2021新高考数学专项训练题--三角函数图像和性质(多选题)(含解析)

三角函数图像和性质（多选题）
一、多选题（共14题；共42分）
1.（2021·深圳模拟）已知函数，则（）
A. 的最大值为3
B. 的最小正周期为
C. 的图象关于直线对称
D. 在区间上单调递减
2.（2021·韶关模拟）如图所示，点是函数( ，)图象的最高点，､是图象与轴的交点，若，且，则（）
A. B. C. D.
3.（2021·天河模拟）已知函数，则下列结论正确的是（）
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数在单调递增
C. 函数在上的值域为
D. 把函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象
4.（2021·淄博零模）已知函数（其中，，）的部分图像，则下列结论正确的是（）
A. 函数的图像关于直线对称
B. 函数的图像关于点对称
C. 将函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，则为奇函数
D. 函数在区间上单调递增
5.（2021·高州一模）如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（）
A. B. 是函数，的一个对称中心
C. D. 函数在区间上是减函数
6.（2020·深圳模拟）已知函数，，则（）.
A. B. 在区间上只有一个零点
C. 的最小正周期为
D. 直线是函数图象的一条对称轴
7.（2020·平邑模拟）在单位圆上任取一点，圆O与x轴正向的交点是A，设将
绕原点O旋转到所成的角为，记关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（）
A. 是偶函数，是奇函数
B. 在为增函数，在为减函数
C. 对于恒成立
D. 函数对于恒成立
8.（2020·平邑模拟）设函数（），已知在有且仅有3个零点，下列结论正确的是（）
A. 在上存在，，满足
B. 在有且仅有1个最小值点
C. 在单调递增
D. 的取值范围是
9.（2020·济宁模拟）已知函数，现给出下列四个命题，其中正确的是（）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的最大值为1
C. 函数在上单调递增
D. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为
10.（2020·滨州模拟）已知函数的图象的一条对称轴为，则下列结论中正确的是（）
A. 是最小正周期为的奇函数
B. 是图像的一个对称中心
C. 在上单调递增
D. 先将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，即可得到函数的图象.
11.（2020·青岛模拟）已知函数，，则（）
A. B. 在区间上只有1个零点
C. 的最小正周期为
D. 为图象的一条对称轴
12.（2020·菏泽模拟）已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数
的图象，则下列命题正确的是（）．
A. 函数的解析式为
B. 函数的解析式为
C. 函数图象的一条对称轴是直线
D. 函数在区间上单调递增
13.（2020·海南模拟）已知函数，则（）
A. 的最小正周期为π
B. 曲线关于对称
C. 的最大值为
D. 曲线关于对称
14.（2020·德州模拟）已知函数，下列命题正确的为（）
A. 该函数为偶函数
B. 该函数最小正周期为
C. 该函数图象关于对称
D. 该函数值域为
答案解析部分
一、多选题
1.【答案】B,C
【解析】【解答】
所以的最大值为，A不正确；
的最小正周期为，B符合题意；
因为，解得：，所以直线是的图象的对称轴，C符合题意；令，解得：，
所以在区间和单调递减，在上单调递增，D不正确，
故答案为：BC.
【分析】先将函数解析式化简成y=Asin（ωx+φ）+k的形式，即可根据三角函数的性质判断各选项的真假．
2.【答案】B,C
【解析】【解答】由题知的纵坐标为，又，所以，，
所以，所以的周期，所以，，B符合题意；
所以，C符合题意；，A不符合题意，
将代入函数解析式可得：，( )，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据可得出PM⊥PN,从而可求出MN=π,进而得出f(x)的周期为2π，从而得出ω=1,并可根据f(x)的解析式得出P点的纵坐标，进而可根据M的坐标求出P,N的坐标，并求出，这样即可得出正确的选项．
3.【答案】B,C
【解析】【解答】函数
对于A，当时，，故图像不关于点对称，A不符合题意；
对于B，由得，当时，
知函数在单调递增，B符合题意；
对于C，由，知，由正弦函数性质知，
，C符合题意；
对于D，函数的图象向左平移个单位长度可得到函数
，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】利用二倍角的余弦公式和正弦公式，再结合诱导公式和辅助角公式，进而化简函数为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数图象的对称点；再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数图象的值域；再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像判断出正弦型函数图象在上
的单调性；再利用正弦型函数的图象变换得出函数的图象向左平移个单位长度可得到函数f(x)的图象，进而选出结论正确的选项。

4.【答案】A,C,D
【解析】【解答】由图象得函数最小值为，故，
，故，，
故函数，
又函数过点，
故，解得，
又，即，
故，
对称轴：，解得，当时，，A选项正确；
对称中心：，解得，对称中心为
，B选项错误；
函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，为奇函数，C选项正确；
的单调递增区间：，解得
，又，D选项正确；
故答案为：ACD.
【分析】根据图像求出，即可求出函数的解析式，依次对各选项进行判断即可。

5.【答案】A,C,D
【解析】【解答】由题知，，函数的最小正周期，所以，A符合题意；
因为，所以，，解得，，又，所以，C符合题意；
函数，因为，所以
不是函数的一个对称中心，B不符合题意；
令，，得，，当
时，，因为，所以函数在区间
上是减函数，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】利用正弦型函数的部分函数图象的最高点求出A的值，再利用正弦型函数的最小正周期公式求出的值，再利用特殊点对应法结合正弦函数的五点法，从而求出的值，进而求出正弦型函数的解析式，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的对称中心，同时也判断出正弦型函数的单调性，从而找出说法正确的选项。

6.【答案】A,C,D
【解析】【解答】已知函数，，利用正弦型函数求值域的方法可知A正确；
当在区间上只有2个零点，则f(x)在区间上只有1个零点，所以B错误；
函数f(x)的最小正周期为，所以C正确；
当时，函所以为函数f(x)图象的一条对称轴，所以D正确。

故答案为：ACD
【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式和辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数转化为正弦函数结合正弦函数图象求值域的方法、零点存在性定理、正弦型函数的最小正周期公式、将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数图象求对称轴的方法，从而找出正确的选项。

7.【答案】A,C
【解析】【解答】依题意.
所以：是偶函数，是奇函数，A选项正确
在先增后减，在为增函数，所以B选项错误.
，，，，，所以C选项正确.
，，，所以D选项错误.
故答案为：AC
【分析】根据题意求得和的表达式，结合函数的奇偶性、单调性和值域，判断出正确选项.
8.【答案】A,B
【解析】【解答】解：画出函数大致图象如图所示，
当时；
又，所以时在轴右侧第一个最大值区间内单调递增，
函数在，仅有3个零点时，则的位置在之间（包括C，不包括，
令，则得，，
轴右侧第一个点横坐标为，周期，
所以，
即，解得，所以D不符合题意；
在区间，上，函数达到最大值和最小值，
所以存在，，满足，所以A符合题意；
由大致图象得，在内有且只有1个最小值，B符合题意；
因为最小值为，所以时，，，
所以时，函数不单调递增，所以C不符合题意．
故答案为：．
【分析】由题意根据在区间有3个零点画出大致图象，可得区间长度介于周期，，再用表示周期，得的范围．
9.【答案】B,D
【解析】【解答】
所以的最小正周期为，的最大值为1
A不符合题意，B符合题意
当时，
在此区间上并不是单调递增，C不符合题意
将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的函数解析式为
D符合题意
故答案为：BD
【分析】首先将化为，然后利用三角函数的知识逐一判断即可
10.【答案】B,D
【解析】【解答】解：
，
当时，取到最值，即
解得，
．
A：，故不是奇函数，A不符合题意；
B：，则是图像的一个对称中心，B符合题意；
C：当时，，又在上先增后减，则
在上先增后减，C不符合题意；
D. 将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，得，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】化简函数，将代入得函数最值，可求得，进而可得，通过计算，可判断A；通过计算，可判断B；当时，
，可得在上的单调性，可判断C；通过振幅变换和平移变换，可判断D
11.【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：已知函数
，，
则、正确，
、当，，即，，在区间上只有2个零点，
则在区间上只有1个零点错误，
、的最小正周期为，正确
、当时，函数，，
所以为图象的一条对称轴，正确．
故答案为：ACD．
【分析】利用二倍角公式和三角函数的性质对每一个选项进行判断即可．
12.【答案】A,B,D
【解析】【解答】由图可知，，，所以，
解得，故．
因为图象过点，所以，即．
因为，所以，所以，
故．A项正确；
若其纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，
所得到的函数解析式为，
再向右平移个单位长度，所得到的函数解析式
．B项正确；
当时，，即时，
不取最值，故不是函数的一条对称轴，
C项错误；
令，
得，
故函数的单调增区间是，
当时，在区间上单调递增．
所以D项正确．
故答案为：ABD．
【分析】根据最高点坐标求出，根据最高点坐标与相邻的x轴交点坐标，求出周期，进而求出，再由C点坐标求出，求出的解析式，可判断A；根据坐标变换关系，求出的解析式，可判断B；将代入，即可判断C选项；求出的单调递增区间，即可判断D.
13.【答案】A,C,D
【解析】【解答】，
则，的最大值为，
曲线关于对称，
，曲线不关于对称.
故选：ACD
【分析】根据三角恒等变换化简可得，即可得到其最小正周期，对称轴和对称中心以及最值.
14.【答案】B,C,D
【解析】【解答】当时，，
当时，，
画出函数图像，如图所示：
根据图像知：函数不是偶函数，A不符合题意；
，该函数最小正周期为，B符合题意；
，故该函数图象关于对称，C符合题意；
根据周期性，不妨取，，
，，故值域为.
故答案为：.
【分析】化简函数，得到函数图像，计算，，讨论，，计算得到答案.。