河南省南阳市唐河县2018届中考数学四模试卷(含答案及解析)

河南省南阳市唐河县2018年中考数学四模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. （﹣3）﹣2的平方根是（ ）
A. 13
±
B. C.
13
D. ±
3 【答案】A 【解析】
【分析】根据负整数指数幂的性质可得（﹣3）﹣2=
1
9
，再由平方根的定义即可求解. 【详解】∵（﹣3）﹣2=19，19的平方根为13
±， ∴ （﹣3）﹣2的平方根是1
3
±.
故选A.
【点睛】本题考查了负整数指数幂的性质及平方根的定义，熟知负整数指数幂的性质及平方根的定义是解题的关键.
2. 某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为20万分之一，将这个数用科学计数法表示为（ ） A. 2×10﹣5 B. 2×10﹣6
C. 5×10﹣5
D. 5×10﹣6
【答案】D 【解析】
【分析】先把20万分之一转化成0.000 005，然后再用科学记数法记数记为5×
10﹣6．小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×
10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：1
200000
=0.000005=5×10﹣6．
故选D ．
【点睛】考查了科学计数法﹣表示较小的数，将一个绝对值较小的数写成科学记数法a×
10n 的形式时，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数． 3. 下列等式错误的是（ ） A. 222(2)4mn m n = B. 222(2)4mn m n -= C. 22366(2)8m n m n = D. 22355(2)8m n m n -=-
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：A．结果是22
4m n，故本选项错误；B．结果是22
4m n，故本选项错误；
C．结果是66
8m n，故本选项错误；
B．结果是66
8m n
，故本选项正确；
故选D．
考点：幂的乘方与积的乘方．
4. 下列判断正确的是（）
A. 高铁站对旅客的行李的检查应采取抽样调查
B. 一组数据5、3、4、5、3的众数是5
C. “掷一枚硬币正面朝上的概率是1
2
”表示每抛掷硬币2次就必有1次反面朝上
D. 甲，乙组数据的平均数相同，方差分别是S甲2=4.3，S乙2=4.1，则乙组数据更稳定【答案】D
【解析】
【详解】A，高铁站对旅客的行李的检查应采用普查，故错误；
B，数据5、3、4、5、3的众数是5和3，故错误；
C，“掷一枚硬币正面朝上的概率是1
2
”表示每掷硬币2次不一定有1次正面朝上，故错误；
D，甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别是S甲2=4.3，S乙2=4.1，则乙组数据稳定，故正确；故选D．5. 在一快递仓库里堆放着若干个相同的正方体快递件，管理员将这堆快递件的三视图画了出来，如图所示，则这正方体快递件共有( )
A. 9箱
B. 10箱
C. 11箱
D. 12箱
【答案】A
【解析】
【分析】观察三视图可得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由正视图和左视图可
得第二层，第三层正方体的个数，相加即可．
【详解】由俯视图可得最底层有6箱，由正视图和左视图可得第二层有2箱，第三层有1个箱，共有9箱．故选A.
【点睛】本题考查了三视图的知识，利用“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”解决问题即可．6. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，以B为圆心，任意长为半径画弧交AB，BC于点E，F，再
分别以点E，F为圆心、以大于1
2
EF长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则∠BDC
为（）度．
A. 65
B. 75
C. 80
D. 85
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质求得∠C的度数，再由作图的步骤可知BD是∠ABC的平分线，求得∠DBC 的度数，根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，
∴∠C=∠ABC=70°．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC=1
2
∠ABC=35°，
∴∠ADB=180°-（∠C+∠DBC）=180°-（70°+35°）=75°．
故选B．
【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法及等腰三角形的性质是解答本题的关键．
7. 若点A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=
2
23
k
x
（k为常数）的图象上，则
y1，y2，y3大小关系为（）
A. y1＞y2＞y3
B. y2＞y3＞y1
C. y3＞y2＞y1
D. y3＞y1＞y2【答案】D
【解析】
【分析】由2
230k +可得反比例函数y=223
k x
+的图象在一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而
减小，再判定点A 、B 、C 所在的象限，根据反比例函数的性质解答即可. 【详解】∵223
0k +，
∴反比例函数y=223
k x
+的图象在一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，
∴A （﹣6，y 1），B （﹣2，y 2）在第三象限，C （3，y 3）在第一象限， ∴y 2＜y 1＜0，y 3＞0， ∴y 3＞y 1＞y 2. 故选D.
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，正确把握反比例函数增减性是解题关键． 8. 现有四张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字﹣1，﹣2，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（ ） A.
16
B.
29
C.
13
D.
23
【答案】D 【解析】
【分析】列表求出所有等可能的结果，再找出两次抽出的卡片所标数字之和为正数的结果，利用概率公式求解即可. 【详解】列表得：
由表格可知，总共出现的结果又12种，两次抽出的卡片所标数字之和为正数的结果有8种，所以两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为：82123
=. 故选D.
【点睛】本题考查了用列表（或画树状图）的方法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
9. 如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，﹣1），C（2，2），抛物线y=ax2（a≠0）经过△ABC 区域（包括边界），则a的取值范围是（）
A. a≤﹣1或a≥2
B. 1
2
≤a≤2
C. ﹣1≤a＜0或1＜a≤2
D. ﹣1≤a＜0或0＜a≤2
【答案】D
【解析】
【分析】分a<0和a>0两种情况，确定开口最小经过的点，代入解析式求出a的取值范围即可.
【详解】解：若a<0，则抛物线开口向下，开口最小过点B（1，-1）
∴-1=a×12
∴a=-1
∴-1≤a<0
若a>0，则抛物线开口向上，开口最小过点A（1，2）
∴2=a×12
∴a=2
∴0<a≤2
∴a的取值范围是-1≤a<0或0<a≤2
故选D
【点睛】本题考查了二次函数的图象，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（2，0），正六边形ABCDEF沿x轴正方向无滑动滚动，每旋转60°为滚动1次，那么当正六边形ABCDEF滚动2017次时，点F的坐标是（）
A. （2017，0）
B. （2017
123 C. （20183
D. （2018，0）
【答案】C 【解析】
【详解】正六边形ABCDEF 一共有6条边，即6次一循环；因为2017÷6=336余1，点F 滚动1次时的
横坐标为23F 滚动7次时的横坐标为83F 滚动2107次时的纵坐标与相同，横坐标的次数加1，由此即可解决问题． 解：∵正六边形ABCDEF 一共有6条边，即6次一循环； ∴2017÷6=336余1，
∴点F 滚动1次时的横坐标为23F 滚动7次时的横坐标为83 ∴点F 滚动2107次时的纵坐标与相同，横坐标的次数加1， ∴点F 滚动2107次时的横坐标为2017+1=20183 ∴点F 滚动2107次时的坐标为（20183， 故选C ．
“点睛”本题考查坐标与图形的变化，规律型：点的坐标，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，属于中考常考题型.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算：|﹣38 +31）0=_____． 【答案】1 【解析】
【分析】根据绝对值的性质、立方根的定义及零指数幂的性质分别计算各项后，再合并即可. 【详解】原式=2+（-2）+1
=1.
故答案为1.
【点睛】本题考查了绝对值的性质、立方根的定义、零指数幂的性质及实数的混合运算，熟知绝对值的性质、立方根的定义、零指数幂的性质及实数的混合运算法则是解决问题的关键.
12. 如图，已知在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转得到△BA′E′，连接DA′，若∠ADC=60°，AD=5，DC=4，则DA′的大小为_____．
【答案】21
【解析】
【分析】过点A’作A’F⊥AD于点F，可得四边形AEA’F为矩形，根据平行四边形的性质可得AB=CD=4，∠ABC=∠ADC=60°，根据30°角直角三角形的性质及矩形的性质可得
BE=1
2
AB=2，AE=A′F=
3
AB=23，再由旋转的性质求得A′B=AB=5，所以A′E=2，再求得DF=3，在
Rt△A′FD中，由勾股定理求得A′D的长即可.
【详解】解：过点A’作A’F⊥AD于点F，可得四边形AEA’F为矩形，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=4，∠ABC=∠ADC=60°，
∵AE⊥BC
∴BE=1
2
AB=2，AE=A′F=
3
2
3，
∵取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，∴A′B在线段BC上，且A′B=AB=5，
∴A′E=A′B-BE=4-2=2，
∴AF=A′E=2，
∴DF=DA-AF=5-2=3，
在Rt △A′FD 中，由勾股定理可得A′D=2222(23)321A F DF '+=+=.
故选C ．
【点睛】本题是四边形与旋转的综合题，作出辅助线，求得A′F 和DF 的长是解决问题的关键. 13. 二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象如图所示，下列几个结论：
①对称轴为x=2；②当y≤0时，x ＜0或x ＞4；③函数解析式为y=﹣x （x+4）；④当x≤0时，y 随x 的增大而增大．其中正确的结论有_____
【答案】①④ 【解析】
【分析】观察图象，由二次函数的性质即可判定①②④；把（0，0），（4，0）代入y=﹣x 2+bx+c 求得函数的解析式，即可判定③. 【详解】解：观察图象可得：
抛物线的对称轴为x=2，抛物线与x 轴交于（0，0），（4，0）两点坐标，即当y≤0时，x≤0或x≥4；当x≤0时，y 随x 的增大而增大．由此可知①正确，②错误，④正确；把（0，0），（4，0）代入y=﹣x 2+bx+c 可
得0
1640
c b c =⎧⎨
-++=⎩ ，解得b=4，c=0，所以y=﹣x 2+4x ；所以③错误. 故答案为①④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想是解决本题的关键．
14. 如图，将矩形ABCD 绕点C 沿顺时针方向旋转90°到矩形A B C D ''''的位置，2,4AB AD ==，则阴影部分的面积为_________．
【答案】8
233
π-. 【解析】
【分析】先求出CE=2CD ，求出∠DEC=30°，求出∠DCE=60°，DE=23，分别求出扇形CEB′和三角形CDE 的面积，即可求出答案．
【详解】∵四边形ABCD 是
矩形，∴AD=BC=4，CD=AB=2，∠BCD=∠ADC=90°， ∴CE=BC=4，∴CE=2CD ，∴∠DEC=30°，∴∠DCE=60°， 由勾股定理得：DE=23，
∴阴影部分的面积是S=S 扇形CEB′﹣S △CDE =260418
2232336023
ππ⨯-⨯⨯=-，
故答案为8
233
π-．
考点：扇形面积的计算；旋转的性质.
15. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB=3，AD=5，点P 是边BC 上的动点，现将纸片折叠使点A 与点P 重合，折痕与矩形边的交点分别为E ，F ，要使折痕始终与边AB ，AD 有交点，BP 的取值范围是_____．
【答案】1≤x≤3 【解析】
【分析】此题需要运用极端原理求解；①BP 最小时，F 、D 重合，由折叠的性质知：AF=PF ，在Rt △PFC 中，利用勾股定理可求得PC 的长，进而可求得BP 的值，即BP 的最小值；②BP 最大时，E 、B 重合，根据折叠的性质即可得到AB=BP=3，即BP 的最大值为3；
【详解】解：如图：①当F 、D 重合时，BP 的值最小；
根据折叠的性质知：AF=PF=5； 在Rt △PFC 中，PF=5，FC=3，则PC=4； ∴BP=x min =1；
②当E 、B 重合时，BP 的值最大； 由折叠的性质可得BP=AB=3． 所以BP 的取值范围是：1≤x≤3． 故答案为：1≤x≤3．
【点睛】此题主要考查的是图形的翻折变换，正确的判断出x 的两种极值下F 、E 点的位置，是解决此题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 先化简，再求值：（x ﹣1﹣31x +）÷2441
x x x -++，然后从满足﹣2＜x≤2的整数中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】2
2
x x -+，当x=0时，原式=﹣1． 【解析】
【分析】先将原式化简，然后根据分式有意义条件即可选出x 的值代入．
【详解】原式22
13(2)11
x x x x ---=÷
++ ()()2
221
1(2)x x x x x +-+=
⋅
++
2
2
x x -=
+ 22x -<≤且x 取整数
1x ∴=-，0，1，2
要使分式有意义，x 只从能取，0，1值
当0x =时，原式02102
-==-+ 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 17. 某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为______；
（2）请补全条形统计图；
（3）该校共有1200名男生，请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数； （4）小明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目．．．．．．．．．．．．
是乒乓球的人数约为271200108300
⨯=”，请你判断这种说法是否正确，并说明理由．
【答案】（1）144︒；（2）图见解析；（3）160名；（4）这个说法不正确．理由见解析．
【解析】
【分析】（1）先求出“经常参加”的男生占比，再乘以360︒即可得；
（2）先求出“经常参加”的男生人数，再求出喜欢篮球项目的人数，然后补全条形统计图即可； （3）利用1200乘以经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数占比即可得；
（4）参照题（3），得出计算式子的含义即可．
【详解】（1）“经常参加”的男生占比为100%15%45%40%--=，
则36040%144⨯︒=︒，
故答案为：144︒；
（2）“经常参加”的男生人数30040%120⨯=（人），
喜欢篮球项目的人数为1202733201208040---=-=（人），
则补全统计图如图所示：
（3）全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数约为401200160300
⨯
=（名）， 答：全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的
项目是篮球的人数为160名；
（4）这个说法不正确，理由如下： 小明得到的108人是全校经常参加课外体育锻炼的男生中最喜欢的项目是乒乓球的人数，而全校偶尔参加课外体育锻炼的男生中也会有最喜欢乒乓球的，因此应多于108人．
【点睛】本题考查了画条形统计图、扇形统计图的信息等知识点，掌握理解统计调查的相关知识是解题关键．
18. 如图，已知⊙O 的半径为5，PA 是⊙O 的一条切线，切点为A ，连接PO 并延长，交⊙O 于点B ，过点A 作AC ⊥PB 交⊙O 于点C 、交PB 于点D ，连接BC ，当∠P=30°时，
（1）求弦AC 的长；
（2）求证：BC ∥PA ．
【答案】（153；（2）证明见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）连接OA ，由于PA 是⊙O 的切线，从而可求出∠AOD=60°，由垂径定理可知：
AD=DC ，由锐角三角函数即可求出AC 的长度．
（2）由于∠AOP=60°，所以∠BOA=120°，从而由圆周角定理即可求出∠BCA=60°，从而可证明BC ∥PA 试题解析：（1）连接OA ，∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAO=90°．
∵∠P=30°，∴∠AOD=60°，∵AC ⊥PB ，PB 过圆心O ，∴AD=DC ．
在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°=，∴AC=2AD=；
（2）∵AC⊥PB，∠P=30°，∴∠PAC=60°，∵∠AOP=60°，∴∠BOA=120°，∴∠BCA=60°，∴∠PAC=∠BCA，∴BC∥PA．
考点：切线的性质．
19. 如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A，C两城市间修建一条高速铁路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在城市A的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么．
）
（参考数据：3 1.732
【答案】这条高速公路不会穿越保护区，理由见解析．
【解析】
【分析】作PH⊥AC于H．求出PH与100比较即可解决问题．
【详解】解：结论；不会．理由如下：
作PH⊥AC于H．
由题意可知：∠EAP=60°，∠FBP=30°，
∴∠PAB=30°，∠PBH=60°，
∵∠PBH=∠PAB+∠APB ，
∴∠BAP=∠BPA=30°，
∴BA=BP=120，
在Rt △PBH 中，sin ∠PBH=PH PB
， ∴PH=PBsin60°
， ∵103.80＞100， ∴这条高速公路不会穿越保护区．
【点睛】本题考查解直角三角形的
应用．
20. 某新建成学校举行美化绿化校园活动，九年级计划购买A ，B 两种花木共100棵绿化操场，其中A 花木每棵50元，B 花木每棵100元．
（1）若购进A ，B 两种花木刚好用去8000元，则购买了A ，B 两种花木各多少棵？
（2）如果购买B 花木的数量不少于A 花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低，并求出该购买方案所需总费用．
【答案】（1）购买A 种花木40棵，B 种花木60棵；（2）当购买A 种花木50棵、B 种花木50棵时，所需总费用最低，最低费用为7500元．
【解析】
【分析】（1）设购买A 种花木x 棵，B 种花木y 棵，根据“A ，B 两种花木共100棵、购进A ，B 两种花木刚好用去8000元”列方程组求解可得；
（2）设购买A 种花木a 棵，则购买B 种花木（100﹣a ）棵，根据“B 花木的数量不少于A 花木的数量”求得a 的范围，再设购买总费用为W ，列出W 关于a 的解析式，利用一次函数的性质求解可得．
【详解】解析：（1）设购买A 种花木x 棵，B 种花木y 棵，
根据题意，得：100501008000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：4060
x y =⎧⎨=⎩， 答：购买A 种花木40棵，B 种花木60棵；
（2）设购买A 种花木a 棵，则购买B 种花木（100﹣a ）棵，
根据题意，得：100﹣a≥a ，解得：a≤50， 设购买总费用为W ，则W=50a+100（100﹣a ）=﹣50a+10000，
∵W 随a 的增大而减小，∴当a=50时，W 取得最小值，最小值为7500元，
答：当购买A 种花木50棵、B 种花木50棵时，所需总费用最低，最低费用为7500元．
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用.
21. “元旦”期间，甲、乙两家商店以同样价格销售相同的商品，两家的优惠方案分别为：甲店一次性购物中超过200元的部分价格打八折；乙店一次性购物中超过500元的部分价格打六折，设商品原价为x 元()0x ≥，购物应付金额为y 元.
（1）求在甲商店购物时y 与x 之间的函数关系；
（2）两种购物方式对应的函数图象如图所示，求交点C 的坐标；
（3）根据图象，请直接写出“元旦”期间选择哪家商店购物更优惠
.
【答案】（1）()()102000.840200x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩
；（2）交点C 的坐标为()800,680；（3）当0200x ≤≤或800x =时，选择甲、乙两家商店费用一样，当200800x <<时，选择甲商店更优惠，
【解析】
【分析】（1）根据题意列函数解析式（2）求两种函数解析式的交点坐标（3）根据图象找出甲店更优惠的范围即可.
【详解】解：（1）当0200x ≤≤时，1y x =，
当200x >时，()10.82002000.840y x x =-+=+.
∴在甲商店购物时，y 与x 之间的函数关系式为()()102000.840200x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩
； （2）直线BC 段的函数关系式为()20.65005000.6200y x x =-+=+
由12
0.8400.6200y x y x =+⎧⎨=+⎩，解得800680x y =⎧⎨=⎩， ∴交点C 的坐标为()800,680；
（3）由图象可知，当0200x ≤≤或800x =时，选择甲、乙两家商店费用一样，
当200800x <<时，选择甲商店更优惠，
x 时，选择乙商店更优惠.
当800
【点睛】错因分析：
第一问，不能利用分段函数表示出函数关系式；
第二问，无法联立方程组求出交点的坐标.
此题重点考查学生对一次函数的实际应用，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键.
22. 【问题发现】
（1）如图（1）四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则线段BD，AC的位置关系为；
【拓展探究】
（2）如图（2）在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；
【解决问题】
（3）如图（3）在正方形ABCD中，AB=22，以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转60°，得到正方形AB'C'D'，请直接写出BD'平方的值．
【答案】（1）AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形，理由见解析；（3）316﹣3
【解析】
【分析】（1）依据点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出AC垂直平分BD；
（2）根据Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，可得AF=CF=BF，再根据等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，进而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，即可判定四边形AMFN是矩形；（3）分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结论．
【详解】（1）∵AB=AD，CB=CD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD，
故答案为AC垂直平分BD；
（2）四边形FMAN是矩形．理由：
如图2，连接AF，
∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，
∴AF=CF=BF，
又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，
∴AD=DB，AE=CE，
∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，
又∵∠BAC=90°，
∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，
∴四边形AMFN是矩形；
（3）BD′的平方为16+83或16﹣83．
分两种情况：
①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，如图所示：过D'作D'E⊥AB，交BA的延长线于E，
由旋转可得，∠DAD'=60°，
∴∠EAD'=30°，
∵AB2AD'，
∴D'E=1
2
AD2AE6
∴BE26
∴Rt△BD'E中，BD'2=D'E2+BE2=（2）2+（22+6）2=16+83②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，
如图所示：过B作BF⊥AD'于F，
旋转可得，∠DAD'=60°，
∴∠BAD'=30°，
∵AB=22=AD'，
∴BF=1
2
AB=2，AF=6，
∴D'F=22﹣6，
∴Rt△BD'F中，BD'2=BF2+D'F2=（2）2+（22-6）2=16﹣83
综上所述，BD′平方的长度为16+83或16﹣83．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理进行计算求解．解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．
23. 抛物线y=ax2+bx+3经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，延长DP交x轴于点F，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段DF上一点，当△BDC的面积最大时，若∠MNC=90°，请直接写出实数m的取值范围．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）a=3
2
时，△BDC的面积最大，此时P（
3
2
，
3
2
）；（3）实数m的变化
范围为0≤m≤27
8
．
【解析】
【详解】解：（1）由题意得：
30
{
9330
a b
a b
-+=
++=
，解得：
1
{
2
a
b
=-
=
，
∴抛物线解析式为y＝－x2＋2 x＋3．
（2）在y＝－x2＋2 x＋3中，当x＝0，y＝3，即C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx＋b＇，则
3
{
30
b
k b
=
+'=
'
解得
1
{
3
k
b
=-
'=
，
．
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3．
设P（x，3－x），则D（x，－x2＋2 x＋3）
∴S△BDC＝S△PDC＋S△PDB＝1
2
PD·x＋
1
2
PD·（3－x）
＝1
2
PD×3＝
3
2
（－x2＋3 x）
＝
3
2
-（x
3
2
-）2＋
27
8
．
∴当x＝3
2
时，△BDC的面积最大，
此时P（3
2
，
3
2
）
（3）0≤m≤27
8
提示：将x＝
3
2
代入y＝－x2＋2 x＋3，得
y＝15
4
，∴点D的坐标为（
3
2
，
15
4
），
过C点作CG⊥DF，则CG＝3
2
．
点N在DG上时，点N与点D重合时，
点M 的横坐标最大．
∵∠ MNC ＝90°，∴222CD DM CM +=，
∵C （0，3），D （
32，154），M （m ，0）， ∴22223153150302424m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭ ()()22003m =-+-， 解得m ＝278．即点M 的坐标为（278，0），即m 的最大值为278
； 点N 在线段GF 上时，设GN ＝x ，则NF ＝3－x ，易证：Rt△NCG ∽Rt△MNF ， ∴CG GN NF MF =，即323x x MF
=-，整理得， MF ＝2223x x -+＝2233322
x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，∴当x ＝32时（N 与P 重合），MF 有最大值32， 此时，M 与O 重合，∴M 的坐标为（0，0），∴m 的最小值为0，
故实数m 的取值范围为0≤m ≤
278．。