8．如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )
A ．SAS
B ．AAS
C ．SSS
D ．HL
9．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB FE =，下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是（ ）
A ．BC ED =
B ．A F ∠=∠
C ．B E ∠=∠
D ．//AB EF 10．如图，在下列条件中，不能判断△ABD ≌△BAC 的条件是（ ）
A ．∠D=∠C ， ∠BAD=∠ABC
B ．BD=A
C ， ∠BAD=∠ABC C ．∠BAD=∠ABC ， ∠BAD=∠ABC
D ．AD=BC ，BD=AC
11．下列说法正确的是 （ ） A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B ．斜边相等的两个直角三角形全等 C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等 D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等 12．如图，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,,ACB AED AB AD AC AE ∠=∠===，则下列说法不正确的是（ ）
A ．BC DE =
B ．BAE DA
C ∠=∠ C ．OC OE =
D ．EAC ABC ∠=∠
二、填空题
13．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．若3BC =，且:5:4BD DC =，5AB =，则ABD △的面积是______．
14．如图，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD=AE ，请添加一个条件，使得
ABE ≌ACD ．这个条件可以为_____（只填一个条件即可）．
15．如图，AC AE =，AD AB =，90ACB DAB ∠=∠=︒，33BAE ∠=︒，//CB AE ，AC 与DE 相交于点F ．
（1）DAC ∠=______．
（2）当1AF =时，BC 的长为______．
16．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与外角∠ACE 的平分线交于点D ，若∠D ＝20°，则∠A ＝_____．
17．如图所示，己知ABC ∆的周长是22,,OB OC 分别平分ABC ∠和
ACB OD BC D ∠⊥，于,且3OD =，则ABC ∆的面积是__________．
18．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=40cm ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，AD ：DC=5：3，则D 到AB 的距离为__________cm ．
19．如图，已知△ABC 的面积为18，BP 平分∠ABC ，且AP ⊥BP 于点P ，则△BPC 的面积是_____．
20．如图，12∠=∠，要用“SAS ”判定ADC BDC ≌△△，则可加上条件__________．
三、解答题
21．如图，Rt ABC 与Rt DEF △的顶点A ，F ，C ，D 共线，AB 与EF 交于点G ，BC 与DE 相交于点H ，90B E ∠=∠=︒，AF CD =，AB DE =．
（1）求证：Rt ABC Rt DEF ≌；
（2）若1GF =，求线段HC 的长．
22．已知矩形ABCD 中，点E 是AD 中点，连接CE ，经过点A ，B ，E 三点作O ，
交BC 于点F ，过点F 作FH CE ⊥于H ．
（1）求证：直线FH 是O 的切线；
（2）若42AD =，且点H 恰好为CE 中点时，判断此时CE 与
O 的位置关系？说明理由，并求出弧EF ，线段EH ，FH 围成的图形的面积．
23．如图，BD //GE ，150AFG ∠=∠=︒，AQ 平分FAC ∠，交BD 的延长线于点Q ，交DE 于点H ，15Q ∠=︒，求CAQ ∠的度数．
24．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ． （1）求证：AD ＝CE
（2）AD ＝6cm ，DE ＝4cm ，求BE 的长度
25．沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，
⊥垂足为AB//PM//CD，相邻两平行线间的距离相等AC，BD相交于P，PD CD CD=米．请根据上述信息求标语AB的长度．
D．已知16
26．已知：如图，AB ＝ AD．请添加一个条件使得△ABC≌△ADC，然后再加以证明．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据垂直关系，可以判断△AEF与△CEB有两对角相等，就只需要添加一对边相等就可以了．
【详解】
解：∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，
∴∠AEF=∠CEB=90°，∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠EAF+∠B=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠EAF=∠BCE ．
A.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中
AEF CEB EAF BCE EF EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴AEF ≌CEB △（AAS ），故正确；
B.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中 AEF CEB EA EC
EAF BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴AEF ≌CEB △（ASA ），故正确；
C.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中 AEF CEB EAF BCE AF CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴AEF ≌CEB △（AAS ），故正确；
D.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中 由AEF CEB EAF BCE AFB B ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩
不能证明AEF ≌CEB △，故不正确；
故选D ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
依据SAS 即可得判定△ABE ≌△ACD ，再根据全等三角形的性质，得出∠D ＝∠E ＝25°，由三角形内角和定理可求出答案．
【详解】
解：在△ABE 和△ACD 中，
AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ACD （SAS ），
∴∠D ＝∠E ，
∵∠D ＝25°，
∴∠E ＝25°，
∴∠ABE ＝180°﹣∠A ﹣∠E ＝180°﹣105°﹣25°＝50°．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
先判定△ABE ≌△ACD ，再根据全等三角形的性质，得出∠B=∠C=35︒，由三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】
在△ABE 和△ACD 中，
AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ACD （SAS ），
∴∠B=∠C ，
∵∠C=35︒，
∴∠B=35︒，
∴∠OEC=∠B+∠A=355590︒+︒=︒，
∴∠DOE=∠C+∠OEC=3590125︒+︒=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考察全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
4．D
解析：D
【分析】
过点D 作DF AB ⊥于点F ，根据角平分线的性质定理得6CD DF ==，而DE 的长一定是大于等于点D 到AB 的距离也就是DF 的长，即可得出结果．
【详解】
解：如图，过点D 作DF AB ⊥于点F ，
∵AD 平分BAC ∠，DF AB ⊥，90C ∠=︒，
∴6CD DF ==，
∵DE DF ≥，
∴6DE ≥，则只有D 选项符合．
故选：D ．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理．
5．B
解析：B
【分析】
直接利用三角形全等的判定条件进行判定，即可求得答案；注意而SSA 是不能判定三角形全等的.
【详解】
解：A ，三边分别相等的两个三角形全等，故本选项正确；
B ，两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C ，两个角和一个边对应相等的两个三角形，可利用ASA 或AAS 判定全等，故本选项正确；
D ，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故本选项正确．
故选：B
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定．注意普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等．
6．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的判定定理进行证明并依次判断．
【详解】
解：A 、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
B 、高有可能在内部，也有可能在外部，是不确定的，不符合全等的条件，原命题是假命题；
C 、有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求
得，是真命题；
D 、有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
故选：B ．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，灵活判定命题真假，熟记定理并灵活应用解决问题是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
先证明()ABC CED SSS ∆≅∆得到B E ∠=∠、FCD FDC ∠=∠，再根据
1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒可得2CFE x ∠=︒；然后根据外角的性质可得
2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠即可解答．
【详解】
解：在ABC ∆和CED ∆中，
AC CD AB CE BC ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()ABC CED SSS ∴∆≅∆，
B E ∴∠=∠，FCD FD
C ∠=∠
1802180ACE ABC x E CFE ∠=︒-∠-︒=︒-∠-∠，
2CFE x ∴∠=︒，
2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠=2x ︒，
FDC x ∴∠=︒．
故答案为C ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，弄清题意、理清角之间的关系是解答本题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
直接证明全等三角形，即可确定判断方法.
【详解】
解：∵AB BC ⊥，CD BC ⊥，
∴ABC 与△DCB 均为直角三角形，
又AC DB =，BC CB =， ∴()ABC DCB HL ≅,
故选：D.
本题考查全等三角形的判定定理，属于基础题.
9．C
解析：C
【分析】
由AD FC =推出AC=FD ，根据已知AB FE =添加夹角相等或第三边相等即可判定．
【详解】
∵AD FC =，
∴AC=FD ，
∵AB FE =，
∴当A F ∠=∠（//AB EF 也可得到）或BC ED =时，即可判定F ABC ED ≌△△， 故B E ∠=∠不能判定F ABC ED ≌△△，
故选：C ．
【点睛】
此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理并熟练应用是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
本题已知条件是两个三角形有一公共边，只要再加另外两边对应相等或有两角对应相等即可，如果所加条件是一边和一角对应相等，则所加角必须是所加边和公共边的夹角对应相等才能判定两个三角形全等；
【详解】
A 、符合AAS ，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；
B 、符合SSA ，∠BAD 和∠AB
C 不是两条边的夹角，不能判断两个三角形全等，故该选项符合题意；
C 、符合AAS ，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；
D 、符合SSS ，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法，三角形判定定理中，最容易出错的是“边角边”定理，这里强调的是夹角，不是任意角；
11．C
解析：C
【分析】
根据全等三角形的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL 定理针对四个选项分别进行判断即可．
【详解】
A. 一直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等，还要知道它的边或角才能证明，故此
B. 斜边相等的两个直角三角形不一定全等，还要知道它的边或角才能证明，故此选项错误；
C. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等，对应角相等，根据AAS 即可证明全等，故此选项正确；
D. 一边长相等的两个等腰直角三角形不一定全等，必须说明是对应边相等，故此选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，掌握证明三角形全等的条件尤其是必须含有边这个条件是解题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
根据HL 定理分别证明Rt △ABC ≌Rt △ADE 和Rt △AEO ≌Rt △ACO ，根据全等三角形的性质可判断各选项．
【详解】
解：解：∵90,,ACB AED AB AD AC AE ∠=∠===，
∴Rt △ABC ≌Rt △ADE （HL ）
∴BC DE =，∠BAC=∠DAE ，
故A 选项正确；
∴∠BAC-∠EAC=∠DAE-∠EAC ，即BAE DAC ∠=∠，
故B 选项正确；
连接AO ，
∵AE=AC ，AO=AO ，
∴Rt △AEO ≌Rt △ACO （HL ），
∴OC OE =，故C 选项正确；
无法得出EAC ABC ∠=∠，故D 选项错误；
故选：D ．
【点睛】
本题全等三角形的性质与判断．掌握证明直角三角形全等的HL 定理是解题关键．
二、填空题
13．【分析】过点D 作DE ⊥AB 利用角平分线的性质可得CD ＝DE 再利用线段的比求得线段DC 的长度进而即可求解【详解】过点D 作DE ⊥AB ∵AD 平分∠BACDE ⊥ABDC ⊥AC ∴CD ＝DE 又∵且BD ：DC ＝5 解析：103
【分析】
过点D 作DE ⊥AB ，利用角平分线的性质可得CD ＝DE ，再利用线段的比求得线段DC 的长度，进而即可求解．
【详解】
过点D 作DE ⊥AB ，
∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DC ⊥AC
∴CD ＝DE
又∵3BC =，且BD ：DC ＝5：4，
∴DE ＝DC ＝3÷（5＋4）×4＝
43． ∵5AB =，
∴ABD △的面积=
43×5÷2=103 故答案是：
103
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，添加辅助线，是解题的关键． 14．∠B=∠C （或∠ADC=∠AEB 或AB=AC ）【分析】根据已知条件知两个三角形已经具有∠A=∠AAD=AE 两个条件对应相等故再添加一组对应角相等或是AB=AC 即可得到ABE ≌ACD 【详解】∵∠A=∠
解析：∠B=∠C （或∠ADC=∠AEB 或AB=AC ）
【分析】
根据已知条件知两个三角形已经具有∠A=∠A ，AD=AE 两个条件对应相等，故再添加一组对应角相等或是AB=AC 即可得到ABE ≌
ACD ．
【详解】
∵∠A=∠A ，AD=AE ，
∴当∠B=∠C 时，可利用AAS 证明ABE ≌
ACD ； 当∠ADC=∠AEB 时，可利用ASA 证明ABE ≌ACD ；
当AB=AC 时，可利用SAS 证明ABE ≌
ACD ； 故答案为：∠B=∠C （或∠ADC=∠AEB 或AB=AC ）．
【点睛】 此题考查添加一个条件证明三角形全等，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． 15．33°2【分析】（1）作DG ⊥AC 的延长线于G 然后根据平行线的性质可以推出结论；（2）证明△ADG ≌△BAC （AAS ）由全等三角形的性质得出DG ＝AC ＝AE ；AG ＝BC 证明△AEF ≌△GDF （AAS
解析：33° 2
【分析】
（1）作DG ⊥AC 的延长线于G ，然后根据平行线的性质可以推出结论；
（2）证明△ADG ≌△BAC （AAS ），由全等三角形的性质得出DG ＝AC ＝AE ；AG ＝BC ，证明△AEF ≌△GDF （AAS ），得出1122
AF GF AG BC ==
=，则可得出答案． 【详解】
解：（1）∵90ACB ∠=︒，//AE BC ，
∴18090CAE ACB ∠=︒-∠=︒．
∵90DAB CAE ∠=∠=︒，
∴DAC CAB BAE CAB ∠+∠=∠+∠，
∴33DAC BAE ∠=∠=︒．
故答案为：33．
（2）如图，过点D 作DG AC ⊥，交AC 的延长线于点G ，
∴90AGD ACB ∠=∠=︒．
∵//AE CB ，∴DAG BAE B ∠=∠=∠． 在ADG 和BAC 中，,,,AGO BCA DAG B AD BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()AAS ADG BAC ≅△△，
∴DG AC AE ==，AG BC =．
在AEF 和GDF 中，,,,EFA DFG EAF DGF AE DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()AAS AEF GDF ≅△△， ∴1122
AF GF AG BC ==
=， ∴22BC AF ==．
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是平行线的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等的三角形的判定与性质．
16．40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC＝2∠DBC∠ACE＝2∠DCE再根据三角形外角的性质可得出∠D＝∠DCE﹣∠DBE∠A＝∠ACE﹣∠ABC即得出∠A ＝2∠D即得出答案【详解】∵∠ABC
解析：40°
【分析】
利用角平分线的性质可知∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE．再根据三角形外角的性质可得出∠D＝∠DCE﹣∠DBE，∠A＝∠ACE﹣∠ABC．即得出∠A＝2∠D，即得出答案．
【详解】
∵∠ABC的平分线交∠ACE的外角平分线∠ACE的平分线于点D，
∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE，
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠D＝∠DCE﹣∠DBE，
∵∠ACE是△ABC的外角，
∠A＝∠ACE﹣∠ABC＝2∠DCE﹣2∠DBE＝2（∠DCE﹣∠DBE），
∴∠A＝2∠D＝40°．
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查角平分线和三角形外角的性质，熟练利用角平分线和三角形外角的性质来判断题中角之间的关系是解答本题的关键．
17．【分析】连接OA过O作OE⊥AB于EOF⊥AC于F根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到ABACBC的距离都相等（即OE＝OD＝OF）从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3代入求出即
解析：33
【分析】
连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．
【详解】
解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D
∴OE＝OF＝OD＝3，∵△ABC的周长是22，
∴S△ABC＝1
2×AB×OE＋
1
2
×BC×OD＋
1
2
×AC×OF
＝1
2
×（AB＋BC＋AC）×3
＝1
2
×22×3＝33．
故答案为：33．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积求法，熟知角平分线的性质，并根据题意合理添加辅助线是解题关键．
18．15【分析】根据角平分线的性质可得DE=DC然后求出DC即得答案【详解】解：∵AC=40cmAD：DC=5：3∴DC=15cm∵BD平分
∠ABCDE⊥AB∠C=90°∴DE=DC=15cm即D到AB
解析：15
【分析】
根据角平分线的性质可得DE=DC，然后求出DC即得答案．
【详解】
解：∵AC=40cm，AD：DC=5：3，
∴DC=15cm，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=DC=15cm，即D到AB的距离为15cm．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，属于基础题目，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．19．9【分析】根据已知条件证得△ABP≌△DBP根据全等三角形的性质得到AP ＝PD得出S△ABP＝S△DBPS△ACP＝S△DCP推出S△PBC＝S△ABC代入求出即可【详解】解：如图延长AP交BC于点
解析：9
【分析】
根据已知条件证得△ABP≌△DBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PD，得出S△ABP＝
S△DBP，S△ACP＝S△DCP，推出S△PBC＝1
2
S△ABC，代入求出即可．
【详解】
解：如图，延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABC
∴∠ABP＝∠DBP，且BP＝BP，∠APB＝∠DPB
∴△ABP≌△DBP（ASA）
∴AP＝PD，
∴S△ABP＝S△BPD，S△APC＝S△CDP，
∴S△PBC＝1
2
S△ABC＝9，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
20．AD=BD【分析】要判定△BCD≌△ACD已知∠1=∠2CD是公共边具备了一边一角对应相等注意SAS的条件；两边及夹角对相等只能选AD=BD【详解】解：由图可知只能是AD=BD才能组成SAS故答案为
解析：AD=BD
【分析】
要判定△BCD≌△ACD，已知∠1=∠2，CD是公共边，具备了一边一角对应相等，注意“SAS”的条件；两边及夹角对相等，只能选AD=BD.
【详解】
解：由图可知，只能是AD=BD，才能组成“SAS”，
故答案为：AD=BD.
【点睛】
本题考查了全等的判定，掌握“SAS”的条件是两边及夹角对相等是解题的关键.
三、解答题
21．（1）见详解；（2）1
【分析】
（1）先证明AC=DF，再根据HL证明Rt ABC Rt DEF
≌；
（2）先证明∠AFG=∠DCH，从而证明∆AFG≅∆DCH，进而即可求解．
【详解】
（1）∵AF CD =，
∴AF+CF=CD+CF ，即AC=DF ，
在Rt ABC 与Rt DEF △中，
∵AC DF AB DE =⎧⎨=⎩
， ∴Rt ABC ≅Rt DEF △（HL ）；
（2）∵Rt ABC ≅Rt DEF △，
∴∠A=∠D ，∠EFD=∠BCA ，
∵∠AFG=180°-∠EFD ，∠DCH=180°-∠BCA ，
∴∠AFG=∠DCH ，
又∵AF CD =，
∴∆AFG ≅∆DCH ，
∴HC=GF =1．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握HL 和ASA 证明三角形全等，是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）EC 与O 相切，理由见解析，4π-
【分析】
（1）连接BE ，OF ，易得出BE 是圆的直径，根据全等三角形的判定证得
△EAB ≌△EDC ，继而根据平行线的性质和切线的判定即可求证结论；
（2）连接EF ，易求得四边形OFHE 的边长，再利用面积的和差即可求解．
【详解】
（1）连接BE ，OF
∵四边形ABCD 是矩形，
∴90A D ∠=∠=︒，AB CD =，
∵90A ∠=︒，
∴BE 是O 的直径，
∵点E 是AD 中点，
∴EA EC =，
∴△EAB ≌△EDC ，
∴EB EC =，
∴EBC ECB ∠=∠，
∵OB OF =，
∴ECB OFB ∠=∠，
∴ECB OFB ∠=∠，
∴//OF EC ，
∴OFH FHC ∠=∠，
∵FH CE ⊥，
∴90FHC OFH ∠=∠=︒，
又∵OF 是O 的半径，
∴直线FH 是O 的切线．
（2）EC 与O 相切． 理由如下：连接EF ，
由（1）知，BE 是O 直径，
∴90EFB EFC ∠=∠=︒，
∵点H 是CE 中点，
∴FH EH HC ==，
∵FH CE ⊥，
∴90FHC ∠=︒，
∴45ECF HFC ∠=∠=︒，
∴90BEC ∠=︒，
又∵OE 是O 的半径，
∴直线EC 与圆O 相切．
由上可知四边形ABFE 和四边形OFHE 都是正方形， ∴11422222AE AB AD ==
=⨯= ∴224BE AB AE =+=，
∴2OE OF ==， ∴22
90π224π360OFHE OEF
S S S ⨯=-=-=-正方形扇形． 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，矩形的性质，全等三角形的判定和性质、切线的判定、勾股定理，解题的关键是综合运用所学知识．
23．∠CAQ ＝65°
【分析】
先根据三角形外角和定理求出∠EHQ 的度数，再根据平行的性质和判定证明DE ∥AF ，可以求出∠FAQ 的度数，再由角平分线的性质即可得出结果．
【详解】
解：∵∠EHQ 是△DHQ 的外角，
∴∠EHQ ＝∠1+∠Q ＝65°，
∵BD ∥GE ，
∴∠E ＝∠1＝50°，
∵∠AFG ＝∠1＝50°，
∴∠E ＝∠AFG ，
∴DE ∥AF ，
∴∠FAQ ＝∠EHQ ＝65° ，
∵AQ 平分∠FAC ，
∴ ∠CAQ ＝∠FAQ ＝65°．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，平行线的性质和判定，解题的关键是熟练运用这些性质定理进行求解．
24．（1）证明见解析；（2）2cm ．
【分析】
（1）先根据垂直的定义可得90ADC E ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得CAD BCE ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）先结合（1）的结论可得6CE cm =，再根据线段的和差可得2CD cm =，然后根据全等三角形的性质即可得．
【详解】
（1）,AD CE BE CE ⊥⊥，
90ADC E ∠=∠=∴︒，
90CAD ACD ∴∠+∠=︒，
90ACB ∠=︒，
90BCE ACD ∴∠+∠=︒，
CAD BCE ∴∠=∠，
在ACD △和CBE △中，ADC E CAD BCE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD CBE AAS ∴≅，
AD CE ∴=；
（2）由（1）已证：AD CE =，
6AD cm =，
6CE cm ∴=，
4DE cm =，
2CD CE DE cm ∴=-=，
又由（1）已证：ACD CBE ≅，
2BE CD cm ∴==．
【点睛】
本题考查了直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
25．16米
【分析】
已知AB ∥CD ，根据平行线的性质可得∠ABP=∠CDP ，再由垂直的定义可得∠CDO=90︒，可得PB ⊥AB ，根据相邻两平行线间的距离相等可得PD=PB ，即可根据ASA 定理判定△ABP ≌△CDP ，由全等三角形的性质即可得CD=AB=16米．
【详解】
∵AB ∥CD ，
∴∠ABP=∠CDP ，
∵PD ⊥CD ，
∴∠CDP=90︒，
∴∠ABP=90︒，即PB ⊥AB ，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴PD=PB ，
在△ABP 与△CDP 中，
ABP CDP PD PB
APB CDP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABP ≌△CDP （ASA ），
∴CD=AB=16米．
【点睛】
本题考察平行线的性质和全等三角形的判定和性质，综合运用各定理是解题的关键． 26．BC=CD,证明见解析（答案不唯一）．
【分析】
已知两组对应边相等，则找另一组边相等或找另一组对应角相等均可证明△ABC ≌△ADC ．
【详解】
解：若添加条件为：BC=CD,证明如下：
在△ABC 和△ADC 中
AC AC BC CD AB AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌△ADC （SSS ）（答案不唯一）．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解答本题的关键．。